vamos a encontrar mediante el criterio de la segunda derivada los puntos de inflexión y las concavidades de la función f x es igual a 2 entre x cuadrada más 4 para realizar esto lo primero que tendremos que hacer será calcular la derivada de la función y posteriormente volver a derivar para obtener la segunda derivada y poder usar el criterio primero vamos a reordenar nuestra función como 2 que multiplica x cuadrada más 4 a la menos 1 lo único que estamos haciendo es pasar el denominador el numerador cambiando el signo del exponente ya que tenemos nuestra función en esta forma vamos a derivar tenemos un 2 que está multiplicando a una función de x en el paréntesis elevado a un exponente entonces por regla de la cadena vamos a resolverlo como si lo que está en el paréntesis fuera una sola variable pasamos el menos uno multiplicando y le restamos uno al exponente nos quedaría menos 2 por x al cuadrado más 4 elevado a la menos 2 y ahora tenemos que multiplicar por la derivada de lo que está adentro del paréntesis que sería 2x vamos a reacomodar multiplicamos el menos 2 y el 2x y tenemos que la primera derivada es menos 4x que multiplica a x cuadrada más 4 elevado a la menos 2 a continuación tenemos que volver a derivar para obtener la segunda derivada y esta vez tenemos un producto tenemos menos 4x multiplicando a x cuadrada +4 elevado a la menos 2 entonces vamos a aplicar la regla del producto para derivación que nos dice que la derivada es igual a la derivada del primer término por el segundo más la derivada del segundo término por el primero entonces lo primero que hacemos es la derivada de menos 4x es menos 4 y lo multiplicamos por el segundo término tal cual x cuadrada más 4 elevado a lo menos 2 más y ahora va a ser el primer término tal cual menos 4 x x la derivada del segundo y la derivada del segundo la vamos a hacer como resolvimos la primera derivada por regla de la cadena consideramos lo que está dentro del paréntesis como una sola variable le restamos 1 al exponente y lo pasamos multiplicando es decir menos 2 por x cuadrado más 4 a la menos 3 x la derivada de lo que está adentro del paréntesis que sería 2x con esto ya tenemos la segunda derivada vamos a agrupar algunos términos a la derecha tenemos el menos 4x y el 2 x lo multiplicaríamos para que nos diera menos 16 x y como tenemos a su vez dos signos negativos multiplicando entonces lo saludamos y lo volvemos positivo y nos queda que la segunda derivada es menos 4 por equis cuadrada más 4 a la menos 2 + 16 x cuadrada por x cuadrada más 4 a la menos 3 ahora lo único que vamos a hacer para reordenar nuestra segunda derivada es que los paréntesis que están elevados a un exponente negativo los vamos a regresar al denominador y nos quedaría como sí lo que vamos a hacer ya que tenemos la segunda derivada es calcular los puntos de inflexión que son los puntos en los cuales la segunda derivada es igual a 0 por lo tanto igualamos el término que obtuvimos a 0 y lo que tendremos ahora que hacer es despejar la x para hacer esto primero vamos a pasar el término que está restando el primer término que tenemos a la izquierda sumando al otro lado y nos quedaría así lo que haremos ahora será el x cuadrada más 4 al cubo que tenemos dividiendo a la izquierda lo vamos a pasar multiplicando a la derecha y ahora como tenemos el término del paréntesis al cubo entre el término del paréntesis al cuadrado nosotros los podemos dividir restando los exponentes tres menos dos nos quedaría uno y entonces nos queda que 16 x cuadrado es igual a 4 que multiplica x cuadrada más 4 o lo que es lo mismo podemos distribuir el 4 en el paréntesis 4x cuadrado más 16 ahora vamos a despejar la x pasando todos los términos de x mismo lado de la igualdad pasamos el 4x cuadrado restando y nos va a quedar 16 x cuadrada menos 4 x cuadrada igual a 16 restamos 12 x cuadrado es igual a 16 luego x cuadrado es igual a 16 entre 12 y entonces x va a ser más menos la raíz cuadrada de 16 entre 12 que es aproximadamente 1. 15 ya sea positivo o negativo recordemos que cuando sacamos una raíz el número puede ser positivo o negativo por lo tanto tenemos dos puntos de inflexión que son en 1. 15 y en menos 1.
15 el siguiente paso va a ser tomar valores de x menores a menos 1 punto 15 valores que estén en medio de los dos puntos de inflexión y un valor que esté a la derecha del punto de inflexión y vamos a sustituir en la segunda derivada y a observar el signo del número resultante si el signo es positivo la función será cóncava hacia arriba en ese intervalo y si el signo es negativo será cóncava hacia abajo vamos a empezar por un valor de x-men ahora menos 1. 15 podemos tomar menos 2 sustituimos el menos 2 en la segunda derivada después realizamos las operaciones nos quedaría que es menos 464 ambos más 64 512 abós y para sumar esto vamos a convertir el término de la izquierda en 512 años también para esto tendremos que multiplicar el denominador y el numerador por 8 nos va a quedar entonces de esta forma y el resultado nos da igual a 32 512 a 2 esto significa como tiene signo positivo que las funciones cóncava hacia arriba en valores menores al primer punto de inflexión a continuación vamos a hacer lo mismo pero con un valor de x que esté en medio de los dos puntos de inflexión podemos tomar x igual a 0 y vamos a ver qué sucede sustituimos el 0 en donde está la equis y el resultado nos quedaría como menos 4 dieciseisavos más 0 o lo que es lo mismo menos 4 dieciseisavos y como tiene un signo negativo entonces las funciones cóncava hacia abajo en medio de los puntos de inflexión ahora vamos a tomar un número mayor a 1.
