[Música] nas últimas aulas nós fizemos vários exercícios de revisão da matéria ea partir de hoje o retorno e nós vamos avançar nós temos três teremos importantes para analisar o primeiro já havia anunciado uma aula anterior vamos retomar esse enunciado fazer um exemplo em curso e avançar conseguido o primeiro teorema ele fala sobre a natureza da convergência de uma série de potências temem que uma série de potentes é uma série que tem uma família e com eficiência depende do iene e tem uma série de potência tem uma variável que pode assumir valores reais se eu fizer
o que é fixo quente diz que é um pouco em torno do qual se desenvolveu até uma série de potência é uma série que tem este é o primeiro exemplo que eu vou analisar cinco minutos vai ser a seguinte série de potência isso é uma série de potência e 18 gente numérico que está aqui na frente que pode depender de n mas não tem variável fiz nesse exemplo - um elevado a eni sobre dois animais um fatorial 10 elevado à potência x 0 x 0 e 2 x 1 não diz como é que eu enxergo
isso como uma série de potentes e aqui tem que ter todos os cães e ali observando só tem os fãs quer dizer o que valem zero e por isso não tá parecendo assim continua sendo uma série de potência só que não tem todos os perguntou natural vai responder partir de agora o primeiro entender onde aquela conversa qual é a região na reta real pela converge em outras palavras valores de x que ela conversa e aí nós vamos caracterizar uma função da variável x entender essa função propriedades dessa função e função que é essa e como
ela se comporta o teorema seguinte terminando o teorema básicas sobre como é a convergência da série de potências só tem três possibilidades em toda reta ou seja o valor é o que vai acontecer com esse exemplo ou ela conversa no intervalo com todos os fizeram intervalo o infinito em torno do fizer fizeram - é que fizeram moisés mas é o intervalo simétrico em torno do fizesse ou ela só conversa não fizeram hedge divergem todos os outros pontos de convergência trivial porque quando x negócio 00 é claro que nenhuma informação relevante mas ela é essencialmente divergente
então ela só conversa no ponto nós dizemos vamos usar a expressão raio de convergência para esse tamanho do intervalo ela conversa quando a conversa toda a reta nós vemos que o raio infinito quando a conversa no intervalo intervalo mesmo ohio metade do intervalo o comprimento do intervalo é o dobro do raio de diâmetro e os demais em um raio de convergência de tecnologia intervalo de convergência intervalo de convergência o conjunto de todos os pontos para os quais a série conversa o que se diz na linguagem do intervalo de convergência de convergência é sempre um intervalo
simétrico entorno fizeram ele pode ser infinito toda reta ele pode ser o intervalo limitar o intervalo semestre com isso elimina um monte de possibilidades com ela vai ser o seguinte o intervalo de convergência tem que ser o intervalo simétrico todos os x 0 a 0 e menos alguma coisa mais alguma coisa não pode ser conveniente numa série reta quem não seria o intervalo simétrico em torno de 70 não pode ser um agente na reunião de dois intervalos de juntos o intervalo sem ser sol ou à reta toda como intervalo limitado em torno do auxiliar que
nem sempre a gente pode usar todos os coeficientes são nulos se você fizer o limite do módulo do contribuinte e mais um sobre o módulo de serviço de um limite finito é ohio convergência a 1 sobre a inter pode ter desistido de zero o raio infinitos isso é infinito raiva então esse é o resultado auxiliar que a gente usa muitas vezes não posso usar nessa série porque nessa série c n são iguais a zero vou fazer um exemplo só pra fazer esse exemplo inicial depois porque estou interessado nessa série muito bonita então como é que
eu vou analisar eu vou analisar com critério da razão eu vou fazer o limite pra ele entendendo infinito do módulo do a eni mais um pelo módulo do ign observe que eu estou pegando sol coeficiente numéricos e ele isso não poderia fazer porque eu tenho cn partes iguais a zero estou pegando cada termo o seu seguinte daquela série estou usando o critério da copa razão que o nosso conhecido critério da razão para a série numérica que só funciona para séries positivas por isso que estou pegando um modo porque eu quero aplicar uma série positiva isso
significa que o limite é o infinito de modo elevado a 233 duas vezes duas vezes 2 223 sobre 23 dividido por módulos e levado dois animais o dois e mais o fator simplificações limite pra ele tem elevado a 22 em mais três - dois animais um consciente de potência mantenha a base que fica 2 e mais um fator yao sobre dois animais três fatores sobra a dor 2 n mais 32 e mais 22 em mais um fator yao cancelou o outro limite para ele entender do infinito comentário que eu já fiz em momentos anteriores até
aqui uma dupla o x ele é variável e às vezes não parece variável é uma variável real pode ter qualquer valor real é uma variável está percorrendo o conjunto do sesi eu quero analisá lo em analisar cada a cada valor do xv fica fixo na minha análise é o limite não enche sem ele é o denominador saindo para mais ínfimo itu uma constante sobre algo que é para mais entendimento limite é certo dizer que pelo critério da razão essa série convergem módulo para todo o valor de x pelo critério da razão eu sei que a
série converte em um módulo para todo o volante está claro para todo mundo eu peguei em um módulo apliquei o critério da razão e obtive convergência em todos os pontos mas eu queria série sem o módulo mas ela convergem módulo ela conversa sem o módulo que é um dos primeiros resultados que nós vemos convergente absoluta garante a convergência pura e simples então a conclusão final é que essa série com gaddafi ém r ou ser um raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência alguma dúvida nesse exemplo inicial perceberam que ele se enquadra dentro
de si teorema no caso o que vale para qualquer valor de x e coloque um valor pequeno grande converge para qualquer valor de x pode colocar x igual a 5 milhões que vai convergir o valor daquela somatória para qualquer valor de x é muito bonito e muito interessante porque não é nada óbvio que isso é resultante que resulta da queda periódica valor 5 x 5 mas desp embora diferente conversa no mesmo lugar que isso resulta na função ser os próximos teremos os próximos passos é justamente isso eu comecei no américa olhando série de potência o
que eu quero fazer de fato é fazer justamente essa ligação entre as funções conhecidos que são os próximos teremos então esse é um exemplo muito bonito um exemplo que não convive em toda reta só para ilustrar como é que você usa o teorema anterior quando não é em toda porque isso aqui ficou tranquila na sé como convergiu em um módulo para toda a reta converge para toda a reta e as comuns em módulo é um exemplo simples vamos fazer um exemplo que seja um pouquinho mais em que a convergência não seja tão forte x -
5 elevado aí sobre ele mais um também uma série de potências quem é o coeficiente cm tem 1% méxico cn que é um sobre e mais um quem é o x 0 em torno do qual foi desenvolvida em 5 x é a variável real qual é a pergunta inicial para uma série de potências qual é o conjunto dos valores difícil para os quais a sociedade conversa essa é a primeira pergunta que eu quero responder saber se o raio convergência infinito finito 10 [Música] como eu tenho por esse resultado agora eu posso porque não tem nenhum
com 800 é uma outra alternativa às 10 limite é o infinito do módulo mais um sobre o módulo do limite pra ele entendendo mais infinito os animais um é um sobre e mais 2 a 1 sobre a unidade a mais do que o n eu estou avaliando claramente sobre animais 21 consciente de que o limite é dado pelos termos dominantes de maior grau ele sobre esse limite é um em ohio e convergência 1 eu tenho logo de cara certeza que converge forma absoluta no intervalo x 05 - 14 x 0 que as cinco mais 16
no intervalo 46 tenho certeza que conversa absolutamente esse não é o intervalo convergência ainda que eu só sei se é o intervalo do convencional quando eu souber o que ocorre nas bordas das 22 pontos de fronteira do intervalo analisar o que ocorre quando o x4 igual a 4 seguinte aspecto 4 - 14 - 5 - o elevado a ele sobre ele mais longo depois aquelas aulas de revisão de exercícios e convergente é rápido sabe o que quer que acontece com essa série ela é convergente com o teorema argentina usa para analisar essa série concluída é
convergente interno de light que tem várias hipóteses para serem verificados não pode esquecer quais são as hipóteses do live labs termo geral vai para 0 decrescente e é uma série alternada uma verdadeira série que troca de sinais as três coisas estão verificados pelo critério de lágrimas dessa série de conversas enquanto x 16 a série fica um sobre e mais 10 de lages gravar a 0 é decrescente não posso usá-la gritz alternada botão lagos um diz nada mas isso não quer dizer que aquela é comovente ver gente que ela é convergentes e divergentes divergente porque é
divergente ela é quadro harmônica apenas uma pequena perturbação no denominador somou uma unidade critério de comparação no limite com a série harmônica e concluiu que é divergente não estou fazendo esses detalhes que imagino que estão dominando bem isso critério da comparação no limite com dn igual a 1 sobre eni ea série harmônica que é o que aparece ea conclusão é divergente então quem é o intervalo de convergência desta série é o intervalo fechado em 4 aberto em 6 a fazer uma representação da reta real o centro é o número 51 x é e sempre será
o intervalo simétrico em torno do xf vai falhar lo nesse caso o raio era o intervalo em torno dos 5 intervalo de tamanho 12 eu tenho convergência nesse intervalo sei o que eu tenho convergência absoluta fora eu tenho divergente e o teorema da série com de potências não fala nada do que ocorre nas extremidades análise caso a caso neste exemplo converge no 4 absoluta ou condicionalmente cada caso é um caso nesse caso é condicional e no intervalo seis no ponto 6 diversas isso a gente já tinha visto já ter discutido essas coisas é importante retomar
o que sabem e dar o próximo passo alguém tem alguma dúvida - teorema de 300 o próximo teorema este teorema é fundamental agora todos então se foi agora você tem uma série de potências e que ela tem um raio de convergência maior quiser eu estou eliminando o caso 3 é o caso que só conversa um pouco caso el interessante caso interessante é que ela conversa na reta toda ou num verdadeiro intervalo limitar considera o intervalo de convergência e o que fica definido aqui fica definida uma função de um intervalo de convergência aí aí é que
é a função dada pela série então dada a minha fé eu olho o intervalo de convergência e fica definida uma função nesse intervalo para cada valor de x o resultado da soma para cada valor de x eu associo quanto que vale o resultado dessa sol para cada valor de x eu associo resultado dessa só que é importante no teorema que vem agora eu vou dar informações sobre essa função a primeira informação segundo informação privada terceira informação funciona integrado quarta informação quer calcular derivada dessa função ou a primitiva dessa função deriva e primitiva na série que
você obtenha derivada é primitiva da função da água ou seja quer fazer cálculo com a função que ficou definido aqui faz cálculo da série que derivar deriva na terra que dá equivalência de levar a função esse resultado para chegar nele que a gente desenvolve toda essa teoria porque agora o que a gente vai começar a fazer é fazer essa está criando uma ponte entre as funções e as suas expressões algébricas e muitas vezes é mais fácil trabalhar com 7 quando foi mais fácil trabalhar com a série a gente vai pular atravessar a ponte e vai
trabalhar com as funções a trabalhar com as séries primeiro vou escrever esse resultado o que eu disse é continuar essa integração é derivada automaticamente é contínuo posso pular essa parte eu vou dizer a primeira informação efe é derivado viveu em x 0 - r x 0 mais r é o interior do intervalo de convergência uma função ser derivado eu tenho que ter elevado no aberto então ela é derivado no interior não não o teorema afirma que ela é o teorema afirma o seguinte se uma série de potências converge ela gera uma função que é derivada
essa é a primeira afirmação do teorema a somatória vai dizer o infinito obrigado e é importantíssimo agora porque não só que o lema diz que há é derivado como ele diz o seguinte vamos levar a derivada da fusão é dada por uma série que vai de uma infinita cujos termos ao menos 10 elevado a eni - o são mais básicas abaixei expoente mantiver constante e levei uma unidade a menos que os concorrentes o que eu queria mas afirma que isso fornece o valor do derivado [Música]
