Ciao ragazzi benvenuti Oggi siamo insieme per un'altra lezione di probabilità e in particolare vedremo la somma di variabili aleatorie indipendenti nel caso in cui le variabili indipendenti sono delle normali Ok quindi sono distribuiti come una variabile aleatoria normale di media mu e varianza Sigma quadro Innanzitutto vi dico che l'argomento sulla somma delle variabili aleatorie indipendenti è molto ampio Perché Voi potreste sommare variabile storie discrete come continue come ad esempio somma di bernulli indipendenti binomiali indipendenti puon indipendenti esponenziali indipendenti ok e ottenete delle altre variabili aleatorie Ok di cui si va a dimostrare Quant'è a priori
già la loro media e la loro varianza Ok ora quello che trattiamo oggi è solo il caso in cui andiamo a sommare delle variabili aleatorie normali indipendenti ok e abbiamo bisogno del seguente teorema che ci dice che se abbiamo X1 X2 fino a X con N variabili aleatorie indipendenti ognuna distribuita Come una normale di media mu i quindi vuol dire che la generica X con i ha media mu con i non necessariamente Quindi queste avranno tutte la stessa media ok e di varianza Sigma qu i Quindi ogni variabile aleatoria normale avrà una certa media e
una certa varianza Però noi sappiamo che sono tutte normali ok anche se queste medie e varianze possono essere diverse noi sappiamo che comunque tutte hanno seguono la legge normale allora la somma di tutte queste variabili aleatorie che è una nuova variabile aleatoria è distribuita anch'essa Come una normale che ha per media la somma di tutte le medie delle variabili aleatorie X con 1 fino a X con n e ha per varianza la somma delle varianze Ok quindi la somma di normali indipendenti è aness una normale con media la somma delle medie e varianza la somma
delle varianze Ok adesso però prima di procedere con l'esercizio vi voglio ricord dare la seguente cosa da fare attenzione perché chiaro è che se non ci viene data l'indipendenza se non possiamo assumere l'indipendenza Allora dovremmo osservare Come calcolare il valore atteso della somma delle n variabili aleatorie che abbiamo e la varianza ok Infatti se calcoliamo il valore atteso della somma di n variabili e aleatorie Questo sarà il valore atteso di X1 + X2 + X con 3 eccetera eccetera fino a X con N per l' additività del valore atteso questo è la somma dei valori
attesi Quindi il valore atteso di X con 1 più valore atteso di X con 2 fino al valore atteso di X con N quindi di fatto siamo sommando tutti i valori attesi Perciò lo posso scrivere come la somma per i che va da 1 ad n del valore atteso di X con i Quindi abbiamo che la media della somma di variabili aleatorie è la somma delle medie cosa succede però per la varianza Qua stiamo molto attenti perché la varianza della somma di variabili aleatorie non è la somma delle varianze se non abbiamo l'indipendenza perché questo
sarà la varianza di X con 1 + x 2 + + x con n e questo è dato da la somma delle varianze x con i per i che va da 1 ad n Men due volte le somme su tutti gli i minori di J della covarianza tra X con i e X con J Quindi abbiamo un termine in più Ok dobbiamo calcolarci le covarianza va da sé che nel caso dell'Indipendenza la covarianza di variabili aleatorie indipendenti è nulla Ecco perché questo termine nel caso di variabili atorie indipendenti non c'è perché è zero e otteniamo
che la varianza della somma di variabili aleatorie è la somma delle loro varianze Ok tenetelo a mente negli esercizi perché se non avete l'indipendenza non potete assumere l'indipendenza vi dovete calcolare anche le COV varianze ok Il problema da risolvere è il seguente il fatturato lordo settimanale di un ristorante si distribuisce come una variabile laoria normale di media €200 e deviazione standard di €20 Qual è la probabilità che il fatturato lordo totale delle prossime due settimane superi i €5000 assumete l'indipendenza Allora vediamo di risolvere questo problema partendo proprio dal punto dell'Indipendenza Ok qual è questa ipotesi
di indipendenza che il fatturato di ogni settimana è indipendente dalle altre settimane ok Quindi non c'è nessuna legge che mi dice che stabilisce Qual è il mio fatturato settimanale che dipende dalle settimane passate ok Quindi quello che fatturo ogni settimana è indipendente da quello che è successo nelle precedenti settimane e quello che succederà nelle future settimane chiaro adesso vediamo che cosa ci dice ci dice di calcolare la probabilità che il fatturato lordo delle prossime due settimane quindi il fatturato della prima e della seconda settimana superi i €5000 chiamo X con i il fatturato della settimana
iima Ok quello che ci sta chiedendo di calcolare è la probabilità che il fatturato lordo nelle prossime due settimane sia maggiore di €5000 quindi il fatturato totale della prima e della seconda settimana deve essere maggiore di 5.000 Questo è quello che ci sta dicendo ora X con i rappresenta il fatturato della settimana iesim e per l'indipendenza sappiamo che il fatturato di ogni settimana è una distribuzione normale quindi X con i è una distribuzione normale di media €200 e varianza 230 all seconda ok Quindi per risolvere il problema Dobbiamo capire qual è la distribuzione di X1
+ X2 Perché queste vanno a costituire una nuova variabile aleatoria Ok la chiamo Y quindi Y è la somma di queste due variabili aleatorie normali indipendenti quindi sappiamo che y si distribuirà come una variabile aleatoria normale di media la somma delle medie cioè mu1 + mu2 e varianza la somma delle varianze cioè Sigma qu 1 + Sigma qu 2 il che significa che Y è una normale di media 2200 * 2 quindi 4400 e varianza dovremmo fare 2 230 qu + 230 quad quindi 2 volte 230 al quadrato Ok A questo punto siamo pronti per
calcolare questa probabilità dobbiamo stare attenti che qui abbiamo un segno di maggiore quindi per ricondurci alla funzione di ripartizione di una normale dobbiamo passare al complementare e scriverci questa probabilità come segue cioè la probabilità che questa volta scriverò Y Mag 5000 la scrivo come 1 Men la probabilità che Y sia minore o uguale di 5000 Ok quindi ora sapete che quando abbiamo una variabile aleatoria normale per poter calcolare la sua funzione di ripartizione Dobbiamo standardizzare quindi questo dovrò scriverlo come 1 Men la probabilità che y - la media di Y questa volta quindi questa media
di 4400 su Sigma Ok Dove Sigma è la radice quadrata della varianza di Y è min uguale di 5000 - la media di Y su Sigma di Y Ok A questo punto la variabile aleatoria Y - mu su Sigma è una variabile Z cioè una normale standard quindi una normale di media 0 e varianza 1 min uguale di 5000 - 4400 / la radice quad di 2 * 230 al qu quindi questo sarà 1 Men la probabilità che Z sia minore o uguale di 600 su 230 * √2 e adesso andiamo a calcolare quant'è questo
rapporto che è pari a 1,84 ora abbiamo bisogno delle tavole della normale per poter calcolare la funzione di ripartizione F di 1,84 Ok Ecco quindi che otteniamo che F di 1,84 corrisponde a 0,967 Ecco quindi che dall'utilizzo delle tavole questa probabilità sarà pari a 1 - 0,671 che è pari a 0,032 Ok e questo quindi completa l'esercizio Io spero che vi sia stato utile e noi ci vediamo al prossimo video Ciao
