nesta série de aulas vamos resolver os problemas do Capítulo 11 do livro fundamentos de física de Harley e resnick décima edição problema 66 na figura 1158 um pequeno bloco de 50 gramas desliza para baixo em um superfície curva sem atrito a partir de uma altura h = 20 cm e depois adere a uma barra homogênea de massa 100 gramas de comprimento 40 cm a barra gira de um ângulo teta em torno do ponto o antes de parar momentaneamente determine teta Primeiro vamos escrever as medidas informadas no problema nas unidades padrão de medida a massa do
bloco é m = 50 G para converter para quilogramas eu multiplico por um programa por mil quilômetros que são quantidades equivalentes nas suas unidades aí eu cancelo o Grêmio resultado mas tem quilogramas 50 x 1 sobre 1000 tá 0,05 kg altura inicial do bloco é H = 20 cm para converter para metros seu multiplico por um metro dividido por 5 cm quantidades equivalentes nas duas unidades cancela o centímetros e o resultado vai estar em metros 20 x 1 sobre 100 dá 0,20 m a massa da Barra é m = 100 gramas aí multiplico por um
programa de por mil gramas simplifico o grama e 100 x 1 sobre 1000 dá 0,100 kg o comprimento da Barra é C igual a 40 cm aí eu multipliquei por um metro de 100 cm cancela centímetros 40 vezes 1 sobre 100 dá 0,40m agora vamos a resolução propriamente dita durante a descida do bloco A sua energia mecânica será igual a soma de sua energia potencial gravitacional e de sua energia cinética a energia potencial gravitacional de uma partícula Depende de sua massa de sua posição vertical em relação a um ponto de referência no qual consideramos a
energia potencial gravitacional nula o g é igual a mgh neste caso Vamos considerar a energia potencial Lula no ponto mais baixo da trajetória do bloco quando ele atinge e a dela a energia cinética de uma partícula depende sua massa e do módulo da sua velocidade de acordo com a seguinte equação k=1/2 xm x v² na posição inicial a energia mecânica do bloco será igual a sua energia potencial gravitacional M1 vai ser mgh quando ele estiver na posição 2 prestes a colidir com a barra sua energia mecânica será igual a sua energia cinética já que ele
está na posição em que sua energia potencial gravitacional é nula então é m2 Vai ser 1 sobre 2 vezes M vezes V ao quadrado como ele desliza sem atrito a energia mecânica se conserve podemos dizer que m2 é igual a M1 então 1/2 xm² é igual a m vezes G vezes H aí podemos simplificar o n multiplicando tudo por dois v ao quadrado vai ser 2h extraindo raiz quadrada dos dois lados v = √2 g h substituindo pelas medidas fica raiz quadrada de duas vezes 9,8 kg x 0,20 que é o h se a gente
fizesse esse cálculos aí dá 1,979 metros por segundo vamos escrever os resultados parciais com quatro ou mais algarismos um a mais do que a medida original mais precisa para fazermos o arredondamento com a precisão adequada no final da resolução do problema Essa será a velocidade horizontal com que o bloco atinge a barra o Momento Angular do sistema bloco/ imediatamente antes da colisão será igual ao Momento Angular do bloco uma vez que apenas ele está em movimento o Momento Angular de uma partícula em movimento em relação ao vegetação é dado por o vetor L é igual
a m vezes o vetor v o módulo do produto vetorial que aparece nessa expressão é igual ao produto dos módulos dos vetores do centro do ano formato suas direções então o módulo do Momento Angular é L igual a m x r do seno de teta Observe que o módulo do vetor R é igual ao comprimento da Barra e que o ângulo entre os vetores é igual a 90 graus então o Momento Angular do sistema é L2 a vai ser M vezes c que é o módulo é R x v x seno de 90 graus como
seno de 90 graus é igual a 1 o l2a vai ser m x c x v então é 0,050 que é o valor de m x 0,40 que é o valor de C vezes 1,979 o valor de V que dá 0,03958 kg metro quadrado por segundo imediatamente depois da colisão o bloco fica grudado na barra e o conjunto começa a girar com velocidade de ômega o Momento Angular se relaciona com o momento de inércia e a velocidade angular de acordo com a seguinte equação ela é igual a i x ômega o momento de inércia do
sistema será igual a soma dos momentos de inércia da Barra e do bloco o momento de inércia de uma barra Fina em relação ao eixo perpendicular a sua maior medida e que passa pelo seu centro de massa pode ser encontrado na tabela 2 do livro O i é 1 sobre 12 vezes a massa da Barra vezes o seu comprimento elevado ao quadrado no caso da Barra do problema o eixo de rotação não passa pelo seu centro de massa e sim por uma de suas extremidades o momento de inércia dessa barra pode ser calculado utilizando o
teorema dos eixos Paralelos o i vai ser igual ao ido sempre do eixo que passa pelo centro de massa mais M vezes H ao quadrado o h que aparece na equação é a distância entre os eixos Paralelos de rotação neste caso é igual a metade do comprimento da Barra o momento de nessa da Barra é da barra vai ser sobre 12 vezes M vezes c² + m x c sobre dois elevado ao quadrado que dá um sob 12 vezes M vezes c ao quadrado elevado ao quadrado dá um quarto vezes M vezes c ao quadrado
podemos colocar em iniciar o quadrado em evidência então ficamos sobre 12 mais um sobre quatro vezes M vezes esse ao quadrado tirando o mínimo da 12 12 por 12 dá 1 vezes 1 mais e 12 por 4 da 3 vezes 1 dá 3 + 3 = 4 então fica 4 sobre 12 vezes esse é o quadrado a gente pode simplificar aí por quatro então dá um terço vezes m x c ao quadrado então é um terço vezes a massa da base 0,100 vezes o seu comprimento ao quadrado 040 elevado ao quadrado efetuando esses cálculos aí
da 0,00533 kg metro quadrado o momento de inércia do bloco é o e do bloco vai ser a sua massa vezes a distância até o eixo de rotação que é o comprimento da Barra elevado ao quadrado então é 0,050 vezes 0,40 elevado ao quadrado que dá 0,008 kg metro quadrado o momento de inércia Total será a soma dessas Duas Medidas o i vai ser o da barra mas o bloco então É 0,00533 mas 0,008 que dá 0,0133 metro quadrado o Momento Angular do sistema imediatamente depois da colisão é o l2b que é igual a i
x Ômega como não existem torques externos atuando sobre o sistema imediatamente antes e imediatamente depois da colisão o movimento angular se consegue podemos dizer que l2b tem que ser igual a l2a então I vezes Ômega é igual a l2a resolvendo para Ômega Ômega vai ser l2a sobre I Então é 0,03958 que é o e2a por 0,0 1333 que é o i que dá 2,968 radianos por segundo o sistema está lá girando com esta velocidade angular imediatamente depois da colisão a energia mecânica do sistema será igual a sua energia cinética de rotação que depende do momento
de inércia do sistema e de sua velocidade angular de acordo com a seguinte equação o k de rotação vai ser um sobre dois exisir X1 ao quadrado então a energia mecânica do sistema nesse instante é m2 vai ser um sobre dois vezes I vezes longa ao quadrado então é um sobe 2 x 0,01333 x 2,968 ao quadrado dá 0,05872 jaules o sistema barra bloco Continuará girando até parar internamente quando a barra faz um ângulo teta com sua posição inicial neste ponto a energia mecânica do sistema será igual a sua energia potencial gravitacional o bloco terá
subido de uma distância H1 assim como a extremidade da Barra no entanto o centro de massa da Barra terá subido metade dessa distância em relação a sua posição inicial uma vez que está localizado na metade do comprimento da Barra a energia mecânica do sistema é M3 vai ser mgh1 a energia potencial do Bloco As MG x h 1 sobre 2 a energia potencial da Barra se a gente colocar aí o gh1 em evidência fica gh1 vezes M + 0,5 x n o valor de H1 pode ser escrito em termos das medidas informadas e do ângulo
de internacional da Baixa analisarmos o triângulo retângulo mostrado nele a hipotenusa é o comprimento total da Barra e o cateto adjacente é o ângulo é igual a diferença entre o comprimento da Barra e h se calculamos o cosseno deste ângulo que fizeram essas medidas teremos que o cosseno de teta vai ser o cateto adjacente C menos H1 sobre C que a hipotenusa multiplicando cruzado se eles cosseno de teta é igual a c menos H1 então eu posso dizer que o H1 vai ser C menos C cosseno de teta ou C vezes 1 - cosseno de
teta substituindo H1 por essa expressão na equação anterior é M3 vai ser G vezes c vezes 1 menos cosseno de teta que é o H1 vezes M + 0,5 xm substituindo pelas medidas da 9,8 que é o g x 0,40 que é o c vezes 1 menos o cosseno de teta vezes 0,050 que é o m + 0,5 x 0,1 se a gente fizer as multiplicações em dos números que estão fora dos primeiros parênteses 9,8 x 0,40 x 0,050 + 0,5 vezes 100 dá 0,392 x 1 - cosseno de teta multiplicando aí dá 0,392 -
0,392 vezes Como a energia mecânica se conserva podemos dizer que é m2 é igual a M3 Então 0,05872 tem que ser igual a 0,392 - 0,39270 passando o termo de cosseno para a esquerda e o primeiro número para a direita 0,392 da equação de teta = 0,392 - 0,05672 fazendo essa essa subtração aí 0,392 cosseno de teta = 0,3328 então o cosseno de teta vai ser 0,3328 / 392 que dá 0,85 02 então o Teta vai ser o arco cujo cosseno é igual a zero 85 02 que dá 31,76 graus escrevendo o resultado com dois
algarismos significativos que a precisão das medidas menos precisas utilizadas ele se torna um tetra é igual a 32 graus
