buenas vamos a dar inicio a la vídeo tutoría de el curso estadística 1 correspondiente al capítulo 4 sobre los números relativos del libro elementos de estadística descriptiva primero vamos a ver en qué son los números relativos ellos nos ayudan a resumir la información a hacer comparaciones con otros grupos de datos a expresar una relación entre dos o más números dentro de los números relativos se incluyen las razones los porcentajes las tasas y los índices una razón es una relación entre dos números estos números pueden provenir del mismo universo de datos o de universos diferentes si por ejemplo por ejemplo tenemos un grupo que le vamos a llamar a de 50 hombres y b es un grupo de 25 mujeres si dividimos a entre b es decir hombres entre la cantidad de mujeres sería 50 entre 25 que es igual a 2 entonces el resultado lo que nos va a decir es que hay dos hombres por cada mujer la proporción es una razón pero relaciona dos números del mismo universo y relaciona una parte con el todo si tenemos a que son 450 la cantidad de hombres y ve 150 la cantidad de mujeres entonces se sería el total 600 que es el total de hombres y de mujeres en este caso no es como en el ejemplo anterior que dividimos una parte entre otras o sea hombres entre mujeres sino que la proporción vamos a dividir una de las partes entre el total o sea podemos dividir a la cantidad de hombres entre el total de hombres y mujeres sea 450 entre 600 esto lo mismo que tres cuartos o punto 75 la proporción nunca va a ser mayor a 1 siempre va a variar entre 0 y 1 estas proporciones podemos amplificar las multiplicando las por 100 o por 1000 para facilitar la interpretación de los datos si por ejemplo tenemos punto 75 lo multiplicamos por 100 podríamos hablar en términos porcentuales un 75% entonces en nuestro ejemplo diríamos de los estudiantes del curso el 75% son hombres para obtener el índice de masculinidad es una razón donde dividimos los hombres entre las mujeres como vimos fácil rato 50 entre 25 es igual a 2 decíamos que dos hombres por cada mujer esto también lo podemos amplificar multiplicándolo por cien entonces ya no sería dos sino dos serían 200 y se expresa diciendo 200 hombres por cada 100 mujeres veamos el ejemplo de la página 131 del libro en este ejemplo nos decía que hay un grupo de mujeres regidoras en 1990 de 157 las mujeres regidoras en el 2010 eran de 442 de manera que si sacamos un aumento absoluto entre estos dos valores en 3 442 y 157 diríamos que se dio un incremento de 285 mujeres regidoras entre el 2000 perdón entre 1990 y entre el 2010 pero podemos sacar relaciones en términos porcentuales conduciendo uso de las proporciones con estos mismos datos y aquí vamos a ver cuatro formas en que podemos calcular las proporciones pero las cuatro están bien pero si hay que tener cuidado en la interpretación la interpretación es muy diferente en cada uno de los casos y siempre la interpretación va a depender del valor que estemos teniendo en el denominador o sea lo que tengamos en la base entre la cual estamos dividiendo si tomamos 442 que son las mujeres regidoras del 2010 y las dividimos entre 157 que son las mujeres regidoras del 90 x 100 nos da 281 como interpretamos esto diríamos por cada 100 mujeres regidoras del 90 hay 281 en el 2010 si tomamos el valor absoluto si decimos ok vamos a tomar los las mujeres de 2010 y las restamos al de 1990 y lo dividimos entre el valor inicial que 157 o sea entre 1990 nos da 181 entonces aquí hay forma de dos formas en que podríamos interpretar los datos podríamos decir el número de mujeres regidoras aumentó un 181 por ciento con respecto a 1990 o bien podríamos decir por cada 100 mujeres electas en 1990 porque repito es lo que tenemos en el denominador el valor de 1990 entonces por cada 100 mujeres selectas en el 90 hubo 181 más el 2010 esta es la forma más común y la que se utiliza cuando nos piden calcular un porcentaje de variación o el incremento o la disminución entre los datos esta es la fórmula de cálculo correcta o sea la resta entre los dos valores el valor mayor o sea el último más bien menos el valor base aquí teníamos 2010 pero de 2009 en 1990 dividido entre el valor del año inicial o el base o que hay una tercera fórmula de cálculo sería tomar el último el año inicial que si en 1990 con las 157 mujeres y lo dividimos entre el año final mucho los 442 aquí el porcentaje nos da 35 por ciento diríamos por cada 100 regidoras del 2010 que lo que tenemos ahora en la base había 35 en el 1990 y si tomamos nuevamente el valor absoluto la resta entre los dos valores pero lo dividimos entre el 2010 que es el año final vean que es diferente a como dividimos anteriormente que teníamos entre el año inicial si lo dividimos la restante del año final el porcentaje de 64% de la interpretación es diferente diríamos el aumento en el número regidoras representa un 64% del total de regidoras del año 2010 que lo que tengo en la base veamos este otro ejemplo una universidad aceptó un total de 4500 estudiantes nuevos para el próximo año lectivo en lugar de los 4000 que recibió este año si se quiere saber en qué medida está la universidad respondiendo a las demandas de ingreso vemos que el valor absoluto no es suficiente o sea en términos absolutos o no diría que hay 500 estudiantes nuevos que fueron recibidos pero hay que verlo en términos relativos entonces sí se sabe que el número de aspirantes fueron ocho mil en un año y diez mil en el otro año se puede calcular la proporción de admitidos entonces tomamos los cuatro mil que se admitieron en el primer año entre los ocho mil que hicieron solicitud que eran los aspirantes aquí vemos que es un 50 por ciento o sea se recibieron 50 de cada 100 es aspirantes y si tomamos los 4500 que fueron admitidos en el último año entre los 10. 000 aspirantes vemos que se recibieron solamente 45 de cada 100 entonces en términos absolutos se están recibiendo 500 estudiantes más pero relativamente se recibe un 5% menos con respecto a los aspirar a los aspirantes de cada año si decimos que el 45% de la población masculina es masculina cuánto sería el total de hombres y el total de la población del país es de 4 millones entonces 4 millones lo multiplicamos por punto 45 siempre cuando vamos a hacer algún cálculo el valor no se utiliza en términos porcentuales o sea multiplicados por cien sino que el cálculo se hace con el dato en proporción cuatro millones por punto 45 esto nos da millón 800 quiere decir que este la cantidad de hombres que hay en la población es de millón 800 cuánto sería el porcentaje y la cantidad de mujeres bueno si el total de la población es el 100 por ciento y sabemos que 45 por ciento son hombres 1 - punto 45 es punto 55 quiere decir que el porcentaje de mujeres en esa población es de 55 por ciento tomamos nuevamente los 4 millones lo multiplicamos por punto 55 y aquí me da 2 millones 200 mil en la cantidad de mujeres que hay en esta población si la población urbana es de 3 millones y representa un 60% cuánto es la población total recordemos que la población igual se divide en urbana y rural entonces la población es el 100 por ciento y el 60% es la población urbana entonces tenemos que ver que el restante 40% de la población rural en este caso es hacemos una ecuación similar a la que vimos anteriormente pero colocada diferente en este caso tenemos que despejar para encontrar el valor total de la población aquí teníamos la población total multiplicamos por la proporción para obtener cuánto me representaba una de las partes de la población en este caso conocemos una de las partes que es la población urbana y tenemos la proporción que representa esto el total entonces lo que vamos a despejar es el valor de x para obtener la población total x por punto 6 es los 3 millones despejamos el valor de x pasando punto 6 que está multiplicando lo pasamos a dividir y tenemos x es igual a 3 millones entre punto 6 igual a 5 millones quiere decir que la población total es de 5 millones si hacemos compras en una tienda por 60 mil colones y tenemos que sumarle el 13 por ciento del impuesto de ventas cuánto lo que en total debemos de pagar 60 mil colones por punto 13 quiere decir que lo que debemos de pagar en impuestos son 7 mil 800 colones si a los 60 mil que me cuesta la el valor de la compra le sumo los 7. 800 de los impuestos el total a pagar es de 67 mil ochocientos esto es lo mismo de hacerlo de una manera más rápida y directa que tomar los 60 mil y multiplicarlo por 113 y nos dan los mismos 67 mil 800 si el total pagado es de 75 mil con impuestos de venta incluidos cuantos el valor de las compras sin impuestos en este caso es al revés entonces sabemos que el total que debemos pagar son 75 mil lo dividimos entre 13 que son los impuestos y me da cuántos del valor de la compra sin impuestos 66 mil 372 veamos el ejemplo en la página 133 nos dice suponga que el número promedio de visitantes por semana a un parque de diversiones era de 2000 el gerente le informan que ese número se ha reducido en un 40% en qué porcentaje debe aumentarse el número semanal de visitantes para obtener de nuevo una visita promedio de 2000 entonces el 40 por ciento de los 2000 es 2000 por punto 4 son 800 si a estos 2000 que tenía originalmente le restó los 800 que representan la cantidad menos de visitantes que están llegando al parque quiere decir que los visitantes actuales son 1200 esta es la cantidad de visitantes que actualmente llegan rebajando el 40% ahora estos 800 que son los visitantes - que llegan lo dividimos entre los 1200 que son los visitantes actuales multiplicado por 100 nos da 60 y 67 representa el porcentaje de visitantes que debe aumentarse 1200 x punto 66 7 es igual a 800 así que 1200 más los 800 que es este factor que está aquí nos dan los dos mil visitantes que teníamos originalmente ahora entremos al tema de las tasas es una frecuencia relativa de un fenómeno en un periodo dado hay diferentes tipos de tasas tenemos las tasas vitales que la tasa bruta de natalidad la tasa de mortalidad y la tasa de crecimiento natural la tasa de natalidad son los nacimientos vivos ocurridos durante el año natural entre la población total a mitad del año natural x 1000 siempre para el cálculo de estas tasas utilizamos la población a mitad del año o sea la población a julio de cada año en la que utilizamos y en los nacimientos acumulados de todo el año de referencia si tenemos una tasa bruta de natalidad donde en un determinado daño aquí estamos hablando del 2008 nacieron 75 mil 187 niños lo dividimos entre la población en julio del año 2008 que es 4 millones 451 mil 205 habitantes por mil esto me da 16 9 por mil como lo interpretamos decimos en el 2008 ocurrieron en costa rica alrededor de 17 nacimientos por cada 1.
000 habitantes anteriormente veíamos lo que era la amplificación entonces que podíamos amplificar una proporción multiplicando la por 100 o por 1000 según fuera el caso pues este es el caso en que lo multiplicamos por 1000 cuando estamos trabajando con este tipo de tasas por la magnitud de los datos si la tasa de mortalidad bueno antes de entrar a este tema la tasa de mortalidad el cálculo de la tasa mortalidad es exactamente igual y ustedes lo pueden verificar en el libro o sea en este caso sería la tasa mortalidad sería la cantidad de defunciones entre la población igual a mitad del periodo multiplicado por mil si la tenemos entonces una tasa de mortalidad de igual a cuatro por mil habitantes la tasa de crecimiento natural en la resta o sea en la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad ya teníamos una tasa de natalidad de 16,9 menos la tasa de mortalidad que era de 4 entonces nos da 12 9 por mil que quiere decir en el 2008 costa rica creció a un ritmo de 13 personas por cada 1. 000 habitantes esta tasa de crecimiento natural es una manera pues rápida de poder medir cuánto va creciendo la población sin embargo aquí faltan datos para tener una información más certera y hay que incluir toda la gente que sale del país y que ingresa en el transcurso de un año también dentro de las pasas también vemos las tasas de crecimiento que resumen el comportamiento de buena variable en un cierto periodo e implican la selección de un modelo de crecimiento estos son los factores que vamos a tener siempre en cualquiera de los modelos de crecimiento que vamos a ver en el subte significa la población en el año final d en el sub zero la población en el año inicial cero r en la tasa de crecimiento para el periodo y t es el número de años o el tiempo que estamos haciendo el cálculo si tomamos un modelo aritmético se supone que la población creció en una cantidad igual cada año el aumento se aplica a la población inicial de cada periodo así que los aumentos absolutos son constantes esto sería como por ejemplo que pensáramos que la población crece cuando los dicen la población crece en la misma cantidad cada año es como que dijéramos que crece en 100 habitantes cada año que eso es algo que en el término de la población sabemos que no es real no es exactamente la misma cantidad de personas que va con la que va creciendo año con año pero este es el supuesto con el que parte este modelo la fórmula para la tasa de crecimiento es pero igual la diferencia entre la población final menos la población inicial entre la población inicial x 1 / t que era en los años si queremos hacer una proyección a una población food más adelante utilizando esta tasa de crecimiento entonces se utilizaría esta fórmula en el subte o sea la población que finalmente queremos estimar es igual a la población inicial por uno más r que la tasa de crecimiento que hemos calculado aquí por el tiempo veamos el ejemplo la página 139 en 1993 costa rica recibió 684 mil cinco turistas en el 2008 ingresaron 2 millones 89 mil 174 cuál es el crecimiento en el número de turistas ingresados durante estos 15 años sin nada más nos piden calcular un crecimiento relativo como vimos al principio cuando como les decía si queremos ver el crecimiento en términos porcentuales o el margen de variación no solamente tomamos la población final menos la población inicial entre la inicial y aquí tenemos el aumento relativo en 15 años sería la final los 2 millones 89 mil 174 del año y que ingresaron el 2008 - los que ingresaron en el 93 entre los que ingresaron el 93 esto nos da 20 543 al multiplicarlo por 100 dan 200 5. 43 por ciento esto indica que por cada 100 turistas que ingresaron en el año 93 que lo que tengo en la base en el 2008 entraron 205 turistas para determinar una tasa de crecimiento debe relacionarse el cambio relativo con el tiempo transcurrido en los 15 años y suponer que el número de turistas que ingresaron siguen un determinado patrón de patrón de crecimiento si decimos que el crecimiento se dio de manera aritmética en que crece en la misma cantidad cada año entonces vamos a calcular ya no solamente el tratado un margen de variación o un porcentaje de crecimiento simple sino una tasa de crecimiento 2 veamos que la fórmula es muy similar a como la vimos anteriormente que teníamos aquí la población final menos la inicial entre la inicial esto nos da el aumento relativo pero aquí también tenemos población final menos la inicial entre la inicial pero multiplicado en el denominador por t que es la cantidad de años entonces tomamos los mismos datos los ingresos de los turistas en el 2008 menos los que entraron en el 93 entre el 93 multiplicado por el periodo que son 15 años ahora la tasa de crecimiento desde un 13 69 por ciento entre los turistas está la tasa de crecimiento del número de turistas entre el 93 y el 2008 para hacer una proyección ya tenemos una tasa de crecimiento podemos proyectar si a este mismo ritmo cuánto sería la cantidad de turistas que podrían ingresar en el 2013 tomando como base el 2008 entonces tomando como base el 2008 podemos utilizar la fórmula que habíamos visto de para hacer una estimación de un crecimiento de la población sería la población que que debemos final que queremos determinar es igual a la población inicial que en este caso nos dicen tomando como hace el 2008 entonces esta población inicial para nosotros en la población del 2008 perdón la población no los cantidad de turistas por uno más la tasa de crecimiento recuerden que la tasa de crecimiento a la hora de utilizarla aquí no la ponemos en términos porcentuales sino en términos de una proporción multiplicado por los años que ya en este caso estamos hablando de 5 años entonces la cantidad de turistas que podrían estar ingresando en el año 2013 es de 3 millones 519 mil 213 con una tasa de crecimiento de 13 69 por ciento ahora si utilizamos un modelo geométrico este supone que la población crece en el mismo porcentaje cada año la tasa se aplicada a la población al principio de cada año incorporando los aumentos de cada año que sean los aumentos anuales absolutos son crecientes para verlo en ejemplos prácticos entonces anteriormente en el modelo aritmético decíamos que la población crece en la misma cantidad o sea 100 personas digamos durante cada año si hablamos de un modelo geométrico entonces es en términos porcentuales que crece igual esto ya no diríamos que crece en 100 personas cada año sino en un 10% cae por ejemplo para el geométrico entonces la tabla fórmula para hacer el cálculo de la tasa de crecimiento es r igual a la población final entre la población inicial elevado a la 1 entre t y todo menos uno así que la fórmula para hacer una proyección de la población sería la enet e iguala n 0 por 1 + ser elevado a la t y el otro modelo es el modelo exponencial donde en este caso se asumen que los incrementos en los períodos regulares anuales se dan en períodos regulares anuales y los aumentos se producen al final de cada año la tasa se aplica a la población al comienzo del año y lo que supone es que el crecimiento es continuo en estos casos la fórmula para la tasa de crecimiento es pero igual uno entre el t que era el tiempo por el logaritmo natural de la población final entre la inicial y para hacer una estimación de una población próxima sería la población que queremos estimar es igual a la población inicial que vamos a tomar como base x y que es el valor de la exponencial que esto es una constante elevado a la reporte aquí podemos ver ejemplos es de los diferentes tipos cómo se comportan los diferentes tipos de modelos en la barra roja es un ejemplo de una de un modelo lineal o aritmético esto sería con una modelo geométrico y en este otro podríamos ver el crecimiento exponencial como vemos que es un crecimiento continuo y el lineal que es un crecimiento éste lineal con aumentos constantes durante cada año ok vamos a ver algunos ejemplos del uso de números relativos con datos del censo de población del 2000 estos son solamente algunos de los disponibles los ejemplos que están disponibles en el libro hay otro tipo de cálculos que es importante que ustedes también esté repasen y que tengan conocimiento de eso tenemos la por el porcentaje de la población urbana que sería igual a la población urbana entre la población total nos tomamos la población que tenía costa rica en el 2000 urbano y lo dividimos entre la población total nos da un 59% decimos hay 59 de cada 100 personas residentes en costa rica vivían en la zona urbana la densidad de la población que la población total entre la superficie en kilómetros cuadrados tenemos una población de 3 millones 810 810 mil 179 entre cincuenta y un mil cien kilómetros cuadrados nos da 70 y 46 habitantes por kilómetro cuadrado la tasa bruta de actividad en la población económicamente activa a julio en 2008 entre la población total a julio del 2008 entonces esa población económicamente activa la obtenemos de los datos del censo entre la población total a julio nos da 45 4 por ciento en el 2008 participaban en actividad económica un 45 4 por ciento de la población total el índice de masa post corporal que es el peso en kilogramos entre los metros cuadrados si hay un peso de 60 kilos entre unos 60 metros que vida a alguien elevado al cuadrado nos da 23 3 estos se puede considerar que menos de 25 de índice más caras masa corporal está dentro del peso ideal veamos que el uso de estos números relativos no solamente es importante la fórmula de cálculo que es que cuando ustedes realicen el examen pueden este utilizar el libro para ver las fórmulas de cálculo pero tan importante es cómo tener el cálculo de la de los números o el procedimiento bien hecho como la interpretación y por eso es importante como hablábamos al inicio aquí es interpretar qué es lo que estoy calculando cuál es la base de los datos que estoy considerando principalmente en el denominador para hacer una correcta interpretación de ellos muchas veces tenemos la necesidad de calcular promedios de los números relativos cuando se requiere hacer un promedio ya sea de proporciones razones de tasas o de índices de diferentes zonas o grupos para obtener un valor para un conjunto entonces es posible calcular un promedio simple solo si los valores relativos tienen la misma base de lo contrario debe utilizarse un promedio ponderado 2 veamos un ejemplo que aparece en el libro y nos dice en una encuesta de opinión realizada en enero del 2009 se entrevistó a personas de 18 años y más y si les pregunto si en la vivienda donde residían tenían computadora y estos son los resultados que se obtuvieron tenemos población costarricense de 18 años y más presidentes en viviendas con computadoras según la región en enero del 2009 tenemos esta agrupación de las regiones mejor región metropolitana el resto del valle central y el resto del país y el total de costa rica que aparece aquí tenemos los costarricenses de 18 años y más en cada una de estas regiones y el número de residentes en cada una de estas regiones con computadora y luego se calculó el porcentaje que residen en la viviendas con computadoras cómo salió este porcentaje de dividir 858 entre el total de personas residentes en el área metropolitana las personas que tienen computadora entre los costarricenses que reciben en el vestuario central y los que tienen computadora en este grupo entre los que están en el resto del país de este grupo así no salió el porcentaje de residencias de residentes que tienen computadores en cada una de esas viviendas cuál es la proporción a nivel nacional de entrevistados que reciben en viviendas con computadoras entonces si sacamos un promedio simple de estos porcentajes pues lo que hacemos es de 59,9 más 41 más 13 1 estos tres datos que están aquí los sumamos y los dividimos entre 3 nos dan 43,7 este valor no es correcto para tomar un valor promedio de todo el país porque supone que el número de costarricenses adultos es el mismo en cada una de las zonas y podemos ver que esto no es cierto porque en la zona metropolitana hay una cantidad muchísimo mayor de personas residentes que por ejemplo en el resto del valle central o en el resto del país entonces la distribución de personas por región es diferente por eso es que no es correcto ser un simple promedio así que lo correcto es ponderar por el número de costarricenses que hay en cada una de las regiones de una manera rápida hacerla también es tomar el total de personas que tiene computadora dividido entre el total de costarricenses con 18 años y más esto me da un 47 3% ven que los datos se aproximan pero no es el mismo resultado y el otro ejemplo de datos de números relativos son los índices es un número que expresa el cambio relativo ocurrido entre un periodo o una situación base y otro periodo o situación de interés específico periodo referencia a un conjunto de variables los índices permiten comparaciones de las variables de un cierto fenómeno a lo largo del tiempo o del espacio el índice simple son relativos simples construidos para una sola variable y los índices compuestos consideran un grupo de variables el índice simple podemos calcular podemos calcularlo ya sea con el precio o la cantidad uno de los dos del un año de interés entre el precio o las cantidades en un año hace multiplicado por 100 veamos el ejemplo en la página 156 se desea analizar la evolución del número de homicidios en costa rica tomando como base del año 1990 el índice para el año 1999 entonces sería el número de homicidios del 99 entre el número de homicidios del 90 que jesús aparece en esta tabla tenemos los del 90 que son 135 que en este caso lo que vamos a tener en el denominador y tenemos los del 99 que son 236 que los vamos a tener en el numerador este índice nos da un 174 8% interpretamos diciendo por cada 100 homicidios de 1990 se produjeron 175 en el año 1999 para el año 2009 el índice entonces sería tomar los homicidios del año 2009 que vemos que es 525 entre los del 2000 90 que lo que estamos tomando de base que son 135 ya esto nos da un 388,9 por ciento podríamos decir el número de homicidios en el 2009 alcanzó 39 veces los ocurridos en 1990 los índices de precios miden la evolución de los precios para un conjunto de productos refleja la variación en el poder adquisitivo de la moneda ya sea colones dólares o cualquier moneda que estemos estudiando podemos hacer un agregado simple que es la suma de los precios de los artículos en el año de interés dividiéndolo entre la suma de los precios del año hace y sirve principalmente para series cronológicas según el ejemplo la página 160 nos dicen suponga que una familia consume sólo 5 artículos y se está interesado en conocer como afectados los cambios en los precios de esta canasta de artículos que consumen en el transcurso de los 3 años aquí están los cinco artículos que conoces que consume la familia arroz aceite sal café pan baguette tenemos la unidad de medida de estas cantidades que ellos consumen entonces vamos a calcular un índice que como vemos es un índice este que va a tener la red va a medir la relación entre el 2009 y el 2003 sacamos los totales de los precios de estos artículos en los tres años nuevamente tenemos la base que es el año 2003 estos son dos mil 345 lo ponemos en el denominador como base y el índice que queremos calcular es 2006 con respecto al 2013 entonces en el numerador va el total de edad del 2006 4.
