[UFMS Digital] Cálculo I - Módulo 1

[Música] bom nós vamos falar hoje sobre o módulo 1 o módulo 1 nós vamos estudar os intervalos numéricos e as inequações então aqui eu tenho uma reta real nessa reta estão representados né alguns números então eu selecionei ali o intervalo que vai de -2 até um é onde está essa linha né esse segmento vermelho Então eu estou me referindo a esse intervalo que vai de menos dois até um o estudo dos intervalos Então são todos os números entre menos dois e um aí eu posso incluir os extremos que é o menos dois ou um ou

eu posso excluir esses extremos Isso quer dizer quando eu incluo quer dizer que esse extremo faz parte da minha solução quando eu excluo Esse é Extremo não faz parte da minha solução então para isso agora nós vamos ver os vários tipos de intervalo né Então o intervalo eu tenho infinitos números né que fazem parte da minha solução então vamos ver os tipos de intervalo certo então nosso objetivo aqui é resolver problemas de matemática que envolvam desigualdades fazer o estudo sinal de uma expressão ou de uma função então aqui eu tenho alguns intervalos numéricos esse primeiro

intervalo é um intervalo aberto então eu tenho os extremos a e b então eu tenho intervalo aberto de A até B certo isso quer dizer que eu tenho todos os números entre a e b mas não serve o a e não serve o b então é a representação né que pode ser feita que x pertence aos reais tal que o ar é estritamente menor que x e x a estritamente menor que b e do lado nós temos a notação simbólica né aberto no ar e aberto no b o próximo agora o que difere o intervalo

fechado é que eu vou incluir o a e eu vou incluir o b na minha solução então eu tenho todos os números entre a e b inclusive o a inclusive o gay então eu tenho x pertencente aos reais tal que a é menor ou igual a x e x é menor ou igual a B qual que é a diferença do intervalo aberto para o fechado na anotação né de conjunto no aberto é só menor é estritamente menor quando eu fecho eu tenho menor ou igual certo então por isso que apareceu nessa anotação de conjunto aqui

o menor é igual então intervalo fechado a é menor igual a x é menor igual a B Então eu tenho eu tenho aqui o intervalo fechado em a e fechado em B agora eu tenho o intervalo semiaberto à direita Isto é é fechado no ar aberto no b e eu tenho todos os números entre a e b então x pertencente aos reais tal que a e Menor igual a x e x é menor que b então eu tenho intervalo fechado em a e aberto em B Agora eu tenho intervalo semiaberto à esquerda então ele é

eu tenho todos os números entre a e b com exceção do a e eu incluo b então é x pertencente aos reais tal que a é menor que x e x é menor igual a B então nós temos intervalo aberto em a e fechado em b então esses essas são algumas das representações continuando aqui eu tenho todos eu tenho nessa primeira linha eu tenho todos os números maiores que há só servem os números maiores que a Não serve o ar então anotação em conjunto x pertencente aos reais tal que X é maior que há então

esse meu intervalo ele vai adiar até mais infinito qualquer número maior que há é a solução então ele aberto em a e aberto e mais infinito no de baixo tá fechado no ar quer dizer que eu vou incluir o a na minha solução então eu tenho todos os números maiores que a inclusive o a faz parte da solução então x pertencente aos reais tal que X é maior ou igual a então ele é fechado no ar e aberto e mais infinito aqui agora eu tenho na próxima reta todos os números menores que a só menor

o a Não serve então x pertencente aos reais tal que X é menor que a Então esse meu intervalo ele vem de menos infinito até o a aberto no ar então aberto de menos infinito e aberto no ar agora eu tenho esse intervalo aqui que ele vem de menos infinito até o a Inclusive eu vou incluir o ar na minha solução então eu tenho todos os números menores ou iguais a então x pertencente aos reais tal menor ou igual a então meu intervalo vem de menos infinito até o a fechado então essas são as notações

né na representação na reta real dos intervalos por exemplo como resolver problemas coloquei alguns exemplos aqui o primeiro é como representar o conjunto de números maiores que um e menores que 3 então eu vou marcar na minha reta os extremos um e três a bolinha é aberta porque eu só quero os números maiores que um e menores que 3 Então eu tenho todos os números entre um e três então anotação de conjunto é x pertencente aos reais tal que um é menor que x e x é menor que 3 ou aberto no 3 então agora

nesse exemplo 2 é representar na reta real os conjuntos a b e c Então agora eu tenho conjunto AX pertencente aos reais tal que -1 é menor igual a x que é menor igual a 4 então eu represento na reta real os extremos que ao menos um e o 4 - 1 é fechado porque tem menor ou igual e o 4 é aberto a bolinha é aberta no quarto porque eu só tenho menor e eu tô falando de todos os números entre menos um e quatro por isso essa cobrinha de menos um a quatro então

nós temos representado nessa reta em intervalo de menos um a quatro incluindo menos um e excluindo o quatro da nossa solução o conjunto B é o x pertencente aos reais tal que X é estritamente maior que 2 x maior que 2 na minha reta real vou marcar o 2 não tem o igual então a bolinha no ponto do ex é aberta e todos os números maiores que dois são os números à direita do dois e o último conjunto C é de menos infinito até o 3 fechado então na reta real nós marcamos o número 3

ela vende menos infinito até o 3 Então são todos os números menores ou igual a 3 igual porque é fechado nessa notação de intervalo perceba que o colchete tá fechando três ali então o 3 eu incluo na minha solução Como resolver inequações então quando eu tenho uma inequação para resolver a primeira coisa é encontrar o zero de cada termo da minha função Isto é independente de quantos termos ela tiver eu vou pegar cada termo e colar a zero e resolvo esta equação aí depois eu vou marcar o valor que anula o termo na reta numerada

e fazer do sinal o estudo do sinal eu quero saber aonde esse termo é positivo aonde ele é negativo e aonde ele vale zero terceiro fazer o produto ou o quociente dos sinais isso vai depender do tipo de inequação que eu tenho que resolver e por último eu vou dar então a resposta né Nós vamos marcar a solução e dar a resposta em notação é de conjunto por exemplo eu peguei aqui uma inequação do tipo produto certo então aqui eu quero resolver a inequação 1 + x² x + 4 maior que zero Então eu tenho

um produto de dois termos né o primeiro termo é 1 + x ao quadrado segundo o termo é x + 4 eu pego o primeiro termo que é 1 + x² = 0 resolvendo é o x eu x ao quadrado é igual a -1 então aqui Aconchego Qual é o número que elevado ao quadrado resulta em -1 nos reais nós não temos nenhum número né aquele elevado ao quadrado resulta em menos um Então nós vamos falar que x não pertence aos reais eu peguei o segundo termo agora e igualei a zero então daqui eu tirei

que X = -4 então agora nós vamos marcar esses termos na reta numerada e fazer o estudo do sinal então nessa primeira reta é referente ao primeiro termo mais x ao quadrado como eu não tenho nenhum x né pertencente aos reais eu não marco nenhum número na minha reta o sinal dela vai depender do sinal é do x ao quadrado como x² é positivo então a minha reta é toda positiva certo aí eu vou fazer o estudo do sinal da minha segunda do meu segundo termo eu tenho valor o resultado do primeiro do meu segundo

termo é menos quatro então eu faço uma reta Marco o número -4 e aí eu vou olhar o sinal do x ó o X é positivo então a direita do quatro mesmo sinal de A à esquerda do 4 sinal contrário Então por isso que ficou positiva direita e negativa à esquerda o que eu vou fazer agora eu vou pegar essas duas soluções aqui vou colocar uma embaixo da outra e fazer o produto né porque nós estamos resolvendo produto de dois termos desta forma então aqui tá a primeira reta lá ó não tinha nenhum ponto né

refere a uma x ao quadrado não tinha nenhum valor para marcar na minha reta Então o sinal do x ao quadrado é positivo por isso que a minha reta ficou toda positiva o x + 4 o valor que anula é o menos quatro marquei o valor que anula aqui o sinal do X é então a direita minha reta é positiva a esquerda ela é negativa nessa reta de baixo nós vamos marcar a solução do produto desses dois termos então eu vou fazer ó de cima é positivo com positivo Aqui de baixo O resultado é positivo

então a direita do -4 a minha reta é positiva a esquerda do -4 ao positivo em cima com negativo embaixo Mas com menos resulta em menos então a direita do -4 a minha reta é positiva Esse estudo do sinal a esquerda a minha reta é negativa eu olho agora novamente aqui eu tenho um produto sendo maior que zero eu tenho um produto resultando no número positivo então meu positivo está à direita do menos quatro por isso que eu marquei essa linha azul aqui então a solução desse produto é qualquer número maior que menos 4 é

a solução então solução desta inequação x pertencente aos reais tal que o X é maior que -4 qualquer número maior que menos 4 resolve a nossa solução do tipo produto agora nós vamos ver uma inequação do tipo consciente então eu tenho dois termos eu tenho o termo do numerador e eu tenho o termo do denominador então eu vou encontrar o zero de cada termo isto eu vou pegar o primeiro termo vou igualar zero vou pegar o segundo termo e vou igualar zero então 1 + x ao quadrado é igual a zero então x ao quadrado

é igual a -1 qual é o número que elevado ao quadrado resulta num número negativo nos reais nós não temos nenhum por isso x não pertence aos reais agora eu peguei o segundo termo que é x ao quadrado menos 4 da lei a zero Então eu tenho que x² = 4 passando raiz quadrada de ambos os lados nós chegamos que x é igual a mais ou menos 2 Então eu tenho duas soluções para essa equação o dois é a solução e o -2 também é solução então o dois anula x ao quadrado menos 4 -

2 anula x² - 4 então eu vou fazer uma reta para cada uma dessas termos para o primeiro termo né então eu não tenho nenhum x né o x não pertence aos reais então eu faço a minha reta do real dos reais não tem nenhum número para marcar como x ao quadrado o sinal do x ao quadrado é positivo então a minha reta é toda positiva o segundo termo Eu tenho dois valores para marcar na minha reta né porque é uma equação do segundo grau também o Marco nessa reta o número menos dois e Marco

2 como x² é positivo então a direita do dois positivo entre -2 e 2 negativo à esquerda do menos dois positivo nós falamos mesmo sinal de a contrário de ai mês de A então eu fiz a reta marquei os dois extremos que ao menos dois e dois a direita positivo entre as raízes negativo e a esquerda de -2 positivo unindo essas duas soluções uma embaixo da outra temos o seguinte quadro então aqui tá o quadro né para um mais x ao quadrado A minha reta toda positiva depois eu tenho a reta né do meu segundo

termo que as raízes são menos dois e dois positiva direita do dois entre as raiz negativa e a esquerda do menos dois positiva e agora eu vou fazer o produto de sinais então eu marco os dois números na minha reta solução Como que é o menos dois e dois e agora eu vou fazer o produto dos sinais então a direita do dois ou mais com mais dá mais entre as raízes olha mais de cima com menos de baixo mais com menos dá menos agora eu vou fazer a esquerda do menos dois mas com mais dá

mais como que eu marco essa solução em azul eu tenho eu olho aqui em cima para minha para o meu consciente né Eu tenho um consciente sendo maior que zero maior que zero são os números positivos Isto é eu tenho um quociente sendo positivo aonde que esse quociente é positivo a direita do dois e a esquerda do menos dois por isso que a minha reta está Azul a direita do dois e a esquerda do menos dois então meu conjunto solução aqui pertencente aos reais eu tenho os números menores que 2 ou os números maiores que

2 fazem parte da minha solução só vou fazer uma ressalva aqui olha se eu tivesse um quociente menor que zero a minha solução seria entre os intervalos menos dois e dois certo como ele pede os maiores são os positivos Então os positivos a direita do dois e a esquerda de menos dois [Música]