Potências [Potências e Radicais: aula 1 de 3] – Vou te ensinar 1

existem muitas muitas regras pequenas regras que eu gostaria que você se incorporassem neste mundo mágico das potências algumas delas são bem sempre são de uso comum muito provavelmente vocês todos as conhecem muito bem como por exemplo a regra em que se afirma que em uma multiplicação de potência de mesma base a gente conserva base e soma os expoentes observa multiplicação de duas potências cuja base é a mesma gente conserta base e somos expoentes além disso em uma divisão de potências de mesma base a gente vai conservar base e subtraiu os expoentes eu vou ficar intercalando

hoje entre esse momento aqui da apresentação do conteúdo e o quadro que eu quero rechear esta aula de exemplos para que vocês percebam como de fato todas essas propriedades que a gente apresenta fazem todo o sentido vão começar por aqui se eu escrevo assim dois ao cubo vezes 2 na quarta certo o que diz a propriedade é que a gente pode conservar bases o mouse expoente ótimo mas por que isso acontece muito bem descreve 2 ao clube só que à sua maneira resumida simplificada da gente escrever 2 vezes 2 vezes dois quando a gente escreve

2 na quarta por sua vez é a mesma coisa escrever 2 vezes 2 vezes 2 vezes 24 vezes e quando a gente emenda esses produtos o produto de três fatores azuis correspondente a 12 ao clube o produto de quatro fatores vermelhos correspondentes a o2 na quarta a gente vai multiplicar o primeiro produto pelo segundo e no final das contas se vocês pararem para pensar a gente sai dessa com um total de três fatores mais quatro fatores esses são três fatores mais quatro fatores nós temos sete fatores no resultado final nada mais justo portanto do que

a gente somar os expoentes quando a gente somos expoentes a gente está na verdade somando o número de fatores que estão de ponta a ponta participando do nosso produto ea boa notícia é que esse mesmo princípio da multiplicação de potência de mesma base vai valer também quando você estiver em espanha fracionários com que a gente vai começar a trabalhar daqui a pouquinho em seguida você tem por exemplo ou escrever assim 55 na oitava potência / 5 ao quadrado 5 na oitava potência / 5 ao contrário à divisão de potência de mesma base quando eu tenho

cinco elevado na 8ª eu tenho que ter paciência para escrever se eu for escrever por extenso aliás ainda bem que existem os expoentes nós teremos que ver todas essas potências por extenso então escreveu 15 uma duas três quatro cinco seis sete oito vezes certo e em seguida eu vou plantar um denominador aqui e esse denominador também vai ser revelado na forma de uma potência de cinco mais especificamente 5 ao quadrado ou seja cinco vezes sim você observa que com isso a gente consegue cancelar a gente consegue simplificar o equivalente aos dois fatores do denominador o

numerador vai perder dois fatores que serão simplificados com os dois fatores do denominador e consequentemente dos oito fatores originais sobraram apenas 6 ou seja dois a menos do que o número de fatores originais vocês terão como resultado portanto o equivalente a 8 menos dois fatores vocês terão o equivalente a apenas seis fatores nessas condições é o benê multiplica as potências de mesma base por tanta gente somos expoente porque a gente está somando o número de fatores do nosso produto quando a gente divide potências de mesma base a gente subtrai os expoentes porque essa subtração revela

o número de fatores que irão persistir ou seja o número de fatores que não serão cancelados nós teremos sempre nessa circunstância fatores a menos para a gente atacar modo de apresentação aqui estamos de volta muito bem multiplicação de potência mesma base da base somos influentes divisão de potência mesma base conserva base subtrai o zee expoentes são as duas primeiras regras que a gente tem pra saber agora tem um momento espetacular a elevado na zero é a mesma coisa que um todos vocês já ouviram falar nisso e eu imagino que a grande maioria das pessoas que

estão assistindo agora classificam e sul como magia negra classificam isso como uma demonstração de algo verdadeiramente sobrenatural é claro essa base tem que ser um número diferente de zero para isso acontecer porque do contrário nós escreveríamos 10 elevado a 0 e essa expressão 10 elevado a 0 pertence a uma categoria muito especial de expressões matemáticas que são classificadas como indeterminada certo na continuação dessa aula gravada para os assinantes a gente vai falar mais a respeito desse assunto eu vou dar uma de mister m agora sabe eu eu vou revelar um segredo cara é assim que

eu me sinto agora revelando um segredo matemática porque pra muita gente quando a gente escreve a 0 igual a gente a gente aceita simplesmente porque sim porque uma professora me falou isso há muitos anos ela é uma pessoa boa não me pediria pra mim pois é ela não me diria para você mas possivelmente ela omitiu uma explicação relativamente simples atenção vamos lá então arregaçam as mangas todo mundo sabe quanto da a / a desde que se a seja diferente de zero todo mundo sabe quanto dá um número / ele mesmo assumiu que vocês todos devem

estar pensando agora que o número / ele mesmo dá um e com razão o número de fato / ele mesmo dá um o que a gente normalmente não faz porém numa situação como essa é materializar os expoentes invisíveis olha que lindo tanto a numerador quanto o a denominador podem ser percebidos por nós como se fossem potências potências de base à e cujo expoente invisível é igual a um observa a na primeira potência / a na primeira potência e santa que lindo demais que agora só nesse momento eu olho para a minha expressão a última expressão

e me dou conta de que eu estou diante de uma divisão de potências de mesma base quando a gente divide potências de mesma base como vocês acabaram de ver a gente conserva base e subtrai os expoentes o expoente de cima é um um expoente de baixo também é um e você acabou de concluir comigo milagrosamente que dividiram por ele mesmo é absolutamente a mesma coisa que elevar este número na zero o que nós temos lá na primeira coluna é rigorosamente a mesma coisa que nós temos na segunda e eu sei que vocês devem estar muito

surpresos com essa constatação afinal de contas essa é uma daquelas pequenas demonstrações que são obtidas e fazem com que a gente acredite que a matemática tem misticismo que a matemática envolve componentes sobrenaturais e não todas as coisas que a gente estuda em matemática elas podem se apoiar em coisas que a gente estudou no passado grande parte do propósito do estudo de matemática vai ser justamente esse revelar segredos e provar que estudar matemática pode ser legal é possível gostar de matemática você sabe muito bem qual é o nosso lema a essa altura do campeonato muito bem

aqui potência de potência certo quando você tem uma potência e essa potência está sendo levada a um outro expoente observe que os expoentes estão separados por parentes e certo então a potência de uma potência uma potência que está sendo levada a um certo expoentes sempre que isso acontecer vocês estão autorizados a multiplicar os expoentes elimina os parênteses e multiplica os expoentes corrente de dentro multiplica o expoente de fora e quando a gente for traduzir raiz observa quando a gente for traduzir raios em potência a gente vai realizar essa tradução usando um expoente fracionário que concentra

agora raiz de índice y de a elevado na x é a mesma coisa que a elevado nash sobre isso observa que quem era expoente virar numerador dessa fração e quem era índice vira denominador certo sempre faz questão de frisar alguns exemplos para que vocês possam testemunhar isso acontecendo na prática dois ao cubo elevado na quarta potência só que dois ao clube levado na quarta potência observa é a mesma coisa que dois ao cubo vezes 2 ao cubo vezes 2 ao cubo vezes 2 ao cubo é a mesma coisa que o 2000 publicado por ele mesmo

quatro vezes consecutivas momento que a gente multiplica os dois por ele mesmo quatro vezes consecutivas a gente acaba esbarrando numa multiplicação de impotência de mesma base conforme a gente acabou de ver a gente preserva base portanto nesse caso conserva base e somos expoente três mais três mais três mais três mas é claro somar um número com ele mesmo é algo que a gente não faz com muita freqüência porque a gente tem um procedimento simples prático e mais rápido de de realizar essa mesma operação nesse caso vocês diriam que isso aqui é igual a 2 e

levado à 34 vezes ou ainda três vezes 42 elevado a três vezes 4 é por sua vez a mesma coisa que 2 elevado na 12ª potência e o que eu quero que vocês saibam que a gente pode fazer uma ligação direta do primeiro ponto com esse passo aqui quando eu tenho expoente separados por parentes e eu posso portanto multiplicar os expoentes entre si certo e aí fica tudo dominado o problema está no bolso nessas condições muito bem quando eu falo em raiz é importante saber fazer essa tradução instantânea eu tenho por exemplo raiz kubica raiz

cúbica de 5 elevado na quarta-feira atuais cúbica de 5 elevado na quarta eu tenho que saber transformar isso aqui em 5 elevado na quatro terços observa quem era um expoente vira numerador quem era índice vira denominador essa conversão é importantíssimo vocês têm o dever moral de saber fazer e se tiver inscrito só assim raiz de 6 por exemplo e não tiver nada desenhados em nenhum expoente nenhum indício aí você tem que saber que o índice vale 2 o índice padrão de uma raiz é o índice 2 arraes padrão é a raiz quadrada e o expoente

vale 1 e consequentemente tirar a raiz quadrada de 6 é a mesma coisa que e levar 6 a 1 no meio jean 6 elevado na unha então tá aí raiz convertida em expoente beleza pura temos mais pra falar a partir de agora por exemplo olha só agora a gente entra numa seara um pouco diferente quando a gente estava trabalhando com os primeiros exemplos aqui eu estava sempre falando em mesma base multiplicação de potência de mesma base divisão de potência de mesma base agora vocês observem que quem é igual não é a base quem é igual

àquele produto de potência que você tem ali na entrada são os expoentes os expoentes são iguais e nessas condições quando você estiver em um produto de potências cujo expoente é o mesmo vocês podem consolidar os expoentes como vocês estão vendo aqui em cima vocês podem consolidar os expoentes em apenas 1 e multiplicar as bases certo isso tenha de uma maneira estranha de falar sem porque é um pouco confusa mas é de fato o que está acontecendo aqui o produto das potências é igual a potência do produto olha bem o produto das potências lá é igual

a potência do produto aqui isso funciona e funciona maravilhosamente bem sempre quando vocês estão falando de potência de mesmo expoint muito bem uma outra coisa importante para saber que essa mesma premissa esse mesmo princípio vale quando vocês estão falando de uma divisão divisão de potência de mesmo expoente a gente preserva expoente consolidam um expoente como vocês estão vendo aqui e dividir as bases uma pela outra certo então a razão entre as potências é igual a potência da razão de novo é o mesmo princípio a gente inventa essas palavras mas chega à mesma conclusão eu me

atrevo a dizer que esse exemplo é essa propriedade ela é aceita normalmente pelas pessoas com mais naturalidade do que a anterior deixou tentar mostrar isso para vocês aqui de novo no quadrinho para que vocês possam ou não concordar tomara que sim certo uma só quando eu tô falando nesse tipo de situação ah eu vou por exemplo pegar 5 ao cubo / 2 ao cubo e você observe que o expoente é o mesmo e como eu falei pra vocês talvez até pelos expoentes estarem posicionadas assim os dois à direita na mesma coluna as pessoas como eu

falei com isto não tem naturalidade em transformar isso aqui em cinco meios ao cubo até porque também costumam saber que quando a gente leva uma fração a uma potência a um certo expoente a gente leva numerador e leva denominador para poder chegar a algum resultado ou seja é facilmente resgatável essa expressão anterior se vocês pensarem por aí agora que nem todo mundo se dá conta que isso pode ser feito também quando a gente está diante de um produto por exemplo 5ohkubo vezes 2 ao cubo observa o expoente 3 é o mesmo se o expoente 3

é o mesmo ele pode ser consolidado e quando a gente consolidar a gente vai escrever cinco vezes 2 elevado ao cubo curioso é que cinco vezes 2 e 10 para pensar 10 e aí vai escrever 10 ao cubo de rubik mills que beleza e fica fácil fica ainda mais fácil de fazer a conta do que se vocês tivessem expandido as potências aqui vocês teriam dito 5 ao cubo é 125 e depois 2 ao cubo 2 ao cuba 8 125 vezes oito talvez vocês demorassem mais para encontrar o resultado do que direto mil potência de 10

como é simples né da gente da gente expande muito bem então as propriedades que eu apresentei para vocês especificamente as que correspondem a potência de mesma base e potências de mesmo expoente elas normalmente são ensinadas para nós exatamente como eu acabei de fazer com um sentido que parece ser um sentido de ida é o sentido da memorização se vocês pensarem multiplicação de potências mesma base conserva base e somos expoente a gente sabe que quando o explica somos espanha nessa ordem isso é uma ida é a divisão de potência mesma base conserva básico traz expoentes divisão

sub 13 foi de novo ida certo acontece que no mundo da matemática é muito comum a gente precisar da ida e também precisa da volta é pra isso eu separei esses dois slides para que vocês possam testemunhar a ida ea volta acontecendo de maneira recíproca e entendam que dependendo da circunstância vocês podem ser convidados a fazer tanto uma coisa quanto a outra certo ida por exemplo é multiplicar a potência de mesma base como vocês estão vendo aqui e somar os expoentes 2 na x vezes 2 o cubo é igual a 2 na china mas beleza

vai ser a volta então a volta a isso aqui é quando a gente tem uma soma no expoente a gente reconhece como vocês estão vendo ali que está diante de uma soma no sprint e abri essa soma no expoente num produto de potência de mesma base isso é o que nem todo mundo sabe fazer aquilo lá a gente de cola apagado no ensino fundamental em algum momento da vida mas isso aqui o sujeito tem que estar bem instrumentados tem que estar bem orientado para conseguir saber fazer reconhecer portanto a soma no expoente que pode ser

transformada imediatamente em uma multiplicação de potências de mesma base se for divisão divisão de potência de mesma base a gente consegue uma base subtraiu expoentes como vocês estão vendo aqui à minha direita ea volta a volta é reconhecer quando a gente tem uma subtração expoente que nem vocês estão vendo aqui e saber que essa subtração pode ser aberta pode ser expandida em uma divisão de potência de mesma base 7 na p ii / sentindo assim observa que quando isso acontece o sinal não desce junto com o 5 a isso é onde as pessoas costumam errar

com mais freqüência nem levam menos cinco transforma isso aqui em 7 na pt / 7 -5 não é o caso tomar cuidado quando a gente com a abri a a subtração do expoente numa divisão o denominador o expoente do governador não leva junto o sinal de menos é muito importante na nota faz o registro nas suas anotações muito bem mais coisas para a gente ver na ida e na volta da uma olhada 2 a mvc 5 km com farol mostrei pra vocês um quadrinho aqui agora o expoente é o mesmo agente pode consolidar os expoentes

e transformar isso em uma potência de um produto 10 na m mas a gente também tem que saber fazer o caminho de volta por exemplo eu estou diante dos seis na x os 6 como a gente viu na primeira aula pode ser decomposto em fatores primos 2 e 13 a gente vai escrever dois meses três elevado na china no momento em que o produto está elevado a um único expoente a gente vai levar cada um dos fatores do produto a esse mesmo expoentes então dois meses três na x é a mesma coisa que dois na

x vezes três lanches estão entendendo em tomara que sim porque a ida ea volta são igualmente importante não é porque a gente aprendeu a coisa num sentido numa de com uma determinada orientação que vai daqui para lá que a gente vai sempre usar as coisas com a orientação foi nos apresentado é bem importante a gente ter essa consciência e aqui pra finalizar então as idas e voltas três na china / 4 x é a mesma coisa que 34 x e no caso da volta vocês vão ter sete textos na penha levou em cima ou embaixo

7 na pt / 3 na p vocês têm que ter versatilidade é muito importante saber isso a voltar conforme a circunstância muito bem esse detalhe muito importante árias não tem noção do quanto você olha só - vai levar a ele quando eu falo de - ah eu estou assumindo que há é positivo e portanto menos a menos a é um número negativo quando eleva o número negativo a um determinado expoentes e encontra o resultado positivo isso é sintomático isso é sinal de que o meu expoente é para sempre que a base negativa e levada a

um certo expoente resulta em algo positivo é obra de arte responsabilidade do expoente pa agora quando eleva essa base negativa a um expoente inpa o resultado também será negativo e observa quando o sinal de menos está plantado na frente da potência meu amigo minha amiga pelo amor de deus não eleve - a ao expoente porque aí vai valer uma coisa muito importante chamada precedência de operadores que estabelece uma ordem precisa para que a gente saiba como realizar as operações matemáticas potências e raízes em primeiro lugar multiplicações e divisões em segundo lugar e soma de subtrações

vem por último por tanto como eu tenho uma potência aqui essa potência tem que estar pronta o resultado dessa potência tem que estar pronto antes dela trocar de sinal significa em última análise que quando o expoente é impor conforme vocês estão vendo aqui nesse exemplo o resultado da potência será negativo fiquem muito atentos desde já com relação ao fato de que em ambos os casos ambos os exemplos que estou apresentando para vocês aqui agora eu estou levando uma base negativa protegida entre parênteses a um expoente cuja natureza pode ser parou pode ser limpa e aí

vocês vão achar que eu enlouqueci no próximo slide aqui especificamente em que estou escrevendo que uma coisa é igual a ela mesma e é verdade o que eu quero que vocês saibam que quando não houver o parêntesis - a elevado na n sempre será igual a menos a elevado na n ou seja vocês vão realizar o cálculo da potência e uma vez realizar o cálculo da potência vocês tocaram resultado de sinal significa que para a qual quem expoente nessas circunstâncias eu disse pra qualquer expoente quando vocês levarem a na n e trocarem o resultado de

sinal que é isso que está proposto nesse caso ou seja quando não houver os parênteses o resultado da potência será sempre negativo certo sempre será negativo mais algumas curiosidades para vocês fundamentais sensacionais do mundo da matemática aná - você já ouviu falar quando o expoente de uma fração quando o expoente de uma base é negativo nós temos que inverter a base já ouviu falar certamente assim como tinha ouvido falar seguramente que o expoente 0 se traduzir no resultado um pois bem quando a gente escreve aná - um agente pode materializar 10 antes desse -1 ninguém

faz isso é claro mas a gente pode material 100 a gente vai escrever a elevado na zero - um e quando a gente materializa esse 0 a gente pode fazer aquele caminho de volta da divisão de potências de mesma base de que eu estava falando para vocês agora há pouco enxergar que como toda boa subtração no expoente essa subtração pode ser convertida em uma divisão de potências de mesma base só que dessa vez no numerador eu voltei a 0 no meu denominador eu voltei na primeira potência lembrando que o sinal não acompanha o expoente que

vai parar no denominador e como vocês todos bem sabem a 0 é a mesma coisa que uma na primeira potência a mesma coisa que aí vocês acabaram de chegar comigo à conclusão de que levará menos um é a mesma coisa que escrever um sobre a ou seja quando o expoente negativo basta inverter a base não é exclusividade do expoente e 11 deixar claro não é só a menos um que vai funcionar se for a na - e n ta tudo numa boa também funciona e funciona que é uma maravilha a menos ele a mesma coisa

que a 0 - n materializa que eles eram ali na frente e agora abre isso numa divisão de potência de mesma base que lindo momento que isso acontece vai escrever que a nasa era a mesma coisa que um e que a ele a mesma coisa que ele próprio a na n portanto a gente inverteu a base e trocou o expoente de afinal toda vez que o expoente é negativo e nós queremos transformar ele no seu simétrico positivo basta inverter na base e trocar o expoente disse 'não barbada cargo