Grupo das Isometrias do Plano

[Música] Olá caríssimos sejam todos e todas bem-vindos aqui no canal fazer um vídeo sobre geometria mas que usa a ideia de grupos mais um nessa sequência você estão vendo que eu sou fã de teoria de grupos né Fiz um uma boa quantidade de vídeos sobre grupos mas que o que eu gosto mesmo é aplicar grupos em problemas de geometria eu vou descrever o grupo das isometrias do plano é um negócio riquíssimo super bonito dois livros que eu gosto muito disso um do Elon Lages Lima que é editado pela sociedade brasileira de matemática e um que

é do Sérgio Alves e da Maria Elisa Galvão professores da USP editados pelo im da USP os dois tratam do do mesmo tema Então pensa que eu tô olhando pro plano e que eu vou pegar isometrias então são aplicações do plano no plano que preservam distância D dos dois pontos você olha a distância entre eles eles vão parar em Pontos que estão com a mesma distância original é possível descrever todas as isometrias esse problema tem uma questão filosófica extremamente importante que é a a questão do de como congruência de triângulos Olha que coisa bonita na

fundamentação da geometria que o Euclides fez ele não colocou congruência de triângulos como um axioma mas ele usava de forma tácita um princípio físico que se dois triângulos tinham aquilo que nós chamamos de condições de congruência por exemplo os três lados congruentes Eles podiam ser superpostos então o Euclides no meio de uma argumentação ele se dava o direito de pegar um triângulo e fazer esse triângulo se superpor a outro triângulo no caso que eles fossem congruentes Claro mas isso levantou uma questão quando já no fim do século XIX se começou a enxergar geometria com muito

Rigor e querer axiomatização mais simples que já tá nos trabalhos do Hilbert por exemplo já na virada do século XIX pro século XX é que o caso lá do lado lado é um axioma o caso de congruência lado lado lado então se dois triângulos têm os mesmos lados lados de mesma medida eles são congruentes que quer dizer que eles são congruentes que tem uma isometria que aplica um no outro isso é um axioma na construção de Hilbert Então olha que legal um caso de congruência tem que ser axioma os outros casos de congruência viram teoremas

Muitas vezes os livros didáticos não dão muita importância para isso mas filosoficamente é isso você tem que pôr alguma coisa nos axiomas Essa é uma das soluções clássicas uma outra solução é construir uma teoria de isometrias e definir congruência como sendo aqueles triângulos dois triângulos são congruentes existe uma sria que aplica um sobre o outro na construção mais clássica mais comum a congruência é um axioma e essa história de que dois triângulos são congruentes se somente se existe uma simetria que aplica um no outro é um teorema essa construção que eu vou resumir aqui para

vocês isso é um teorema super bonito isso e remonta aos fundamentos da Matemática quais são todas as isometrias do plano eu vou descrever algumas por exemplo a função identidade é uma isometria a gente costuma colocar L parte Ela poderia ser pensada como uma translação de Vetor nulo ou uma rotação de ângulo nulo Mas normalmente deixa-se a a identidade à parte porque ela tem todo mundo invariante né todos os pontos são fixos uma translação é uma isometria O que que é uma translação é pegar o plano e transladar por uma de uma direção de um um

módulo constante todos os pontos deslizam para descrever a translação eu preciso dizer uma direção para onde eu vou transladar eu preciso dizer um sentido se eu vou transladar para lá ou para cá nessa direção dada uma direção eu posso transar para um lado ou pro outro e o tamanho da translação o tamanho do deslocamento Opa eu tenho que dar direção sentido e módulo isso chama-se vetor então tem duas maneiras de descrever translação usando o vetor e usando o que é equivalente que é dizer qual é a direção Qual é o sentido e qual é o

tamanho da translação usando vetor a translação fica dada por um vetor v e como que é a fórmula da translação ela pega um ponto a e manda o ponto a no ponto A + V aí a gente tem que definir essa operação geométrica de somar um ponto com vetor corresponde a pegar o ponto e associar o vetor nele e a imagem desse ponto é a extremidade do vetor aplicado nele então isso é uma translação e ela fica caracterizada por um vetor se eu pegar o vetor nulo ela vira identidade e a outra maneira de caracterizar

translação é então falar que eu desloco dou a direção o sentido e o tamanho do deslocamento que é a mesma coisa que dá o vetor quando a gente faz esse estudo teoremas que Começam a surgir ah translação tem conjuntos tem ponto fixo não se o vetor for diferente de zero nenhum ponto fixo tem conjuntos invariantes tem as retas que estão na direção do vetor elas vão nelas próprias porque se você translada numa determinada direção uma reta que já é paralela a esse vetor ela simplesmente se desloca sobre si mesma então então nas isometrias a gente

gosta de olhar conjuntos invariantes e e pontos fixos a translação por um vetor não nulo não tem ponto fixo e tem retas paralelas ao vetor que são invariantes um outro tipo de isometria rotações rotação em torno de um ponto você fixa um ponto e faz rotação em torno daquele ponto de um certo ângulo teta se o ângulo for nulo cai na identidade mas a gente identidade a gente Deixa separada e rotação de um ângulo diferente de zero você o que que é rotação em torno de um ponto você fixa um ponto pega as circunferências de

centro nesse ponto e faz todo mundo rodar sobre essa circunferência do mesmo ângulo teta tem ponto fixo a rotação tem o centro de rotação se você roda em torno de um ponto esse ponto não sai do lugar então tem um único ponto fixo uma rotação de ângulo teta um único ponto fixo que é o centro e conjuntos invariantes as circunferências as circunferências de centro no ponto elas rodam elas são aplicadas sobre si próprias os pontos se deslocam não ficam parados Mas eles vão sobre ela própria Então veja só aqui eu tenho invariância por retas e

aqui eu tenho invariância por circunferências aqui eu não tenho ponto fixo aqui eu tenho um ponto fixo são simetrias então que tem uma atuação diferente sobre o plano reflexão em reta reflexão em reta Você tem o plano você privilegia uma reta qualquer uma e qual que é a aplicação você manda um certo o ponto do Plano A traça perpendicular a reta dada e pega no outro semiplano o ponto que tem a mesma distância da reta como se fosse uma reflexão no espelho você trata como se a reta fosse um espelho e você faz a reflexão

nessa reta Então você fixa uma reta para cada ponto você olha o a perpendicular que passa pelo ponto e corta a reta e pega do no outro semiplano você tem o ao pega no outro sem sem plano o ponto b que tem a mesma distância em relação à reta is é a imagem do a isso é uma reflexão em reta teoremas que a gente vai demonstrando quando vai construindo essa teoria rotação é diferente de translação já demonstrei porque quando eu falei dos invariantes serem diferentes reflexão tem ponto fixo tem infinitos mas não é o plano

todo a identidade é o plano todo a translação ninguém na rotação é o centro de rotação na reflexão em reta a reta é invariante é fixa a reta fica parada os pontos da reta não saem do lugar então ela tem uma reta formada de pontos fixos invariantes as retas perpendiculares à reta dada vão parar sobre si próprias Então você tem muitos conjuntos invariantes na reflexão em reta todo conjunto que for simétrico em relação à reta ele tem como imagem ele mesmo você pode pegar uma circunferência que a reta seja um diâmetro ela vai nela mesmo

simplesmente cada metade reflete sobre a outra então a reflexão em reta tem um monte de conjuntos invariantes e uma reta de pontos fixos Isso mostra que e reflexão em reta é uma coisa rotação é outra translação é outra a identidade é outra e tem um quarto e último tipo que são a palavra em inglês bem curtinha é Glide de deslizamento mesmo e que em português não se teve uma palavra muito feliz então os autores costumam usar reflexão transladada que que é um Glide é é uma figura super interessante se imagina uma reta vou mostrar aqui

vou pegar a letra f vou mostrar onde vai parar o f quando eu aplico um Glide que que você faz com o f primeiro você reflete numa reta r por isso que é reflexão transladada refletir o f numa reta r eu obtenho uma imagem que é um F refletido naquela reta r é diferente do próprio F né a imagem simétrica do F E aí eu translado de um vetor V então o que que é um uma reflexão transladada eu pego a minha figura reflito numa reta r e translado por um vetor V paralelo à reta

r não é uma translação qualquer é uma translação paralela à reta Inicial tá Isso é uma reflexão transladada tem ponto fixo ponto fixo não porque todos os pontos vão transladar e a translação não tem ponto fixo que que a gente tem como invariante a reta r vai sobre ela própria e quando translada ela vai sobre ela própria então a reta r ela é fixa na reflexão invariante na translação ela vai sobre ela própria Isso é uma reflexão transladada a gente consegue falar em orientação do espaço a reflexão e a reflexão transladada orientam a invertem a

orientação as translações e rotações preservam orientação aí no construir essa teoria a gente demonstra um monte de coisas tem alguns teoremas que fala assim ah se uma isometria preserva tem três pontos fixos Então ela é três pontos fixos não colineares três se tem três vértices de um triângulo que são fixos então é identidade e a gente vai demonstrando teoremas que caracterizam Quais são as isometrias um dos teoremas é que se você fizer composição entre essas isometrias aplica uma rotação depois uma reflexão depois um Glide depois uma translação depois outra rotação você acaba caindo numa delas

mesmo elas são fechadas por composição de funções se você aplicar sucessivas vez essas quatro ideias você cai numa coisa que é uma delas você não não tem nada além delas no mundo das isometrias o mundo das isometrias é fechado por operações com essas quatro coisas isso é um grande teorema que pode ser enunciado assim seja Fi uma isometria do plano então teorema ou Fi é a identidade ou Fi é uma translação ou é uma rotação ou é uma reflexão em reta ou é uma reflexão transladada ponto não existem outras isometrias eu vou repetir a ideia

se você compuser duas dessas continua sendo uma isometria então poderia alguém pensar que se compuser uma rotação com uma reflexão transladada vai dar uma coisa que não é nenhuma delas não uma rotação com uma reflexão transladada é uma reflexão transladada mas em uma terceira reta que é a rotação da reta de Apoio e você tem um monte de teoremas desse tipo que dizem que não tem nada além delas e compondo e usando essas isometrias não vai aparecer nada de novo a gente continua dentro elas formam o grupo das isometrias do plano teorema é seja Fi

uma isometria do plano então F é a identidade ou é uma translação num vetor V ou é uma rotação de um ângulo teto ou é uma reflexão numa reta r ou é uma reflexão transladada super lindo esse teorema eles estão nesses livros que eu indiquei e a descrição das isometrias é através de um grupo esse conjunto é um grupo el tem uma estrutura algébrica operacional super importante que é a estrutura de grupo Esse resultado é lindíssimo é assim muito gostoso de estud d e acompanhar to e o que na no final de tudo depois disso

a gente tem Inclusive a conexão com o conceito de congruência que que são figuras congruentes qualquer figura em em geral que que é a gente tem muito facilmente triângulos congruentes né mas e figuras quaisquer quando é que duas figuras quaisquer são congruentes definição se existe uma isometria que aplica uma na outra esse é o conceito de congruência mais forte que tem na geometria e para ter terminar um estudo parecido pode fazer ser feito no espaço ele fica um pouquinho mais sofisticado lindo de morrer mas é por exemplo as rotações A reflexão você não faz em

reta você faz reflexão em plano rotação se faz rotação em reta A reflexão transladada leva o conceito de reflexão em espiral porque você ao rodar e transladar no espaço imagina essa coisa né você roda no espaço e translada você faz uma coisa que lembra uma hélice porque a rotação no espaço transladada dá uma uma figura que tem formato de hélice mas daí tem é um estudo muito parecido a categoria das isometrias é um pouco mais Ampla mas o teorema é o mesmo uma isometria é uma daqueles da categoria no livro do Elon tem isso no

livro da Maria Elisa e do Sérgio Alves não legal eu acho essee tema fascinante m