REVISÃO DE GEOMETRIA PARA OBMEP 2024 - COMPLETO

na prova da OB map que você vai fazer no mínimo no mínimo 90% do conteúdo de geometria tá aqui eu garanto Garanta a você ah Léo tem se chegar no dia da prova e não fo isso tudo que tu tá falando aí pode voltar aqui nesse vídeo e me xingar nos comentários garanto a você agora tem que assistir até o final prestar muita atenção Pega um papel uma caneta e começa a anotar porque aqui vai ter conteúdo infinito e eu vou te mostrar de um jeito mastigado de maneira bem prática para você já colocar em

cima das questões agora só tem um recadinho rápido se você quiser aprender como é que você vai organizar o seu estudo até o dia da prova como é que você vai justificar as questões da segunda fase clica no primeiro link aqui da descrição e se inscreva no evento OB map ou Resgate a gente vai fazer daqui mais ou menos duas semanas Então já entra no grupo clica aqui no primeiro link da descrição tô te esperando lá depois a gente vai conversando lá no grupo a gente explica direitinho como é que vai funcionar isso aí mas

vamos aqui para cima da revisão que que a gente tem de conteúdo aqui a gente vai falar de áreas e perímetros vai falar de ângulos ângulos vai falar de que mais de semelhança de triângulos congruência de triângulos razão entre áreas circunferências conteúdo pro nível três e vai detalhar circunferências pronto tá aqui tá aqui isso aqui é 90% do que você precisa tá 90% Então vamos entender cada detalhe por detalhe O que que a gente precisa saber de áreas e perímetros Qual que é a o detalhe aqui muita gente acha que a gente precisa aprender aqui

as fórmulas e calcular a fórmula da área de cada uma dessas figuras aqui desses polígonos e a verdade é que não a verdade é que esqueça fórmulas esqueça na verdade lembre só de uma lembre só de uma Qual é lé base vezes altura é só essa aqui que eu quero que você saiba base vezes a altura isso aqui é a fórmula de qu mesmo é do retângulo é a base vezes a altura dele não só do retângulo mas do paralelogramo também base do paralelogramo vezes a altura dele não confunda isso aqui não é altura do

paralelogramo não isso aqui é o lado que que é a altura dele a altura dele tá aqui ó daqui para cá então você vem da base dele e mede a distância até a outra base aqui superior Então essa essa distância justamente isso aqui é a altura então área do paralelogramo é a base dele vezes a altura agora do Triângulo como é que é do Triângulo todo triângulo é a metade de um retângulo metade de um retângulo então se você pegar esse triângulo aqui quiser calcular a área dele é base dele vezes a altura dividido por

2 Então vamos botar aqui ó base tá até menorzinho assim base aqui seria o qu ó a altura o que que é a altura mesmo é que faz 90º você desce de um vértice até a base fazendo 90º isso aqui é a nossa altura e você multiplica base vezes altura dividido por do Então não precisa decorar você não entendeu o retângulo que é base vezes altura o triângulo é a metade de um retângulo então é base vezes altura dividido por dois pronto vai embora e aqui o losângo você pode dividir ele em dois triângulos E

aí você calcula o triângulo de cima calcula o triângulo de baixo base vezes altura base vezes altura não tem por decorar fórmula de área do lozango agora hexágono Léo ixe sago não complicou né complicou nada rapaz complicou nada tu acha que eu vou deixar alguma coisa complicada para você fazer não olha aqui ó divide o hexágono em triângulos porque assim você não vai precisar decorar mais uma fórmula aqui tem quantos triângulos tem seis pronto tu calcula de um e multiplica por seis e aí precisou decorar mais alguma coisa não tá aqui ó Tudo se resume

é você saber a área do retângulo a área do triângulo e depois você Desenrola as outras os outros polígonos principais que foram aparecendo aí e assim para ser sincero na tua prova é a área do triângulo que importa é isso que vai ser difícil e vou já te mostrar por que isso é tão difícil mas le e o perímetro tu nem falou de perímetro é porque perímetro é só você somar os lados Então você vai pegar a medida desse lado desse lado desse lado desse lado soma tudo e você vai fazendo isso com qualquer polígono

com qualquer forma geométrica você soma todos os lados Esse é o perímetro perfeito área é o tamanho da superfície perímetro é o contorno dessa superfí fechou né vai anotando vai anotando seguinte qual que é dificuldade desse assunto agora vou te eu vou te passar aqui o mel presta atenção Presta atenção que eu vou te passar aqui agora não é simplesmente porque assim uma coisa é falar ah base vezes altura dividido por dois isso aí todo mundo sabe agora como é que a prova vai querer te enganar vai querer dificultar a tua vida é isso que

eu vou te falar agora na tua prova é muito comum que apareça esse tipo de problema aqui apareça um retângulo e Apareça um monte de triângulo enrolado aí você tem um triângulo aqui tem outro triângulo lá outro aqui outro AC lá ou seja aí você confunde sua cabeça e não consegue prestar atenção no mais importante no mais importante que é o quê esses dois triângulos o azul e o verde que tá aqui na prova não vai estar colorido assim não bonitão hein não vai estar aqui tudo separadinho não tô te prestando na prova você tem

que virar sua chavinha e começar a observar o que que tem triângulo igual aqui presta atenção mas ó esse triângulo azul e esse Verde tem áreas iguais áreas iguais agora quem é das antigas aqui já sabe por que que eles têm áreas iguais porque que eles têm a mesma base e tem a mesma altura pronto triângulos de mesma base mesma altura tem mesma área Qual a explicação base vezes altura dividido por 2 não é assim que a gente calcula se a base é a mesma a altura é a mesma o resultado desse cálculo aqui é

o mesmo então você tem base vezes altura dividido por 2 de qualquer jeito Léo se esse vértice aqui do Triângulo Verde tivesse aqui ó nesse cantinho ou esse azul tivesse aqui no meio mas mas formando um triângulo do mesmo jeito aqui ó nessa mesma base mudava alguma coisa mudava não rapaz não mudava lembra o que que é altura a altura você vai lá do vértice e puxa até embaixo formando 90º então a altura deles é justamente essa altura aqui do retângulo ó então a altura vai ser sempre essa Independente de onde você desenha o triângulo

pode desenhar ele partindo daqui pode desenhar ele partindo daqui a altura dele é essa fixo base aqui fixo também então se a base é a mesma sempre a altura é a mesma sempre acaboa tem a mesma área anotou ficou na dúvida ó todo mundo a partir de agora escreva aqui nos comentários triângulos de mesma base mesma altura tem mesma área show de bola mas às vezes a questão vai querer te confundir mais ainda vai deixar de ladinho vai deixar de ladinho E você vai ficar assim ah o Léo não me falou isso Léo não me

falou Rapaz tô te falando tô te falando que eu vou te entregar o negócio olha aqui Vira a Cabeça de lado assim dá só uma viradinha você vai perceber que é o mesmo exemplo desse aqui anterior é o mesmo exemplo base ó agora você não vai olhar para essa base e essa altura aqui não você vai olhar essa base e essa altura aí sim aí sim você vê que esses dois triângulos o verde e o azul tem a mesma base e tem a mesma altura lembra mais uma vez a altura vai do vértice até o

lado oposto fazendo 90º então essa aqui é a altura do triângulo azul essa aqui a altura do triângulo verde que é a mesma altura aqui desse retângulo Se você olhar olhar virar assim ó você vira e olha então não tem mistério aqui até aqui tudo bem certo tranquilo posso continuar então preste atenção que outro exemplo porque muita gente confunde também tem alguma relação entre esses dois triângulos sim ou não rápido responde rápido dá um grito aí sim ou não Sim tem uma relação se não tivesse relação não tinha colocado aqui tem qual que é essa

relação tem mesma área mesma área mas Léu mais uma vez agora aqui eu não consegui perceber a mesma base mesma altura ó a altura deles dá para perceber né Qual que é a altura do triângulo Verde aqui ó Qual que é a altura do triângulo azul a mesma altura vem do vértice até na base ah leé mas esse triângulo azul aqui a base dele tá aqui ó a altura dele não deveria vir assim eu penso que ele deveria vir aqui a altura rapaz imagina que você vai medir a altura de uma pessoa que tem a

coluna torta assim toda toda tortinha você vai medir a altura dela você mede pelo torno da coluna assim você vai medindo ou você vem da do teto da cabeça aqui de cima reto até embaixo para medir altura você não mede reto Então você vai medir a altura desse Triângulo do mesmo jeito você vem reto dá da do topo da montanha vem reto e vai até embaixo fazendo justamente 90º em relação à base se não tiver base você faz um prolongamento dela para você ter essa noção ó pode prolongar PR os dois lados não tem problema

o que importa é tem que fazer 90º aqui doutor topo até a base Então realmente esses dois triângulos tem mesma altura e tem mesma base por quê Porque eu tô te falando que tem mesma base tá aqui ó base base se eu tô te falando então pronto você já usa essa informação ou seja esses dois triângulos tem a mesma área mesma área Tá bom então isso aqui é o mais comum que pode aparecer na tua prova comece a observar os triângulos que formato que ele tá quer ver outra coisa que é comum às vezes vai

ter um quadrado e aí Opa ah quadrado feid aqui ó um quadrado Aí lá dentro um retângulo um quadrado um retângulo pronto aí vamos desenhar um um triângulo aqui dentro ó pronto Qual é a relação da área desse Triângulo com a área desse retângulo é metade metade porque a área do retângulo é o quê base vezes altura e área desse triângulo aqui especificamente ó isso sem eu te falar medida de nada não te falei quanto é que é o lado não te falei quanto é que é a área falei nada só falei me diga a

relação entre os dois quant qual que a área desse triângulo é a base dele vezes a altura dele dividido por dois e a área do retângulo base vezes altura então você vê que um é a metade do outro porque o triângulo eu tive que dividir por dois tá bom então mais uma coisa que pode aparecer às vezes ele não vai falar medida de nada vai ter só a referência lá só o desenho e você vai ter que falar EA isso aqui é metade do outro então você já pode falar até o seguinte ó essa área

aqui do Triângulo é igual a soma dessa aqui com essa é igual a soma por não é metade se isso aqui é metade do total o restante é a outra metade Então esse mais esse só pode ser igual a esse fechou tranquilo vamos embora então vamos falar de ângulos e primeira coisa que você tem que lembrar de onde vem a medida de um ângulo porque o ângulo é simplesmente uma abertura e você para você medir o ângulo a gente tem que pegar essa ideia lá da circunferência quanto é que vale uma circunferência completa Vale 360º

por quê Porque você dividiu essa circunferência em 360 fatias simples assim então se eu quiser pegar metade dessas fatias eu vou pegar 180 fatias 180º então se você fizer isso aqui ó 180º ou você pode pegar ela dividir em quatro fatias aqui ó quanto é que é 360 divo por 4 90 perfeito 90 90 90 90 tá vendo dividiu aqui em quatro fatias aqui como se fosse uma cruz aqui ó 90 90 90 90 então isso aqui é 90º e assim você vai vai brincando vai brincando vai mexendo vai rodando tá sem muita sem muito

mistério Então essa é a medida do ângulo 360 180 90 e você pode aí você pode medir de qualquer jeito agora quais são as propriedades que isso aqui é o que vai realmente diferenciar Você que sabe e que não sabe ângulos essa aqui é uma propriedade de ângulos opostos pelo vértice então se você tem aqui duas retas ó desenhei essa reta desenhei essa reta tá vendo que a gente formou aqui aqui dois ângulos que estão se enxergando Imagine que aqui é um espelho se eles estão se enxergando no espelho aqui uma coisa o que tem

do lado é igual o que tá do outro lado então esse ângulo é igual a esse ângulos opostos pelo vértice são iguais e do outro lado aqui leu esse ângulo também funciona funciona esse ângulo de cá é igual a isso alguma dúvida aqui tranquilo né ângulos apostos pelo vér são iguais isso aqui ó Olha o detalhe se você tem duas retas paralelas Essa é paralela a essa pra atenção essa é paralela a essa você vai ter que começar olhar na sua prova você vai ter que procurar P onde é que tem reta paralela aqui onde

é que tem reta paralela você vai ter que ser o doido da reta paralela maluco fica louco fica mas tô vendo reta paralela tô vendo mas tem que sonhar com reta paralela reta paralela reta paralela reta paralela reta paralela reta paralela reta paralela achou quando você achar reta paralela achei aqui ó você vai ter que procurar a outra reta Qual que é a outra a reta transversal reta transversal reta transversal transversal transversal ela passa na diagonal passa cortando ela passa atravessada ela é toda é toda errada ela é toda errada então as retas paralelas estão

vendo aqui certinho bonitinho organizada aí vem a maluca e vrau passa cortando pronto nesse momento você acabou de achar um monte de ângulos iguais aqui sem perceber esse ângulo já é igual a esse aqui de cara de cara de cara sem nem Léo por imagina inclinação da reta imagina que aqui eu tenho duas retas paralelas e você passa uma reta com a mesma inclinação o tempo todo aqui cortando ó então ela vai cortar na mesma inclinação que ela corta essa reta ela corta essa aqui também então pensa assim tenta de pensar de maneira mais intuitiva

passou cortando na mesma inclinação então se a inclinação é igual o ângulo é igual o ângulo é a inclinação Então esse já é igual a esse aí você vem e coloca outro aqui ó coloca um aqui por quê Porque é oposto pelo vértice é igual Então esse já é igual a esse não É oposto pelo a gente acabou de ver e esse aqui ó também acaba sendo igual a esse aqui é oposto pelo vértice então todos esses quatro ângulos são iguais se aqui for 30 aqui é 30 30 30 30 tudo 30 pronto e o

outro Léo Opa mesma coisa olha aqui ó se você for desenhar um outro ângulo aqui como quem não quer nada aqui ó esse ângulo já vai ser igual a esse aqui mesma coisa da mesma ideade da inclinação e aqui ó oposto pelo vértice então ó é igual a esse igual a esse E aí você criou uma propriedade chamada ângulos alternos e internos Olha esse triângulo Rosa aqui E esse triângulo esse ângulo né Rosa tá vendo aqui ó aqui e aqui aqui e aqui são iguais e esse esse e esse iguais também então desenhou duas retas

paralelas passou cortando Esse é igual a esse aqui e você entendeu de onde que vem agora e esse aqui também automaticamente é igual a esse tranquilo vamos continuar vamos seguir em frente outra propriedade fundamental fundamental a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º se você somar esse mais esse mais esse sempre vai dar 180 anota isso aí somou os ângulos internos os ângulos de dentro do Triângulo 180º 180 agora esse aqui E esse esse aqui é um ângulo interno Esse é interno Esse é externo mas como é que eu cheguei nessa nesse

ângulo de fora aqui do nada você prolonga um dos lados peguei esse lado aqui simplesmente prolonguei prolonguei prolonguei prolonguei como quem não quer nada e aí você percebe que formou um ângulo externo esse ângulo externo é igual à soma dos outros dois ângulos aqui ó Então se aqui vamos botar aqui fora aqui aqui ó vamos botar aqui que esse ângulo aqui é o nosso a e aqui o ângulo B e C estô falando então que o A é igual a B mais C fechou tranquilo a soma do dos dois outros ângulos é igual ao ângulo

externo aqui então você ignora o ângulo que tá do lado dele e pega os outros dois então essa aqui teorema do ângulo externo lindo agora vamos analisar o triângulo equilátero tá aqui ó triângulo equilátero explica para mim que que você vê aqui é um triângulo que tem os três lados iguais agora se você tá vendo um triângulo que tem três lados iguais automaticamente ele tem três ângulos iguais isso não é para você nem pensar isso aqui é só para você vomitar Esse é igual a esse que é igual a esse acabou Léo por qu não

interessa não interessa é igual e acabou esses três lados são iguais então esses três ângulos são iguais é para você só jogar aqui nemem não é nem para parar para pensar se é ou é e acabou é e acabou três lados iguais três ângulos iguais agora dois lados iguais Tem o quê rapaz se três lados iguais tem três ângulos iguais dois lados iguais só pode ter dois ângulos iguais tá bom tá bom tá bom tá bom tá bom Aqui ó aqui aqui E vocês S só não quero que você confunda confunda o ângulo porque se

eu tô falando desse lado e desse lado você tem que associar automaticamente a esses dois ângulos não pode pegar o ângulo que tá entre os lados aqui ó esse aqui você ignora tá vendo ó peguei dois lados iguais você ignora esse ângulo E observa os outros dois então fechou dois lados iguais dois ângulos iguais três lados iguais três ângulos iguais agora vamos juntar uma coisa com a outra se a gente sabe que a soma dos ângulos internos é 180 e sabe que os três ângulos são iguais cada um vale quanto cada um vale quanto agora

me responde não me responde não dá um grito é 60 é 60 60 60 60 cada ângulo Vale 60 falou de triângulo equilátero que tem os três lados iguais tem os três ângulos iguais agora isso aqui eu quero que você preste muita atenção agora que muita gente esquece tá vamos aqui agora falar uma aqui muita atenção isso aqui é um é um sinal de como é que eu posso falar a importância disso aqui não sei para para tudo que você tá fazendo agora a ida e a volta são válidas a ida e a volta você

pode ir como você pode voltar que que eu tô querendo dizer com isso se tem dois lados iguais tem dois ângulos iguais agora se eu te falo que tem dois ângulos iguais automaticamente você tem que perceber tem dois lados igis uma coisa leva a outra lados iguais ângulos iguais ângulos iguais lados iguais então é a ida e a volta é a volta é a ida também tem três lados iguais então tem três ângulos iguais agora se tem só três ângulos iguais então tem três lados iguais também anota isso aí anota isso aí que isso aqui

é fundamental até batio no microfone aqui de tão importante que é tá bom anota é indo é indo e é voltando é indo e voltando tá bom tá beleza e agora Mais um detalhe esse aqui é para você esse aqui já é uma mais é uma coisa um pouco mais aprofundada é um plus mas é um plus que vale a pena saber é bem é mais difícil cá isso aqui mas é um conceito elegante Qual é a soma dos ângulos internos de qualquer polígono de 1 Milhão de lados um negócio assim tu tu tu tem

como descobrir sem precisar ir somando um por um tem usando o mesmo conceito do Triângulo você vai perceber que muita coisa que a gente fala de geometria volta lá na ideia do triângulo triângulo resolve muita coisa aqui também aqui também a gente vai pegar um vértice pega um vértice qualquer pegar qualquer um pegar esse aqui ó escolher um agora a partir dele você vai ligando nos outros formando triângulos todos os outros Então vou ligar nesse aqui vou ligar nesse aqui vou ligar nesse aqui pronto aqui a gente formou 1 2 3 4 triângulos então a

soma dos ângulos internos desse polígono aqui gigantesco que é um hexágono é você pegar 180 de cada triângulo ó aqui na 180 a soma dos ângulos internos de cada um 180 desse 180 desse 180 desse é só você somar soma tal tal tal tal resposta 720 então a soma dos ângulos internos de qualquer hexágono é 720 e você consegue pegar a fórmula pro Pentágono pro hexágono pro não sei o que lá octógono vai embora vai embora agora precisa decorar a fórmula de cada um deles e quanto que dá em cada um deles não precisa tá

aqui a lógica tá aqui ó tá aqui a lógica tá tudo aqui tud aí tranquilo vamos seguir em frente vamos seguir em frente falar agora de semelhança de triângulos vocês estão vendo esses triângulos aí tá vendo esse triângulo percebe que eles são parecidos É bem parecido né é semelhante não é igual é semelhante é semelhante Mas uma coisa é você falar para mim que eles são parecidos você olha assim e fala Hum é é parecido Mas por que que eles são parecidos por que que eles são parecidos é igual a olhar por exemplo você e

seu amigo os dois são parecidos você olha assim Ah os dois são fein os dois são parecidos mas por qu aí você vai ter tem que falar não é feinho por causa disso disso entendeu mesma coisa aqui então tem uma coisa que eu quero que você olha assim e você percebe rapaz se o triângulo tiver isso aqui eu posso considerar ele parecido se ele não tiver isso não é parecido não importa a minha opinião a sua opinião não importa a minha opinião não importa não faz eu não quero nem saber sua opinião eu quero saber

é o triângulo tem essa e essa característica Então pronto ele é parecido tem essa e essa é parecido não tem não é parecido não é semelhante Então qual é essa grande característica a nota a nota ângulos os ângulos são iguais tá vendo aqui ó tá vendo que eu tô botando dois tracinhos aqui né diferente para diferenciar e aqui eu vou botar três ó 1 2 3 não vou botar assim ó aqui vou botar um cortado um um cortado um cortado um cortado pronto então tá vendo que esses triângulos tem os ângulos iguais Esse é igual

a esse esse é igual a esse esse é igual a esse Então se tem ângulos iguais são semelhantes ponto acabou acabou Léo mas eu acho que eles são semelhantes e os ângulos não são iguais Então pronto você tá errado não são semelhantes não mas Que diferença faz então é agora que chega o grande ó Que diferença faz um triângulo você semelhante ou não a grande diferença aqui é é que se o triângulo é semelhante seus lados são proporcionais Então você sabendo que os triângulos são semelhantes automaticamente você consegue identificar os lados a relação de um

lado pro outro quer ver vamos supor que esse lado aqui mede vamos botar aqui um um 10 vamos botar aqui um oit pronto pronto aqui você sabe que é 10 sabe que é oito se eu te falasse que aqui era cinco quanto é que tem que ser isso aqui Esso aqui já tá definido esse lado já tá definido se esse é 10 e esse é 8 e esse é 5 e os ângulos são iguais então eles já são semelhantes Eu só preciso saber qual é a razão de semelhança entre eles Guarda essa palavra guarda guarda

razão O que que é razão mesmo razão é divisão Qual é a razão de semelhança de um pro outro aí você tem que olhar PR os lados conhecidos ó eu conheço esse e esse lado aqui olha PR os lados que estão também opostos ao mesmo ângulo tá vendo ó ângulo aqui cortadinho ângulo cortadinho a gente tem que olhar então pro lado o lado aqui correspondente pronto essa é a palavra Observe os lados não adianta comparar esse lado com esse ó erro comum demais isso aqui não é para comparar esse com esse compara os lados que

são cor respondentes Então beleza L chegando sabendo que eu vou comparar esses lados aqui qual é a razão de semelhança aí você vai dividir 10 di 5 então a razão de semelhança é quanto 10 di 5 é 2 Então se minha razão de semelhança é do significa que o triângulo maior é o dobro do Triângulo menor Esse é o dobro desse então se aqui é 10 e lá é 5 que é o dobro se aqui é oito aqui tem que ser quanto para poder manter a razão de semelhança aqui tem que ser quatro pronto então

é isso Você identifica a razão de semelhança o que que que é isso é quantas vezes um triângulo é maior do que o outro Léo se eu fizesse o contrário por exemplo dividisse aqui o 5 pelo 10 e não dividir o 10 pelo 5 igual fiz aqui né 5 por 10 é a mesma coisa que 1 sobre 2 então É como se você pegasse razão de semelhança pode ser dois ou pode ser 1 sobre 2 as duas coas estão corretas a diferença é a ordem Se você pegar esse em relação a esse vai dar uma

coisa se você pegar esse em relação a esse vai dar o contrário entendeu então é assim não tem mistério aqui é você perceber que os ângulos são iguais automaticamente os lados são proporcionais você identifica aí essa tal dessa razão de semelhança palavra nova razão de semelhança que é só dividir um lado pelo outro e aí você aplica a mesma coisa a todos os outros lados do triângulo Então se esse é o dobro desse pau pau você joga para cá também joga para lá também pronto isso é a tal da semelhança de triângulos então resumindo semelhança

de triângulo ângulos você observou que os ângulos são iguais Então os lados são proporcionais a volta também é verdadeira se os lados são proporcionais os ângulos são iguais então Mais uma vez você encontrou um triângulo aqui que vamos P que aqui era vamos botar aqui os outros lados também ó bota aqui ó que esse lado é proporcional a esse na mesma proporção que esse tá vendo que a proporção é a mesma né Ó esse dividido por esse dá dois esse dividido por esse dá dois também a proporção é a mesma então se eles TM a

mesma proporção entre esses dois lados e esse lado aqui também for proporcional a esse pronto então automaticamente os triângulos são semelhantes automaticamente os ângulos são iguais Então se é proporcional os ângulos são iguais se são se os ângulos são iguais é porque é proporcional agora só mais um detalhe tá se você encontrasse só dois lados proporcionais não soubesse o terceiro não soubesse Então você também teria que descobrir que esse ângulo é igual esse aí sim você poderia matar charada que os outros também são iguais e o triângulo realmente é semelhante não basta ter só dois

tá dois só não tem que ter três agora ângulos não ângulos se você tiver só dois ângulos iguais automaticamente o terceiro é igual isso aqui você tem que concordar comigo né ou não quer ver ó tem esse triângulo aqui tem esse outro triângulo aqui você identificou que esse ângulo é igual a esse identificou que esse ângulo aqui é igual a esse a automaticamente esse terceiro ângulo também tem que ser igual isso aqui sempre vai ser verdade sempre pensa comigo o total deles não é 180 sempre se você já conhece dois que são iguais O que

falta para completar aqui 180 é o mesmo que falta para completar aqui 180 o tamanho do copo é o mesmo você já preencheu até um pouco mais da metade aqui nos dois mas igual quantidade o que falta para preencher esse copo é a mesma coisa então achou dois ângulos iguais automaticamente o terceiro é igual se os três ângulos são iguais Então os três lados são proporcionais se os três lados são proporcionais os três ângulos são iguais outra frasezinha para você anotar e ver e aí dei a volta Resumindo tá aqui ó se os ângulos são

iguais os lados são proporcionais se os lados são proporcionais os ângulos são iguais isso aqui é o símbolo de proporção então isso aqui que resume a ideia de semelhança de triângulos isso aqui você mata um monte de questão com essa ideia aqui com essa ideia agora vamos supor que a gente botasse um um grauzinho A mais aqui de um detalhezinho a mais vou Opa deixa eu ajeitar aqui ó pro Zoom ajeitar aqui o Zom aqui vamos botar um negocinho a mais aqui uma besteirinha a mais vamos supor agora então que os lados não são proporcionais

não os lados são iguais esse lado é igual a esse esse esse lado é igual a esse E aí se você fosse tirar razão de semelhança aqui quanto é que daria vamos supor Ah aqui porque aqui se fosse semelhante os triângulos são semelhantes aqui né Porque eu já tenho esse lado proporcional a esse esse proporcional a esse e tem um ângulo igual aqui no meio então acabou já são semelhantes mas aí vamos botar um valor aqui vamos supor que aqui é 5 5 aqui é 10 botar 10 não botar aqui é 8 aqui é oito

então a gente tá botando agora que são iguais O que que significa ser igual significa que a razão de ser ança é um ó 5 di por 5 dá 1 8 div por 8 dá 1 dá um dá um dá um Então esse lado dividido por esse lado também vai dar um ou seja se aqui for sei lá 10 chutando valor aleatório quanto é que tem que ser isso aqui boa 10 10 também 10 também a razão de semelhança é um ou seja esses triângul aqui são congruentes congruentes L é igual agora não é semelhante

agora é igual é congruente essa é a palavra então triângulos congruentes nada mais é do que você pensar em triângulos que são semelhantes e aqui e que a razão de semelhança é um você dividir um lado pelo outro aqui ó vai dar um esse dividido por esse vai dar um esse dividido por esse vai dar um pronto é isso é isso então A ideia é a mesma você vai usa Usa a ideia de semelhança de triângulos se tiver lados iguais pronto você vai dizer que na verdade não são semelhantes são triângulos congruentes e você consegue

descobrir o terceiro ângulo porque na prova vai ter isso vai saber você vai descobrir um ângulo ou um lado vai descobrir o outro e às vezes vai pedir o terceiro lado e a única forma de você descobrir é provando que esses dois triângulos são congruentes aí você prova percebendo que esses lados são iguais e que esse ângulo aqui também é igual Então pronto então o terceiro também tem que ser igual eh beleza perfeito vamos seguir em frente mais um detalhezinho que tem tudo a ver com semelhança de triângulos razão entre áreas que que é isso

vamos dividir esse triângulo aqui em triângulos menores bora fazer isso ver o que acontece vamos dividir tá aqui ó dividir aqui assim dividir aqui assim que que tá fazendo Leo tô dividindo esse lado ó esse esse lado do Triângulo tô dividindo em três partes iguais esse lado do Triângulo também tô dividindo em três partes iguais pronto só isso aqui tá em três partes iguais e aqui tá em três partes iguais agora eu vou simplesmente formar vários triângulos menores aqui então vou formar aqui vou ligar esses aqui tá vendo ó agora vou dividir esse aqui no

meio vou ligar isso aqui Opa Pronto tô formando aqui vários triângulos menores vou dividir agora esse aqui em três partes e vamos formar aqui vários triângulos menores também a mesma coisa fazendo essa divisão aqui você vai perceber o seguinte todos esses triângulos são iguais são nove triângulos aqui nove como é que você garante são iguais le porque a gente fez essa divisão aqui foi ligando essas formando dessas bases aqui como se fosse base desse triângulo desse desse e depois a gente foi dividindo aqui exatamente na metade E aí enfim vai vai mudando isso aqui é

o conceito tem a ver com conceito de base média tudo não esquenta com isso não só percebe vamos pegar o conceito você consegue perceber então que esse triângulo é semelhante a esse triângulo que é semelhante a esse triângulo consegue perceber essa semelhança entre eles mas como é que eu vou saber L tu nem me falou os ângulos para saber se é semelhante ou não eu não te falei os ângulos Mas eu te falei os lados e os lados aqui são proporcionais ó esse lado é proporcional a esse no sentido de Esse é a metade desse

e esse é a metade desse aqui então qual é a razão de semelhança desse triângulo para esse outro triângulo razão de semelhança de dois um lado é o dobro do outro e a razão desse pequenininho aqui com esse grandão qual a razão de semelhança é três o lado dele ó é três vezes menor que o lado do grandão três vezes menor tá vendo aqui a medida dividiu em três Então pronto a gente Já identificou que esses triângulos são semelhantes esse esse e esse são todos triângulos semelhantes Mas qual a relação da semelhança entre triângulos e

a razão entre as áreas pega a ideia aqui agora a área desse triângulo aqui vamos supor que seja um área de um então a gente sabe a área de todos agora né aqui área um aqui é um um um e um todos são iguais Agora pega esse triângulo aqui que tem área 1 e pega esse outro triângulo aqui que tem área qu e pega esse outro triângulo aqui que tem área quanto Total conta tudo aí Dá nove agora vamos comparar com a razão de semelhança razão de semelhança desse triângulo aqui que é o primeiro que

tem um para esse era de quanto razão de semelhança era de dois né e desse triângulo aqui para esse a razão de semelhança era de quanto era de três opa opa razão de semelhança então ó desse para esse aqui era razão de semelhança de dois e a Razão de semelhança do menorzinho grandão era razão de semelhança de TR Então qual é a relação entre a razão de semelhança e a razão entre as áreas é o quadrado por exemplo aqui se a razão de semelhança entre esses dois aqui esses dois triângulos pod até desenhar aqui né

Deixa eu ver desenhar aqui melhor de entender tem tri um pouquinho maior de área 4 e tem um triângulo um pouquinho maior que é o de área no até apagar esse aqui pronto tá vendo Então a gente desenhou aqui esse triângulo esse e esse a área desse é um área desse é qu área desse é no qual a razão de semelhança entre esse e esse é do razão de semelhança aqui é quanto é dois e razão de semelhança desse para esse aqui menorzinho Opa desse aqui para esse razão de semelhança é três agora a razão

entre as áreas área desse dividido pela área desse é quro área desse dividido pela área desse é nove ou seja a razão entre as áreas é o quadrado da Razão de semelhança pronto eu falei esse monte de coisa para resumir essa simples ideia a razão entre as áreas é o quadrado da Razão de semelhança esse dividido para esse é a razão entre as áreas né tô dividindo ó 4 div por 1 é 4 2 diido por 1 aqui vamos por não importa quanto que é aqui quanto que é aqui né a divisão vai dar dois

então essa divisão aqui deu dois essa divisão aqui deu quatro ou seja a razão entre as áreas está sendo o quadrado ou seja o 4 é igual a 2 elevado Quad o 9 aqui ó é igual o 3 elevado quadado o 9 é igual a o 3 elevado quadrado Então é isso que eu tô querendo dizer a razão entre as áreas é o quadrado da Razão de semelhança isso você pode perceber utiliz lembrando da simples ideia da base vezes a altura dividido por 2 botar assim base vezes altura dividido por 2 se você multiplica o

triângulo inteiro por dois os lados Então você tá multiplicando a base dele por dois e tá multiplicando também a altura dele por dois se os triângulos são semelhantes tudo vai ser multiplicado por dois então se a base você tá multiplicando por dois e a altura você tá multiplicando por dois então o resultado final da conta vai ser multiplicado por 2 qu Vai ser 4 então o valor da área multiplica por 4 nesse caso se fosse você multiplicar por trê ó se a base vai ficar três vezes maior que é no caso desse aqui para o

maior né Se a base ficar multiplicada por TR e a altura ficar multiplicada por 3 então o resultado final é multiplicado por 9 que é tr TR então é essa a ideia de razão entre as áreas razão de semelhança a razão entre as áreas é o quadrado da Razão de semelhança tá bom esse aqui é um conceito mais difícil mais aprofundado só que é um conceito que muitas vezes cai e se cair um diferencial na sua prova tá para quem quer ganhar medalha de ouro saber isso aqui é obrigatório vamos seguir em frente aqui então

pra parte final da ó estamos aí com 40 minutos de aula já falar de circunferência eu gosto deis de falar de circunferência porque eu acho lindo acho simplesmente fantástico o jeito que que que a circunferências funcionam e as ideias que tem por trás disso aqui parece simples né mas não é então vamos vamos tentar entender vamos brincar um pouquinho com isso aqui vamos brincar Então bora lá ó se você observar todas as circunferências eu posso pensar nela como se fosse os triângulos ali a razão de semelhança dos triângulos todas as circunferências são o quê são

semelhantes são semelhantes Por que que são semelhantes Leo porque são proporcionais todas as circunferências que existem na face da terra são proporcionais tá Mas isso muda o quê Isso muda que você pode criar aí uma razão de semelhança entre o quê entre o que você quiser mas vamos escolher duas coisas aqui que são interessante vamos ver vamos ver pegar isso aqui ó vamos pegar o tamanho da circunferência aqui é esse tamanho aqui ó Digamos que seja o perímetro não é bem isso mas perímetro da circunferência tá aqui a gente vai pegar o tamanho do Contorno

essa medida a gente pega essa medida aqui e pega também pronto vou até vou só pintar aqui ó a gente pega a medida e pega também o diâmetro dessa circunferência lembra o que que é o diâmetro mais ou menos né o diâmetro é a medida que vai de uma ponta a outra da circunferência passando pelo centro dela então a gente vai pegar a medida da circunferência aqui vamos chamar de c e o diâmetro vamos chamar de D pronto ó essa aqui ó o tamanho do Contorno c e o tamanho da do diâmetro Então a gente

tem essas duas medidas e a gente vai tirar essa medida aqui também C e D C e D C E D C e D que que acontece se você for fazer essa divisão divide para mim Pega uma circunferência real aí mede tal pega o c divide por D pega aqui também ó o c divide por D pega o c dessa aqui divide por D pega o c dessa divide por D pega o c dessa divide por D se você fizer esse cálculo em todas as circunferências Qualquer uma que você imaginar o resultado É o quê

É igual ou diferente é igual é igual é igual é igual é igual é igual e que resultado especial é esse que é sempre é igual sempre sempre sempre vai ser igual sempre vai ser igual que resultado igual a esse é o nosso famoso 3 V 14 15 pá pá pá P infinitamente que número esse aqui que número é esse é o nosso pi pi é daqui que vem o tal do Pi rapaz se tu nunca ouviu falar do Pi tá aqui esse é o pi Esse é o pi ficou alguma dúvida todas as circunferências

são semelhantes são proporcionais você pegou uma relação ali que você achou interessante pegou a circunferência e dividiu pelo diâmetro e pronto tá lá isso deu uma coisa igual sempre deu 3,14 15 tará todas as circunferências então resolveram chamar isso de um símbolo específico que símbolo é esse é o símbolo PI só para ficar uma coisa mais específica ali para todo mundo saber do que que tá falando falou pi todo mundo sabe o que é é isso aqui é você dividir a circunferência pelo diâmetro Então vamos vamos trabalhar nessa ideia vamos trabalhar nessa ideia então eu

sei que se eu pegar a minha circunferência e dividir pelo diâmetro isso aqui é igual ao nosso tal do Pi vamos substituir Então em vez de diâmetro vamos chamar de raio o que que é o raio o raio vai do centro até a periferia então o diâmetro é duas vezes o raio né ó aqui é raio e aqui é raio então a medida do do meu diâmetro é duas vezes o raio Então vou no lugar de D vou colocar R Então vou substituir agora assim ó C divo por 2R é igual ao nosso pi pronto

só troquei o o diâmetro pelo raio agora a gente vai multiplicar os dois lados da equação por 2R multiplica esse lado por 2R multiplica esse lado por 2R vai ficar como c é igual a pi x 2R ou você pode escrever de outra forma c = 2 x Pi x r ou para os mais íntimos 2 pi R 2 PR c é 2 p r o que que é o c mesmo C C é o contorno c é a circunferência o tamanho da circunferência aqui então a gente já sabe como é que se calcula essa

circunferência Você Vai Multiplicar o 2 pelo pi vezes o raio é daí que vem a nossa fórmula da circunferência 2 pi R se você multiplica 2 x Pi X R Você acha o tamanho dessa circunferência entendeu De onde vem a fórmula nunca mais você vai precisar decorar você faz essa relação aqui rápida comprimento dividido pelo diâmetro e aí você destrincha destrincha e chega no resultado agora fórmula da área da área é um pouquinho mais complexo não dá para explicar aqui não então vamos direto ao ponto a área da circunferência é pi vezes o raio a

quadrado ou pi R qu então 2 pi R é o tamanho da circunferência pi R qu é o tamanho da área da circunferência então assim a gente finalizou essa parte de área de tamanho da circunferência Vamos sbora então para esse detalhezinho que aqui a gente vai misturar Triângulo com ângulo com circunferência E aí finalizando essa parte aqui a gente já conclui e espero que você tenha pegado o detalhe vai anotando porque agora ó nível TRS se você do nível três tem que chegar sabendo tá isso aqui tem que chegar sabendo na ponta da língua bora

se você pegou uma circunferência aqui tem uma reta tangente você tem a obrigação de conectar as duas coisas obrigação le mas eu não tô com vontade não se não tiver com vontade Então sai daqui sai da aula agora se você tá enxergando algum lugar que tem uma circunferência e tem uma reta tangente você vai conectar as duas você vai conectar desse jeito aqui no onde no ponto de tangência se você tem uma reta tangente ela tá passando aqui e tá tocando em exatamente um ponto que ponto é esse é o ponto de tangência Então você

conecta as duas coisas se você conectar você vai perceber que aqui é um ângulo de 90º Então é isso esse é o conceito se você conectar o centro da circunferência com esse ponto de tangência vai formar um ângulo de 90º aqui sempre show de bola e aí com esse conceito a gente já consegue pensar em várias outras ideias nesse exemplo aqui que exemplo é esse imagine uma circunferência Isso aqui vai ter de demais ó circunferência e você pega um ponto aqui fora passa uma tangente pega esse ponto aqui fora passa outra tangente pronto duas retas

tangentes que que eu quero que você faça lei número um das circunferências conecte os centros às tangentes pronto criei ali agora aqui ó conecte aqui o centro a tangente vai formar o qu 90º conecte aqui o centro a tangente forma o qu 90º pronto você formou 90° E aí serve para alguma coisa isso aqui claro que serve claro que serve Agora eu quero que você me diga para que que isso serve sede vamos ver mais um detalhe vamos ligar essas duas coisas aqui ó que que aconteceu formei um triângulo aqui e formei outro triângulo aqui

E daí e daí que esse pedacinho aqui é o raio da circunferência a gente ligou do centro até a borda é o raio esse pedacinho aqui também é o raio então é igual Então esse já é igual a esse correto eles têm também esse lado em comum Opa a gente tá falando aqui de um triângulo que tem um ângulo de 90º ó olha para esse triângulo aqui tem um ângulo de 90º tem esse lado em comum e tem esse lado em comum que que significa se você aplicar aqui teorema de de Pitágoras Pitágoras ó até

aproveitar aqui a gente já revisa teorema de Pitágoras como é que é mesmo se você tem um triângulo retângulo qualquer e aqui for a aqui for B aqui for C A gente sabe que a qu é Opa + B qu = C qu o maior lado se opõe ao maior ângulo então o maior lado ao quadrado é igual a soma dos outros dois lados ao quadrado se você aplica a teorema de Pitágoras aqui você percebe que esses dois triângulos tem que ser iguais Obrigatoriamente porque eles já tem dois lados em comum dois lados em comum

esse lado é igual a esse esse lado aqui também é incomum aos dois então o terceiro lado que seria esse e esse também tem que ser igual é igual você olhar nessa fórmula aqui imagina que o a já é igual o b já é igual então o c que é o que tá faltando não tem como ser diferente é o que falta para completar é o que falta para completar igual a gente viu ali em cima então isso significa que esses dois triângulos são iguais Opa se são iguais Então esse lado aqui é igual a

esse lado aqui lindo lindo lindo se os triângulos são iguais seus ângulos também são iguais Então esse ângulo é igual a esse tem mais algum outro ângulo tem esse ângulo aqui também é igual a esse ângulo aqui ó botar outro tracinho para diferenciar ó dois tracinhos aqui tá vendo ó então esses dois são iguais esses dois são iguais esse ângulo aqui é igual a esse tem esse lado que é igual a esse aqui então pronto você percebeu um monte de relação ó tem um raio aqui que é igual a esse só de uma ideia Simples

então eu quero que você lembre que quando você achar uma circunferência ó se você achar uma circunferência e você formar um bico formar um bico aqui de qualquer jeito ó formou um bico automaticamente esse pedaço é igual a esse pedaço aqui indo de onde ó do ponto de tangência até lá tá vendo esse pedacinho aqui que forma é igual a esse automaticamente automaticamente tudo vem dessa ideia aqui e eu quero que você saiba de todas essas ideias de passar o traço de perceber que é igual porque às vezes você não vai usar só essa ideia

você vai ter que usar todas essas ideias aqui ligar um pontinho Ligar outra coisa e aí você encontra a solução tá joia mais um detalhezinho ó isso aqui também lindo conceito Zinho PR para você acertar a questão inteira só com essa besteira aqui presta atenção que tem uma uma circunferência e você desenha lá dentro dela um triângulo só que esse triângulo é especial Qual o que tem de especial nesse triângulo meu Deus do céu ele tá passando um lado dele só um basta um tá passando pelo centro da circunferência desse jeito aqui ó pronto se

passou pelo centro da circunferência você pode afirmar que esse ângulo é 90º esse ângulo é 90º passou pelo centro da circunferência esse ângulo é 90º não me explica de onde é que vem isso rapidão explico tá aqui embaixo tá aqui ó se você tem uma circunferência e tem um ângulo central aqui e tem um ângulo Opa e tem outro ângulo aqui que tá inscrito que chama ou seja um ângulo que vem do centro é o ângulo central o ângulo que vem aqui da borda da Periferia é um ângulo inscrito na circunferência e esses dois ângulos

observa que os dois ângulos estão enxergando o mesmo arco ó eles estão enxergando aqui a mesma coisa então existe uma relação entre esses dois ângulos um é o dobro do outro por que isso aí depois a gente explica não dá para explicar hoje não então aqui ó se aqui for 30 o ângulo central é maior lembra disso O Central é maior então é o dobro né o dobro então lá dentro é quanto aqui é 15 é 15 e você pode pensar nessa ideia aqui para qualquer outro ângulo que esteja enxergando o mesmo arco pode ser

por exemplo esse aqui ó pode ser por exemplo esse aqui tá vendo ó esse ângulo é metade do de dentro ó Esse é metade do de dentro Esse é metade do de dentro Esse é metade então todos esses ângulos que você consegue formar aqui são iguais ou seja ângulos que estão enxergando o mesmo arco ó tá vendo ó esse tá enxergando esse arco esse tá enxergando esse arco esse tá en ângulos inscritos que estão enxergando o mesmo arco são iguaizinhos Esse é igual esse que é igual a esse e o e o inscrito é metade

do Central ou o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito Então por que que isso aqui justifica porque a gente sabe que se passou pela a circunferência Então é porque esse ângulo aqui mede 180º e Esso aqui não é um ângulo central não tá partindo do centro da circunferência não é um ângulo central então o Central é o dobro do ângulo inscrito olha aqui o ângulo inscrito passando Ó olha aqui o ângulo inscrito enxergando esse arco esse arco se aqui é 180 aqui só pode ser 90 Então tá explicado ó terminamos Nossa revisão começa

a aplicar Nas questões Pega umas provas aí pega as questões de geometria você vai ver que é isso aqui não tem mistério e vai para cima vai para cima eu quero ver você ganhando medalha e também quero ver você inscrito no evento Então clica aqui no link aqui embaixo na descrição Entra no grupo a gente vai explicar direitinho como é que vai funcionar esse evento map o resgate se você gostou comenta aqui embaixo e pode pedir novas revisões aí sugestões que a gente vai fazer nos próximos dias tá bom um beijo enorme até os próximos

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