ja herzlich willkommen zum zweiten vorlesungsvideo zum Thema Temperaturabhängigkeit nachdem wir uns mit der grundlegenden Problemstellung erst einmal beschäftigt hatten soll es jetzt darum gehen wie wir also diese Temperaturabhängigkeit mathematisch beschreiben können okay das heißt wir sagen erst einmal dass die Funktion der Temperaturabhängigkeit von R von T uns nicht bekannt ist also der Widerstand ist irgendeine Funktion der Temperatur aber die Funktion kennen wir nicht das ist jetzt die Problemstellung was wir aber kennen ist den Widerstand bei einer Bezugstemperatur ne den können wir messen z.B bei Raumtemperatur und das nennen den nennen wir den sogenannten bezugswiderstand also
bekannt ist der Widerstand bei einer Bezugstemperatur t0 den nennen wir verkürzt R0 und das ist der bezugswiderstand bei der Bezugstemperatur t0 okay also das können wir z.B messen und jetzt gehen wir davon aus dass wir den Widerstand in Abhängigkeit der Temperatur durch eine näherungsgerade beschreiben können also durch eine lineare Funktion wenn wir davon ausgehen dass die Temperaturänderung vergleichsweise gering ist das heißt wir können festhalten also dass die der die Funktion R von T in einem temperaturintervall so das ist also das temperaturintervall von unserer Bezugstemperatur bis zu irgendeiner gesuchten Temperatur T als näherungsgerade beschrieben ja undowas
werden sie in ihrem ingenieursalltag noch ziemlich häufig finden dass wir irgendeinen ja beliebigen mathematischen Zusammenhang haben der ja beliebig nicht linear sein kann und wir versuchen in kleinen Bereichen diesen Zusammenhang durch eine lineare Funktion zu beschreiben okay und das werden wir jetzt mal machen das heißt die bemessungsgleichung für den widerderstand die hatte ich ihn ja schon mal gegeben dass der Widerstand in so einem homogenen Feld also die der spezifische Widerstand ist multipliziert mit der Länge einer Anordnung dividiert durch die Querschnittsfläche und das ganze können wir nun jetzt auch auf die Temperaturabhängigkeit noch übertragen das heißt
ein temperaturabhängiger Widerstand ist jetzt proportional zu einer temper zu einem temperaturabhängigen spezifischen Widerstand also unser Materialparameter das spezifische Widerstand roh ist temperaturabhängig und wir gehen jetzt mal im im weiteren davon aus dass die Länge des Materials und der Querschnitt des Materials nicht temperaturabhängig sind also konstant sind okay und jetzt skizzieren wir mal diese allgemeine Funktion des temperaturabhängigen Widerstandes in so einem Diagramm das heißt aufgetragen über der Temperatur und ich zeichne wieder zwei temperaturachsen äh tragen wir den Widerstand R auf so ich nehme hier eine Achse für die absolute Temperatur T und hier eine Achse für
die Temperatur in der zelsius skalala und hier hätten wir 0° Celsus das sind also 273 Kelvin rund und unser temperaturabhängiger Widerstand ja der ist jetzt gekennzeichnet durch irgend so eine nichtlineare Funktion und diesen funktionsverlauf kennen wir nicht wir kennen aber den Widerstand bei einer Bezugstemperatur t0 also das ist unsere Bezugstemperatur t0 bzw thetan0 und bei dieser Temperatur können wir den Widerstandswert messen und erhalten hier R von t0 und was wir jetzt machen um den Widerstandswert bei einem bei einer beliebigen Temperatur T zu bestimmen oder bei einer Temperatur tha diesen Widerstandswert suchen wir dafür nähern wir
diesen funktionsverlauf durch eine gerade an das heißt wir zeichnen hier die Tangente und kin bisschen runter okay zeich hier die Tangente und sagen das ist also hier unsere Temperaturdifferenz Delta t und das ist die Widerstandsänderung Delta R so und jetzt sehen sie schon meine Näherung durch du eine geradenfunktion die ist natürlich ungenau wenn meine Temperaturdifferenz sehr sehr groß wird ne also schon hier in meiner Skizze sehen Sie sie haben jetzt hier eine gewisse Abweichung zum tatsächlichen funktionsverlauf aber wenn das Temperatur in der weal was sie betrachten hinreichend klein ist dann ist auch die Näherung recht
genau okay das heißt wir formulieren das jetzt hier auch noch mal in Worten wir betrachten also die Nährung durch eine Tangente im Punkt t0 R0 okay das Schreiben wir jetzt mal mathematisch auf das heißt unser Widerstand R von T den betrachten wir jetzt also als den bezugswiderstand also der Widerstand bei Bezugstemperatur plus so jetzt kommt diese lineare Funktion wir brauchen den Anstieg dieser Geraden das ist der Anstieg ist ja die Ableitung dr nach DT bei Bezugstemperatur also im Punkt t0 und multipliziert mit der Temperaturdifferenz t- t0 na und ich kann hier an den Rand noch
mal schreiben dass diese Temperaturdifferenz t- t0 das ist gerade unser Delta t in der Skizze ja das hier vorne das R von t0 das hatten wir oben auch als R0 bezeichnet also unser bezugswiderstand und dieser zweite sumant als der Anstieg multipliziert mit dem t- t0 das ist unser Widerstandsänderung Delta R also erhalten wir unser Widerstand R von T ist der bezugswiderstand plus das Delta R und jetzt mache ich eine umformmung sie werden auch gleich sehen warum ich Klammer das R von 0 aus das ist also R von0 mal 1 + Delta R durch R0 und
jetzt setze sich das Delta R von hier oben in diesen Ausdruck wieder ein und erhalte damit das ist also R0 mal 1 + 1 dur R0 mal der Ableitung da das Widerstandes nach der Temperatur am Punkt t0 multipliziert mit Delta t okay das sieht jetzt erstmal ein kleines bisschen gruselig aus aber das vereinfacht sich gleich erheblich denn dieser Faktor hier diese relative Änderung des Widerstandes bei einer Temperaturänderung um t0 dieser Faktor das ist eine konstante und die ist materialabhängig diese Konstante nenne ich Alpha t0 Alpha das ist eine konstante und dieser dieser Index t0 bezeichnet
dass dass diese Konstante bei der Temperatur t0 gilt und das ist der sogenannte Temperaturkoeffizient Alpha ich werde den gleich noch näher beschreiben jetzt fassen wir erstmal zusammen was wir erhalten also für den temperaturabhängigen Widerstand unser Widerstand in Abhängigkeit der Temperatur ist also der bezugswiderstand mal 1+ plus jetzt diese Konstante bei der Temperatur t0 mal Delta t so und ich schreibe mal da drunter oder Sie können das natürlich auch für Temperaturen in der Celsius Skala angeben also ihre Temperatur Beier Temperatur te Entschuldigung ihr Widerstand Beier Temperatur tha ist also der bezugswiderstand mal 1 + dieser Temperatur
Koeffizient mal Delta tha das gilt genauso okay und dieser Temperaturkoeffizient Alpha bei der Temperatur t0 also das der Temperaturkoeffizient bei T = t0 das ist eine materialkenngröße und er ist definiert wie wir es oben sehen als ein durch den bezugswiderstand Beil der Bezugstemperatur mal der Ableitung des Widerstandes nach der Temperatur bei der Bezugstemperatur so und jetzt versuchen wir das ganze mal noch durch den spezifischen Widerstand auszudrücken der bezugswiderstand R0 da steht ja jetzt hier im Nenner dieses Ausdrucks der bezugswiderstand den finden wir hier oben ich hat es hier schon mal rot eingekästelt das ist ja
der spezifische Widerstand bei Bezugstemperatur mal Länge durch Querschnittsfläche des Leiters also das können wir hier aus einsetzen das ist also der spezifische Widerstand bei Bezugstemperatur mal der Länge durchquerchn und dann haben wir die Ableitung des Widerstandes nach der Temperatur ich ziehe jetzt mal diese Ausdruck D nach DT vor die Klammer und in die Klammer schreiben wir jetzt also den Ausdruck für den Widerstand das ist unser spezifischer Widerstand in Abhängigkeit od Temperatur mal die Länge des Leiters durch den Querschnitt a und das ganze bei Bezugstemperatur t0 ja jetzt sehen sie die konstante Länge und die konstante
Querschnitt die ist nicht temperaturabhängig das heißt die können wir auch vor diese Ableitung D nach DT ziehen und dann kürzt sich das L dur a mit diesem l dur a hier vorne und ich erhalte also das ist eins durch der spezifische Widerstand bei Bezugstemperatur mal die Aleitung des spezifischen Widerstandes nach der Temperatur bei Bezugstemperatur okay sie sehen das hat die gleiche Struktur wie hier vorne das heißt es handelt sich dabei also um eine relative Widerstandsänderung bei Temperaturänderung dividiert durch die Temperaturänderung selbst ich schreib das noch mal in Worten auf weil das vielleicht wirklich ein bisschen
kompliziert zu merken ist das heißt dieser Temperaturkoeffizient Alpha beschreibt also eine mach mal mein langen Bruchstrich eine relative Änderung des Widerstandes bei einer Temperaturänderung ich krieg den sogar noch länger geteilt durch die Temperaturänderung nicht Tür sondern n t als ist beschreibt eine relative Widerstandsänderung das sehen Sie hier mit diesem dr geteilt durch R0 das heißt das beschreibt ja eine relative Widerstandsänderung und die Einheit dieses Temperaturkoeffizienten ist dann also 1 durch die Einheit der Temperatur und das ist ein durch Kelvin es wird auch gelegentlich in Prozent pro Kelvin angegeben die Einheit ist aber sonst eins durch
Kelvin und wir können jetzt zwei Fälle unterscheiden wenn der Temperaturkoeffizient größer Null ist dann sprechen wir also von einem sogenannten Kaltleiter wei der Widerstandswert mit Temperatur wächst und der lichche Ausdruck dafür ist ein sogenannter PTC Widerstand positive temperature coefficient Widerstand und wenn unser Alpha kleiner Null ist na dann handelt es sich natürlich um ein Heißleiter weil der Widerstandswert mit der Temperatur sinkt und entsprechend auch V NTC Widerständen okay ganz kurz noch ein aus ein Hinweis zum Leitwert wir können ja auch sagen dass der wenn der Widerstandswert temperaturabhängig ist dann ist auch der Leitwert abhängig von
der Temperatur und per Definition ist es natürlich gerade das reziprog Widerstand also 1 durch R von T jetzt setzen wir mal den Ausdruck den wir hier oben hergeleitet hatten R von T hier oben in dem roten Kästchen stehtter den setzen wir dafür jetzt mal ein dann haben wir für den Leitwert also folgenden Ausdruck das ist 1 durch bezugswiderstand mal 1 + Alpha bei der Temperatur t0 mal Delta t und ich kann kan das auch anders schreiben dieses 1 durch R0 das könnte mein bezugsleitwert sein das ist wieder eine eine konstante bei Temperatur t0 mal und
das was jetzt im Nenner ist schreibe ich in der Form 1 + Alpha t0 mal Delta t hoch -1 so das sieht nicht schön aus wie es hier ist mit diesem Bruch ne dieses 1 durch 1 + Alpha t Delta t wir können auch diesen Ausdruck jetzt näherungsweise äh für kleine Temperaturänderungen noch mal beschreiben linear annäherern das heißt wir können folgende Näherung betrachten mal ganz allgemein eine Funktion 1 + x hoch -1 können wir sagen ist rund 1- x wenn der Betrag von X sehr klein ist also viel kleiner als 1 das ergibt sich durch
eine sogenannte torapoximation was das wie das funktioniert das lernen Sie in Mathematik noch ganz ausführlich also für kleine x gilt diese Näherung recht gut das heißt in unserem Fall für kleine Temperaturänderungen können wir also sagen der Leitwert in Abhängigkeit der Temperatur ist der bezugleitwert mal 1 und jetzt Alpha t0 mal Delta t okay das heißt bei mal z.B den das Beispiel des kaltleiters ein positiver Temperaturkoeffizient der Widerstandswert er nimmt zu mit der Temperatur das heißt natürlich im Umkehrschluss dass der Leitwert g von T abnimmt mit der Temperatur
