bem-vindo para mais uma aula o objetivo do nosso encontro de hoje é praticar um pouco mais em cima de exercícios relativamente elementares essa essas propriedades que são inerentes aos restos de divisões de números inteiros não queria começar com vocês resolvendo esse problema que encontrar o resto da divisão do número que surge após essa soma / 7 na verdade eu não vou executar essa soma é porque eu quero é justamente você enxergue uma propriedade uma dessas propriedades que eu citei agora que relacionado ao real gestos então a primeira coisa que vou fazer é dividiu 1991 7
com o objetivo de saber qual o resto que isso deixa duas vezes 7 14 isso deixará o resto 5 depois 59 isso vai dar 78 56 resto 3 na eu fico com 31 e isso vai dar quatro vezes 7 28 e resto 3 portanto o 1991 deixa resto 3 quando / 7 eu agora em seguida preciso saber o resto que em 1992 deixa quando / 7 mas eu não preciso fazer essa conta porque veja só se em 1991 devido por sete deixa-o-resto 3 se eu aumentar em uma unidade de 1991 para 1992 o efeito que
isso vai provocar é aumentar uma unidade no resto que vai passar para 4 e assim por diante será que eu passasse para 93 o resto aqui mudaria para cima será que aumentasse para 94 ou seja três unidades a mais aqui a resposta seria três unidades a mais resto 6 se eu aqui aumentasse 4 unidade jogando esse número para 1995 a resposta que seria o momento um aumento de 4 unidade fazendo o resto aumentar para sete só que aí quando o resto virá set eu consigo continuar minha divisão e aí nesse momento em vez de 284
eu passo acumular aquino consciente 285 e aí o resto cai para zero não esqueça que na divisão por sete os possíveis restos são 0 1 2 3 4 5 e 6 na divisão por sete eu tenho sete resto é possível dizer ou seja ok bom então acho que ficou evidente que o resto deixada por 1992 quando ele é divisível quando ele é dividido por sete é 4 bom e aí olha só se em 1991 deixa resto 3 significa que eu conseguir pegar 1991 objetos e agrupando de 7 em 7 e eu consegui fazer 284 grupinhos
de 7 e ainda sobraram três elementos e ali eu fiz a mesma coisa e ainda sobraram quatro elementos quando eu pegar os três elementos que sobraram de ficar com os quatro elementos que sobraram de lá eu consigo formar mais um grupo de sete então percebam que essa soma que quando dividida por sete deixará resto três mais quatro que restam sete só que aí eu novamente faço agrupamento em 7o consciente vai aumentar a humanidade e de fato o que vai acontecer aqui é que primeiro os restos serão somados só que aí como eu atingir exatamente a
quantidade que corresponde o divisor isso passa a ser um resto 0 já que na divisão eu não tenho esta 17 bom para o nosso segundo problema aqui agora o problema é similar só que em vez de somar eu tô multiplicando 1991 e 1992 bom a gente já fez a divisão do 1991 por sete e já vimos que o resto é 3 então na verdade eu posso escrever um 1991 dessa forma aqui a gente sabe que esse valor aqui e 284 que nós fizemos a conta agora pouco mas eu não preciso saber que esse cara 284
na verdade eu tô até simbolizando e se consciente pela letra que pra você perceber que eu não preciso saber quem ele é na verdade consciente aqui pouco importa o que vai fazer diferença aqui no na nossa análise são os restos o resto e naturalmente o número divisor mas o o principal aqui do nosso raciocínio são os restos então vou representar a partir de agora sim você já sabe que 284 mas não vai fazer nenhuma diferença a partir de agora e também sabemos que em 1992 ao ser dividido por sete deixa resto 4 isso já vimos
que é uma coisa evidente o consciente na divisão vai ser o mesmo porque eu andei só uma unidade o resto vai passar a ser quatro mas uma coisa que eu quero chamar a atenção aqui que por um acaso esses dois esses dois números são consecutivos e aí por isso esses dois conscientes são iguais mas tudo que eu vou falar aqui não depende desse fato eles podem ser diferentes que tudo que eu vou fazer aqui vai continuar funcionando então eu vou tomar a liberdade só pra reforçar essa observação que acabei de fazer eu vou tomar a
liberdade de botar um símbolo diferente aqui pra esse parece consciente ainda que nós saibamos que o mesmo camarada mas eu quero que você lembre daqui pra frente que esses dois valores podem ser diferente aliás é uma observação interessante eu posso usar símbolos diferentes para representar a mesma quantidade o que eu não posso é usar a mesma letra o mesmo símbolo para a quantidade diferente a partir do momento que você opte por usar o mesmo símbolo você está dizendo pra duas quantidade você está dizendo que elas tenham o mesmo valor né mas isso aqui eu posso
fazer então quando eu me proponho a multiplicar 1991 por 1992 o que está por trás dessa multiplicação é a multiplicação de 7 que mais 3 por 7 k mais quatro fazendas distributiva do lado direito aqui no segundo membro teremos 49 que ficar quatro vezes 7 que eu não vou fazer acordo e eu vou deixar assim opa quatro vezes 7 que só botar o quarto na frente com quatro vezes sete vezes que é o resultado desse produto agora em seguida eu tenho três vezes em sete vezes cá mas 12 e aí reparo uma coisa que esse
pedaço é divisível por sete porque não importa quem sejam que e cá eu consigo dividir o 49 por sete então bloco inteiro é divisível por 7 eu não fiz a multiplicação aqui para chamar atenção para deixar bem evidente que esse bloco aqui também é divisível por 7 mesmo argumento para o bloco seguinte então a princípio esse 12 seria o resto da nossa divisão desse número que sai da multiplicação ac por 7 só que aí que acontece esse 12 aqui ultrapassa o nosso divisor q7 então o que eu vou fazer com esse idoso é desmembrar ele
tem sete mais 5 nota agora aqui esse pedacinho que eu acabei de ser parado 12 obviamente é divisível por sete e agora sim temos por resto da nossa divisão então o que eu quero te mostrar aqui na prática como é que você pode fazer isso veja só isso que eu mostrei aqui pra você é a justificativa é a explicação do que eu vou fazer agora que é uma forma prática de você lidar com isso é o que eu quero que você faça ao resolver problemas como esse mas você não pode fazer isso que eu vou
mostrar agora sem saber o porquê bom o resto desse número a divisão por 7 é 3 e o resto deste ano na divisão por 7 a 4 como eu tô multiplicando os números os restos também serão multiplicadas então isso aqui vira 12 mas como 12 ultrapassa os 7 você tira sete dali isso vira sim portanto esse é o resto da divisão desse número que sairá daqui por sete observa que isso funcionou com a soma nós lá somamos os resto eu estava somando 1991 1992 e aí eu perguntei o resto nós pegamos os restos 3 e
4 somamos ele virou set como eu atingi o divisor que era 7 a gente tirou 7 ele caiu para zero a mesma coisa aconteceu aqui na multiplicação eu multipliquei os restos como ele ultrapassou o divisor eu tirei os 7 daqui e eu caí para o resto 5 é então essa é a forma prática de você lidar com esse esse tipo de problema o terceiro problema a gente já fez um soma fez um com multiplicação agora é um problema similar só que nós temos uma potência né naturalmente o pior que se pode fazer é pegar 1991
e levar o cubo para depois dividir por sete e ver qual o resto nós já sabemos que em 1991 ao ser / por 7 deixa resto 3 e no problema anterior nós escrevemos isso assim chamei a atenção para o fato de que o consciente pouco importa pra gente o que de fato importa são os restos e nós vimos o seguinte um problema anterior que quando eu multiplico dois números na o efeito nos resta é também multiplicar esse resultado da multiplicação dos reis outra passar o divisor que a gente faz a gente divide por sete ele
também e pega o resto como a gente fez com 12 tiramos os 7 dividimos por sete na verdade de resto cinco então o artifício que eu vou utilizar aqui é pensar no 1991 ao cubo dessa forma aqui ó na verdade o que eu vou usar para resolver esse problema é o que a gente concluiu do problema anterior sabemos que o resto aqui é 3 como é o mesmo número resto 3 resto 3 então vamos fazer primeiro esses dois aqui ó quando eu multiplico esses dois que acontece os restos também são multiplicadas e aí eu fico
com nove só que nove ultrapassa 17 que é o divisor então a gente vídeo 9 pelo set e pega o resto dele o resto dele / 7 a 2 só que agora eu tenho que pegar o que está o que foi obtido aqui e ainda estender para mais uma multiplicação então esse resto dois aqui vai ser multiplicado pelo resto três e isso vai dar o resto 6 portanto o resto da multiplicação de 1991 por ele mesmo por ele mesmo de novo ou seja de 1991 ao cubo quando / 7 o resto será a 6 outra
maneira de pensar seria fazer direta que o três vezes três vezes 3 27 e aí como esse 27 ultrapassou o nosso divisor q7 que eu faço eu divido esse 27 por sete e pega o resto certo observa que é dividido em 7 por 7 eu tenho três no consciente 37 21 e aí o resto será 6 então usamos aqui pra potência àquela conclusão que nós tiramos lá da multiplicação no quarto problema de hoje eu estou juntando tudo que a gente já viu em pequenas partes na soma multiplicação e potência e eu quero o resultado da
divisão desse número aqui que são um bem grande por sete bom eu não vou precisar mais com tudo que eu já aprendi nos três problemas anteriores eu não vou precisar fazer essa conta e depois dividir por sete para ver o resto eu já sei que o resto de 1991 na divisão por 7 é 3 pegar uma cor que destaca um pouco mais o resto é 3992 deixa-o-resto 4 só que aqui como 1992 está o cubo na verdade eu terei resto quatro vezes resto quatro vezes resto quatro então vou escrever aqui quatro ou culpa se o
1991 deixa-o-resto 3990 tem que deixar resto dois e aí a gente viu que como a multiplicação está acontecendo aqui os restos também serão multiplicadas o mesmo placar se em 1990 deixa o resto 2.989 deixa resto um como eu tenho a multiplicação dos números aqui os restos serão multiplicadas e aí 11 vezes 2 vezes três isso me dá resto 6 e aqui quatro ao cubo vai me dar 64 lembrando que como esses dois números aqui estão sendo somados esses reste precisam ser somados 64 mais seis isso vai dar 70 bom é claro que o resto não
pode ser 70 porque a divisão é por sete então o que eu vou fazer com esse suposto resto ou dividir 70 por sete e vou pegar o resto dessa divisão e aí o resto essa divisão vai ser zero portanto esse número estranho está escrito aqui é um múltiplo de 7 para fechar ó de hoje vamos usar tudo que a gente já treinou e aprendeu nesse encontro para resolver um problema clássico encontrar o resto da divisão de 9 elevadas em por oito clássico porque normalmente este tipo de problema que a gente fez a gente não encontra
com potências tão baixas como 32 normalmente eles se apresentam com potenciais altas é quem já fez alguma vez alguma prova da olimpíada deve lembrar já ter visto e isso pela frente com recomendação é que você pausa o vídeo é e tente fazer o problema a solução dele o primeiro teria que dividir 9 por 8 isso vai dar consciente um consciente aqui pouco importa o resto 1 aliás eu nem precisava fazer essa divisão pra saber que 9 / 8 deixa o resto um e aí quando eu escrevo 9 elevado sem eu estou simbolizando nove vezes nove
vezes nove vezes 9 uma sucessão de multiplicações em que os fatores são todos iguais sempre move e esses fatores a pagar esse fator o 9 aparece sem vejo como o resto aqui é um aqui também vai ser um aqui também vai ser 1 e 1 até o final e como nós vimos quando eu multiplica os números os réus também são multiplicadas então na verdade o resto multiplica pelo resto um que multiplica pelo resto pelo resto 1 no final isso aqui vai dar o resto então a divisão desse número imenso por 8 deixa restam perceba que
eu não eu terminei o problema sem saber quanto vale esse número também não preciso saber saber quanto ele vai dar muito mais trabalho é bem mais simples descobrir qual é o resto que ele deixa na divisão por 8 espero que tenha gostado até a próxima
