PAPMEM - Julho de 2023 - Números irracionais envolvendo logaritmos e funções trigonométricas

Bom dia a todos vocês meu nome é Daniel Cordeiro eu sou da Universidade Federal de Campina Grande e é uma satisfação estarmos hoje aqui nessa manhã a minha aula vai versar sobre o números irracionais envolvendo logaritmos e funções trigonométricas os objetivos de nossa aula se identificar alguns números irracionais para a gente compreender melhor a reta real e até certo ponto A aula é uma continuidade da aula de Janeiro do nós trabalhamos com números irracionais mas só que hoje nós vamos dar exemplos de números irracionais utilizando logaritmos e funções trigonométricas não Recordar um pouco algumas partes

que são essenciais para a gente compreender aula de hoje falamos na aula de Janeiro então na aula de Janeiro nós trabalhamos o número de Racionais utilizando a expressão decimal número real e nós vimos que um número é racional se somente se tem uma representação desse mal finita ou infinita periótica hoje nós vamos trabalhar a definição de números racionais uma fração formada por números denominador diferente de zero Essa vai ser a ideia que nós vamos utilizar o conceito a definição número o número é racional diante da nossa definição anterior se ele não for racional ou seja

se ele não der ter escrito como a fração formada por números inteiros com denominador e a ideia é a gente fugir dos exemplos comuns de números irracionais que aparecem sempre no livro raiz de Dois pi é se raiz de dois raiz de 3 pi é que √2 √3 assim por diante esses números eles aparecem comumente nos livros não é nada de errado com isso apenas eu quero que a gente tenha mais exemplos de números irracionais que a gente consiga identificar e o objetivo enriquecer esse conjunto de números irracionais na verdade é uma coisa que é

importante a informar é que o números racionais Eles são um né os irracionais eles são muitos mas a gente nota não é tão simples dá às vezes exemplos deles exemplos de diversificados Com certeza ela precisa de uma conotação matemática mais forte né ela precisa de uma base matemática teórica para a gente compreender o que é isso mas antes até lá nesse momento com intuição Então muitos números racionais e mesmo assim até certo ponto a gente tem dificuldade de identificar exemplos Isso é coisa da Matemática enfim a nossa pergunta permanece Como eu posso dar mais exemplos

de números racionais maneira bastante diversificada olha alguns resultados o nosso objetivo da aula de hoje que a gente vai precisar é alguns resultados sobre números racionais Ou seja a dos dois números racionais ou o universo do número racional Claro não nulo é um número racional o produto de racionais irracionais a soma de números racionais e Racionais ou seja o conjunto dos números racionais ele forma um corpo e quais operações de adição e multiplicação satisfazem Todas aquelas propriedades e as duas operações elas elas merecem possui associabilidade E aí como é que eu uso o número Racionais

para desenhos de números irracionais uma maneira nós utilizamos na aula passada vai ser muito importante a gente relembrar se eu dou um número racional e um número irracional então a soma de um número racional com número racional número irracional o produto de um número racional por um número irracional não nulo E também o número o universo de um número irracional é irracional raiz enésima de qualquer número racional é um número irracional com isso na aula passada isso possibilitou a gente da vários exemplos de números irracionais como esse aí justamente o fim esse outro exemplo também

e exemplos até mais sofisticados como esses aí só que nesses exemplos todos eles possuem raízes em suas expressões fica uma pergunta posso utilizar outros mecanismos outros meios para dar exemplos de números irracionais e é isso justamente que a gente aprende na aula de hoje nos aprender como de exemplos de números irracionais usando o algarismos e usando as funções trigonométricas como encontrar números irracionais nos logaritmos experimentados ele se viam né para auxiliar nos cálculos e o ranqueca ele dizia das leis de queper eles diziam do movimento Planetário e dizer que os logaritmos economizou muito de cálculo

da vida dele E hoje nós vamos ver vamos utilizar o logaritmos para dar exemplos de números irracionais a gente começar só para relembrar os relembrar a definição do logaritmo de um número sejam a IP números positivos a diferentes de 1 eu defino o logaritmo B na base a um número C só que a elevada c l uma curiosidade eu trouxe uma questão do Enem que aparece o logaritmo nos interessa resolver a questão Na verdade o importante para a gente onde o logaritmo aparece é uma questão do Enem de 2013 e justamente da minha vida de

elementos químicos onde aparece uma aplicação da função exponencial o logaritmo Na verdade ele aparece como coadjuvante como a função inversa da função exponencial mas é importante ver aqui a frase do logaritmo essa questão diz considere 0,3 aproximação para o log sinal 2 O que poderia perguntar não era esse o nome de dois primeira coisa que a gente faz é partir para a calculadora bastante precisão e a gente vê esse é um número em que nós não encontramos uma periodicidade dos algarismos que aparece nele Apesar de que isso não é suficiente para dizer que o número

irracional e alguém pode perguntar Poxa vida o log 2 na base já já responder antes disso vamos dar exemplos de números irracionais vamos pegar o logaritmo de cinco na frase 3 é um número irracional como é que eu demonstro isso é bastante simples na base 3 seja o número racional se for um número racional é como o log de três na base 590 existem números aplicando a definição de logaritmo e significa dizer que três elevado a n a m dividido por m é igual a 5 levo ambos os lados dessa igualdade aqui a m obtém

3 elevado a m = 5 elevado nessa expressão essa igualdade e eu tô dentro dela Olha fez a levada m ela vai terminar 3 3 2 3 9 9 x 37 em 7 vezes 3 21 então o lado esquerdo é um número que termina 971 e o lado direito a o lado direito é simples Ele termina pode ocorrer é um absurdo se é um absurda porque a nossa suposição Inicial ela não é verdadeira a sua posição que o logamento Nacional ou seja o log3 é um número irracional outra maneira que eu poderia concluir tá essa

minha demonstração é utilizando esse resultado que vai ser bastante importante para a gente se tem o número primo e ele vive o produto de dois números então p divide pelo menos um deles se P dividido e B por exemplo está aqui 3 dividido e 30 e aí eu vejo que nesse caso a gente vive ambos os números inteiro uma consequência na verdade e a gente também vai ser bastante útil para gente a gente tem mentes a potência aqui a potência positiva muito bem outro desfecho para nossa demonstração utilizando esse resultado seria também o seguinte Olha

eu chego na igualdade fez elevado a m = 5 elevado Então olha cinco de vídeo lado direito e cinco dividido o lado direito pela igualdade 5 divide o lado esquerdo que é 3 elevado a m e corolário 5 / 3 absurdo e o log de 5 na base 3 tem racional vejamos outro exemplo o log e 45 as ideias o log decimal de 45 mais uma vez eu sigo tu põe que seja racional eu vou ter números 45 na base 10 é maior do que zero eu vou ter inteiros e logo de 45 é m

dividido por é utilizando a definição eu tenho de 10 elevado a m dividido por ele é igual a 45 levo [Música] ambos os membros ainda resulta na igualdade 10 elevado a m igual a 45 elevado a ele ora 10 elevado a m termina em zero e 45 termina em 5 em um absurdo e nossa suposição Inicial Não é válida ou seja o log de 45 na base 10 é um número bem racional mais o outro exemplo números irracionais envolvendo o algarismo [Música] eu escrevo a decomposição de primos desses números aqui 10 a duas vezes 5

e 45 é 9 x 5 que é x ao quadrado vezes 5 e contra a seguinte igualdade 2 elevada m x 5 ^ m = 3 elevado a 2 vezes 5 ó o dois divide o lado esquerdo dois divide dois elevado a m x 5 portanto devido ao lado direito ou seja dois elevado a potência dois n ele sim pelo nosso teorema o dois divide três elevado a 2 dividido em três ou dois de 25 mas isso corre de jeito algum portanto um absurdo essa é uma outra maneira e pelo desfecho por exemplo da questão

do Enem da questão do Enem o número irracional mais uma vez é também bastante simples da gente ver isso o argumentos se repetem telefone racional ele é um M dividido por m fácil as contas elevo a potência n e resulta aqui em 10 elevado a m = 2 elevado a n² n2 468 ou seja peguei um absurdo Conclusão o log decimal de dois é um número irracional então Aquele número que aparece naquela questão do Enem é verdade o número irracional o fato do Enem solicitar você utiliza 0,3 com aproximação decimal é apenas para facilitar as

contas isso não lhe dá na verdade informações sobre número é o log 2 na verdade naquele momento também O interessante é só o valor zero vírgula mas antes de ver que o logo é sinal de luz como é que eu utilizo porém as propriedades do logaritmos para dar mais exemplos de números irracionais simples Ora eu sei que o logaritmo na base A é um sobre o logaritmo a na face B como eu tenho o log de 5 na base 3 é irracional utilizando essa propriedade eu concluo que um sobre o log 3 na base 5

ele é irracional e o inverso de um número irracional irracional to universo desse número eu obtenho mais um número irracional utilizando logaritmo log35 utilizando essa outra propriedade aqui e menos o log de B na baseado usando que o log5 na base 3 é racional eu chego que menos o logaritmo na base 3 é irracional isso vale né o simétrico de um número racional é racional então o log de um quinto na base 3 é um número irracional e por sua vez utilizando essa propriedade também por menos um logaritmo de pena baseado é o log de

p na base 1 sobre a eu semelhantemente obtenham logaritmo de 5 na base é um número irracional então o número irracional e o seu Gero na verdade outros números irracionais utilizando as propriedades daí libera efetividade a gente pode liberar criatividade Total imaginação e sair criando sai gerando números racionais só para finalizar a gente trabalhou com números inteiros e eu vou agora fazer o seguinte eu vou observar um exemplo eu acho curioso a gente sai trabalhando e a demonstração que a gente logo de raiz quarta de 7 na base certo aí eu aplico a definição logaritmo

ou seja aí certo elevado a m é raiz quarta de 7 utilizo a propriedade potência e recaio nessa igualdade ora para me livrar dos expoentes que aparecem frações o que é que eu faço eu elevo ambos os lados por 28 quando eu faço isso eu recaio na equação 4 elevado a 4m igual a 7 elevado a fn ora quatro elevado a 4m 4 e 6 4 x 4 16 3 4 24 7 elevado a 7 n ele vai terminar justamente em sete logo raiz quarta de 7 na base até fazer uma tarefa com os alunos

pode tornar-se uma brincadeira e exemplos de números irracionais utilizando nessa parte da aula nós vamos aprender como utilizar equações polinomiais para encontrar números irracionais vai ser o primeiro da fé a gente encontrar números irracionais utilizando funções cronométricas e é importante salientar aqui com os assuntos na matemática eles estão interligados polinomiais eu vou trabalhar posteriormente com elas para encontrar números irracionais utilizando funções trigonométricas a matemática os assuntos eles estão interligados eles servem ajudar a compreender e desenvolver na aula de Janeiro nós provamos que raiz de 2 eram número irracional é interessante observar o seguinte se eu

chamar x = √2 e me livrar da raiz eu encontro a seguinte equação polinomial x² - 2 = 0 ou seja o número irracional raiz de 2 a ver com essa equação enorme mas também o fim né que é um mais raiz de 5 sobre 2 era um número irracional E aí se você é max = 1 + √5/2 e sai desenvolvendo para se livrar pois radicais você vê que uma raiz de 5 sobre 2 é uma raiz da equação X2 - x - 1 = 0 lembra que na aula passada nós vemos na aula

de Janeiro nós vemos também um número racional um pouco mais sofisticado que foi esse aqui será que é raiz de uma equação polinomial vai ser mas aqui vai dar bastante é um trabalho né Mas trabalhar um pouco mais você leva quadrado recai nessa igualdade assumindo que o outro lado leva o quadrado novamente e vai fazendo isso fazendo trabalhando fazendo contas e você vai ver e aquele número racional é raiz desse monstrinho aqui essa equação polinomial dorme que a gente tem não é grau 32 aquele número irracional números irracionais tem ligação com equações na verdade isso

tá vendo É possível dizer equações podem nominais para provar e racionalidade de números veja nós tínhamos números irracionais e vimos nos exemplos anteriores que eles são raízes equações polinomiais agora eu vou querer usar a volta ou seja dado uma equação polinomial eu tenho uma raiz dela dessa equação eu posso falhar com essas equações para ver se essa raiz é racional ou não vamos ver como a gente pode fazer isso primeiramente eu vou definir o que ela na equação polinomial com coeficientes é uma equação do tipo a NX elevado a n mais n menos um X

elevado a n - 1 + 7 = 0 em que todos os meus coeficientes aqui eles são números inteiros e claro justamente o grau é um exemplo 8 x a terceira - 6x - 1 = 0 [Música] é o seguinte é possível verificar as raízes dessa equação são irracionais ou Racionais né resolver a equação e tivemos o caso na equação polinomial grau eles e isso a gente vai fixar as ideias o que eu vou utilizar vai ser esse teorema aqui eu estou enunciando para n = 3 mas ele vale no caso geral se eu fizer

a raiz racional tá essa Raiz Esse número racional eu escrevo ele na sua forma irredutível ou seja máximo divisor comum entre o numerador e o denominador é um se esse número racional é raiz dessa equação polinomial aqui X3 2x2 mas é um x mais azedo igual a zero pesquisar isso números inteiros e eu aprendi diferente de zero então o numerador ele divide o a zero denominador ele vai dividir o A3 com isso a gente vai assegurar e vai dar vários exemplos de números irracionais vamos ver a demonstração desse resultado caso n = 3 e a

gente fixa as ideias o caso geral é demonstrado do mesmo jeito demonstração vamos para a primeira parte m dividir a zero ou seja o numerador de vídeo a zero primeiramente se x m dividido por D é raiz da minha equação ele satisfaz a equação aqui fazendo as continhas eu tenho que a 3m3 sobre 3 + A2 n2 de 2 mas a um M sobre D mais [Música] a1 e D2 mas a zero eu quero provar que ele divide a zero quer que eu faço eu vou ter de a zero ou tem a zero e solo

ele ou seja eu escrevo essa expressão aqui a zero é igual a menos m A3 m2 + A2 MT + 1 Essa vai ser uma igualdade bastante importante que eu vou trabalhar com ela se ele for mais ou menos não fazer é claro que o mm pupunha que o m não seja mais ou menos um nesse caso eu vou utilizar uma ferramenta muito importante que ela também não é estranha no ensino básico a gente não conhece com esse nome Teorema Fundamental garitética mas se utiliza isso quando eu vou calcular o mínimo múltiplo comum etc e

eu utilizo na verdade esse Teorema Fundamental da aritmética desde que todo número inteiro positivo maior do que um ele pode ser representado de forma única como um produto números primos é importante é que frisar essa história de forma única né a ordem não vai interessar Mas eu só tenho aquela maneira de escrever o número um produto de fatores perdemos a nossa igualdade que nós temos chegado nela como o m é diferente de mais ou menos um verdade o sinal menos ele não vai me importar aqui muito eu vou então pensar que o m é ativo

certo porque o que me interessa é justamente essa decomposição O Teorema Fundamental da aritmética garante o m vai ser um Alfa 1 2 Alpha 2 fatores maior do que igual a 1 tá então o alfair vai ser Justamente a quantidade que vezes que o primo aparece na decomposição aí vai dividir o lado esquerdo ele vive a zero e ao cubo então tanto ele dividia zero pelo corolário bem divide e lembre-se que o máximo divisor comum entre m e d é um portanto e não divide ou seja Perri vida Zero isso vale a todos os primos

fez que eu tenho na decomposição de Na verdade o Peri aparece alfa e vezes é um argumento o Peri aparece uma vez em m e vai aparecer uma vez em a zero parece que às vezes aparece também duas vezes em reserva ou seja elevado ao sair ele aparece na decomposição de zero para todo e variando uma carne ou seja o a zero na verdade ele vai ser a forma dois até pecar alfacar vezes um número pode ser algum desses primos apareça uma quantidade de vezes por exemplo pode ser que é para ele apareça uma quantidade

de vezes maior do que o alfa 1 não é da composição de a zero mas pelo menos vai aparecer Alfa vezes mas eu sei Justamente que P1 Alfa 1 vezes P2 Alpha 2 até pegar o k justamente m ou seja a zero é M vezes zero hora isso quer dizer que ele vive justamente 1 a 0 era gostaria segunda parte é que dele divide a três eu escrevo a expressão que eu tinha e argumento de forma análoga só que agora eu isolo ou a três aumentando de forma análoga o que acabamos de ver eu tenho

Justamente que dê divide e portanto encerrar a demonstração do meu teorema mostramos o teorema para o caso n = 3 A demonstração ela segue o mesmo roteiro o caso aqui Portanto o enunciado eu trago no caso geral no caso ainda se eu tenho um número racional escrito na sua forma irredutível obter esse número tem uma raiz de equação polinomial amxm a n - 1 x n - 1 até a 0 = 0 então o numerador vive a zero e o denominador divide o primeiro termo Vamos então voltar a pergunta original eu tinha essa equação polinomial

E aí eu vou fazer a seguinte pergunta é possível verificar se as eventuais raízes reais dessa equação tão irracionais ou não resolvê-la sem resolver a equação na verdade olha essa eu tenho aqui um polinômio de grau 3 e polinômios de grau tá eles têm raízes reais tá um resultado e é assuma esse resultado Vamos considerar Esse resultado é simples a gente vê mas não vamos entrar em detalhes agora a minha pergunta essa situação Vai ter raízes reais Racionais eu tenho uma raiz real isso é circulação aqui se ela for racional eu tenho animadores o que

é que eu tenho numerador vai dividir o último termo aqui o numerador divide o m e fique menos um ou seja o m ele pode ser mais ou menos e o denominador divide o primeiro termo né primeiro foi eficiente o denominador divide 8 ou seja o denominador tá nesse conjunto aqui mais ou menos um mais ou menos 2 mais ou menos 4 ou mais ou menos 8 hora isso ocorre porque a minha eventual raiz racional e tem que estar nesse conjunto mais ou menos um mais ou menos meio mais ou menos um quarto e mais

ou menos 8 e agora agora eu posso fazer uma coisa eu posso testar os valores encontrados um trabalho mas é o primeiro ato que a primeira ação eu posso fazer depois a gente vai ver e a maneira de trabalhar um pouco menos até achando para um eu vejo que vale então não é raiz menos um tem menos três não é não é raiz Aí eu saio testando para todos os valores não fiz igual um quarto não é raiz um quarto menos um quarto não é raiz 1/8 não é raiz menos um oitavo não é raiz

portanto a minha conclusão de toda a raiz real disso aqui ela é irracional veja eu não estou dizendo equação tem raiz real eu tô dizendo o seguinte se existir uma raiz real dessa reflexão ela necessariamente é irracional tá se existir no caso eu já disse que vai investir na raiz e essa equação ela vai aparecer agora eu posso dar por exemplo uma outra demonstração diferente da que nós temos que √2 é racional eu chamo x igual a raiz de 2 ao quadrado é 2 então X2 - 2 é zero caso essa equação polinomial alguma raiz

racional o m do meu teorema o n divide um e o m dividido 2 se o n divide um o n no conjunto mais ou menos um o m do conjunto mais ou menos um mais ou menos 2 e o meu x portanto que é m dividido por m a conjunto mais ou menos um e mais ou menos 2 eu posso testar agora todos esses valores aqui nessa equação tem dúvida é fácil ver que não vale mas eu posso também arrumar uma outra maneira outro um outro método que é positivo e é instrutivo por exemplo

o dois está entre um e quatro raiz Em ambos os termos dessas desigualdades eu vejo Justamente que o √2 está entre um dois maior do que um e menor do que 2 então é claro que o meu x que é igual a raiz de 2 não tá nesse conjunto se não tá nesse conjunto raiz de 2 é raiz desse equação polinomial e não está nesse conjunto necessariamente ela é número irracional a gente utilizou o teorema barragem 2 A gente pode soltar a imaginação também para a gente gerar criar números irracionais Eu tava imaginando Que número

eu iria trabalhar e quando eu vi um calendário o calendário do ano de 2023 então analisar esse número aqui a raiz de ordem 2023 do número 2023 tipo de número é esse é o número irracional vamos utilizar o teorema para a gente demonstrar que sim é um número racional eu chamo x igual a raiz 2023 de 2023 elevando a potência 2023 eu recaio nessa equação aqui tenha alguma raiz racional eu sei que de forma M dividido por B eu sei que o DDD 1 e o m de vida a sua decomposição então de 23 composição

em fatores primos para eu descobrir os seus divisores de 2023 vai ser mais ou menos um não é mais ou menos 7 7 vezes 17 mais ou menos 119 17 vezes 17 289 mais ou menos 289 e o próprio número mais ou menos Alguém poderia perguntar e agora você tem que testar todos esses números aqui né a equação é essa aqui então nem um valor Negativo foi nesse vídeo nem um dos valores negativos outra coisa ou um eu vou explicar aqui não é o certo o certo também é simples do jeito que não é pelo

seguinte tenta guardar é 49 7³ já é maior do que 2023 imagina 7 elevado a 2023 superiormente maior do que 2023 o pet não é o 17 com certeza que é maior do que 7 não vai ser 289 também não então nenhum aqueles aquelas eventuais raízes Racionais O Teorema garante que existe se tiver racional seja a minha raiz não tá nesse conjunto aqui não tá então ele é [Música] um momento bem legal de nossa aula que a gente vai dar alguns exemplos números irracionais envolvendo funções trigonométricas é claro que por exemplo quando eu pego o

seno de 60 graus é raiz de 3 sobre 2 eu sei que ele é irracional mas os exemplos que nós vamos usar você exemplos diferentes dos ângulos Que nós conhecemos dos ângulos notáveis exemplos fogem justamente esses ângulos que a gente é acostumado a trabalhar com ele janta então exemplos de números irracionais envolvendo funções trigonométricas como eu encontro um número irracional usando função trigonométrica A ideia é usar o teorema que a gente viu Ou seja eu sei lá do teorema que se eu tenho uma equação polinomial coeficientes inteiros e ele possui uma raiz racional ou denominador

e o numerador vive eu posso utilizar eu ou então encontrar equações polinomiais não possuem raiz irracionais mas que essas raízes das equações polinomiais elas são dadas por expressões envolvendo funções trigonométricas fazer como começar é a primeira pergunta que a gente faz hora a gente utiliza as identidades trigonométricas no lugar vamos dar aplicação a essas vezes elas são decoradas elas são manipuladas apenas para você verificar se certas identidades são válidas e chegou um momento e a gente vê algumas aplicações delas em coisas bastante interessantes e elas aparecem muitas vezes são usadas para resolver exercícios sobre política

temos uma boa aplicação das identidades primeiramente vamos recordar o cosseno da soma dessas duas identidades se eu faço a igual a B = 30 eu eu as fórmulas dos Arcos duplos ou seja fazendo a igual a B que o cosseno de 2 teta é cosseno teto cosseno teto cosseno ao quadrado sendo teta sendo teta seno ao quadrado cosseno de 2 teta é cosseno ao quadrado vamos calcular quanto vale cosseno quark agora os nossos objetivos eu quero que esse Seno do artigo apareça apenas na expressão dele e já já a gente vai ver o porquê bem

o que você não do arco triplo sendo de três tetas eu escrevo esteta como ostenta Asteca e o cosseno de 2 tetas menos seno de 2 tetas agora o que é que eu faço eu aplico o cosseno e o seno do arco duplo cosseno ao quadrado menos seno ao quadrado menos 3c na quadrado mas eu quero que aparece somente com acento então o que que eu faço eu me livro desse cena ao quadrado escrevo ao quadrado como um menos cosseno quando eu faço todas as contas eu vou ter justamente menos três cosseno - 3 x

1 - 3 vezes cosseno de p0 - 3 e -3 vezes cosseno ao menos cosseno ao quadrado de teta vezes cosseno de teta enfim chego na expressão cosseno 4 cosseno³ e para que eu quero esse essa expressão Olha só - 3% de pedra agora o que é que eu faço eu vou trabalhar com essa expressão aqui dessa expressão vou gerar uma equação polinomial que vai me aparecer o cosseno de um ângulo que eu vou aqui sendo daquele ângulo é irracional Veja só eu escolho um ângulo igual eu conheço o cosseno de três tempos e pega

esse ângulo igual a Deus se o homem chama x = cosseno de 20 graus quando eu substitui este valor na minha equação tem um justamente meio igual a quatro vezes x Ao Cubo - 3x desenvolvendo essa equação eu obtém essa equação aqui polinomial 8x Ao Cubo menos 6x - 1 = 0 essa equação polinomial é conhecida nossa ela apareceu justamente no slide da parte 3 nós vimos que toda raiz real dessa equação polinomial é irracional olha fiz igual a cosseno de 20 é raiz dessa equação a conclusão cosseno 20 graus Relembrando mais uma vez o

teorema geral diz o quê se algum número racional for raiz da minha equação polinomial então ele escrito na sua forma irredutível não o numerador de vídeo é zero e o denominador lembra como nós fizemos para provar e nenhuma raiz real dessa equação aqui é racional nós vimos que se equação tivesse uma raiz real racional ela diria está nesse conjunto aqui e o que é que nós fizemos nós aplicamos o teorema e testamos todas as raízes todos os as eventuais raízes Racionais e nós encontramos utilizando teorema Vimos que nenhuma dessas raízes esses valores na verdade eram

raízes da minha atuação agora uma outra maneira de ver isso né viver sendo de 20 graus não é raiz não é nenhum daqueles valores Racionais meu conjunto eu encontro utilizando vamos pegar essa animação aqui eu aqui o ângulo de 20 graus o cosseno ele é decrescente no primeiro quadro como Zero Grau é menor o cosseno então quando eu aplico ele inverte as desigualdades para ele ser crescente ou seja o cosseno de 20 graus é maior do que 30 menor do que com ascendente zero mas o cosseno de 0 é 1 e o cosseno de 30

é raiz de 3 sobre 2 e aproximadamente 0,86 observa o meu cosseno de 20 graus está entre 0,86 e ora os valores possíveis valores que eu tenho era esses aqui né logo é fácil ver meio é 0,5 um quarto é 0,25 oitava é 0,125 portanto como cosseno é maior do que zero 86 não pode ser nenhum desses valores Então não precisa fazer nesse caso como a gente fez os cálculos para verificar cada uma daquelas passagens que aqueles valores tá nenhum desses valores e o cosseno não vai estar nesse conjunto e não tá nesse conjunto os

possíveis raízes Racionais é porque o meu cosseno de 20 graus é irracional um outro exemplo vemos que o seno de 10 graus é racional eu sigo os mesmos Passos tá nesse caso aqui eu trabalho com Seno do arco triplo passou as contas vejo que dá isso E aí eu vou pegar um seno né um ângulo em que às vezes ele seja um triângulo seja um valor bom de se trabalhar eu vou pegar 10 graus seno de 30 é meio eu coloco aqui na minha na minha expressão na minha identidade [Música] essa equação observa essa equação

é basicamente a mesma da equação anterior Foi uma coincidência na verdade e aqui lá tinha menos um pequeno mesmos procedimentos é mais real equação E se ela for racional ela tem que estar nesse conjunto sendo de 10 graus eu posso até utilizar uma calculadora eu vejo que esse valor não é nenhum desses valores aqui Portanto o seno de 10 graus irracional é uma outra maneira de provar isso utilizando identidade trigonométricas vai ser muito importante a eu provar também eu encontrar outras Outras funções volumétricas que vão fornecer números irracionais Olha só eu sei que o cosseno

do arco duplo é cosseno ao quadrado menos seno ao quadrado e quando eu substituo o meu cosseno 1 menos seno ao quadrado encontro que cosseno e 2 teta é igual a 1 - 2 seno ao quadrado de 10 horas for o número racional por exemplo seno de 10 graus foi igual a 1 R eu substitui aqui na equação eu tenho que cosseno e duas vezes três graus ou seja cosseno de 20 graus é 1 - 2 R ao quadrado se R é um número racional o quadrado é um número racional duas vezes o número racional

racional um menos um número racional esse seria um número racional isso é absurdo porque eu provei que você 20 graus era racional portanto sendo de 10 graus é um número irracional provado utilizando-se somente as identidade E aí vai me dar uma ideia né que eu posso gerar até eu disse uma máquina de números irracionais olha Suponha que eu tenho ângulo que o cosseno de duas vezes ele seja irracional a expressão do arco do Cosseno o meu Beta fosse racional duas vezes o número racional racional menos um seria racional então podendo de dois tetas seria racional

isso não ocorre ele é racional portanto esse cosseno é um número irracional Ora mais uma vez com acendedor teta é 1 - 2 seno ao quadrado de teto se o seno de teta fosse racional esse valor seria racional e o cosseno dos tetas e irracional absurdo portanto que o cosseno de racional o seno também é racional e a mesma ideia eu aplico para gente olha uma estrangeiro quadrado é 72 sobre cosseno ao quadrado portanto cosseno ao quadrado é 1 sobre 1 mais tangente ao quadrado veja só que a tangente fosse racional esse valor aqui a

gente ao quadrado seria racional bastante gente ao quadrado seria racional um sobre o número racional eu incluiria cosseno ao quadrado seria racional essa primeira identidade o conselho de dois teta seria também racional mas é um absurdo ela é racional absurdo portanto a minha o que é que eu tenho a minha gente portanto e o cosseno de Deus seno de teta é irracional o seno de teta é irracional e a tangente de teta é irracional eu posso agora dar vários exemplos de números irracionais utilizando o racionalidade do Cosseno 20 graus cosseno de 20 graus é racional

o cosseno da metade se a 10 graus é racional pode ser de cinco graus cosseno de 2 graus e 30 minutos pode ser não tem um grau 15 minutos e assim por diante do mesmo jeito acabou de ver o seno de 10 graus seria de cinco graus irracional [Música] e assim como também da tangente gente de 10 graus seria irracional gente de cinco graus irracional agente de 2 graus de 30 minutos a tangente seria um número irracional e assim por dia portanto gerar vários números irracionais utilizando funções trigonométricas se eu tenho por exemplo aquele ângulo

que seja irracional veja encerrar a aula de hoje uma conversa sobre os números irracionais alguns fatos que eu acho interessante sobre os números racionais como eu disse a vocês no começo dessa aula eles são a sua maioria tem que a gente precisa dar uma conotação matemática e para tornar isso mais Verdade mas vamos assumir né todos os números são reais são irracionais isso mais uma vez precisa de uma interpretação matemática mas não sabe agora fazer isso tá E às vezes é trabalhoso exemplos de números irracionais mas a gente viu uma maneira de tornar isso simples

em vários casos né então Aqueles irracionais Racionais que a gente imaginava que era o pato feio na verdade e eles são números que eles trazem muita matemática é muito ainda para ser desenvolvido acerca desse número Então olha as Racionais tá tudo muito bem estabelecido agora para os irracionais há muita matemática Ainda a ser desenvolvida e a gente tem que tomar cuidado com algumas perguntas que a gente pode fazer e que naturalmente aparecem na matemática uma pergunta extremamente simples mas pode ocorrer o seguinte muitas vezes a gente faz certas perguntas simples mas muitas sobre inúmeros irracionais

e ser que não existem ainda respostas que seja necessário uma matemática bem mais robusta mais sofisticada do que se vê os cursos de graduação de licenciatura de bacharelado etc a gente precisa de matemática muito mais robusta muito mais avançada para responder isso entra entre outras coisas nenhuma área da matemática chamada fria dos números hora veja só a gente sabe que o é a base do logaritmo neperiano é irracional todo racional nós provamos que raiz de dois é racional mas tá indo em aberto algumas questões que ainda não foi resolvida não foi provada não foi dita

que é ou não é então por exemplo é mais que é irracional não se sabe não se sabe às vezes natural elevada é elevada raiz de dois alguém que conseguir dar uma demonstração que algum desses números é racional ou irracional com certeza vai ter muita palestra na vida dele tá na frente várias universidades do mundo são questões que são simples né mas quem pode ser questões podem não são na verdade questões que é muita matemática a responder e eu vou finalizar a aula trazendo a demonstração que eu acho bem legal não é e o que

seria para mim a demonstração bem legal é um resultado que é curioso ele usa a ideia simples e que sempre deixa na gente aquele aquela aquele gostinho que a gente diz deixa eu ver porque é que essa ideia depois da coisa pronta eu posso até imaginar que é simples mas polá-la não é bastante trabalho Então essa é uma demonstração citado na bibliografia ora e essa questão ela ela tem uma história na minha vida porque quando eu fazia graduação Eu lembro que eu vi alguns alunos mas afastados no curso que foram ser empregados na escola e

eles fizeram uma espécie de entrevista com esses alunos e uma das coisas que a banca lá que tava os futuros professores que iam ser entregados nessa escola era até podia dizer sobre e eu lembro que a resposta da época que a gente ouvia foi muito comentada a pessoa disse poxa se torcendo de um grau que eu posso dizer o seguinte pode ser no dizer é um Então posso ser um grau é algo próximo muito próximo de um que o cara foi aprovado todo mundo ficou satisfeito com a resposta eu fiquei com aquilo durante anos me

perguntando se eu não poderia dizer alguma coisa mais sobre o consumo de um grau e hoje a gente vai ver aqui que é possível dizer uma coisa bastante interessante eu passo para Calculadora e uma calculadora a gente vê que o cosseno de um grau é isso aqui um cara disse muito próximo de mim e que nós trabalhamos essa aula eu vou dar uma resposta bem mais satisfatória do que foi dada o cosseno de um grau é um número irracional a demonstração é muito bonita olha só utiliza duas coisas o cosseno da soma e o cosseno

da diferença eu vou escrever assim o cosseno de m grau mais um grau é cosseno M cosseno de n - 1 cosseno 1 + cn12 expressões no momento que eu somo eu pego o cosseno e menos um passo para o lado direito da Igualdade com sinal negativo obtemos assim a seguinte igualdade cosseno de migrar mais um grau é igual a duas vezes o cosseno M grau meses o cosseno de um grau menos o cosseno e graus Ora eu quero demonstrar que o cosseno de grau é irracional seja racional olha da minha identidade eu tenho o

seguinte que o cosseno de 2 graus vai ser duas vezes o cosseno ao quadrado um grau menos um caso cosseno de um grau fogo racional então o cosseno ao quadrado é um número racional duas vezes o número racional racional menos um número racional eu pegaria a conclusão de que o cosseno de dois graus é um número racional muito bem o industrials e o cosseno de um grau sendo Racionais eu aplico a minha fórmula novamente para o cosseno de 3 graus vai ser duas vezes o cosseno de dois graus menos cosseno de um grau Observe cosseno

de um grau é racional e o cosseno de dois graus eu incluir que era também racional pela minha suposição inicial de absurdo gostando de um grau Nacional tanto produto de Racionais é racional esses dois é racional menos um é racional eu chegaria a conclusão de que o cosseno de 3 graus era também racional agora aplico mais uma vez e isso eu faço intuitivamente se o cosseno o grau 42 graus e 43 graus forem Racionais o cosseno de 4 graus Como eu posso escrever como sendo duas vezes cosseno de 3 graus cosseno de um grau 112

graus eu teria o quê o produto todo números racionais vezes dois número racional menos um número racional Teria um número racional mais uma vez cosseno quatro graus né eu iria que eu passei de quatro graus e aí eu aplica mesmo ideia proporção de cinco graus também já havia conclusão que ele seria racional e continuou essa minha tarefa até o cosseno de 29 graus caso cosseno de um grau fosse racional pode 129 graus seria racional e daí o cosseno de 30 graus eu posso escrever como sendo duas vezes o cosseno de 29 graus cosseno de um

menos o cosseno de 29 graus eu diria que como esse número é racional e esses produtos aqui são produtos de números racionais o número racional menos outro racional esse número seria bem melhor de 3 sobre 2 o caso cosseno de um grau fosse racional eu concluiria que esse número era um número racional isso é absurdo a conclusão que chega é que o cosseno de um grau é um número irracional para a gente ter ideia daquilo que eu falei sobre o Canto da Sereia uma coisa tão poerio até né um grau seno de um grau eu

as contas eu não encontrei sobre o cosseno do grau Mas Encontrei sobre o seno de um grau só para a gente tem ideia onde as coisas nos levam utilizando o matemático sendo de um grau quando eu coloco lá algumas contas que dá para a gente trabalhar mas referências também como você encontrar isso no trabalho feito quando eu orientava então sendo de um grau vai ser a parte real do número complexo Vocês estão vendo esse slide com o matemático ático e só uma coisa esse aí que aparece aí é o i é a raiz de menos

um e aparece na nos números complexos sendo de um é real esse número aí veja que coisa intricada sendo de uma coisa tão simples aparentemente né mas vai ser a parte real desse número que aí está Ah eu trouxe isso como uma curiosidade para a gente ver esse mundo inteiro e se esconde atrás justamente tá números da ideia e portanto finalizo essa aula a gente pensou falando sobre os números que sempre irracionais aparecem nos textos que a gente estuda Eles são muito muito na verdade e agora nós temos vários outros números irracionais que são Dados

utilizando radicais utilizando metas e utilizando logaritmos então isso aumenta muito na enriquece muito os exemplos de números irracionais Muito obrigado a todos vocês o restante ano letivo familiar e de vida a todos um abraço muito sucesso saúde e paz