hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a hablar acerca de la posición relativa de dos rectas en el espacio es decir vamos a analizar todas las diferentes posiciones en las que podrían estar dos rectas voy a empezar mostrando esto graficamente y después vamos a ver analíticamente como darnos cuenta de cuál posición tienen dos rectas bueno graficamente tenemos los mismos casos que en el plano dos rectas en el plano pueden ser o bien para de las obien interceptarse en un punto en el espacio dos rectas paralelas se verían de esta
manera por ejemplo tenemos dos rectas que van en la misma dirección y que nunca llegan a cruzarse nos vamos a dar cuenta de que dos rectas son paralelas cuando sus vectores de dirección sean paralelos ya hemos visto en vídeos anteriores ejemplos de esto también podemos tener el caso en el que las dos rectas se cortan en un punto por ejemplo estas dos rectas de aquí que cómo podemos ver se cortan en este punto de aquí bueno esos dos casos ya los conocíamos son casos que se dan en el plano pero ocurre que en el espacio
de tres dimensiones hay un tercer caso que no puede darse en el plano cartesiano pero en el espacio sí que se puede dar qué es el caso en el que las dos rectas no son ni paralelas ni se cortan en un punto es este caso de aquí son dos rectas que no son paralelas porque no van en la misma dirección es decir sus vectores de dirección no son paralelas no son paralelos como puede verse aquí está recta se dirigen una dirección mientras que la otra se dirige en otra dirección y también como podemos ver las
rectas no se cortan bueno estos son los tres casos que pueden darse en el espacio cuando tenemos dos rectas ocurre también un cuarto caso que en realidad no podríamos decir que es uno de estos casos que es cuando las dos rectas son en realidad la misma recta que se llama rectas coincidentes digo que no es otro caso como estos porque en realidad no serían dos rectas sería una sola pero si es importante saber cuando dos ecuaciones vectoriales de la recta en realidad se refieren a la misma recta así que vamos a incluir ese caso también
y lo vamos a analizar ahora voy a darles la lista de los 4 casos que acabamos de ver graficamente y voy a decir desde qué manera podemos darnos cuenta en cuál de los casos nos encontramos el primer caso es cuando dos rectas son paralelas esto ocurre si no tienen puntos en común y si los vectores de dirección son paralelos el segundo caso va a ser cuando dos rectas sean coincidentes que como les mencionaba en realidad se refieren a una misma recta esto ocurre si tienen un punto en común y sus vectores de dirección son paralelos
es decir en los dos casos el vector de dirección es paralelo en ambas rectas pero las dos son paralelas cuando no tienen puntos en común y serán coincidentes si además de que sus vectores son paralelos tienen un punto en común que en realidad si tienen un punto en común todos los puntos los tendrán en común puesto que los vectores de dirección pues son el mismo vector o son vectores paralelos bueno el tercer caso es cuando dos rectas se intersectan esto ocurre simplemente si tienen un punto en común y finalmente el caso de que las dos
rectas no son paralelas ni se intersectan vamos a llamarles dos rectas oblicuas en algunos lugares también se dice que estas dos rectas se cruzan aunque yo prefiero no utilizar esa terminología porque eso se puede confundir con el caso número 3 ya que si dos rectas se intersectan pues podemos pensarlo como que se están cruzando en un punto entonces prefiero llamarle a dos rectas que no se intersectan y que no son paralelas rectas oblicuas bueno vamos a ver un ejemplo se nos están dando estas dos rectas L1 DTI L2 DC en su forma vectorial y se
nos pregunta si las rectas son paralelas coincidentes oblicuas o si se intersectan en un punto para darnos cuenta de esto en realidad solamente tendremos que hacer dos sencillos pasos el primer paso va a ser analizar si los vectores de dirección son paralelos y el segundo paso va a ser analizar si las rectas tienen puntos en común y dependiendo de lo que nos va dando cada uno de estos casos como resultado vamos a determinar cuál caso de esos cuatro es el que se aplica a nuestro par de rectas entonces paso número 1 verificar si los vectores
de dirección de la recta son paralelos entonces primero necesitamos saber cuáles son los vectores de dirección de las rectas en este caso es muy fácil porque como las rectas están dadas en su forma vectorial ya hemos visto en vídeos anteriores que el vector de dirección es el que está haciendo x el parámetro t así que en la recta uno nuestro vector dirección es el 32 menos 1 a ese vector vamos a llamarle V y en la recta 2 el vector de dirección es el 412 a ver si vamos a llamarle vector U y queremos ver
si estos vectores son paralelos recordemos que dos vectores son paralelos si existe un escalar k tal qué es = k x el vector V así que vamos a suponer que si existe si existe desescalar si eso nos lleva a un sistema de ecuaciones para el cual obtengamos el mismo valor de k entonces serán paralelos y yo tenemos diferentes valores de K entonces no lo serán así que ponemos que = K x V es decir que 4/12 qué es = k k es un escalar lo ponemos aquí x V qué es el 32 menos 1 hacemos
la multiplicación y luego igualamos las componentes por lo que la primer componente que es el 4 debe ser igual a la primer componente de este lado que va a ser 3 CA4 debe ser igual a 3 k ahora en la segunda componente que es uno debe ser igual a la segunda componente de este lado que es 2 * k 1 = 2 x k y finalmente la tercer componente que es dos debe ser igual a la tercer componente de este lado que es menos 1 porque es decir menos acá tenemos entonces aquí un sistema de
tres ecuaciones con una incógnita si este sistema nos da un valor de k entonces si serán paralelos y yo tenemos diferentes valores de cada ecuación no sean paralelos bueno de la primera ecuación el 3 que está multiplicando pasa dividiendo por lo que nos queda que acá vale Cuatro Tercios en la segunda ecuación el 2 que está multiplicando pasa dividiendo por lo que nos queda que vale un medio y Cuatro Tercios no es lo mismo que un medio ya no hace falta ni siquiera fijarnos en la tercera ecuación ya hemos obtenido dos valores de K distintos
por lo tanto estos bueno esa igualdad no se cumple para un escalar acá y por lo tanto los vectores no son paralelos así que podemos descartar los primeros dos casos porque para que las rectas sean paralelas o coincidentes los vectores de dirección deberían ser paralelos así que entonces podemos descartar estos dos casos y únicamente nos falta ver si las rectas son oblicuas o si se intersectan y para eso vamos a realizar el paso número 2 el paso número 2 consiste en verificar si las rectas tienen un punto en común esa condición se puede verificar si
se cumple lo siguiente si existen escalares RS tales que l1d te sea igual a L 2ds es decir en la segunda recta vamos a cambiar nuestro parámetro t por ese eso es muy importante porque este parámetro T que aparece en la segunda recta no necesariamente es igual al parámetro T que aparece en la primera debemos diferenciar los de alguna manera y eso lo podemos hacer pues simplemente cambiando la letra a una de las rectas vamos a cambiársela a la segunda y en lugar de ponerte vamos a poner una ese por lo que l 2ds nos
queda la misma ecuación de aquí pero cambiando estate por ese bueno entonces tenemos que verificar si existen R&S tales que l1d te sea igual a l12s es decir vamos a igualar esto que aparece aquí con esto que aparece aquí esto qué es L1 DT con esto de aquí que es l 2ds lo igualamos y nos queda esto de aquí esto es una igualdad entre dos vectores aunque aquí pues está haciendo una suma de vectores y aquí un producto por un escalar así que vamos a realizar las operaciones al hacer la multiplicación aquí por ti y
luego hacer la suma nos queda menos 1 más 3 por T en la primer componente en la segunda es 0 más 2 por ti que simplemente es 12 y en el tercer componente nos queda 1 más menos 1 por ti es decir uno menos te hacemos lo mismo de este lado aquí nos queda uno más ese por 4 es decir uno más 4S luego tres más ese por uno que es 3 + S y menos 3 más 2 por ese es decir menos 3 más 2 s ya tenemos entonces una igualdad entre dos vectores y
siempre que tenemos una igualdad entre dos vectores sabemos que cada componente debe ser igual a su componente correspondiente del otro lado es decir la primer componente que es menos 1 más triste debe ser igual a la primer componente de aquí que es uno más 4S eso nos da una ecuación otra ecuación la obtenemos con la segunda componente que es 2 T = 3 + S y finalmente otra ecuación con la tercer componente uno menos te igual a menos 3 más dos ese entonces obtenemos un sistema de ecuaciones pero fíjense que tenemos 13 ecuaciones y 2
incógnitas este sistema tiene solución solamente si tomamos nosotros dos ecuaciones de aquí las resolvemos y al obtener el valor de ese y esos valores también satisfacen la otra ecuación que no habíamos tomado así que primero vamos a acomodar los términos para resolver el sistema vamos a dejar las incógnitas del lado izquierdo y todos los números los términos independientes del lado derecho por lo que la primera ecuación nos va a quedar el triste que teníamos pero el 4S pasa restando así que queda menos 4S luego este uno que estaba aquí restando pasa sumando al otro lado
y uno más uno nos queráis T2 hacemos lo mismo con la segunda ecuación la s pasa restando así que queda 2T menos ese y el tres que teníamos ahí lo dejamos y en la última ecuación el 12C que estaba sumando pasar estando así que queda menos te menos 12 se y este uno que era positivo pasa negativo y menos 3 menos 1 nos da menos 4 ahora en este sistema debemos elegir dos ecuaciones las que nosotros queramos resolver ese sistema de 12 ecuaciones y una vez que lo hayamos resuelto vamos a sustituir los valores en
la tercera ecuación que no habíamos tomado y si se cumple la igualdad entonces el sistema tiene solución y por lo tanto se cumplirá esta condición así que habrá un punto en común si en cambio no se cumpliera la igualdad en la tercera ecuación entonces no tendrían puntos en común bueno lo que yo voy a hacer aquí es tomar la primera ecuación y la segunda ecuación y para resolver este sistema voy a multiplicar la segunda ecuación x menos 4 porque al multiplicar aquí por menos 4 aquí va a quedar 4S positivo y al sumarlo con la
primera ecuación se va a cancelar ese y únicamente nos va a quedarte aquí hay que recordar lo que ya sabemos de álgebra resolver sistemas de ecuaciones si tienen dudas respecto de ese tema los invito a que miren los vídeos de mi canal de ecuaciones les voy a dejar en la descripción de este vídeo enlace a mi lista de reproducción dónde pueden encontrar cómo resolver este tipo de sistemas por varios métodos bueno multiplicamos entonces la segunda ecuación x menos 4 la primera ecuación fíjense que las dejamos aquí tal cual cómo está pero la segunda nos queda
menos 4 por 12 menos 8 C luego menos 4 por menos ese que era más 4S y menos 4 por 3 queda menos 12 ahora hacemos las sumas termino a termino 12:52 te queda menos 5 te menos 4S + 4S se cancelan nos da 0 qué es lo que queríamos eliminar esta variable y 2 menos 12 queda menos 10 ahora el menos cinco que está multiplicando pasa dividiendo y nos queda que te es igual a menos 10 entre -5 o sea T = 2 menos entre menos damas 10352 ya tenemos el valor de ti nos
hace falta el valor de ese tenemos que obtenerlo a partir de estas mismas dos ecuaciones que tomamos la ecuación primera y segunda una forma de hacerlo sería ahora eliminar late otra forma de hacerlo es sustituir el valor T = 2 en una de estas ecuaciones por ejemplo sustituimos en la primera ecuación y nos queda eso de aquí simplemente en lugar de te ponemos entre paréntesis su valor que es dos y hacemos las operaciones tres por dos queda seis el seis pasa restando luego hacemos la resta y nos queda menos 4 y finalmente este menos 4
pasa dividiendo y al dividir -4 entre -4 eso nos da 1 así que ya tenemos el valor de ese y vete estos dos valores los obtuvimos de haber tomado la primera ecuación y la segunda ecuación no hemos hecho nada con la tercera ecuación lo que debemos hacer con la tercera ecuación es verificar que al sustituir estos en esta ecuación se cumple la igualdad si la igualdad se cumple entonces se habrá cumplido esta condición si no se cumple entonces las rectas no tendrán puntos en común vamos a sustituir entonces y nos queda lo siguiente nos queda
en lugar de ets2 y en lugar de ese este uno hacemos las operaciones que nos aquí menos 2 menos 2 que es menos 4 y vemos que la igualdad si se cumplió como si se cumplió entonces está condición si se cumple y por lo tanto las rectas tienen un punto en común como ya sabemos que no son coincidentes entonces necesariamente las rectas se intersectan en un punto ahora un detalle aquí interesante es determinar cuál es el punto en el que se intersectan dos rectas y eso lo podemos hacer muy fácilmente a partir de estos valores
que obtuvimos simplemente hay que sustituir los en la ecuación de la recta el valor de t se sustituiría en L1 DT que fue en donde dejamos el parámetro T o podemos sustituir el valor de ese en la segunda ecuación que es donde consideramos nuestro parámetro como ese vamos a hacer eso entonces si sustituimos te en la primera ecuación nos queda que L1 dedos te vale dos así que hay que poner aquí un dos es estoy aquí igual todo igual pero en lugar de te ponemos un dos y ahora hacemos estas operaciones que están de este
lado primero multiplicamos este vector x dos dos por tres que las 6 OS X 2 que da 42 x menos 1 queda menos 2 y ahora hacemos esta suma de vectores componente a componente menos 1 más 6 queda 50 más 4 cada 4 y 1 menos 2 queda menos 1 este de aquí es el punto de intersección de las rectas y lo mismo obtendríamos si sustituimos el valor s = 1 en la segunda recta llegaríamos a lo mismo eso ya los invito a que ustedes no verifiquen obtendríamos que L2C 1 es 54 menos 1 así
que las rectas tienen este punto en común la el punto de intersección de las rectas es 54 menos uno bueno ahora les dejo a ustedes un ejercicio parecido tienen que determinar si estas dos rectas de aquí son paralelas coincidentes oblicuas o se intersectan en ese caso las rectas están dadas en su forma parametrica pero el procedimiento es el mismo tienen que seguir los dos pasos primero determinar si los vectores son paralelos y segundo determinar si tienen un punto de intersección o no los invito a que intenten hacerlo y en el siguiente vídeo les mostraré el
procedimiento completo para que verifiquen su respuesta antes de terminar este vídeo quiero agradecer a los patrones del mes que me han apoyado bastante a través de mi página de facebook que es esta de aquí triple w diagonal matefacil en esta página ustedes pueden apoyar mediante sus donaciones y a su vez pueden recibir recompensas por sus donativos los invito a qué visiten la página para que puedan ver más detalles acerca de esas recompensas quiero dar un agradecimiento muy especial tanto a José Merlo Sánchez como a Heidi García por su gran apoyo este mes a través de
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