qué tal Amigas y amigos Espero que estén muy bien en este vídeo Te voy a enseñar Cómo resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas o sea un sistema de tres por tres utilizando el método de gauss lo primero que te quiero aclarar es que el método de gauss no es lo mismo que el método de gauss Jordan Sí si necesita al ser de gausstán en la lista de reproducción te explico Qué es un poquito más largo listos el método de gauss a mí me parece que es el método más fácil de todos los
métodos que existen para resolver un sistema de tres por tres listos Pero bueno primero que todo qué tenemos que observar para empezar para empezar debemos observar que las ecuaciones deben estar ordenadas Exactamente igual y en esta forma sí Cómo deben estar ordenadas primero debe estar el término con la x luego seguiría el término con la Y luego el término con la z y al otro lado del igual debe estar el término independiente y así deben estar ordenadas todas las ecuaciones aquí terminó con la x terminó con la y terminó con la z termino independiente al
otro lado y lo mismo Pues la tercera no eso es lo primero que debemos cuidarnos y pues ordenarlas así si no están ordenadas listos lo segundo que hacemos vamos vamos o que vamos a realizar es nuestra matriz ampliada entonces pues hacemos la matriz que en este caso pues va a tener tres filas listos esa matriz que va a tener va a tener una columna en la que van los coeficientes de la x una columna en la que van los coeficientes de la ye otra columna en la que van los coeficientes de la z y la
última columna que va a llevar los términos independientes que se separan los términos independientes Generalmente con esta línea punteada o a veces se hace una línea simplemente para indicar que aquí está el igual algo importante no es obligatorio tampoco hacerlo así Pero pues es recomendable porque ya uno se acostumbra a hacerlo en este orden no por ejemplo podríamos haber tenido la ecuación xy y al otro lado Z y número pero pues cambiaría el proceso Entonces es mejor así No primero los coeficientes de la x Acuérdate que aquí dice X Acuérdate que cuando una letra está
solita lo que quiere decir es una x o una y o una Z listos Entonces el coeficiente de la x aquí como no hay pero si está la x es 1 Entonces sería uno tres y dos que son los coeficientes de la x luego seguiríamos escribiendo los coeficientes de la y en la segunda columna aquí es 2 1 y 3 y te invito a que pues si tú has practicando a medida que va pasando el video vas a aprender mucho más entonces te invito a que pongas los números que van en estas otras dos columnas
listos siguiente columna la columna de la z aquí sería uno uno y menos uno mucho cuidado cuidado con los signos porque pues obviamente si hay un negativo ahí hay que escribir lo negativo Y por último los términos independientes 7 5 y 3 si hay algún cero pues escribimos ese cero y listos qué es lo que vamos a hacer lo que vamos a hacer es buscar una matriz triangular superior o sea una matriz en la que este triángulo si se llama triangular superior porque arriba no van a ver ceros aquí en ese triangulito vamos a tratar
de poner ceros Sí o sea este 3 lo cambiamos por un cero este dos lo cambiamos por un cero y este 3 lo cambiamos por un cero Eso es lo que vamos a hacer o a ver en este video cómo se hace eso listos la primera recomendación que yo te doy Es que siempre vamos a trabajar a empezar a trabajar con la columna de la x Entonces lo más obviamente pues por ser el primer vídeo Está un ejercicio fácil lo más recomendable es que si en alguno de estos tres hay un uno tú lo pongas
arriba porque Pero bueno eso ya lo vamos a ver en el siguiente vídeo listos Entonces primero que todo la primera columna nunca va a cambiar Entonces la voy a volver a copiar entonces voy a hacer mi matriz por aquí abajo a veces uno la hace al frente Bueno voy a correr la matriz como para que me quede una matriz debajo de la otra sí entonces ahí corro la matriz para que me queden debajo listos entonces la primera fila la copiamos igual porque esa nunca va a cambiar Entonces sería 1 2 uno y siete de una
vez cierro aquí mi matriz lo que vamos a hacer es cambiar la segunda fila para que aquí pilas nos vamos a fijar en ese número para que ese número se convierta en un tres qué es lo que vamos a hacer en esa fila vamos a realizar siempre operaciones entre la fila 2 Acuérdate que pues esta se llama la fila 2 y la fila 1 Sí para cambiar la fila 2 cuidado si vamos a escribir lo de la fila 2 en esa operación tenemos que incluir la fila 2 solamente nos fijamos en el número que tiene
aquí y aquí porque son los números que me van a hacer el cambio ahorita ya cuando hagamos la operación lo vas a comprender un poquito mejor mira que si observamos la x Aquí está el número uno y aquí está el número 3 como tenemos que hacer operaciones con esas dos filas qué operaciones hacemos siempre lo que hacemos Es multiplicar las filas y luego sumar la fila 1 con la fila 2 o restar la fila afilados listos Entonces qué multiplicación O cuál número multiplicaría será que multiplicó el 1 o multiplicó el 3 lo fácil en este
caso es que si este uno lo multiplicamos por menos 3 qué sucedería 1 * -3 me da menos 3 y si a ese menos 3 le sumamos este 3 - 3 + 3 nos da 0 o sea convertiríamos este número en un cero listos Entonces qué es lo que vamos a hacer como lo que vamos a hacer es en la fila 2 copio aquí la operación que voy a realizar cuál operación Mira la que está aquí no la fila 1 la multiplicamos por 3 o sea menos tres veces la fila 1 y a eso le
vamos a sumar la fila 2 digo sumar la fila 2 Pues porque la fila 2 no la voy a cambiar de pronto aquí todavía no lo has entendido no hay problema vamos a ser más operaciones vamos a tener ejercicio de práctica y ahorita cuando haga esta operación vas a comprender Por qué fue que yo dije que iba a multiplicar por menos tres listos entonces voy a hacer la operación esa operación generalmente se hace por aquí aparte o Bueno a mí me gusta hacer la parte y uno aquí escribe solamente el resultado listo entonces empezamos la
operación hacemos esta operación multiplicamos por menos 3 la fila 1 entonces la fila 1 toda la multiplicó por menos tres uno por menos tres es menos tres dos por menos tres dos por tres es seis negativo uno por menos tres sería menos 3 y 7 por -3 es menos 21 sí simplemente multiplique toda la fila por el número menos tres vamos a cambiar solamente la x pero siempre se multiplica la fila completa ahora dice Aquí vamos a sumarle la fila 2 o sea escribimos la fila 2 sin cambiarla ya más adelante vamos a ver ejercicios
más difíciles en los que de pronto hay que multiplicar las dos filas O bueno sí por ahora lo fácil para que lo vayas comprender sumamos la fila 2 entonces la escribo acá 3 11 5 Y realizamos esa operación Sí aquí pongo una línea para saber que realizamos esa suma lo que vamos a hacer es esa suma o los números que están ahí mira ahí dice menos tres más tres porque digo más pues porque está positivo no menos tres más tres eso es cero seguimos con la operación columna por columna -6 + 1 eso es menos
5 mucho cuidado con las operaciones no menos tres más uno es menos dos mira que estoy diciendo en todos más uno más uno más tres Porque todos son positivos si hubiera un negativo pues diría menos listos menos 21 más 5 es menos 16 y ahora esto que resultó de esa operación es lo que voy a poner en la fila 2 entonces en la fila 2 que queda 0 - 5 - 2 y menos 16 mira que al hacer esa operación logramos lo que se quería que era lograr que aquí hubiera un cero sí Entonces ya
haciendo esa operación cambiamos ese 3 por un cero ahora hacemos la misma operación para Aquí vamos parte por parte Entonces ahora vamos a lograr no estos dos ceros porque no se puede pero vamos a lograr el cero o sea este 2 lo cambiamos por un cero entonces para eso tenemos que como vamos a cambiar la fila 3 cuidado vamos a cambiar este 2 por un cero siempre hacemos operaciones con la primera fila listos o sea observamos nuevamente la primera fila y ahora vamos a hacer operaciones con la fila número 3 porque la 3 Pues porque
la que vamos a cambiar porque la 1 porque es con la que siempre cambiamos listos Entonces qué es lo que hacemos observamos la x Porque aquí es donde queremos poner un cero no entonces observamos este número y este porque al hacer la operación de esos dos números es donde vamos a conseguir el cero te invito a que pauses el video y pienses Qué operación harías Por cuánto multiplicaría la fila 1 o la fila 3 para que al hacer esa operación te dé cero te invito a que pauses y vayas practicando listos lo que se hace
en este caso sería como aquí hay un uno multiplicaríamos esa fila por -2 por qué Porque si multiplicamos menos dos por uno me da menos dos Y aquí dice más dos menos Dos más Dos eso da cero y Listo ya quedaría ese cero ahí entonces aquí escribimos la operación que vamos a hacer como para qué escribimos esa operación para cuando estemos estudiando digamos Ah miren Es que aquí hice esta operación listos no es para nada más entonces la fila 1 la multiplico por menos dos o sea menos 2 por la fila 1 y la fila
3 como no le voy a hacer nada entonces escribo más la fila 3 sí vuelvo a decirte que como vamos a escribir en la fila 3 tenemos que incluir en la operación esa fila ya te invito a que practiques nuevamente pauses el vídeo hagas esta operación y mires que te va a quedar ahí va a ir practicando y verás que vas a aprender mejor ya voy un poquito más rápido aquí dice multiplicar por menos dos la fila 1 la fila 1 por -2 uno por menos dos es menos dos dos por menos dos es menos
cuatro uno por menos 2 es -2 y 7 por -2 es menos 14 ahora dice la fila 3 simplemente cómo está 2 3 - 1 y 3 hacemos esa operación Entonces menos Dos más Dos da cero que ese era el cero que queríamos menos 4 más 3 da menos uno y cuidado aquí mira que aquí ya se lee diferente menos dos menos uno menos dos menos uno Eso es menos tres y menos 14 más 3 es menos 11 esto que quedó de la operación es lo que voy a poner en la fila 3 entonces 0
- 1 - 3 y menos 11 listos ya logramos estos dos primeros ceros Ahora que nos falta para lograr la matriz triangular superior que Recuerda que es la que tiene este triángulo con números ceros que me falta ahora me falta lograr este cero o sea ese -1 lo vamos a cambiar por 0 Entonces qué es lo que vamos a hacer ahora mira que en este caso la fila 1 Nunca cambia la fila 2 ya tiene el cero que queríamos o sea lo primero que voy a hacer es copiar esas dos filas porque ya están bien
ya simplemente la copio Exactamente igual entonces Primera fila 1 2 1 7 y segunda fila 0 - 5 - 2 - 16 y cerramos nuestra matriz lo único que vamos a cambiar es este menos uno por un cero y cómo se hace vamos a cambiar Este sí en este caso ahora vamos a hacer operaciones es entre la fila 2 y la fila 3 ya no volvemos a utilizar la fila 1 por qué Porque si aquí hiciéramos operaciones entre la fila 1 y la fila 3 te invito a que lo pruebes y logramos el 0 acá
se nos dañaría este cero sí Entonces vamos a hacer entre estas dos porque eso va a hacer que este cero que ya está bien no se me dañe listo Entonces qué operación hacemos Te invito a que pienses solamente como vamos a hacer operaciones con estas dos filas pues miramos la y de la tercera fila y la ye de la segunda fila que son los números que me interesan para que se anulen nuevamente Te invito a que pruebes a que pauses el video ya si quieres pienses en la operación haces tú la operación y comparas con
lo que yo voy a hacer listos lo que en este caso habría que hacer sería lo siguiente mira que si aquí dice menos 5 para quitar esa Este numerito de Aquí para lograr un cero aquí tendría que decir 5 Acuérdate que siempre es con el signo cambiado Pues porque menos cinco más cinco de acero sí o menos tres más tres a cero o lo que sea listos Entonces menos cinco Por cuánto multiplicaríamos en este caso este -1 para que diera 5 positivo entonces este -1 se multiplicaría por menos 5 Sí por qué Porque menos uno
por menos 5 da menos por menos da más 1 por 55 al restarlo con este 5 nos da cero listos entonces lo que vamos a hacer la operación la copiamos acá Entonces vamos a dejar la fila 2 como está Y a eso le vamos a restar cinco veces la fila 3 sí o podíamos escribir menos 5 por la fila 3 más las cinco aquí pues yo simplemente estoy escribiendo el menos cinco al comienzo o sea mira que aquí dice f3 por -5 o podemos escribir menos 5 por f3 sí que esto fue lo que escribí
Aquí sí el número primero que en este caso va negativo por qué Porque lo vamos a multiplicar por negativo a nuevamente Te invito a que pases el video hagas esta operación listos entonces o no más bien no voy a hacer yo Nada te invito ya a que tú hagas esta operación la resuelves y Yo corro un poquito aquí para arriba y la respuesta te la muestro en tres dos uno bueno Ahí está la respuesta Simplemente revisamos no aquí dice la fila número dos Entonces ya miramos es acá no la fila número dos cero menos cinco
menos dos menos 16 y multiplicar por menos 5 la fila 3 toda la fila la fila tres por menos cinco cero por menos cinco es cero menos uno por menos cinco de cinco que era lo que nos interesaba menos tres por menos cinco menos por menos da más y cinco por tres quince y menos 11 por menos 5 da 55 positivo aquí que nos quedó nos quedó 0 Bueno aquí menos cinco más bueno aquí por eso es que cogemos la fila 2 con la fila 3 Porque mira aquí nos va a dar cero y cero
Sí para no dañar este cero que ya está bien menos cinco más cinco cero 15 menos 2 da 13 o menos dos más 15 da 13 y menos 16 más 55 da 39 copiamos esto en la fila número 3 00 13 39 y ya terminamos listos ya logramos nuestra matriz triangular superior o sea este triangulito ya quedó con ceros Entonces ahora sí vamos a hacerlo final que ya es lo fácil qué es lo que vamos a hacer ahora volvemos a escribir la matriz en forma de ecuaciones y entonces pues estos eran los coeficientes acordémonos que
estos eran los coeficientes de la x estos eran los coeficientes de la ye los coeficientes de Z Y estos eran los términos independientes y aquí estaba el igual entonces simplemente copiamos las ecuaciones te invito a que pauses el video y las copies tú listos Primero aquí dice una x + 2y digo más porque ese 2 es positivo no entonces más dos y más una Z o sea más Z igual a 7 sí Que obviamente esa ecuación es Exactamente igual a la que teníamos al comienzo sí segunda ecuación que a mí me gusta separarla así a
mí me gusta escribir las tres ecuaciones aquí en línea ya ahorita te explico para qué Pero si en tu cuaderno no caben pues es que es una debajo de la otra listosa segunda ecuación la que resulta aquí 0 x o sea 0 x no escribo la x menos 5 y menos 2 Z igual a menos 16 y por último la tercera ecuación que es la tercera no Entonces 0x no lo escribo 0 y tampoco lo escribo 13z igual a 39 mira que el igual es esta línea no por eso dije 13z igual a 39 Mira
qué fue lo que logramos al resolver con el método de gauss aquí tenemos una ecuación con tres incógnitas luego sigue una ecuación con solamente dos incógnitas y tenemos aquí una ecuación con una sola incógnita entonces qué es lo que vamos a hacer esta ecuación pues ya la podemos resolver para encontrar el valor de Z aquí lo único que tenemos que hacer es este 13 que está multiplicando pasa a dividir entonces me queda Z igual a 39 dividido en 13 que eso es 39 dividido en 13 es 3 aquí ya tenemos Entonces el valor de una
de las variables ya sabemos que la z vale 3 obviamente esa Z la podemos reemplazar aquí o la podemos reemplazar aquí por qué Pues porque ya sabemos que vale 3 la podemos cambiar con el número 3 vamos hacia allá por qué porque pues aquí si reemplazamos la z solamente me quedaría la ye y hallamos la ye entonces aquí cambiamos la z porque ya vale ya sabemos que vale 3 no entonces aquí hacemos esta operación aquí diría menos 5 y aquí dice menos 2 por Z menos dos por tres menos por más da menos y dos
por tres da seis igual a menos 16 aquí este -6 que está restando pasa al otro lado a sumar entonces me queda menos 5 y igual a menos 16 más 6 porque pasa a sumar de una vez me salto ese paso menos 16 más 6 es menos 10 Y por último aquí este 5 negativo que está multiplicando pasa a dividir entonces me quedaría y igual a menos 10 dividido en -5 Acuérdate que cuando pasamos a dividir pasa con el mismo signo no no cambia de signo porque cambia de signo es aquí no cuando está restando
pasa a sumar pero cuando está multiplicando pasa a dividir igual aquí hacemos la operación y nos queda que y es igual menos por menos da más y 10 dividido en 5 es 2 O sea que ya sabemos cuánto vale ahora la y ya la podemos reemplazar Aquí también Sí entonces aquí reemplazamos la Z reemplazamos la y ya podemos Hallar el valor de X Entonces cómo nos queda aquí quedaría x + 2 por y la y vale 2 o sea 2 por 2 4 más la z que vale 3 eso tiene que ser igual a 7
Aquí hacemos primero esta operación o como quiera si quieres pasar para el otro lado yo hago en este caso la operación entonces aquí nos queda x 4 + 3 es 7 igual a 7 y ahora sí ese 7 que está sumando pasa a restar nos queda x igual a 7 menos 7 que eso es 0 y listos ya resolvimos nuestro sistema ya acabamos la clase No todavía no he acabado la clase si quieres bueno aquí que lo que hacemos ahora comprobar si la solución nos quedó bien cómo se hace pues observando las ecuaciones que tenemos
aquí al comienzo cambiando la x por lo que nos dio la ye por lo que nos dio la z por lo que nos dio y viendo si esto está bien No aquí pues obviamente al hacer esta operación me tendría que dar igual a 7 al hacer esta operación Me tendré que dar igual a 5 y al hacer esta operación me tendría que dar igual a 3 en este caso como para que recordemos cómo se comprueba yo voy a comprobarlo con esta con esta ecuación listos entonces copio esa ecuación y la voy a comprobar en la
parte de abajo listos entonces la colocó acá primero a mí me gusta escribir todo entonces comprobación y lo compruebo con la ecuación que yo había hecho con la ecuación número tres qué es lo que voy a hacer reemplazar la x aquí dice 2 por x aquí dice 3 por y dice menos Z esa operación como te digo nos tiene que dar 3 entonces reemplazamos aquí dice 2 por x pero la x vale cero O sea 2 por 0 0 más aquí dice 3 por y o sea 3 por 2 que eso es 6 luego dice
menos y después del negativo está la z que la z vale 3 o sea esto es igual a 3 que efectivamente 0 + 6 es 6 menos 3 da 3 igual a 3 esto quiere decir que esta sí es una solución de esta ecuación como te decía debemos comprobarlo también con las otras dos para saber y estar seguros que nos quedó bien listos ahora sí ya con esto termino mi explicación y como siempre por último te voy a dejar este ejercicio para que ahora tú practiques te sientas pausas el video resuelves el sistema y la
respuesta va aparecer en tres dos uno lo primero que tenemos que hacer es verificar que las ecuaciones están escritas en el mismo orden no término con la x término con la y término con la Z el igual y al otro lado el término independiente así están las tres primera columna la columna de los coeficientes de la x que aquí son acuérdate 1 3 y 2 segunda columna la columna de los coeficientes de la ye que son 1 - 1 y -2 cuidado con los signos tercera columna la columna de los coeficientes de la z menos
1 2 y -3 y al otro lado los términos independientes marcando el igual no menos tres nueve y cero la primera fila va a quedar Exactamente igual esa no cambia qué vamos a cambiar nos fijamos en este tenemos que lograr que ese sea un cero para eso buscamos la fila 1 y obviamente incluimos la fila 2 Qué operación haríamos observando estos dos numeritos Pues en este caso si este número lo multiplicamos por -3 nos daría menos 3 más 3 da 0 o sea esta fila la multiplicamos por menos 3 que eso fue lo que escribí
aquí Aunque pues en este caso dice otra cosa para que pues tú veas que no importa cómo hagamos las operaciones otra forma sería aquí no multiplicar por menos tres sino multiplicar por 3 y este multiplicarlo por -1 Aunque Bueno yo creo que tú multiplicaste por menos tres directamente listos Por qué pues porque si este lo multiplico por tres me da tres y si este lo multiplico por menos uno me da menos tres tres menos tres da cero listos Pero bueno no importa si tú aquí multiplicaste por menos 3 y aquí dejaste más la fila 2
te dieron exactamente los mismos números pero con signos cambiados no hay problema aquí te de pronto te dio menos 4 5 positivo y 18 positivo no hay problema eso ya lo importante es que al final aquí va a cambiar un poquito esto pero al final las respuestas de los valores de la X Ya y z te van a dar iguales listos entonces hacemos esa operación 3 por la fila 1 - la fila 2 al hacer la operación me dio esto listos ahora para este yo hice lo mismo multiplique este por la fila 2 Perdón por
2 y este por menos uno pero muy probablemente tú multiplicaste aquí Este por menos dos más el otro Sí nuevamente Te debieron haber dado estos signos cambiados menos cuatro menos uno y seis no hay problema No importa cómo multipliquemos lo importante es que esa operación la hagamos bien y que aquí hayamos conseguido hallamos conseguido los ceros listos en este caso ahora mira que como tengo que lograr este cero pues me queda fácil porque Si cambio el signo de esta o Si cambio el signo de esta me queda 4 - 4 en este caso yo dije
la fila 2 siempre fila dos y fila 3 acá no y menos la fila 3 o sea multiplique por menos uno la fila 3 entonces la fila 2 - la fila 3 4 - 4 da 0 menos 5 menos 1 es -6 y menos 18 más 6 es menos 12 escribimos las resolvemos aquí pasamos el -6 a dividir nos queda menos por menos da más y nos queda dos positivo ese 2 lo cambiamos acá entonces aquí sería menos 5 por 2 da menos 10 al hacer todo el proceso nos da que la lleva de -2
Y si cambiamos aquí la llevale menos 2 entonces sería más menos 2 entonces pues más por menos da -2 y aquí sería el negativo que está y después va la z que es 2 mucho cuidado aquí no este menos dos es porque la llevale menos 2 y este menos 2 es porque está el signo negativo y después de ese signo a la y hacemos la operación y nos queda que la x vale 1 lo puedes comprobar te invito a que pauses el video Bueno ya no necesitas pausar el video porque ya se acabó pero te
invito a que lo compruebes O sea pues si te dieron las mismas respuestas está bien pero te invito a que aprendas a comprobarlo O sea que practiques listos bueno Espero que te haya gustado mi forma de explicar y si es así te invito a que veas el curso completo para que profundices mucho más acerca de los sistemas de tres por tres Aquí también te dejo algunos vídeos que estoy seguro que te van a servir No olvides comentar lo que desees comparte este vídeo con tus compañeros y compañeras y seguro te lo van a agradecer te
invito a que te suscribas al Canal a que le des un buen like a este vídeo y no siendo más bye bye [Música]
