INTEGRAL DE LINHA #04 | MASSA DE UM FIO

e vamos ver agora no aplicação da chamada integral de linha que é o cálculo da massa de um fio considere aqui que você tenha um fio fino tá frio Delgado fino bem aqui e você pega desse fio aí deixa o tio desenhar eu tenho bem aqui um se eu bem fino só posso desenhar bem fino Então tem que dar uma exagerada aí eu pego uma secção transversal de área você vai fazer um corte bem aqui quando você fizer um corte aqui eu vou dar uma aumentada na figura você teria como se fosse um cilindro filhão

vem aqui você teria um cilindro esse meu cilindro aqui ele vai ter uma área da base que seria essa secção transversal de área essa essa área é se é esse valor bem aqui ó uma área é essa chamar de excisão legal e bem aqui vai ter um altura que seria uma variação de comprimento de ar também aqui eu a altura que seria o que eu vou chamar de Delta S Zinho coloca um esse Zinho aí ó então aqui eu tenho um Delta S pequeno dessa maneira Você pode achar muito bem o volume o volume desse

aqui você sabe lá do ensino médio EA área da base que multiplica altura o delta S Zinho Mas você recorda também que a nossa densidade é a massa dividido pelo volume você sabe que densidade que a massa pelo volume aqui dessa maneira está dividindo passa multiplicando Então você fala que a massa é a densidade vezes o volume só que você sabe o valor desse carinho aqui ó a minha massa desse pequeno um pedaço aqui é a densidade vezes o volume a densidade vez volume que a área da base a excisão vezes Delta S Zinho aqui

isso aqui nós vamos batizar por uma função essa densidade vezes a área nós chamamos aqui densidade linear de massa a densidade linear de massa é isso que eu simbolizar por efe aqui a densidade linear de massa é a massa por unidade de área então a massa por unidade de área Eu Vou Chamar esse cara aqui de uma visão daqui é a minha função então aqui eu vou ter que a minha massa é a minha função pode ser com duas variáveis três variáveis não importa tão de x e y aqui ó vezes de S é só

que acontece que você fez isso aqui nesse pedaço só que você pode fatiar o fio infinito os pedaços e depois Vai somando sai somando quando você faz isso você vai ter a massa do filme e a massa do Fio será a integral de esse cara bem que f de x e y aqui eu vou colocar um DS a minha diferencial ao longo da curva ser dessa maneira você tem a nossa massa e aí vem a pergunta como é que faz isso no Exercício roda a vinheta que eu vou te contar rápido lá né e vamos

resolver agora essa situação aqui determinar a massa de uma quarta parte da circunferência de equação aqui ó x a segunda mais isso 2ª = 16 cento ada no primeiro quadrante se a densidade em cada ponta igual a ordenada desse ponto eras Prof não sei fazer Calma que eu vou te ajudar primeiro você vem aqui você desenha a sua circunferência essa circunferência tem centro 100 pois aqui é equação reduzida da circunferência centro dela é zero zero e o raio você calcula a raiz quadrada de 16 a professor vale quatro só não só que eu não quero

toda essa circunferência eu só quero a quarta parte localizada no e o ABS Então você apaga bem aqui ó você apaga bem aqui e aqui também então essa aqui vai ser a nossa curva então aqui está a nossa curva Só que você tem que parametrizar como ela vem de uma circunferência você sabe muito bem que a parametrização de uma circunferência sempre é R cosseno rvcc no só que o meu raio é quatro então aqui será quatro cosseno te e bem aqui quatro sendo ter e uma um detalhe importante é que se ter essa rotação vem

aqui esse meu ter aqui ele varia no caso vou colocar bem aqui se eu colocar o espaço aqui ó o meu ter varia de 0 a pi sobre 2 importante esse aqui na hora da gente calcular o valor dessa nossa massa Avaré o que é que eu faço agora como todo integral de linha você tem que fazer o que a derivada a Prof já tô safo nessa derivada -4 deriva e esse menos 400 ter e deriva a esse quatro cosseno ter após isso você vai achar um módulo quem é um módulo a norma né raiz

quadrada de cada um elevado a segunda potência primeiro a segunda e esse segundo aqui também elevado a segunda potência tá compreendendo Coloca aí nos comentários aí vai ficar assim ó a norma dr.na é a isso aqui você já tá bom nisso que ao menos quatro a segunda vai dar 16 então aqui eu tenho 16 sendo a segunda e depois eu vou ter 16 a nossa segunda que foi que o tio fez aqui eu coloquei logo o 16 em evidência ficou 16 sendo a segunda mais 16 por sendo a segunda coloca 16 em evidência E aí

vai ficar sendo a segunda mais por cena segunda nessa hora você diz profissão que eu sei agora isso aqui a fórmula fundamental sendo a segunda mais cossena segunda sempre vale um e uma vezes 16:16 e a raiz quadrada de 16 vale quatro Então esse valor aqui é quatro e você sabe que esse aqui que a chamada velocidade né é o meu DS dividido por d t = que a quatro dessa maneira está dividindo passa multiplicando não esqueça sempre gosto cara entenda que aqui a velocidade escalar que a derivada do espaço em relação tempo tá dividindo

PA e explicando então DS é 4dt E agora você vem para sua massa que nós sabemos aí que a massa vai ser a entrega el da sua função um caso aqui a densidade a sua função aqui a sua densidade DS ao longo da curva ser tão essa entregue ao denim aí que vai ser a saída só que ele me disse já Qual é a nossa densidade tão a massa aqui ó será a entrega el qual é o valor dessa função ele fala bem aqui ó a densidade em cada ponto é igual a ordenada desse ponto

olha se o ponto ele é XY a ordenada o valor do Y Então esse carinha bem aqui ele falou que é o y aqui esse DS você tem aqui 4dt tá vou deixar DS por enquanto ao longo da curva e agora vou substituir vai ficar no seguinte esquema aqui ó a entregue ao qual é o valor do Y olha aqui é o x aqui é o y está o meu Y aqui é quatro seno de ter vezes o meu DS quem é o meu ds4 de te também que 4bt e aqui ao longo da curva

cê só que no caso esses e aqui ó quando você fala me pisou você percebeu que o te varia de 0 a peace of dois tão 0up sobe 2 e aí você tem uma entrega el na boa 4 x 4 16 teorema de na marra sai aí esse 16 tira na marra né tia uma brincadeira tira ou 16 na marra e aqui você vai ter a integral de seno Vamos colocar logo a primitiva Qual é a primitiva descer no menos for sendo não vai esquecer né Ah eu acho que é cosseno se e viva cosseno

daria menos seno e aqui não tem menos tão aqui tem que ter um menos a fazer o jogo de sinal e aqui na variação Qual é a variação aí de 0 a pi sobre 2 nesse momento você substitui o máximo menos um mínimo vai ficar assim ó vai ficar massa igual a 16 agora você substitui aqui no lugar desse te aqui o pi sobre 2 vai ficar menos cosseno de pi sobre 2 menos da Fórmula vou colocar logo um colchete aqui para ficar melhor menos da Fórmula Quando você joga o zero cuidado aí com joguinho

de sinal aí para você não bugar nessa hora aí ó substitui o máximo que é o pi sobre 2 menos esse mês é o teorema da variação um mínimo quando você joga o zero aqui só que cosseno de pi sobre 2 o cosseno de 90 é zero esse cara que Zerou E aí acabou porque a nossa massa aqui vai ser 16 que multiplica - versus - aqui é macho cosseno de 0 é o número um então aqui vai ser um tão a massa é 16 u&m selênio que é o m não 16 unidade de massa

já que não foi especificado a nota aqui que eu já venho com mais uma questão e vamos agora resolver essa próxima questão calcular massa de um fio Delgado com a forma de um semicírculo de raio sim considerando que a densidade em um ponto P é diretamente proporcional à sua distância a reta que passa pelos pontos extremos vamos devagar primeiro eu tenho aqui um semicírculo já Desenhei o raio aqui Vale cinco tão que você pode fazer aposto parametrizar Vou colocar aqui a parametrização a minha L nesse caso aqui ó é sempre raio cosseno é um raio

é cinco cosseno ter e o raio vem aqui ó 15 sendo ter tão parametrizei E não esqueça que esse meu ter aqui como eu tenho semicírculo aqui Eu considerei por exemplo para resolver um semicírculo superior o nosso aqui o nosso avaliação de ter é de 0 o CEP de 0 a tepco ser a variação de p recorda isso aí que vai ser importante agora você acha que a nossa derivada derivada de cosseno você sabe que é menos sendo então vai ficar menos cinco sendo ter deixa eu ajeitar aqui menos cinco sendo ter e vem aqui

cinco cosseno ter após isso você tem que achar a norma um módulo quem é o módulo é a raiz quadrada de cada componente elevado a segunda potência menos cinco cê no ter elevado aqui a segunda mas cinco cosseno ter elevado a segunda potência passa aí dá uma olhada aí rapidola como é que você pode fazer a conta aqui vai dar 25 - 5 a segunda 25 aqui também 25 Coloque esse E aí em evidência vai ficar raiz de 25 abre parentes sendo a segunda mas cosseno a segunda e você sabe muito bem que esse cara

que tá dentro do parente Aquele é conhecido de voz me ser aqui ó é a fórmula fundamental vale um E aí 25 vezes um vai dar 25 e aí você sabe que a raiz quadrada de 25 Vale sim e não esqueça que aqui é a velocidade EA velocidade e a derivada do espaço em relação ao tempo que é cinco e aqui você tem tá dividindo passa multiplicando e você vai ter aqui que o nosso DS ser assim tempo de p e não esqueça também o intervalo né o meu ter aqui será importante observação e esse

meu ter varia que disseram a tep eu tenho aqui ó meia-volta ao considerei a superior mural por ele a considerar inferior assim a massa seria mesma não vai importar se você pega esse aqui ou esse de baixo é que a massa desse fio é a mesma Tá bom então a nossa aí logo deixa eu marcar aqui algumas informações importantes quando você for estudar não esquecer a nossa parametrização você não pode esquecer e essa variação do ter aqui cuidado para não errar isso aí após isso você vem agora calcular a nossa massa e você sabe aqui

que a nossa massa vai ser a integral da sua função densidade aqui ó Cadê a atenção professor e agora agora olha só jogada essa aqui é a nossa relação deixa eu colocar para você só para você não esquecer Só que essa função aqui é a nossa função densidade que ele fala que ela é diretamente proporcional O que é ser diretamente proporcional é uma constante vezes alguém se é diretamente proporcional aqui vai ter uma constante e agora só diretamente proporcional à sua distância reta que passa pelos extremos dessa desse fio aqui ó tenho fio Esse é

o meu fio aqui são os extremos a reta que passa por esses extremos é o eixo X e eu tenho. Aqui desse meu fio XV fã e a distância desse ponto Essa é a sacada Olha só olha aí para gabaritar questão você perceber que a distância desse ponto até essa reta que passa pelos extremos é isso aqui ó essa é a nossa distância e essa minha this E aí tá em qualquer ponto que você pega aqui essa distância vai ser o valor do Y e aí você mandou bem porque agora você pode usar essa relação

aqui ó a massa você sabe que é a integral de linha aqui da nossa função em relação com pimenta de ar porque E aí você faz o seguinte esquema aqui no lugar desse é se tem colocar função quem é a função a função será cá vezes y era professor eika diretamente proporcional sempre tem uma constante porque Y aqui porque a distância de qualquer ponto em relação a essa reta que é o valor da ordenada agora vezes aqui DS ao longo dessa Curvas e agora você vai substituir ali e vai ajudar o tio aqui vai ficar

a integral de cá esse isso aqui você tô sabendo que eu isso amor 5C no de ter esse DS você calculou bem aqui 5D T5i de ter e esse meu cena que a minha curva aqui vai te dizer que a variação de ter é de 0 a pe quando você para muitos a sua curva tão de 0 até ter então é essa integral que você vai resolver ela tá na mãe aqui 5 x 5 25 esse 25 sai o cassar e também que é número vai ficar 25 bem que cá e a integral definida do

seno ter no intervalo aqui de zero aqui não esqueça que a primitiva do seno Você sabe quem é a primitiva descer no a professora Lembrei aqui menos por sendo na variação aqui de 0 a tep você agora substitui o valor máximo e vai jogar o valor máximo no lugar do Cosseno viu no lugar do Cosseno você vai substituir uma hora ele aí por pedir depois sempre aqui menos e substitui por 10 - cosseno de 0 e não esqueça por favor que cosseno de 0 aqui ó cosseno de 0 vale um e menos com menos aqui

é macho cosseno de Pi é menos um e menos com menos é mais aqui ó é menos um só que a um jogo de sinal tão menos ou menos vai dar mais não vou ter um aqui mais um aqui vai dar dois então a minha massa será 25k vezes 2 e aqui você finaliza o seu exercício que a massa vai ser 50k unidade de massa então aqui você tem a sua resposta você o Tom dessa maneira aí o exercício cuidado com esse tipo de questões aqui quando fala que é diretamente proporcional sempre deu uma analisada

aí com calma anota aí que a gente vai para a próxima questão rápido aula e vamos agora determinar a massa de um fio Delgado com a forma Y raiz quadrada de 25 - she's a segunda considerando que a densidade em cada. = 10 - Y vamos devagar que agora mudou ele falou que esse fio tem essa forma aqui a gente olha pro fio não entendo isso venha cá primeiro você tinha que analisar um pouquinho essa mini a função aquela função ó raiz quadrada de 25 menos x elevado a segunda Você poderia muito bem fazer um

detalhe aqui é levar a segunda potência e também a segunda a potência já estou elevando ao quadrado ambos os membros aqui você dá uma parte a cada o patriarca patriarca E aí você faz seguinte está subtraindo passa somando seis a segunda mas isso ela a segunda igual a 25 nessa hora você abre aquele sorriso disso eu sei o que é isso isso aqui é uma circunferência professor de centro 00 já desenhei aqui ó cento 00 e raio raiz quadrada de 25 que vale 5 aí alguém pergunta mas vai ser toda circunferência não vai ser somente

essa parte de cima e a pessoa a gente mas eu não entendo porque entenda bem isso aqui é o valor do Y esse Y aqui se você notar aqui na frente tem um sinal de mais quer dizer que só quero aquela parte o y é positivo que a parte de cima a professor não estou convencido de legal então vou te ajudar mais um pouco se você não está convencido imagina se você fosse isolar o valor do Y aqui como é que você faria vamos narrar está somando passa subtraindo e aí depois a potência passa uma

raiz só que na frente da Rayssa que é que você coloca mais ou menos isso quer dizer que você tem duas possibilidades mas é a de cima menos é a de baixo com cuidado aqui porque isso é importante porque na hora quando você for parametrizar isso aqui que você já sabe a parametrização que vai ser o raio cosseno ter e o raio sendo ter você tem que dizer a variação de ter e o meu te Aqui varia se coloca aí ó de 0 até pirmeira a volta só de 0 a tep então cuidado com isso

agora você acha que a nossa primeira derivada Vou colocar aqui ó quem é a derivada de cosseno Aí você coloca aqui sendo né então vai ficar menos sendo tão aqui ó sendo aqui a derivada de seno cosseno e agora você vai colocar aqui a norma desse carinho a quem é a norma dele a norma dele é a raiz quadrada de cada um elevado a segunda potência esse a segunda mais esse outro vem que elevado a segunda potência Então nesse esquema aí ó a isso aqui você já tá safo aqui na aula de hoje aqui vai

dar 25 sendo a segunda 25 cos e na segunda coloca o 25 em evidência E aí vai aparecer aqui sendo a segunda mas cosseno a segunda que você dá um pulo e diz fórmula fundamental esse valor aqui não de um ano e aí 25 vezes um e 25 e a raiz quadrada de 25 da 5:00 só que esse cara aqui é a derivada de e em relação a pe que é o 5 e aí você tem que dss-5 de te e agora você vai para massa Poxa eu quero saber a minha massa a massa vai

ser a interel da minha função no caso a minha função aqui é a densidade que já deu Aqui ó a densidade em cada. X e y é dado por esse cara aqui então aqui eu vou colocar logo aqui ó 10 - e y vezes aqui ó DS ao longo da curva cê só que você agora vai transformar em uma integral de uma variável variável ter então aqui você tem que a massa será a integral de 10 - o valor do Y que eu tenho o valor do isso não está aqui ó valor do x e

y 5 sendo ter se coloca aqui ó 5 sendo ter e no lugar DDS coloque cinco de te sim de te variando aqui ó o meu te ele varia de 0 até pe viu a importância lá de 0 a tep aqui você pode fazer a multiplicação se quiser E aí vai colocar o seguinte ajuda logo aqui vou colocar a nossa primitiva você me ajuda esse cinco sai também se você quiser vai ficar assim logo fazer cinco vezes 1050 aqui só que aí vai ficar a primitiva de 50 em relação ats é 50 te legal aqui

vai ficar 25 e a primitiva de menos seno e cosseno então vai ficar 25 cosseno ter e na variação na variação de 0 até p agora você substitui o máximo menos o mínimo então a minha massa Coloque aqui ó a massa vai ficar 50 vezes pe mas 25 cosseno de Pi ou dessa maneira aqui ó menos aí eu vou jogar agora o zero Quando você joga o zero vai ficar 50 vezes zero e aqui 25 vezes cosseno de 0 bom Então olha aí direitinho deixa separar aqui só para ficar bem organizado para que você Não

misture as coisas aí ó também aqui a separar aqui vamos anotar informação aqui importante Quem foi a massa enquanto você tá copiando Aí o tio está organizando aqui para você entender Essa paradinha aqui agora é importante você anotar depois a nota tenta fazer aí sem estar a observando a resolução só de memória aqui ó 50 x 100 então aqui ó zerote e não esqueça cosseno de 0 é um E aí 25 vezes são as 25 e aqui você tem óleo Vamos colocar logo esse também cosseno de pia menos um então aqui vai ficar menos 25

e aqui menos 25 então acabou a nossa massa aí ó será 50 PE ou menos aqui - 25 - 25 - 50 aqui você coloca unidade de massa se o seu professor pedisse para utilizar um valor aproximado olha utilize pi 3,14 aí você joga aqui 50x 3,14 menos 50 você vai fazer aí e vai encontrar um valor aí para 3,14 essa massa é aproximadamente 107 unidade de massa quer saber mais sobre entregar o dininho suas aplicações te espero na próxima aula rapidola Epa não vai embora tô aqui escondido gostou da aula que é macho conteúdo

então assista nossa próxima aula aqui e sempre divulgue o canal rapidola e não esqueça Deixe os seus comentários aí aquele seu joinha parceiro te espero a próxima