Olá pessoal sou professor Gustavo adulfo bom na nossa última aula nós começamos a estudar aí o conceito de função e nós definimos uma função como uma regra né ou conjunto de instruções que diz Como associar a cada elemento de um conjunto um único elemento de um outro conjunto então Dad dois conjuntos x e y uma função f de x e y é uma regra do conjunto de instruções que diz Como associar a cada elemento de X um único elemento de y onde nosso conjunto X Ele é o domínio da função e o conjunto Y é
o contradomínio da função então nós vimos isso na nossa última aula bom dando prosseguimento ao nosso conteúdo Vamos estudar agora as funções injetiva sobrejetiva e bijetiva são três classificações que uma função ela pode ter bem então vejamos aqui e uma função injetiva uma f de x em Y então nós dizemos que ela é injetiva quando diferentes elementos em x estão Associados a diferentes elementos em Y Então veja bem então que a gente pode escrever é o seguinte nós temos uma função f é injetiva se só se dados X1 e X2 pertencente a x com X1
diferente de X2 implica que fx1 é diferente da fx2 então nós temos isso ou seja expressando isso aqui com palavras nós temos o seguinte se nós tomarmos dois elementos diferent do domínio nós teremos o quê nós teremos duas imagens diferentes pela contrapositiva dizer isso é o mesmo que dizer o quê é o mesmo que dizer isso aqui ó se essas duas imagens são iguais e significa que essas imagens que esses elementos são o mesmo Tá certo então isso é que a definição de uma função injetiva bom vejamos o seguinte exemplo então aqui ó uma função
S que associa de naturais a naturais ou seja o domínio é o conjunto dos números naturais e o contradomínio também onde a cada elemento ou seja cada número natural nós temos Associados a ele é quem n + 1 um ou seja nós temos associado ele o seu sucessor Então observa aqui comigo o sucessor do zero quem é o sucessor do zero é um o sucessor do um quem é sucessor do um é o do assim como do dois é o trê do Três É o 4 e assim sucessivamente repare que cada número ele possui um
único sucessor e mais do que isso cada sucessor ele é associado também a um único número você não tem né um número sendo sucessor de mais de um número natural perfeito Então essa função ela é uma função injetiva por quê Porque para cada dois elementos do domínio nós temos sempre o quê duas imagens diferentes não importa qual par de elementos do domínio a gente tome Tá legal bom Então observa comigo agora aqui quando é que a gente diz que uma função ela é sobrejetiva uma função ela é sobrejetiva quando para qualquer elemento do contradomínio esse
elemento do contradomínio ele é uma imagem de pelo menos um elemento do domínio então uma função sobrejetiva é isso repare comigo aqui em uma biblioteca todos os livros são catalogados pelo título além de outros identificadores e há títulos com mais de um exemplar a função f cujo domínio é o conjunto de todos os exemplares da biblioteca e o contradomínio é o conjunto dos títulos catalogados eh dos livros catalogados nessa biblioteca essa função ela sobrejetiva por quê Porque o problema Diz que para esses títulos nós temos pelo menos um exemplar correto então todos os no caso
aqui eu marquei apenas três mas poderia ser vários então para todo elemento do contradomínio ele é imagem de quem de pelo menos um elemento do domínio repare que essa função ela é sobrejetiva por quê Porque todos os elementos contra domínio são imagem de pelo menos o elemento domínio porém essa função ela não é injetiva por que que ela não é injetiva por quê Porque como nós temos mais um exemplar para alguns títulos existe alguns títulos que tem mais de um exemplar então nós por exemplo esse par de elementos do domínio eles são dois exemplares referentes
a quem referentes ao mesmo título assim como esses dois aqui são referentes ao mesmo título então nós temos nessa situação dois elementos do domínio que possuem o quê que possuem a mesma imagem logo essa função ela é uma função sobrejetiva porém ela não é uma função injetiva pode acontecer de uma função ser injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo sim quando isso acontece nós dizemos que ela é uma função bijetiva que é o que nós vamos definir agora bem então nós temos o seguinte nós temos que uma função f Dex e y ela é chamada de
bijetiva quando o quê quando ela é simultaneamente ou seja ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva certo um exemplo de função objetiva é uma função que a gente chama de função identidade né que é uma função f de x em x onde para cada x a gente tem associado o seu próprio elemento seja a eles quais forem Então como para cada elemento é imagem de se mesmo nós temos o quê Nós temos que ela é injetiva porque nós para dados dois elementos diferentes vai possuir uma única imagem e ela é sobrejetiva também porque todos os elementos
de contradomínio serão imagem de si mesmo no domínio Então como ela é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo nós nós temos que essa função ela classificada como betiva no exemplo do nosso início da nossa aula né no caso n do sucessor repare que essa função ela é injetiva porém ela não é sobrejetiva por que a razão que ela não é sobrejetiva porque no conjunto dos naturais o zero ele não é sucessor de ninguém então como zero não é sucessor de ninguém então basta ter um elemento do contradomínio não ser imagem do elemento do domínio para
que a função não seja sobrejetiva Então nesse caso nós temos que a função é injetiva como nós nós vimos no início da aula e ela não é sobrejetiva então essa função ela é exclusivamente injetiva o que faz com que ela não seja objetiva perfeito bom vejamos agora a seguinte situação seguinte problema e Patrícia no sua escola e acabou de conhecer três meninas Alex Andra cujo signo é áries Beatriz cujo signo é virgem e Carolina cujo signo é leão Considerando o conjunto A formado por pelas novas colegas de Patrícia e b o conjunto dos 12 SOS
zodio classifi em verdadeiro ou falso bom então aqui na nossa função essa função de a em B essa função ela tá associando a cada uma das amigas o seu respectivo signo então a gente quer saber se ela é injetiva sobrejetiva ou os dois né Então quer ver se é verdadeira ou falsa bom repara comigo uma coisa nós temos aqui Conjunto das amigas que é Alexandra Beatriz e Carolina e nós temos o conjunto dos 12 signos chamados de b então a tem aqui áres touro etc quatro os 12 signos bom nós temos que Alexandre ela é
signo dela é áries Perfeito nós temos que a Beatriz o signo dela é virgem e a Carolina o signo dela é leão Então essa função Ela É injetiva sim por qu porque para cada uma das novas Patrícia nós temos o quê uma única imagem já que os signos das Tom das três são diferentes entre si agora essa função isso aqui é verdadeiro agora essa função ela é sobrejetiva não por quê Porque nós temos 12 signos então touro gêmeos Sagitário capricórnio aquários peixes todos esses não S imagem de nenhum elemento desse domínio então sendo assim essa
função ela não é sobrejetiva logo ela é o quê exclusivamente injetiva Então se ela é exclusivamente injetiva automaticamente ela não pode ser o quê Ela não pode ser objetiva também então para essa função que associa a cada colega de da cada nova colega da Patrícia o seu respectivo signo nós temos que essa função ela é apenas injetiva e não sobrejetiva Então dessa maneira a gente encerra a nossa aula de hoje
