Grings - Álgebra Linear - Discussão de Sistema - Aula 4

[Música] Alô pessoal que assiste o matematico.com aqui é o Professor Fernando grings e hoje nesse vídeo nós vamos tratar da discussão e classificação de um sistema de equações um sistema de equações ele tem três classificações ele pode ser um sistema como aqui está impossível E aí eu vou representar por um si como está aqui para não escrever sistema impossível eu vou botar si o sistema também pode ser classificado como um sistema possível determinado E aí eu vou colocar abreviação SPD sistema possível e determinado e por último O sistema também poderá ser um sistema possível indeterminado

E aí eu vou classificar Vou abreviar com s i Então são três classificações que o sistema pode se enquadrar o que que é um sistema mesmo pra gente refrescar a memória eu coloquei aqui um sistema ó de três equações uma equação duas equação três equações e esse sistema a gente vai resolver ele e tentar achar valores de X1 X2 três que torna essa expressão verdadeira então quando nós fizermos isso nós teremos que nós vamos usar pelo menos né uma matriz Total aqui transformando em Matriz completa quer dizer uma matriz completa aqui ó vamos transformar Então

esse eh esse sistema numa matriz colocando os coeficientes aqui eu já dei em vídeos passad é importante que vocês revejam né o 2 1 e o TR estão aqui 2 1 e 3 t t e aqui a coluna dos termos que estão aqui sem variável E aí eu vou tentar resolver esse sistema através essa Matriz Total essa Matriz completa quer dizer eu vou tentar resolvê-la com operações elementares que eu também já dei em vídeos passados e nós ainda vamos revisar isso no futuro mas quando eu tentar resolver isso aqui né Por operações elementares eu vou

obter situações que eu vou me enquadrar em sistema possível e determinado sistema possível e indeterminado ou sistema impossível como é que eu vou saber quando eu me enquadrar numa classificação ou noutra Vamos então ver uma por uma primeiro separadamente bom pessoal a mais fácil de todas eu vou abordar é o sistema impossível então quando me quando eu for fazer operações elementares e eu obtiver uma linha desse tipo aqui 0 0 0 0 0 e algum número diferente de zero aqui do lado de cá diferente de zero aí o sistema vai ser impossível e por retomando

né o nosso sisteminha aqui que eu andei falando euiti as Mas elas continu sendo válidas aqui por exemplo é o X1 mais aqui por exemplo é o X2 mais e aqui é o X3 as variáveis elas estão invisíveis Mas elas existem então X1 mais X2 estou só complementando mais X3 Ok E aí quando eu começo a fazer isto aqui resolver por operações elementares e chegar naquela situação que eu comentei e aqui estamos né então colocando aqui para vocês eu vou ter um valor aqui diferente de zero e aqui tudo zero então eu posso aqui para

exemplificar botei o seis aqui diferente de zero e tudo zero então Lembrando que aqui é o X1 se lembra ó as variáveis vou completar né mais o X2 mais o X3 e finalmente mais o X4 que que significa significa dizer que 0 vezes o X1 Não interessa quem é o X1 vai dar 0 mas 0 x X2 também dá 0 mais 0 x X3 dá 0 + 0 x X4 que não interessa quem é d 0 tudo isso tem que ser igual a 6 que é o que eu botei ali 0 + 0 0 0

é 0 né que vai ser igual a 6 ora pessoal 0 = a 6 é um absurdo matemático então por isso que o sistema é classificado como Impossível quando eu for resolver ele pelo método escalonamento usando operações elementares e eu obtiver alguma coisa do tipo 0 zer e uma coisa diferente de zero do lado de cá diferente de zero porque se for igual a zero daí já é outra situação então aí está sistema impossível é o mais fácil que tem depois nós vamos ver nos exemplos e vocês vão entender melhor bom Vamos ver outra classificação

então bom então a próxima é um sistema possível e determinado então SPD abreviação para facilitar E aí é importante vocês terem visto os vídeos passados que eu vou botar todas lunas tem elemento pivô Então tem que saber o que que é elemento pivô Mas eu posso refrescar a memória de vocês eu tenho aqui ó a matriz completa aqui é um pivô vejo um vídeo passado aqui é um pivô e aqui é um pivô todas as colunas T elemento pivô então o sistema será um sistema possível e determinado também se vocês acharem assim ah Fernando ah

professor é muito técnico isso aí que tu falou não tem outro jeito de a gente entender tem tem outro jeito sim eu posso também dizer o quê que o sistema possível e determinado aqui está possui um único valor para cada variável tem uma única solução então tá se o sistema possuir uma única solução ele também será um sistema possível e determinado bom para nós poder entender melhor aqui né pessoal novamente tem uma única solução ou todas as colunas tem elemento pivô Vocês pode ficar com um conceito ou com outro os dois dão conta do recado

vamos ver aqui se esse sistema que eu inventei aqui esse modelinho tem uma única solução que que nós temos que saber que aqui é X1 se lembra daquilo ó aqui é X2 e aqui é x 3 aqui é X2 + X3 e aqui X3 bom Se eu tentar resolver eu tô vendo que aqui -2 X3 - 2 X3 = 2 logo resolvendo X3 vai ser igual a -1 aí já tá né um valor encontrado agora eu vou pegar esse valor e vou carregar a aqui na segunda linha então 1 X2 1 X2 + 1 1

x X3 só que o X3 já achei que é -1 igual 0 logo X2 igual a 1 positivo ó temos aí X2 = 1 bom prosseguindo agora que eu achei o X2 e o X3 vamos lá pra primeira linha e também vamos pegar 1 X1 1 X1 mais 2 aqui Opa botei muito alto aqui mais 2 x X2 só que o X2 eu já achei é 1 aqui ó Então em vez 2 X 1 mais 0 vezes vezes qualquer coisa ol zer vezes qualquer coisa eu não quero nem saber dá zero nem boto igual a

4 então isolando aqui o X1 o X1 é igual 2 tá pessoal então nós já Achamos um valor pro X1 um valor pro X2 e um valor para o X3 logo o nosso sistema né é possível determinado porque por duas razões primeiro toda coluna tem um elemento pivô tá bom se não gostou disso também podemos dizer que ele possui um único valor para cada variável então tem uma solução única e aqui está o valor Opa aqui é mais então a solução é 2 1 e Men 1 Essa é a solução então o sistema possível e

determinado bom agora dado isso então vamos para o sistema possível e determinado É claro que eu vou fazer mais exercícios de fixação eu tô dando só um exemplinho para sedimentar esse assunto bom então vamos tratar do sistema possível e indeterminado spi esse tipo de sistema eu poderia dizer para vocês que algumas colunas não tem pivô Então vai ser assim né quando algumas não tiver pivô pra gente poder exemplificar eu coloquei aqui embaixo ó e aí vocês observem bem que nós temos aqui um pivô aqui e aí tem que ver o que que é pivô e

temos um pivô aqui e não temos pivô na última aqui então algumas colunas não t pivô Já podemos entender que o sistema é possível e indeterminado isso quer dizer que ele tem se ele é possível tem solução e indeterminado infinitas as soluções então agora pra gente poder comentar vejam bem essa última coluna uma coluna uma linha quer dizer uma linha de zeros aqui onde nós já entendemos que aqui né temos o X1 aquela história toda mais tô botando aqui ó X2 + X3 iG 0 então e vamos comentar o que que tá acontecendo se eu

multiplicar 0 por X1 qualquer valor de X1 vai dar 0 se eu multiplicar 0 por X2 Qualquer que seja o valor de X2 também vai dar z0 porque 0 multiplicado por um número é zer E se eu multiplicar 0 por X3 também vai dar 0 então vamos pegar esse último aqui só para não complicar muito 0 X3 = 0 Então quer dizer que tem uma infinidade de valores que atende essa situação olha pessoal tem que ser zero aqui porque se for um número diferente de zero daí o sistema é impossível e a gente já viu

isso se for por exemplo vamos botar aqui para ver 0x 3 = 6 como a gente tinha visto aí 0 vezes qualquer coisa é z0 não pode ser igual a 6 aí o sistema é impossível isso nós já vimos só que agora não é se é zer Ah bom se é zero daí o sistema vai ser possível e indeterminado Porque tem uma infinidade de valores que atende essa condição Então vamos tentar fazer o seguinte como tem infinitas soluções eu não posso né achar todas são infinitas Então vamos achar um formato que me achar quantas soluções

eu quiser eu tenho que aqui é deixa eu pegar outra caneta aqui aqui é X2 né pessoal e aqui é X3 igual aqui né se lembra a matriz completa né então eu escrevo aqui para vocês X2 + 2 X3 igual a 8 X2 = 8 - 2 X3 isolei aqui já temos né o X2 isolado Então quer dizer que o X2 tá em função do X3 Então quer dizer que o X2 depende do X3 o X é dependente e o x o X2 é dependente e o X3 por sua vez é uma variável independente eu

vou começar a chutar valores pro X3 E aí eu vou obter os do X2 então ele é independente o X3 é a variável chamada de variável livre também chamado de variável livre ela tá livre para assumir qualquer valor vamos agora pegar e vamos fazer a mesmaa aqui ó na primeira coluna com X1 que tá aqui então vocês já sabem que aqui tem X1 + 2 X1 + 3 X1 aqui é X2 e aqui é X3 então X1 X2 X3 bom uma vez que eu tenho isso vou tentar colocar aqui em cima bem aqui ó 1

X1 1 X1 mais 2x 2 eu tô só copiando o que tá aqui tá mais 3 X3 = 4 no lugar desse X2 que eu tenho aqui eu vou colocar 8 - 2 X3 Porque daí eu sumo com X2 e o X1 vai ficar em função do X3 também então X1 mais Du vezes X2 eu ponho 8 - 23 8 2 X3 + 3 X3 = 4 melhorando X1 + 16 distributivo aqui - 4 X3 + 3 X3 = 4 passa tudo para o outro lado X1 iG 4 - 16 + 4 X3 pessoal eu

tô passando tudo pro outro lado do sinal de igual -3 X3 bom agora Resumindo isso aqui deixa eu botar aqui embaixo porque eu já tô com pouco espaço vou botar com uma canetinha diferente aqui copiando X1 igual aí nós começamos 4 - 16 D - 12 e 4 - 3 dá 1 então dá mais X3 bom agora nós temos tudo já em função da variável livre Então nós temos aqui X1 vírgula X2 V X3 são os valores né aí eu vou colocar o que eu encontrei aqui X1 tá aqui então no lugar do X1 Vamos

colocar a solução e X3 - 12 eu só inverti a ordem em vez de escrever - 12 + X3 eu escrevi X3 - 12 vírgula no lugar do X2 eu boto 8 - 2 X3 8 - 2 X3 e o X3 é a variável livre Então vírgula X3 É ele que vai assumir valores e aí tá né A solução do sistema indeterminado depende do X3 né que é variável livre ou variável independente eu vou atribuindo valores e pra gente poder exemplificar eu vou dar um valor aqui pro X3 pra gente poder uma das soluções X

por exemplo igual a 1 a z0 X3 = 0 Ora se o X3 É iG 0 que que nós temos como solução 0 - 12 dá - 12 vírgula 8 - 0 dá 8 vírgula e aqui é zer ele é a variável né que assumi o valor zero uma das muitas soluções Então tá aí o nosso sistema indeterminado sistema será indeterminado quando algumas colunas não t pivô ou também quando você chegar nessa situação de 0 0 ig a 0 então o sistema possível indeterminado tá apresentado e agora vamos fazer alguns exercícios bom pessoal o exercício

é o seguinte classifique o sistema em sistema possível sistema possível indeterminado ou sistema impossível bom eu só vou dizer o seguinte aqui você estão recebendo uma matriz bem boazinha bem agradável já escalonada Mas na vida real não vai ser assim eu depois vou mostrar matrizes né matrizes completas de uma forma um pouco menos amigável por que que eu digo amigável olha só que maravilha tem esse monte de zero aqui tudo já certinho tem pivô n coisa que vocês viram em vídeo passado já na posição certinha não precisaram nem achar os pivô estão aqui ó eles

já estão aqui ó de graça para vocês é óbvio que não vai ser assim que vai cair na vida real isso aqui é só para comear B esse sistema aqui se tem todas as colunas tem pivô então é sistema vamos botar aqui sistema possível determinado porque e também eu posso dizer ah não gostei professor não gostei porque é muito técnica essa tua classificação todas as colunas tem um pivô Ah então podemos dizer o seguinte ó possui uma única solução Se eu achar uma única solução também o sistema será possível e determinado aqui por exemplo tem

o 5 X3 já certinho ó iG 0 então posso botar 5 X3 = 0 logo daqui eu tiro que X3 é 0 aí uma um valor né Aí eu substituo aqui na outra ó eu posso botar 4 X2 42 - 73 7 x 0 que é o nosso X3 já temos o valor dele então igual a 2 ora X2 = 24 então X2 é 1/2 certinho bom agora que eu tenho 1 me2 já o valor de X2 Vamos para o X1 o X1 tá aqui em cima aí eu vou escrever aqui [Música] X1 + 5

x o X2 não se esqueçam que aqui é X1 + X2 + X3 tá pessoal então só que em vez de botar X2 eu boto 1/2 eu já tenho valor 5 x 1/2 + 2 X3 o X3 é 0 então 2 x 0 e isso vai dar 0 ig a -6 Então vamos isolar agora o X1 aqui X1 igual o - 6 que já tá aqui esse aqui vai sumir vai dar 0 2 x 0 é 0 e este vai dar 5 me vai dar - 5 me então fazendo essa conha vai dar o 2

é o mínimo múltiplo comum - 12 Men C X1 igual a sistema possível e determinado - 17/2 solução né por x 1 1/2 pro X2 e 0 pro X3 sistema possível determinado vamos ver outro bom aqui temos mais duas situações essa primeira aqui ó que nós temos aqui a situação do 0 0 0 e um número diferente de 0 olha pessoal isso aqui lembra o que X1 X2 X3 então o sistema aqui é impossível por quê Porque 0 x X3 4 zero vezes qualquer coisa nunca vai dar quar é um sistema impossível é o mais

fácil que tem para classificar bom vamos para o seguinte o seguinte aqui o que que nós temos nós temos pivô aqui nessa coluna pivô nessa coluna e nenhum pivô nessa coluna então quer dizer já o sistema é possível e indeterminado mas o que a gente pode fazer então el tem Infinit Porque se vocês pegarem bem aqui ó só para exemplo ficar 0 x X3 iG 0 peguei um aqui só deixei os outros de lado zer multiplicado por qual número que vai dar zer um monte tem várias várias situações então tem várias possibilidades logo o sistema

é sistema ele é possível determinado infinitas soluções e aí até podemos isolar aqui para para ver né mas o objetivo do exercício Não é esse é só classificar sistema possível indeterminado vamos ver outras situações ok pessoal mais um exemplinho rápido que eu quero fazer só para vocês assim sedimentar melhor essas ideias né no sistema a seguir é um sistema que foi reduzido por operações elementares descreva Seu Conjunto solução tem um conjunto de solução aqui né então esse sistema novamente aqui ó tem um pivô tem pivô tem pivô todas as colunas tem pivô então o sistema

é dito um sistema possível e determinado ou então se vocês quiserem achar solução se vocês achar apenas uma solução então ele também será então aqui no caso é o X3 X3 = 0 já partir do princípio desse pivô aqui aqui ó que essa aqui é a coluna do X1 Essa é coluna do X2 e essa é coluna do X3 então aqui tá os coeficiente de cada um então aqui eu tenho que 1 X3 = 0 X3 = 0 já achamos X3 vamos achar o X2 1 X2 + 3 x 0 = 0 sim que aqui

é X3 né pessoal 3 x 0 0 então X2 0 e finalmente vamos achar aqui na primeira linha X1 - 5 x 0 por porque aqui é o X2 e o X2 eu já F que é 0 e mais 7 x 0 = 0 X1 = 0 logo a solução é X1 = 0 X2 também ser igual a 0 e X3 também seria igual a zero o sistema é possível sistema possível e determinado tem uma única solução ou todas as colunas T pivô por isso que ele é sistema possível e determinado classifique o sistema já

tá com a fileira de zero aqui legalzinho pessoal aqui tá a grande dica 0 igual a 1 então 0 X3 igual 1 e 0 = 1 é um absurdo sistema impossível então não tem como achar uma solução novamente classifique o sistema aí nós temos de novo né as linhas toda coluna tem um pivô Então já tá classificado sistema é possível e bem determinado é claro que aí tem aquela história do X1 X2 X3 as colunas aqui é um 1 x por causa das colunas pivô aqui que todas colunas T pivô é sistema possível e determinado

outra forma de saber é achar a solução Se eu achar uma única solução também tá classificado como sistema possível determinado nesse caso como eu tenho uma fileira de zero aqui muito fácil né de de calcular então eu já sei que esse aqui é o X4 né então 1 X4 = -1 X4 = -1 aí está né X4 aqui no caso x X3 x aqui X1 X2 X3 e E então esses termos aqui são coeficiente desses dessas variáveis já achamos X4 agora aqui ó o X3 iG 5 também achamos que o X3 = 5 pegando essa

aqui agora X2 ó 1 X2 essa essa aqui é zer da 4 X4 + 4 X4 = 2 podemos substituir o X4 que é -1 aqui dentro vai dar [Música] X2 + 4 x - 1 = 2 4 x -1 se eu não me engano na minha conta dá -4 que passa 6 então X2 = 6 e finalmente esse aqui que é o X1 né que eu já tenho X2 tenho X3 tenho X4 e E aí eu tô chegando à conclusão que o sistema é possível e determinado porque tem uma única solução então X1 isso

aqui mais 2 X2 0 esse não precisa botar - 3x 4 - 9 = -9 substituindo por valores né X1 + 2 x o X2 que é 6 -3 x o X4 que é -1 = -9 então obteremos agora continuando X1 + 12 + 3 = -9 Passando pro outro lado X1 = -9 - 12 - 3 x vai ser iG A então aí está X1 = -24 colocando na ordem -24 o primeiro o X2 eu achei 6 o X3 eu achei 5 e finalmente -1 por X4 então aí a solução tem uma única solução

bem definida cada variável tem um único valor então o sistema é possível e determinado devido a isso bom Pessoal este vídeo então era isso aí vou Encerrando por aqui no próximo vídeo Eu pretendo dar prosseguimento a álgebra e se vocês gostarem clique no Positivo divulgue nas redes sociais e para se manter informado inscreva-se no meu canal então aguardo vocês no meu próximo vídeo