Geometria Analítica - Distância entre um ponto e uma reta

[Música] Olá alunos da Univesp bem-vindos a mais uma aula de geometria analítica Eu Sou professora glácia verão E hoje nós vamos falar sobre distância entre um ponto e uma reta nós já vimos nesse curso distância entre dois pontos e até eu dei a sugestão né de de sempre olhar a distância entre dois pontos como definir o vetor entre a e b e depois calcular o tamanho desse vetor bom quando nós vamos falar sobre a distância entre um ponto P e uma reta nós queremos a menor distância entre o ponto e a reta E aí essa

menor distância será sempre na direção perpendicular entre o ponto P e a reta r então de todas essas né e distâncias aqui a menor distância será sempre na direção perpendicular para qual quer ponto a da reta os vetores V que é o vetor diretor da reta e o vetor ap né o ponto a que pertence à reta e o ponto P que eu quero calcular a distância eles formam um paralelogramo de altura D E essa D vai ser a distância entre o ponto que eu né entre o ponto P e a reta r Então vamos

e ver como que nós podemos encontrar este esta altura D se eu tenho que ap é a área do paralelogramo nós já sabemos já do produto vetorial que se eu fizer a o produto vetorial entre v e a p e calcular o módulo eu vou ter a área do paralelogramo e por outro lado eu tenho também que a área do paralelogramo é a área aliás é é o tamanho da base vezes a altura aqui o tamanho da base é o tamanho do vetor V por isso que é um módulo de V bom então se eu

substituo essa são aqui e isolo o d eu vou descobrir exatamente o d que vai ser a distância entre o ponto P e a reta r Então nesse exemplo eu dou aqui o ponto P e a reta r para facilitar para poder já que nós precisamos do vetor diretor da da reta r e eu vou transformar essa que é uma equação reduzida e uma equação paramétrica e colocando em equação paramétrica então eu aqui como é o Y né que tá em função né x e z tá em função de y eu chamo o y de

t tá aqui e Onde tiver Y eu substituo por T logo eu tenho o ponto a que vai ser formado por 5 0 e -3 e o vetor diretor da reta que vai ser quem tá acompanhando as os componentes em t seria o 2 1 e -1 então para calcular a distância entre o ponto e a reta Eu só preciso então calcular o produto vetor voral entre v e ap então aqui tá o meu vetor ap que é p - a e o produto vetorial entre v e a p eu toda vez que eu faço

o produto vetorial eu encontro um vetor e agora eu preciso calcular o módulo né que seria a raiz quadrada das da soma das componentes ao quadrado então fazendo o cálculo e fazendo as simplificações eu encontro que a distância entre o ponto P e a reta r é a606 dividido por 6 o próximo exemplo ele ele pede também a distância entre o ponto P e a reta r só que ele não dá nem a ele não dá as a equação dessa reta ele dá que essa reta ela passa por dois pontos bom se ele se essa

reta passa por dois pontos então o vetor diretor dessa reta ela vai ser o vetor AB que vai B Men A você encontra o vetor diretor o vetor AP Você faz então p Men p Men A e agora para calcular Pela expressão da distância entre um ponto e uma reta calcula então primeiro a o produto vetorial entre o vetor V que seria o AB né Eh por ap e depois calcula o módulo de cada um desses vetores Então você encontra aqui a distância entre o ponto P e a reta r nesse exemplo eh ele pede

para calcular a para considerar a reta e agora ele não quer a distância ele quer um ponto da reta r que tenha a menor distância em relação à origem então Eh nós sabemos Nós aprendemos a calcular a distância mas eh nós descobrimos Qual que é a distância entre o ponto e a reta mas não qual que é o ponto que dá essa menor distância e esse exemplo ele pede Exatamente isso ele quer saber qual que é o ponto da reta que tem a menor distância em relação S A Origem quando nós falamos da origem é

a origem é é o ponto 00 né do do espaço R3 então primeiro nós vamos encontrar Qual que é a distância entre a origem e a reta e depois nós usaremos a relação distância entre dois pontos para para descobrir quem que é esse ponto que dá aquela distância né aquela menor distância que a gente encontrou que seria a o que nós vamos encontrar no passo um então no passo um nós vamos eh tirar aqui o Esse é o ponto né A Origem Essa é a reta r e aí da reta r nós precisamos tirar Quem

que é o ponto a e quem que é o vetor diretor tá se você tiver dificuldade passa essa expressão aqui pra equação paramétrica para ficar mais simples de tirar essas componentes e precisamos calcular então o produto vetorial entre o vetor v e o vetor AP descobriu quem que é a o vetor Quem que é o produto vetorial aqui calcula então a distância entre o ponto P que é a origem a reta eh calculando o módulo de do vetor que nós acabamos de encontrar dividido pelo módulo do vetor V agora vem o segundo passo nós descobrimos

Então qual que é a menor distância entre a reta r e a origem agora nós vamos descobrir quem que é aquele ponto b da reta que a distância entre o ponto P origem e ele vai dar aquela menor distância que nós acabamos de encontrar bom a distância entre dois pontos né como mencionei é você pode calcular o vetor PB ou eh PB ou BP e calcular o módulo deste vetor aqui e eu tenho então o vetor e PB né que seria b - p por isso que dá x e y z mas se fosse ao

contrário ia só eh mudar o sinal que tá tudo dentro do quadrado então não não faria diferença eh então a distância entre o ponto P e o ponto b que eu quero descobrir é dada por essa fórmula E essa distância ela tem que ser igual a a distância que nós acabamos de encontrar que que seria o 9 sobre √29 bom aqui eu posso simplificar né para tirar a raiz aqui eu posso colocar o quadrado dos dois lados para poder simplificar a equação e eu preciso lembrar o seguinte que esse ponto b que eu quero encontrar

né que nós tomamos aqui como x y z ele pertence à reta r se ele pertence à reta r significa que ele satisfaz essas condições aqui então a primeira que e mais útil é que Z A componente Z é igual a zer então eu já posso substituir nesse Z aqui igual a 0 e ficar apenas com x e y e 81 so 29 agora eu vou então trabalhar com essa igualdade aqui para ter o y em função de X por exemplo então eu faço as simplificações aqui e eu encontro que o y é igual -5x

+ 9 so 2 Então dessa relação eu descubro isso E aí que que eu faço eu vou então substituir essa relação do Y na minha equação aqui da da distância ou seja o x eu mantenho substituo no lugar do Y aquela relação e o z lembra que o z é igual a 0 porque ele pertence à reta E aí agora é trabalhar com essa equação para simplificar para você resolver o valor de X Então usa aqui produtos notáveis eh pode fazer MMC para juntar os o e o x qu com os elementos que tá o

X qu aqui no caso eu passei esse esse elemento para esse lado eh aqui eu acho que eu eu juntei todos né para poder ficar todos e o que estão componentes que estão sem x os que estão com x os que estão com x qu e apenas para facilitar porque isso vai cair numa equação né de Segundo Grau né pra gente usar a fórmula de báscara eh eu coloquei 1/4 aqui apenas para simplificar e reduzir o tamanho eh dos valores e aí aqui eu encontro né uma expressão uma equação de segundo grau que eu preciso

usar a fórmula de báscara usando a fórmula de báscara eu encontro então o valor e de x que é 45 so 29 encontrando o valor de X eu substitui então naquela naquela expressão que eu isolei o Y e para encontrar o valor de y e o e o z já era zero então eu descubro aqui que o meu ponto b que é o ponto da reta é aquele que tem a menor distância até a origem bom façam os exercícios façam eh fiquem com o conteúdo visto em aula e até a próxima aula [Música] [Música] a

[Música]