Fundamentos da Matemática Elementar - Inequações de 1º e 2º graus - Parte I

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula eh aqui nós vamos dar continuidade à discussão sobre resolução né de equações e agora nós vamos pensar um outro momento né enquanto equações nós considerávamos a igualdade né de dois de dois termos né de duas expressões essa comparação pela igualdade agora nós vamos considerar situações e e se não for e se essa expressão for maior que essa ou esta for menor do que essa ou seja nós vamos considerar agora uma outra ideia que é a ideia de desigualdade né para isso vamos começar com uma situação problema

eh que a gente pode descrever dessa maneira então uma pessoa ela dispõe de 120 m de corda para cercar uma região quadrada em um terreno Então é isso ela vai ter se sente 20 m de corda e ela vai cercar uma certa região quadrada com essa corda com essa quantidade aí né Com esse tamanho né esse comprimento de corda Quais as dimensões dessa região quadrada que a pessoa consegue cercar bom pensar assim eu posso cercar uma região inha pequena né posso pegar 120 meu 120 M pegar só uma parte e e cercar ali uma região

quadrada né mas eu posso começar a cercar regiões cada vez maiores sempre formando um quadrado eu só que o que eu não posso eu não posso chegar num num quadrado que falte corda para eu fechar né então como é que eu consigo manipular matematicamente essa situação bom vamos desenhar a nossa área quadrada então é um quadrado não sei as dimensões eu quero saber as dimensões Então vou chamar de X a incógnita x o lado desse quadrado e eu sei que o perímetro né Desse quadrado ele vai ter que ser menor ou igual o tamanho da

minha corda né Pensa bem se esse eu somar né se eu percorrer todo esse meu quadrado e eu não conseguir fechar com a corda né significa que o meu as dimensões né totais aí desse meu quadrado a soma dos lados é maior do que o que eu o tinha de corda Então eu preciso que a soma desses de todos os lados né da do comprimento de todos os lados desse quadrado eles sejam menores ou iguais ao total de corda que eu tenho que é 120 M então eu posso escrever isso matematicamente como qu X por

qu né cada lado é x como é um Eu tenho um quadrado todos os lados são iguais x + x + x + x 4x e isso vai ter que ser menor ou igual a quê a 120 como é que eu resolvo isso a resolução de uma inequação ela é muito e similar a resolução de uma equação então que maneira que eu posso resolver bom se eu tenho 4x eu gostaria que fosse x né para eu obter a resposta do meu problema como eu saio de 4x cheg em x se eu pegar e dividir 4x

por 4 4 di 4 1 Sobra só o x mas assim como numa equação eu não posso fazer isso só de um lado eu preciso também fazer do outro então eu vou dividir ambos os lados dessa minha inequação agora por 4 bom 4 di 4 vai dar x 4x di 4 vai dar X e 120 divid por 4 30 ou seja esse a dimensão do meu do meu quadrado ela tem que ser menor ou igual a 30 para que eu possa cercar com esses meus 120 m de corda né e a gente pode pensar isso

se for 30 exatamente 30 Bom 30 + 30 + 30 + 30 120 vou conseguir fechar certinho se for 20 bom 20 + 20 40 mais 20 60 mais 20 80 só que eu tenho 120 M consigo né com 120 M eu consigo fechar E sobra um pouquinho então é isso isso que essa é a interpretação que a gente pode dar para esse para esse problema e qual seria o conjunto verdade né A exemplo da nossas equações a gente também pode pensar o conjunto verdade de uma inequação n nesse caso pensar todos os valores de

x que sejam menor ou igual a 30 percebe que na equação nós tínhamos na equação de primeiro grau um valor que respondia equação de segundo grau nós podíamos ter até dois valores que respondiam né podia ser dois podia ser um podia ser nenhum né como a gente percebeu se o discriminante fosse zero Eh agora Aqui nós temos um intervalo de números que funcionam funciona o 30 funciona o 20 funciona o 20,5 funciona então todo número x menor do que o 30 ele responde ele torna verdadeira essa minha desigualdade agora então o conjunto verdade é para

todo x pertencente aos reais Tais que x seja menor ou igual a 30 e aí vem os de novo aquele cuidado com o contexto matematicamente essa é uma resposta adequada para a inequação 4x menor iG 120 mas não é tão adequado se eu pensar no meu problema original contextualizado por se eu falei que é todo mundo menor que 30 eu tô incluindo quem aqui tô incluindo os números negativos me interessa o número negativo como medida não então Eu precisaria pensando no contexto do meu problema excluir os números negativos dessa minha solução mas ainda e o

zero também faz parte né o zero é menor ou igual a 30 mas se eu zero um quadrado de dimensão zero também não faz sentido né aqui então acho que também é legal a gente excluir o zero da nossa resposta então no contexto né lembrando isso frisando isso no contexto do nosso problema um conjunto verdade é o qu todo x que é real que pertence aos números reais Tais que o X Ele está em 0 e 30 vendo aqui o seguinte o zer não está incluo nesse meu intervalo já o 30 está incluo por ISO

a gente tem o símbolo dis só menor aqui significa que o zer não está aqui e aqui eu tenho menor igual significando que o 30 faz parte desse intervalo enquanto zer não faz termos de definição O que que é uma inequação de primeiro grau uma inequação na incógnita x por exemplo porque é equivalente a alguma formulação dessas ou seja um AX menor que B AX maior que B maior ou igual a B menor ou igual a B pensando que A e B são números reais e na mesma discussão na mesma linha que já tivemos na

definição sobre equações o a também tem que ser diferente de zero agora vamos pensar um pouquinho o que acontece com na né com essas desigualdades quando a gente soma né valores dos dois lados quando a gente subtrai valores dos dois lados das igualdad quando multiplicamos dividimos valores dos dois lados da desigualdade bom eh nós vamos estudar aqui um caso que é para um a um azinho aqui qualquer escolh um número real A tá e colocamos esse número real a na reta dos números reais o que significa um X uma variável aí x né um X

que seja maior do que a significa todo x nessa reta aqui está aqui pra frente maior ou igual né então o a faz parte por conta desse igual e todo x que está aqui à direita dele que seria o menor ou igual ao a bom Opa gente agora voltando menor ou igual ao a seria o quê considera o a né E todos x que está à esquerda de a mesma coisa para maior e menor que a só que aqui nós temos que tomar esse cuidado como eu falei só maior que a o a não faz

parte então você percebe aqui ó aqui esse azinho está em aberto ele não foi preenchido para mostrar que o a não faz parte desse intervalo se for menor bom mesma coisa pro lado esquerdo da minha desigualdade sem considerar o a bom E se eu começar a somar coisas né então tenho x ma igual a a por exemplo que aconteceria se eu fizesse x mais alguma coisa maior ou igual a a mais alguma coisa será que esse maior ou igual se mantém não se mantém o que que acontece né é igual a equação não é igual

Então vamos pensar assim mantemos aquele nosso azinho na reta vou somar mais um número k e número k real também e o que ocorre aqui é um deslocamento né se eu tenho a e eu somo um número K eu desloco o a + k é só um deslocamento um pouquinho pra direita se eu somei esse k de um lado eu somo esse k do outro o que ocorre é que a essa desigualdade o maior é igual ele se mantém né a gente pode olhar pela pelo lado Pintadinho aqui demarcado né O que seria o x+

k ele continua sendo os valores à direita como eu falei maior ou igual incluindo o tal do a mais k e se eu subtraí k o que acontece agora é que eu desloco pra esquerda né eu ando PR esquerda k unidades a partir do do a e o x- k continua sendo nesse caso né do maior ou igual todo esse trecho pintado aqui eu só desloquei né de um lado pro outro mas o sinal da desigualdade se mantém igual se mantém eh o mesmo né não se altera eh a gente fez aqui pro caso de

maior ou igual né se eu somar ou subtrair um valor dos dois lados da desigualdade Mas você pode experimentar fazer esse exercício também em casa o que aconteceria com o sinal da desigualdade se fosse maior só aqui que o que o meu a + k que fosse menor fosse menor ou igual a ideia é essa você vai chegar à conclusão né o spoiler aqui a conclusão de que o o sinal da né da desigualdade ele não se altera ele vai permanecer Mas é interessante fazer né esse seguir esse raciocínio similar né pensando em reta numérica

e pensando nos intervalos né que intervalo corresponde a algo né maior menor que o meu a ali depois meu a mais k a men k e assim por diante agora nós vamos pensar pensamos o que acontece quando soma né quando subtrai o que acontece quando a gente multiplica aí é que vai dar uma mudancinha no no nossa história se eu multiplicar Eu tenho um número a na minha reta real multipliquei por K então eu vou ter esse valor aqui que é o a e vezes k o que seria um k ve nesse caso a gente

tá Considerando o maior ou igual então o k maior ou igual que o x vai ser todo esse esse essa parte que tá aqui Pintadinha em amarelo um pouquinho mais para cá deu uma deslocadas a partir do a ve k até Em Diante O que tá Pintadinho aí de k x x no caso da de eu multiplicar por um número negativo aí é que muda as coisas se eu multiplicar x os dois lados da minha desigualdade por um número negativo eu inverto a desigualdade eu não estou mais trabalhando né para lado de cá né no

nosso exemplo lado direito da desigualdade Mas eu estou trabalhando agora do lado esquerdo eu inverti a desigualdade né então isso é algo que é importante ficar na nossa cabeça sempre que eu multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo eu inverto as desigualdades se eu tenho maior ou igual eu vou ter menor ou igual se eu tenho maior vou ter menor e assim por diante né Então vamos pensar aqui dois exemplos práticos né para ver de fato como isso ocorre né para ver que isso na verdade é mais simples até do que

parece bom primeiro exemplo é o 5x + 1 menor que zero e como é que a gente vai resolver isso vamos pensar com a mesma raciocínio a mesma lógica das equações gostaria que aparecesse em um dos lados da minha inequação algo como x somente e do outro um valor Aí eu respondo a minha né chego à solução que eu queria como é que faço isso primeiro Vamos acabar com esse um que está aqui do lado esquerdo da minha inequação como eu faço isso posso somar -1 Em ambos os lados somar ou subtrair de ambos os

lados de uma inequação a gente viu que não altera o sinal Então nós vamos ter o seguinte 5x menor do que 0 - 1 - 1 como é que a gente faz agora eu queria que aparecesse x menor a alguma coisa não 5x então a boa ideia é o quê dividir os dois lados por 5 novamente se eu dividir ou multiplicar por um número positivo não altera o meu sinal da desigualdade Então como é que a gente ficaria 5x di 5 vai dar x e -1 div 5 Men 1/5 não altera né o sinal ficou

X Men que - 1/5 então qual seria o conjunto verdade todo x pertencente aos reais tal que x seja menor do que - 1/5 e o outro lado vamos pensar esse outro exemplo vamos seguir o mesma a mesma lógica né - x+ 3 maior que 1 como é que a gente faz para sumir com esse três vamos subtrair três dos dois lados não altera o sinal então - x + 3 - 3 vai dar - x maior ou igual a 1 - 3 1 - 3 - 2 e como eu faço agora eu não quero

- x ser maior ou igual que alguma coisa eu quero que x seja maior ou igual menor eu quero isolar X em um dos lados da minha inequação que que eu posso fazer posso pensar em multiplicar ambos os lados por -1 menos com menos vai dar mais ou mesma coisa dividir ambos os lados por -1 mesma coisa só que quando eu multiplico ou divido numa inequação ambos os lados por um número negativo eu inverto o sinal então o que que eu teria - x x -1 menos com menos mais deu x -2 x -1 2

só que agora não tenho mais o você pode perceber aqui maior ou igual eu inverti o sinal fiquei como menor ou igual Então qual solução dessa minha equação são x todosos pertencentes aos números reais Tais que x sejam menores ou iguais a 2 Vamos pensar aqui uma outra uma outra situação de inequações uma situação problema que a vai resolver com uma inequação dupla E então vamos lá em uma disciplina que não é a nossa Espero que não é a nossa com o professor aqui não é tão louco assim mas em uma disciplina as notas variam

entre 0 e 100 a nota final de um estudante será calculada Pela expressão 10x - 5 so 2 onde X é a nota da última prova realizado bom para poder realizar a prova de exame a nota né de certo estudante ela vai precisar ser no mínimo 50 e no máximo 70 então se a nota final ficou como 55 esse aluno vai para exame né se ficou com mais né deu 80 a nota final ótimo ele não tá nesse intervalo de quem vai para exame bom qual é a nota que ele deve tirar a nota x

né que ele deve tirar nessa última prova para ir para exame né que notas ele pode tirar e a gente chamou de X nessa prova final de modo que ele vá para exame como é que a gente pode escrever isso bom a gente disse que a expressão que calcula a nota final do estudante é essa 10x - 5 so 2 eh Se ele tirar 50 até 60 incluídos esses valores ele vai para exame então eu posso tá uma equação com esse formato né a nota final ela vai ser aqui maior ou igual a 50 ao

mesmo tempo que ela é menor ou igual a 70 eu preciso que a minha nota final esteja ali exatamente nesse intervalo entre 50 e 70 inclusos os 50 e oos 70 eh como é que a gente resolve isso exatamente Como resolvemos anteriormente só que é como se nós vamos nós estivéssemos resolvendo duas equações ao mesmo tempo então tudo que eu fizer em um dos lados da equação eu preciso fazer nos outros dois lados dessa inequação e podíamos resolver separadamente podíamos mas resolver dessa maneira é bastante interessante também economiza tempo né economiza esforço né Na hora

de resolver um problema eh então o que que a gente pode fazer para acabar com aquele denominador 2 eu posso multiplicar por 2 se eu multipliquei esse termo que está aqui no meio por 2is significa que eu tenho que multiplicar cada um dos outros lados da minha inequação também por dois então 2 x 50 100 menor ou igual a 10x - 5 menor ou igual a 2 x 70 140 ótimo agora eu gostaria de tirar esse -5 como é que eu faço para eliminar esse Men 5 se eu somar 5 na no meu termo aqui

do meio se eu somar 5 aqui -5 + 5 corta vai dar só o 10x legal mas eu preciso fazer proos dois lados também então vou precisar fazer 100 + 5 105 10x e 140 + 5 145 tô quase lá quase chegando ao final só que eu preciso de x menor ou igual maior ou igual a alguma coisa não 10x como é que eu elimino esse 10x se eu dividir ambos os todos os lados por 10 10 é um número positivo dividi multipliquei por número positivo não altera o sinal da minha inequação então vai se

manter os sinais da maneira como estão dividindo todo mundo por 10 nós temos 105 di 10 10,5 é menor ou igual a x menor ou igual a 145 dividido por 10 que é 14,5 né Portanto o a nota né que levará esse aluno segundo esses critérios malucos aqui mas que levará esse aluno a ficar de exame é uma nota que está entre 10,5 incluindo 10,5 e 14,5 né eles inclusos bom e nós ficamos por aqui e espero que tenham gostado na próxima aula nós vamos discutir Como resolver inequações porém agora de segundo grau Então até

lá [Música] h [Música]