ЭЙЛЕР. Грандиозное математическое наследие

О Леонарде Эйлере мы наслышаны, все  знают его формулу и тождество из анализа, соотношение для многогранников. Правда,  звали его не Леонард и даже не Ойлер. В его работах нет самого красивого тождества да  и общая формула не совсем его.

За 100 лет до нашего героя Декарт приходит вот к такому  равенству. Ничего не напоминает? При этом мы не сомневаемся, что Леонард Эйлер  — величайший из математиков.

Почему? Знаете ли вы, как Эйлер доказывал теорему об  одноименной прямой и как звучит его цитата об экстремумах в полной версии? Как он оказался в  Российской империи и какую байку рассказывал о нем Пушкин?

Как он ошибался или хитрил, пуская  вперед интуицию, а позже добивался строгости? Попробуем разобраться, чем удивителен этот  основоположник анализа и универсальный ученый. Эйлера нельзя назвать русским математиком, он  родился в Швейцарском Базеле в семье пастора.

И сохранил привычки этих мест, протестантские  традиции. Но он работал в Санкт-Петербурге 14 лет, затем в Берлине четверть века, а потом еще 17 лет  в Петербурге. Он не просто опубликовал здесь сотни своих исследований, статей и книг, но зародил  математическую школу, выполнял практические задачи, был у истоков Российской академии наук. 

Личных потрясений на его жизнь выпало немало, а отечественная история дает понять, как жилось  в те годы. Однажды на приеме в Берлине королева с упреком спросила его: «Отчего это вы  не желаете со мной говорить? ».

Ответ был: «Простите, Государыня, отвык. Я приехал из  страны, где за лишнее слово могут повестить». Сейчас математика опережает приложения на сотни  лет.

В те годы она отставала. Важнейшее значение имел флот, навигация. В Парижской академии  проводят ежегодный конкурс: на повестке решение задачи об оптимальном расположении  мачт.

19-летний Леонард участвует в нем, хотя отродясь не видел настоящий фрегат. Не становится  лауреатом, но получает почетный отзыв, его работу печатют. Впоследствии Эйлер примет вызов еще 14  раз, дюжина из которых увенчаются победой.

А пока даже диссертация не помогает получить кафедру  в Базельском университете то ли из-за юного возраста, то ли из-за случайной жеребьевки. Но  именно эта неудача позволила ему покинуть родные края и заняться чистой математикой в Петербургской  академии наук, указ об учреждении которой отдал еще Петр I. В заметке 1735 года Эйлер решает  знаменитую задачу о сумме ряда обратных квадратов, которая в дальнейшем приведет к новым  исследованиям.

В 36-м управился с, казалось бы, шутливой задачей о Кенигсбергских мостах. Можно ли  пройти по каждому из них единожды? Ответ не важен, важны сами рассуждения!

Эйлер невзначай открывает  теорию графов; и тут же появляется термин Эйлеров цикл. Но чаще приходится решать прикладные  задачи. Мелкие: в духе прогноза погоды, проектирования иллюминаций и потешных огней. 

И более серьезные: прогноз астрономических явлений и составление лендкарт. Можно найти  первый атлас Российской империи 1745 года и Эйлера среди авторов. Задача отображения сферы на  плоскость сложнее, чем кажется на первый взгляд.

Однажды академии поручили срочное  правительственное задание, на которое, по оценкам ученых, требовалось три  месяца. Эйлер вызвался выполнить работу за три дня. И справился.

Но дорого поплатился.  Переутомление вызвало воспаление мозга. Эйлер, которому шел еще только третий десяток,  навсегда лешился зрения на правом глазу.

Позже флот еще раз сыграет важную роль в  жизни Эйлера и в развитии математики. Кто может точно определить координаты своего судна,  имеет преимущество. Не в первый раз прогресс упирается в ограниченность научных знаний. 

Проблема сводится к задаче о движении трех тел, в которой ошибся даже Ньютон. Нельзя сказать,  что Эйлер дал ее исчерпывающее решение. Но он нашел численные методы, на основе которых  последователи создали необходимые таблицы.

Пожалуй, только один раз Эйлер уклонился от  государственных поручений, и это забавная история. Пушкин пишет, что императрица повелела  составить новорожденному Иоанну Антоновичу гороскоп. Астрологи, как настоящие немцы, все  сделали аккуратно, но полученные предсказания испугали их самих.

Как вы догадываетесь, этими  астролагами по преданию были Леонард и Эйлер. В действительности же было иначе. Скорее всего  Эйлер тактично делегировал это поручение.

Кстати, фамилию нашего героя во всем мире  принято читать как Ойлер, но есть нюансы: такое произношение правильно по современным  немецким нормам. Базельский диалект 300-летней давности был иным. Возможно, истина где-то  рядом.

А вот звали его при жизни точно не Леонард. Скорее Леонхард. Можно найти учебник  18 столетия, переведенный на русский язык, в заголовке которого красуется Леонгард.

Написание  учебных пособий, в том числе по элементарной арифметике для гимназий, — еще одна обязанность  математической секции академии. Хотя главные учебники Эйлера на русском языке — введение в  анализ бесконечных и интегральное исчисление. В других трудах Эйлер сформировал вариационное  исчисление, подарив даже название этому разделу.

Уместно дать обещанную цитату. «Действительно,  так как здание всего мира совершенно и возведено премудрым Творцом. .

. », — вот оно  пропущенное начало необходимости экстремума. Теологическая точка зрения.

Дифференциальные же уравнения, которые он получил, и методы, которыми их решил, оказались  универсальными и применялись в иных областях. И если вторым открытием мы назовем теорию графов,  то третьим — топологию. Возьмем многогранник, топологически эквивалентный сфере.

Теорема  Эйлера связывает количества его вершин, ребер и граней. Эйлер сначала не смог доказать это  соотношение, проверив теорему для любых пирамид, призм, правильных многогранников и некоторых  составных. «Нет никакого сомнения, что оно имеет место для любых тел», — писал он и ошибся. 

Позже Эйлер заменил доверие частным случаям доказательством теоремы для любых выпуклых  многогранников. И хотя сам факт в ином виде появился задолго до Эйлера, а обобщение — после  него, фундамент топологии был заложен в те дни. Похожая история с Базельской проблемой.

Помните,  мы ее решали? Как и Эйлер, опирались на разложение синуса в бесконечное произведение. Но оно в те  годы не было доказано.

Иоганн и Даниил Бернулли указали Эйлеру на промах, и тот согласился.  Но какова должна быть интуиция, чтобы заметить сходимость бесконечного произведения? Причем не  только этого, в работах Эйлера можно найти более общие утверждения.

Позже он смог математически  строго вычислить сумму ряда обратных квадратов. Мы упомянули Бернулли. Судьба Эйлера тесно  переплеталась с известной в науке базельской семьей.

В детстве Эйлер по настоянию отца  изучал философию, богословие и восточные языки, но истинная тяга появилась к математике. Это  заметил Иоган Бернулли. Он стал давать юному Леонарду частные уроки.

Как думаете, сколько раз  в неделю они занимались и какие задачи решали? Леонард встречался с профессором раз в неделю  по субботам, и они обсуждали только вопросы, вызывавшие трудности при самостоятельом изучении.  Четверть века спустя уже Иоганн Бернулли, учитель, будет обращаться к Эйлеру, своему ученику,  интересоваться его мнением о новых работах, дискутировать о значении комплексного логарифма  от минус единицы.

Знаменитая последовательность чисел Бернулли неожиданно проявилась в  задачах, которыми занимался Эйлер. Братья Бернулли Даниил и Николай выхлопотали место  Эйлеру в Петербурге: все они были большие друзья. С первым из них Леонард Эйлер еще долго  по-доброму соперничал и переписывался, второй, к несчастью, стал жертвой  Петербугского климата: умер от болезни.

Каким был Эйлер в жизни? Его описывают как  жизнерадостного, чуткого, отзывчивого. Но по другим фактам ясно, что дружеской беседе он с  радостью предпочел бы кабинетную работу и занятия математикой.

Придворная жизнь его не интересовала.  Во время театральных представлений он был увлечен рассчетами. По этому поводу даже Фридрих II,  пригласивший Эйлера в Берлинскую академию, шутит над ученым.

Известнейший математик Европы ведет  себя скромно, он остается религиозным, никогда не ставит себя выше других, а, напротив, ПРОИЗВОДИТ  приятное впечатление на собеседников своей простотой. Позднее Эйлер писал, что для молодого  ученого необходимо, чтобы его специальность «была у него главным предметом, и он не <. .

. >  отрывался от нее никакими другими занятиями». Есть одно развлечение, которое приводило Эйлера в  восторг и вызывало детский смех — кукольный театр.

В Берлинский период Эйлер не прерывал связей  с Россией, посылал огромное количество работ для публикаций, и разве что рассердился  на Ломоносова за одну его бестактность. В качестве благодарности русские войска разрушили  имение Эйлера в Шарлоттенбурге. Шучу.

Имение действительно разрушили во время Cемилетней  войны. Но как только фельдмаршл Салтыков узнал имя владельца, повелел возместить ущерб; и  сама Елизавета добавила к этому огромную сумму. Кроме математики, Эйлеру довелось заниматься  медициной, географией, механикой, философией, языками, астрономией, морской наукой,  физикой, ему поручали чеканку монет, водоснабжение, организацию  пенсионного обеспечения.

Он обладал феноминальной памятью и счетными  способностями, знал наизусть «Энеиду». Его привлекали даже пустяковые с  виду сюжеты. Задача о ходе коня, с которой он блестяще справился, больше напоминает  головомку, и уж точно ей является составление магического квадрата.

Кстати, как думаете,  какое сочинение Эйлера самое популярное? Может учебник анализа? Или трактат о движении луны?

В письме к конференц-секретарю Эйлер уточняет, что из 500 экземпляров «Дифференциального исчисления»  разошлось лишь 100; на «Теорию движения твердого тела» с трудом нашли 12 подписчиков. Мир  не меняется. Но был у него и бестселер, доступный широкой аудитории.

«Письма к принцессе».  Это научно-популярное изложение вопросов физики, астрономии и философии. Они были адресованы  конкретной особе как разумное и доброе напутствие, но Эйлер писал для всех людей разом:  эпистолярный жанр был естественным для XVIII столетия.

Хотя письма были опубликованы  анонимно, современники знали, кто автор. Геометрические работы лишь 20-ая часть  трудов Эйлера, да и предпочтение он отдавал не классической планиметрии, а кривым второго,  третьего порядков и более общим, поверхностям, сферической геометрии, аналитическим методам. Один  из самых красивых фактов планиметрии он обнаружил, вычислив координаты точек.

Родственная  окружность и еще одна формула также по справедливости называются в честь Эйлера.  Можно сказать, что он написал первый учебник по аналитической геометрии. Первым рассмотрел  афинные преобразования и ввел этот термин, сделал шаги к дифференциальной геометрии. 

Также уместно вспомнить и углы Эйлера. От Гольдбаха, который тоже служил в Петербургской  академии наук, он узнал известную сейчас гипотезу о разложении чисел на суммы простых, а еще  о многих задачах Пьера Ферма. Французский математик полагал, что все числа следующего вида  простые.

Эйлер сумел опровергнуть эту гипотезу. Выручили счетные способности? Не в этот раз. 

Сначала он осознал, что если делители существуют, то имеют специальный вид, а дальше все просто.  Эйлер не только доказывает малую теорему Ферма, но и обобщает ее. Связывает производящую функцию  числа разбиений с бесконечным произведением.

Интерес к простым числам останется на долгие годы. Перечислить все результаты Эйлера в математическом анализе и аналитической теории чисел не получится.  Но начнем с того, что он не делал.

Он никогда не подставлял в известную формулу аргумент  п, дабы показать красивый частный случай. История тождества такова. Роджер Коутс, ученик и  соратник Ньютона, работая с эллипсоидом вращения, получает связь круговой и логарифмической функций,  которую в современных обозначениях он отразил так.

Он же первым отмечает удивительную гармонию  формулы. Иоганн Бернулли близок к знаменитому результату. Он начинает с незатейливого равенства,  далее путем интегрирования и других преобразований приходит вплотную к известному соотношению. 

Эйлер же, изучив работу Коутса, подметил связь интегралов посредством мнимой подстановки. Он  также вывел формулу дуги, эквивалентную привычной формуле. Поставил точку в споре о натуральном  логарифме минус единицы.

В его статьях и книгах можно заметить равенство, в котором, привыкнув к  обозначениям, каждый признает формулу Эйлера. В XX веке Ричард Фейнман называет формулу Эйлера  «самой примечательной формулой в математике», «объединением алгебры и геометрии». В начале XIX  века были найдены работы французских математиков с тождеством, которое сравнимо с гамлетовским  вопросом, «быть или не быть?

» По опросу читателей известного математического журнала  тождество назовут самым красивым в математике. Кстати, насчет обозначений. Эйлер в поздних  работах дает современную нотацию для мнимой единицы, числа пи и е, значения функции в  точке и не только.

Число e иногда называют числом Эйлера. А знаете, что такое константа  Эйлера? Сейчас мы ее обозначаем буквой гамма.

Она фиксирует разность гармонического ряда и  натурального логарифма в предельном случае. История с комплексной экспонентной  характерная. Можно сказать, что Эйлер систематизировал наработки предшественников и  добавил много нового.

Особенно примечательны обощения функций, бесконечные ряды. Он первым  исследовал дзета-функцию, тесно связанную с проблемой тысячелетия, заметил симметрию, вычислил  отдельные значения. Не обделил вниманием обобщения биномиальных коэффициентов и факториала, прийдя к  бета- и гамма-функциям соответственно.

Придумать специальную функцию несложно. Но Эйлер, словно  обладая даром предвидения, подарил соотношения, которые стали опорными в современной теории чисел  и математической физике. В самых разных задачах алгебры, топологии, геометрии мистическим  образом появляется дилогарифм.

Эйлер знал о замечательных свойствах этой функции сотни  лет назад. Это мы и называем гениальным. В 1766 году у Эйлера образуется катаракта  левого глаза, и он полностью теряет зрение.

Как и другие невзгоды, семейные потери, он  принимает это и продолжает путь. Благодаря Екатерине второй в Санкт-Петербург прибывает  известный немецкий окулист барон Вентцель. После осмотра он согласился сделать операцию.

Эйлер  снова стал видеть. Это был настоящий праздник, для XVIII столетия сравнимый с чудом. Врач  предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать — лишь постепенно привыкать к  новому состоянию.

Однако Эйлер снял повязку раньше положенного, и, увы, потерял зрение окончательно. Он проживет еще 17 лет, но не как немощный старик, а как настоящий ученый, у которого стало чуть  больше времени на занятия математикой. Он приноровился писать мелом на большой грифельной  доске математические выкладки, которые вместе со словесными комментариями секретари и ученики  Эйлера переносили на бумагу.

Мало выпало бед, случится пожар: сгорит дом, который Эйлер знал на  ощупь во всех деталях. Но рукописи — сохранятся, а математик привыкнет к новым комнатам. Серьезных  работ в этот период было создано не меньше, чем в прошлые годы.

И даже в день смерти Леонард  Эйлер вел беседу о недавно открытой планете. Рукописи Эйлера публиковали еще многие годы  после смерти. А в Петербурге до сих пор живут его потомки.

Эйлер предпочитал учить,  а не изумлять; и был щедр на признания, как он пришел к тому или иному открытию,  не ограничиваясь сухим доказательством. Ошибался ли Эйлер в своих гипотезах и работах? Да.

Решал ли он прблемы терпеливым счетом  и аккуратными преобразованиями. Бывало. Все ли теоремы, что приписывают Эйлеру, он  открыл первым?

Нет. Почему же мы считаем его выдающимся математиком? Порою в качестве аргумента  приводят объем его сочинений.

Почти 100 томов, десятки тысяч страниц, это больше, чем  кто бы то ни было. Весомый ли это довод? Может важнее, что заметив ошибку, Эйлер ее  признавал и старался устранить.

Его счет, порою выполняемый в уме, сопоставим с компьютерным,  и он сделал это своей сильной стороной, ровно как и аналитический подход к вопросам  физики и геометрии. Бывают ученые, которые прокладывают свой путь в науку по головам. Эйлер,  напротив иногда придерживал свои результаты, чтобы дать дорогу молодым.

Посредством  переписки он, хотя и не стремился к тому, стал центром мировой математики своего  времени. Изобретательность и смелость, которые он проявил в анализе, подарили нам  по-настоящему значимые результаты. И можно только порадоваться, что благодаря упорнуму труду Эйлера  в течение всей жизни, нам есть, из чего выбирать.