[Música] bem nosso modelo de casa é extremamente interessante porque nós fomos capazes de utilizando o movimento das moléculas entender quais são as propriedades de um gás como que ele faz pressão não é qual é a Interpretação da temperatura por que que se eu levar a temperatura de um gás há muito valores muito baixos sua pressão cai assustadoramente tudo isso que nós somos capazes de fazer com chamado modelo cinético do gás E aí então tá todo mundo convencido agora que as partículas de um gás são animadas de velocidade a questão é como essa velocidade todas as
partículas tem na verdade a mesma velocidade ou elas são distribuídas existe uma distribuição de velocidade quando eu pego um certo número de partículas não gás há uma temperatura T e uma pressão P e assim por diante na verdade se eu voltar quase mais de um século atrás eu vou fazer um outro experimento eu vou pegar aqui um recipiente que contém gás então nosso modelo de que o gás é constituído dessas partículas em movimento fazendo uma pressão P ocupando um volume V tendo lá o número de partícula n e uma temperatura até de tal maneira que
eu sei que PV igual a nkt se eu fizer um furinho aqui essas partículas saem do recipiente num processo chamado de fusão sai daqui e obviamente o que tá saindo daqui é uma medida da velocidade que tem né Se todas as partículas saírem com a mesma velocidade ou se ela saírem com velocidade diferente é uma é um retrato da velocidade que tá aqui porque afinal as partículas estão se movimentando quando vão bater na parede que era o buraco ela sai então você na verdade tem partículas saindo para todo lado o que que o pessoal fez
foi o seguinte pegou colocou aqui uma abertura na frente de uma dessas panelinhas de pressão isso aqui é como se fosse uma panela de pressão um vapor saindo pelo bico e aqui então você acaba tendo que é o que nós chamamos de um feixe molecular aí o pessoal fez o seguinte botou aqui um dispositivo que tem duas rodas que nós chamamos rodas dentadas essa roda dentada ela tem um dente e a outra roda tem um dentezinho deslocado angularmente e esse sistema aqui com essas rodas ele roda ele tem uma rotação então eu pego essas duas
rodas dentadas veja bem é assim as duas rodas elas estão rodando e elas têm dois dentes só que eu desloca um dente em relação ao outro e roda isso de tal maneira que o fecho é obrigado a passar pelo dente o que acontece é que os átomos passam pelo primeiro dente e se os dois tivessem sobreposto aí a hora que chegar no outro dente já andou o peixe é incapaz de passar mas como existe uma defasagem angular entre eles o que que acontece a molécula os átomos passam por esse feixe enquanto vai chegar aqui o
outro dente se alinhou ela consegue passar também variando a velocidade de rotação eu sou capaz de determinar Qual é a velocidade com que as partículas com que as partículas transitaram entre os dois discos isso é chamado roda dentada foi utilizado muito para se medir e quando se observa aqui se observa que a medida que eu varia a rotação claro que tudo isso você pode fazer essa experiência com o vapor que sai da panela de pressão sem problema eles observaram que aqui tinha uma variedade de velocidades eles observaram que na verdade as partículas de um gás
não tem uma única velocidade tem uma distribuição tem uma distribuição de velocidade se tem uma distribuição de velocidade Qual é essa distribuição Porque eu peguei e associei temperatura com a velocidade com a energia cinética de cada partícula mas se tem uma distribuição provavelmente a temperatura deve estar associado com essa distribuição com sua largura ou com seu valor mais provável alguma coisa desse tipo portanto eu tenho que agora determinar Qual é aqui as partículas não tem uma única velocidade Elas têm uma variabilidade de velocidade e isso então caracteriza a existência de uma distribuição de velocidade que
eu quero saber qual é Na verdade eu quero saber qual é aqui mas o Maxwell e o Bom Há muito tempo atrás também quiseram saber e foram capazes de determinar Qual é essa distribuição de velocidade baseado em princípios bem simples assumidos para um gás constituído de partículas Independentes isotrópico com componentes de velocidade independente então agora nós vamos deduzir Qual é essa distribuição de velocidade se eu ficar aqui contando quantas partículas Tem cada velocidade como que eu monto o histograma dessa distribuição então a ideia agora é que se eu fizesse esse experimento que nem eu fiz
aqui com a roda dentada e me disse pô mas quantas partículas número de partículas com cada velocidade dividir isso em intervalos eu vou ver que aqui tem um pouquinho aí tem mais um pouquinho aí tem mais um pouco aí tem muitas partículas que estão dentro de um certo intervalo aí Elas começam a cair um pouco e aí vai aqui como funciona a velocidade isso cria um histograma né então eu tenho uma variação essa curva que na verdade é contínua eu posso ter muitas e muitas velocidades não gás Tá certo como foi provado no experimento com
a roda dentada e eu quero descobrir essa velocidade essa curva quem que é essa curva é isso que nós queremos descobrir E é isso que o Max foi o Bolt não fizeram E é isso que nós vamos fazer Então nós vamos pegar agora vamos imaginar um gás e vamos lembrar o conceito de distribuição que eu tenho um gás eu tenho muitas partículas então não faz sentido falar na velocidade de uma eu tenho que falar qual é a probabilidade de eu encontrar partículas com velocidade num certo intervalo então eu vou olhar aqui e falar bom se
eu pegasse uma partícula passando aqui correndo aqui com velocidade V qual é a probabilidade dessa partícula ter componente x de velocidade entre vx e vx + D vx v y entre vy e v e y mais d v y e z com velocidade entre vz e vz + dvz ou seja se eu pegar uma partícula que tá andando aqui fizer um gráfico medir a velocidade dela e falar assim bom essa partícula tem componente de velocidade vxvi obviamente que é a velocidade dessa partícula é cai dentro no espaço de velocidade cai dentro de uma caixinha que
tem dimensões dvx dvi e o vetor velocidade tá lá dentro então dado partículas andando para todo lado no meu gás qual é a probabilidade de uma delas ter essa característica de velocidade Tá certo então é isso que eu estou procurando eu estou procurando qual é a probabilidade de uma delas de uma dessas partículas ter essa componente de velocidade e isso eu chamo de f de vx v e y e z essa função vezes dvx dvi que eu vou chamar de DW então DW é o elemento de volume nesse espaço que é dvx dvi dvz Tá
certo essa grandeza F vezes o elemento de volume me dá a probabilidade de eu encontrar uma partícula aqui portanto se eu tiver um gás que tem n partículas o número de partículas que vai ter uma característica específica de velocidade vai ser o número vezes a probabilidade como nós sabemos na teoria de probabilidade Tá certo porque o número de partículas com certo característica é a probabilidade daquela característica vezes a população total vezes o número total de partículas portanto essa grandeza aqui caracteriza a chamada distribuição de velocidade da partícula F tem dimensão de probabilidade por unidade de
volume no espaço de velocidade por quê Porque se eu integrar de menos infinito a mais infinito todas as possíveis velocidades de F de V de X vezes y v dizer DW tem que dar um quer dizer partícula tem que ter alguma velocidade tá certo esse é o conceito de distribuição contínua de probabilidade é um conceito que às vezes a gente não aprende muito porque aqui eu tenho muitas partículas tudo é possível Tá certo e eu então estou olhando tô querendo determinar Quem é essa distribuição de velocidade cuja interpretação é que isso aqui me dá a
probabilidade Então esse essa grandeza aqui é na verdade a probabilidade de uma partícula no meu gás com estas características e velocidade Essa é a interpretação dessa função distribuição por isso que eu divido em intervalos a pergunta aí é dado que eu pego uma partícula imensa velocidade qual a probabilidade dela cair exatamente nesse elemento de volume aqui no espaço de velocidade isso aqui é o espaço de velocidade v x e y z e eu quero determinar essa essa distribuição de velocidade Não só eu como o Max e o bolso ele já determinaram nós vamos repetir o
cálculo deles aqui muito bem Então como que nós vamos fazer para fazer isso primeiro nós vamos fazer o seguinte bom Claro o gás é tridimensional mas nós podemos olhar cada componente individual e mais do que isso a probabilidade de olhar um intervalo de componente deve ser independente das outras o fato de uma partícula tem uma velocidade numa direção não quer dizer que as outras estão vinculadas porque se eu fizer isso eu vínculo o valor total da velocidade então não quero fazer isso então nós vamos fazer algumas considerações para poder determinar essa distribuição de velocidade a
primeira consideração que eu vou fazer é o seguinte as componentes são independentes Se eu olhar uma direção eu vou encontrar uma distribuição que é independente do que a partícula pode ter na outra e a outra consideração que eu vou fazer que é óbvia é que não tem direção preferencial para as partículas de um gás tá caminhando se tivesse o gás se deslocaria né Se você pegar uma bexiga cheia e deixar paradinha aqui ela continua paradinha por quê Porque as velocidades das partículas né em média dá zero elas não tem velocidade de preferencial Então eu tenho
que assumir aqui uma isotopia da distribuição todas as direções são igualmente prováveis duas considerações Independência e isotopia se eu assumo isso então eu posso construir essa distribuição de velocidade fez isso e boas então nós vamos fazer também isso primeiro nós vamos começar a olhar Já que as componentes são independentes Então nós vamos olhar cada componente nós vamos dizer que f viver de x d vx é na verdade a probabilidade é a distribuição de velocidade para componentes x isso aqui é a distribuição de velocidade para a componente x Isso aqui vai me dar a probabilidade de
eu medir essa partícula e a sua componente de velocidade na direção XC é um determinado valor Tá certo só que todas as direções são iguais né não tem preferência portanto a distribuição de velocidade para direção Y tem que obedecer a mesma forma funcional tem que ser a mesma função essa tem que ser a distribuição de velocidade para vy claro vai depender no valor de v y mas a dependência funcional é igual e mais do que isso a distribuição de velocidade para a direção Z porque tem um D né é a distribuição de velocidade para vencer
todas elas têm que ter a mesma forma funcional não só tem que ter a mesma forma funcional como tem que ser independente bom daí eu volto aqui e falo então muito bem essa é a distribuição de velocidade para uma distribuição de velocidade com componentes vxvyz espacial mas ela pode ser composta por distribuições das suas componentes e elas são independentes como isso aqui tem uma interpretação de probabilidade a probabilidade de encontrar uma partícula com componentes de velocidade vx e yvz dentro do intervalo dvx dvi dvz como está representado no diagrama é igual ao produto das probabilidades
das componentes porque elas são independentes e Nós aprendemos em probabilidade que quando eu tenho eventos Independentes a probabilidade total é o produto das probabilidades Tá certo então eu posso escrever que a distribuição que eu tô procurando para as velocidades do meu gás que nós já estamos agora conscientes que é uma distribuição espacial e etc etc então o meu f de V de x v y v dizer DX dvi dvz que é na verdade a probabilidade de eu encontrar partícula nesse elemento de volume no espaço de velocidades que é a distribuição não é porque sabendo a
probabilidade eu sei como que as partículas estão distribuída em termos de valor de velocidade e direção isso é igual a probabilidade da componente x CV X que é essa parte da distribuição eles a probabilidade da componente Y cvy vezes a probabilidade da componente então a distribuição total é o produto das distribuições de cada componente tudo isso baseado naquele princípio F minúsculo é a distribuição das componentes e F maiúsculo é a distribuição tridimensional do gasto todo bom e aí o que que eu posso fazer agora bom eu posso lembrar uma coisa cada direção que eu olhar
do gás a velocidade não pode ser dependente o que tá acontecendo nessa direção tem que ser igual ao que tá acontecendo nessa e nessa ou no nosso diagrama não depende que ângulo essa velocidade tem eu tenho que encontrar a mesma probabilidade a probabilidade de encontrar um certo valor de velocidade em qualquer direção do espaço tem que ser igual é isotópico portanto essa distribuição não pode depender das componentes ela tem que depender o módulo ou seja isso aqui tem que depender do módulo na velocidade então eu já posso escrever que na verdade a minha função V
é F maiúsculo tem que depender de v x ao quadrado + vy ao quadrado mais vezes ao quadrado raiz quadrada disso que a forma de você dizer que depende do módulo vezes o DW Eu vou deixar DW aqui agora que é igual ao produto de F de V de X F V de y f DW e DW aqui é o elemento de volume no espaço de velocidade então assumindo isotopia independência das componentes eu cheguei a essa expressão no lugar isso aqui eu posso colocar ver né que é o módulo da velocidade né soma dos quadrados
raiz quadrada é o módulo chegar aqui e escrever aqui f de V é igual a f de v x vezes f de vy vezes f de vz é porque o elemento e volume redundante aqui então eu tenho essa expressão e agora eu vou tomar derivada dessa expressão com relação a vx então se eu tomar derivada disso com relação a vx porque isso o módulo Depende de investir Quanto que é a derivada desse relacionamento [Música] vezes dever o v Depende de Y isso tem que ser igual a aqui única que depende de v x é a
primeira componente Então isso é igual a DF dvx vezes V vi Y vezes desculpa f v y e f z isso aqui é o que eu vou chamar de F linha a derivada de v só colocando aqui que V é igual raiz quadrada vx quadrado mais vy² + vz quadrado então derivada ele vem em relação a vx nada mais é do que meio de dois vx dividido pela raiz quadrada é a derivada disso aqui então isso aqui vai ser a derivada então a derivada vai ser isso aqui eu vou chamar de F linha e aqui
vai aparecer um v Tá certo que vai aparecer raiz quadrada e vai aparecer um vx aqui em cima porque a derivada disso vai dar dois né dois ver X dois vx então o dois cancela eu termino derivando em relação a x isso tudo termina com essa expressão e do lado de cá Do lado de cá tem o f linha FF é isso que eu tenho agora eu vou pegar essa expressão aqui em vermelho aqui Clara é F de vy né E aqui é vz aqui é vx se eu dividir essa expressão por essa expressão o
f de vy e o f de vezes aparece Então eu fico com dividindo pegando isso aqui e dividindo por isso aqui você percebe que vai acontecer eu vou obter uma equação que é F linha vezes v x dividido por F vezes V é igual a f linha dividido por f e os outros cancela aqui é filhinha e f dependendo nível X então eu obtive uma equação que é uma equação que relaciona a distribuição Total com a distribuição das suas componentes e a expressão que eu obtive eu vou só reescrever Isso é que é filinha que
depende de ver dividido por F V é igual a F linha que depende de x dividido por F vezes de x é isso que eu tenho do lado de cá eu tenho tudo dependendo do módulo de V do lado de lá eu tenho tudo dependendo apenas de a componente vx mas eu sei que as componentes são independentes dado que eu tenho um módulo eu posso ter infinitos e y e z Tá certo e posso ter um vx então dado um vx eu posso ter muitos valores de vy vz então não faz sentido essa expressão que
só faz sentido se Depende de investir num lado depende só de vx do outro só faz sentido se é uma constante certo passei matematicamente verdadeiro então a variação da distribuição espacial e a variação da distribuição de cada componente tem que estar vinculado de acordo com essa relação para que seja verdade e eu vou chamar essa constante de menos dois Gama por conveniência Porque eu sei que é melhor chamar de negativo etc para poder resolver aqui escrever na forma integral então eu tenho agora uma equação que diz que F linha sobre V F é igual a
menos dois Gama e tem uma expressão que diz que é filhinha sobre vx F é menos dois Gama eu vou pegar essa equação aqui e vou resolver pode resolver qualquer uma eu vou pegar essa e vou integrar Então eu tenho que F linhas sobre f é igual a menos 2 Gama vx mas é a filhinha DF dvx então eu posso escrever isso aqui como DF sobre f é igual a menos 2 Gama vx agora eu posso integrar vou fazer uma integral indefinida e deixar tudo em cima de uma constante fazendo a integral disso O que
que houve tenham fazendo a integral dessa equação a gente obtém que a integral integrando agora né então integrando essa expressão eu tenho que logaritmo de f que depende de V de X claro essa função distribuição para componente vlx é igual a integral de vx é meio de vx quadrado Então ela é igual a menos Gama vx quadrado mais uma constante aqui que é constando a integração porque isso aqui eu fiz uma integral é indefinida né agora inverto logaritmo invertendo logaritmo eu tenho que f de V de x é uma constante a porque vem dessa aqui
exponencial de menos Gama vx quadrado então a distribuição de velocidade de uma das componentes é uma gaussiana Isso aqui é uma gáuseana extremamente importante na distribuição das probabilidades de quase todos os sistemas físicos e assim por diante se eu tenho f de NX eu posso reconstruir agora ou é falso a distribuição Total ou é pão de ver né nada mais é do que o produto dos apps lembra portanto ela é Ao Cubo cada F vai ter um F só que aqui vai substituir vai ser o vy v veja exponencial de menos Gama vx quadrado vezes
potencial de menos Gama vy2 vezes exponencial de menos Gama vz quadrado que é igual a menos potencial de Gama vx quadrado + vy2 + Z quadrado que é V quadrado Então esse aqui é Ao Cubo vezes e elevado a menos Gama V quadrado Essa é a minha distribuição Total aqui no espaço que é Tá certo claro eu não sei quem é constante Ah nem quem é Gama que eu tenho que determina agora como que Eu determino isso bom é fácil determinar isso primeiro eu posso lembrar que a integral de menos infinito a mais infinito do
fvx tem que ser um porque isso aqui é probabilidade se eu somar todos probabilidades possíveis dá um se isso aqui é probabilidade Eu também sei que V de x quadrado de menos infinito a mais infinito vezes f de V de X vezes D vx isso aqui é o valor isso aqui a probabilidade de encontrar vx e aqui eu multipliquei por vx quadrado então isso aqui a probabilidade de eu ter vx quadrado somando todas as probabilidades multiplicadas por vx quadrado isso me dá o valor médio da componente vx quadrado e nós já vimos quando fizemos o
modelinho de gás que quando eu olho uma componente a gente viu que meio de m v x quadrado médio tem que ser igual a meio de KT ou seja vx quadrado médio tem que ser igual a kt/m então eu tenho na verdade duas equações com duas incógnitas a serem determinadas basta eu colocar aqui nessa equação fazer a integração essa é uma integração definida com gaussianas que dá para se fazer não é facilmente e obtenho quem é o Gama e quem é o ar então fazendo essas integrais nós obtemos que o valor do a nada mais
é do que M sobre 2 pi até elevado ao meio e o gama é na verdade meio de M sobre k t Essas são as constantes que obtenho de informações que eu já tive inclusive introduzindo o conceito cinético de temperatura muito bem com essas grandezas em mãos nós podemos escrever que a distribuição de velocidade de um gás a uma temperatura T nada mais é do que sobre dois pikt elevado a três meios lembra que eu tenho que multiplicar todas elas vezes a exponencial de menos meio de MV quadrado sobre cateto Essa é a distribuição de
massa boltman que fala que a probabilidade de você encontrar uma velocidade numa certa direção com módulo V é dado por isso tá certo o que tem sentido de se interpretar é que f de v vezes o DW é essa probabilidade Na verdade essa é a interpretação porque isso aqui só é a densidade de probabilidade f de v vezes DW essa sim é a probabilidade de velocidade V como no diagrama nesse elemento de volume obviamente que isso deve ser independente da direção então é melhor converter isso independente dos ângulos independente dos ângulos tetrafi aqui que normalmente
a gente Expressa em coordenadas esféricas então eu vou converter isso aqui em coordenadas histéricas e vou escrever aqui f de V no lugar do DW Eu vou para coordenadas esféricas que é quem coordenadas esféricas seria r² Dr mas aqui o r que é o módulo é o v Então seria V quadrado DV deu o mega onde deu o mega é o elemento de ângulo sólido e como isso é independente das direções então eu vou somar todas as direções todos os ângulos Somando todos os ângulos obviamente Isso aqui vai dar fdv ver quadrado dever vezes quatro
pi que a integral dos ângulos é quatro P integral deu mega é quatro pi já que isso aqui só depende do módulo da velocidade essa função aqui ó 4 PI f de v quadrado nós chamamos de de vdv então o fim de ver que eu vou já dar Interpretação para vocês nada mais é do que quatro pi vezes M sobre 2 pi KT elevado a três meios vezes Z quadrado e a menos meio de MV quadrado sobre KT Rei todos os ângulos essa distribuição aqui é realmente a distribuição para o módulo da velocidade e a
Interpretação que a gente faz dela não é mais a interpretação e achar a velocidade dentro do elemento de volume DW que nem eu tinha desenhado mas é a probabilidade de você achar dado que eu meço uma uma velocidade em qualquer direção qual é a probabilidade dele cair num módulo da velocidade bater numa casquinha esférica isso aqui continua sendo v x e y e z Tá bom mas agora a probabilidade do módulo da velocidade CV significa qualquer direção então é uma casca esférica no espaço de velocidade não é é dado por essa expressão a interpretação de
find V é exatamente a probabilidade de partícula com módulo de velocidade entre ver e ver mais DV então todas as velocidades de uma partícula vão cair dentro de uma casquinha esférica no espaço de velocidade e a densidade de pontos dessa casquinha esférica ou a probabilidade de se cair ali é essa função que é a nossa grande distribuição de Max ou boltzmann e essa é realmente a probabilidade essa função é a probabilidade dos módulos na velocidade de um das partículas de um gás então você vê assumindo independência dos componentes assumindo isotopia e a Interpretação sinética da
temperatura me permitiu determinar Qual é a distribuição de velocidade das partículas não gasta isso é muito interessante isso aqui na verdade o início da mecânica estatística que dado uma população de partículas com diferentes velocidades assim por diante ela é capaz de mapear como que vão ser as propriedades essa distribuição ela tem uma cara né eu posso desenhar essa distribuição posso chegar aqui e agora já interpretamos Tudo posso chegar aqui e desenhar para vocês como que é a distribuição de velocidade e Max o Bolt e ela tem um v quadrado portanto ela é zero na origem
então aqui eu vou colocar agora o fi de ver ela é zero na origem cresce quadradamente e depois de cais exponencialmente a medida que a temperatura diminui essa distribuição de probabilidade se localiza para valores mais próximos da origem da velocidade a distribuição de maxman Tá certo então isso aqui seria uma temperatura T1 isso aqui seria uma temperatura T2 tem um menor do que ter dois é assim que é a distribuição de velocidade a distribuição de velocidade de Max robôs uma extremamente importante e tem na verdade algumas isso aqui a probabilidade né filho verdv é a
probabilidade Portanto o filho e V é probabilidade por unidade de velocidade Tá certo a unidade disso aqui a probabilidade de velocidade e seu olhar distribuição Deixa eu voltar a minha distribuição aqui se eu olhar distribuição eu vejo que tem algumas coisas importantes por exemplo lá tem um pico que é chamada velocidade mais provável essa velocidade mais provável você pode determinar tomando a derivada disso aqui igualando a zero E se eu determinar a velocidade mais provável aqui da distribuição eu vejo que a velocidade mais provável que é esse o pico da distribuição é raiz quadrada de
2 KT sobre m com dividido por m Essa é a velocidade mais provável tem também a velocidade média a velocidade média ela é o centro de massa dessa distribuição então a velocidade média ela é determinada né a velocidade média é determinada fazendo o seguinte a integral da velocidade e de ver dever de 0 a infinito porque agora é o módulo salvaria de 0 a infinito isso aqui se você fizer essa conta você vai obter que dá 1,12 raiz quadrada de 2 KT sobre m que é um pouco maior do que a velocidade mais provável e
depois eu tenho aqui uma velocidade RMS que a velocidade quadrática média essa velocidade RMS ela é obtida você calculando a velocidade média ao quadrado e tirando a raiz quadrada disso Como que você faz basta colocar a ver quadrado aqui e fazendo essa conta você vai obter que ela dá exatamente um ponto 22 vezes raiz quadrada de dois KT sobre m Essas são as velocidades que de alguma maneira caracterizam a distribuição de Maxwell então nós concluímos a aula não é tendo determinado qual é a distribuição de velocidade das partículas de um gás para isso nós Assumimos
fizemos algumas hipóteses que são verdadeiras e calculamos que ela é uma gaussiana para cada componente isso se compõe em termos de módulo de velocidade nessa função que tem um v quadrado vezes uma exponencial do módulo ao quadrado Tá certo bom com isso nós temos agora Como que são a nível como que é a nível microscópico a composição de velocidade das partículas de um gás e com isso nós devemos ser capazes de determinada certas propriedades de um gás que dependem da distribuição das velocidades das partículas E isso nós vamos fazer na próxima aula [Música]
