Vorkurs Mathe Vorlesung 1 vom 15.9.2025

Hi, guten Morgen. Herzlich willkommen zum Vorkurs Mathematik. Mein Name ist Lars Metzger. Ich bin euer Dozent für diesen Vorkurs und auch für den Hauptkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, den ihr dann im äh ab Oktober, ab 13. Oktober besuchen könnt. Ich freue mich voll, dass ihr hier seid. Ich sehe, dass die Kapazität vom Hörsaal ganz gut gewählt ist. Wir haben ungefähr 150 Plätze hier. Äh schön, dass jeder von euch einen Platz gefunden hat. Ich möchte auch Leute begrüßen, die vielleicht zufällig im Stream dabei sind. Wir streamen das hier äh parallel und der Stream wird nachher auch noch

äh da sein. Das heißt, den lösche ich nicht wieder, den könnt ihr euch auch im Nachhinein anschauen. Das heißt, wem 9 Uhr morgens noch zu früh ist, der kann sich das auch gerne als Video anschauen. Ich persönlich finde Präsenz immer am besten, aber das Sind ja individuelle Präferenzen, kann ja jeder selber entscheiden und jede. Ähm, wie ihr gemerkt habt, wir fangen um Viertel nach erst an, nicht um voll. Das ist an der Uni ganz normal. Also, wenn irgendwo eine Uhrzeit steht, dann steht da meistens in Klammer noch irgendwie c.t dabei. Kumperer mit Zeit. Dann fängt

man um nach an und man hört auch umiertel vor schon wieder auf. Das ist irgendwie so etabliert. Der Zeitplan für heute und für die ganze Woche ist so, dass wir jeden Tag von :9 Uhr bis 11:4 Uhr eine Vorlesung haben, wobei ich eine Pause machen möchte, sonst wird das zu viel am Stück. Nach anderthalb Stunden, wenn ich jetzt richtig rechne, ne, nach 10 Uhr, 14 Uhr würden wir eine Viertelstunde Pause machen bis 11 und dann noch mal von 11 bis 11:45. Die äh Vorlesungsfolien, alles was ich mache, findet ihr in einem eingerichteten Moodelarbeit. Model, das

Ist das die elektronische Plattform, die digitale Plattform, die wir in der TU benutzen. Ihr seht hier ein QR-Code. Wer die Folien bereits hat, kann auch auf den Link klicken und dieser Arbeitsraum ist so gestaltet, dass ihr keine Nutzerkennung braucht. Ihr könnt da als Gast einfach drauf zugreifen und alle Materialien bekommen. Hat überhaupt von euch schon jemand eine Nutzerkennung? Weil die kriegt man ja eigentlich erst mit der Immatrikulation. Gibt's da schon Jemanden? Okay, ich sehe eine Hand, aber das ist auf jeden Fall die Ausnahme. Von daher bin ich froh, dass ich das als mit mit dem

Gastzugang versehen habe. In diesem Mudelarbeitraum seht ihr alles, also alles zu diesem Vorkurs, aber auch alles dann zum Hauptkurs Mathematik. Ihr seht neben den Folies Vorlesungsfolien auch Aufgabenblätter, die zu den jeweiligen Artikel äh Kapiteln gestellt wurden. Die Aufgaben habe ich aus dem Lehrbuch entnommen, dass ihr hier ebenfalls verlinkt seht. Das Lehrbuch ist meiner Meinung nach ganz gut geeignet für ein wirtschaftswissenschaftliches Mathematikstudium und ich halte mich da auch relativ nah dran. Also, das heißt, ich gehe da Kapitel für Kapitel durch. Ein paar Kapitel überspringe ich, weil die vielleicht nicht ganz so wichtig sind und weil ich

nicht ganz so viel Zeit habe. Aber wann immer ihr irgendwas in der Vorlesung nicht so richtig nachvollziehen könnt, ist das ein guter Hinweis, dass ihr einfach mal ins Lehrbuch reinschaut. Die Struktur ist wirklich genau gleich. Da werd ihr euch gut zurecht finden. So, dieses Lehrbuch findet ihr, da findet ihr auch einen Link im Model Arbeitsraum oder eben hier auf der Folie. Allerdings könnt ihr das wirklich erst anschauen, wenn ihr eine Nutzerkennung habt. Ihr könnt euch das Dann online anschauen und einzelne Abschnitte auch als PDF runterladen. Das ist ziemlich teuer das Lehrbuch, deswegen bitte ich euch,

kauft es euch nicht. Ja, also ich bin überzeugt von dem Buch, aber ich bitte euch, kauft es euch nicht. Die Uni hat eine sehr teure Lizenz dafür bezahlt, dass ihr das kostenlos lesen könnt, sobald ihr eben eingeschrieben seid. Und für diese eine Woche Vork lohnt sich das noch nicht. Ja, also ab dem Zeitpunkt, wo ihr eben Die Nutzerkennung habt, könnt ihr auf alle Inhalte zugreifen. Wir machen hier im Vorkurs die Kapitel 1 bis 6. Das sind eigentlich Sachen, die in im Lehrplan der Schule stehen. Ich habe selber Kinder, die gerade auf der Schule sind und

äh weiß, dass dieser Lehrplan nicht immer eins zu eins umgesetzt wird. Deswegen ist es absolut okay, wenn ihr das Gefühl habt, dass hier Inhalte stehen, die ihr noch nicht in der Schule gemacht habt oder dass die einfach schon So lange her sind, dass ihr da euch nicht mehr so gut dran erinnern könnt. Die wiederholen wir hier im Vorkurs. Und dann im Hauptkurs ab dem 13. Oktober kommen dann Sachen, die eventuell neu sein könnten. Teilweise kennt ihr die vielleicht auch schon aus der Schule. Diese Tutoriumsaufgaben, die ich eben angesprochen habe, die sind dafür vorgesehen, dass ihr

die selbständig bearbeitet. Natürlich wie alles andere auch freiwillig, ja, nur wenn ihr Bock Habt, wenn ihr das Gefühl habt, es hilft hilft euch und wenn ihr die Zeit dazu habt. Ihr findet aber Hilfestellung, wie man diese Aufgaben löst. Und zwar auch in diesem Moodel Arbeitsraum hat die Joline, das ist eure Tutorin für den Vorkurs, Videos erstellt. Zu jedem einzelnen Aufgabenblatt hat sie ein Lösungsvideo erstellt, was immer an demjenigen Tag freigeschaltet wird. Also heute solltet ihr das Lösungsvideo zu Aufgabenblatt 1 sehen können. Ja, das Heißt, die Idee ist, dass ihr euch hinsetzt, die Aufgaben bearbeitet. Wenn

ihr keine Probleme habt, tiptop. Wenn ihr nicht ganz so gut zurecht kommt, schaut in das Lösungsvideo und wenn auch das nicht weiterhilft, dann ist die Joline jeden Tag in dieser Woche von 2 bis 3 Uhr in einem Raum für euch da, wo ihr einfach hingehen könnt, ohne euch anzumelden und sie persönlich fragen bleibt. Diesen Raum, den findet ihr in dem Mattheet. Das ist das Hochraus Gegenüber von der Mensa, wo dieses grüne TUicht oben auf dem Dach dreht und dort geht ihr in den achten Stock und wenn ihr durch den Haupteingang reingegangen seid, dann ist es

das erste Büro auf der rechten Seite. Nein, es ist kein Büro, ist ein Seminarraum. Wenn ihr durch den anderen Eingang rausgekommen, reingekommen seid, eben das letzte Büro auf der linken Seite, M811 ist die Nummer von diesem Seminarraum, sollte ich sagen. Na, da sitzt die Joline und Wartet auf euch. Ihr könnt auch einfach in den Raum reingehen, um Platz zu haben, wo ihr arbeiten könnt, ja, wo ihr dann die Aufgaben bearbeitet in dem Moment. Aber es gibt auch noch viele andere studentische äh Plätze, z.B. im Seminarraumgebäude. Das ist, wenn ihr die äh die Autohanstraße ein bisschen

weiter hochgt, das so ein Gerüst drumerum, das so ein bisschen verpackt künstlerisch und da finden da gibt's auch viele Räume, wo ihr euch einfach Reinsetzen könnt, damit ihr Ruhe habt und ein Tisch und ein Stuhl. Also, der Plan ist diese Woche jeden Tag vormittags eine Vorlesung und den Nachmittag könnt ihr dafür nutzen, um Aufgaben zu lösen und euch Hilfe zu holen, wenn ihr denn welche braucht. Es gibt eine einzige Ausnahme. Am Mittwoch wird so sein, dass die Joline hier in diesem Hörsa übrigens zum Zeitpunkt des Helpdes selber eine Klausur schreibt und deswegen natürlich Nicht gleichzeitig

im M811 sein kann. Deswegen am Mittwoch verschiebt sich das dann um eine Stunde nach hinten, aber das sage ich euch am Mittwoch dann auch noch mal hoffentlich, wenn ich es nicht vergesse. Das waren jetzt so die wichtigen organisatorischen Dinge, die ich euch im Vorhinein mitgeben wollte. Haben sich denn bei euch noch andere Fragen ergeben? Ansonsten könnt ihr auch einfach in der Pause gleich noch mal auf mich zukommen oder zwischendurch einfach fragen. Also insgesamt ist es so, dieses Angebot ist für mich ziemlich entspannt. Ich muss euch überhaupt nicht bewerten. Ich muss nichts kontrollieren, gar nichts. Es

ist alles freiwillig und deswegen äh könnt ihr auch zwischendurch einfach mich unterbrechen, Handheben, äh zurückfragen. Ist alles in Ordnung. Ja, soll alles ganz entspannt sein. Dann würde ich einfach mal loslegen. Wenn sich euch bei euch was ergibt, meldet euch einfach. Ihr seht, dass die Vorlesung heute direkt über zwei Kapitel geht. Das liegt daran, dass das erste Kapitel eher so ein einführendes Kapitel ist. Da werde ich dann quasi nicht ganz so viel machen. Das erste Kapitel wesentliches aus der Logik und beim zweiten Kapitel Algebra gucken wir dann ein bisschen genauer drauf. Ich habe immer nach der

Titelfolie eine kleine Übersicht. Ja, da seht ihr erstmal, Welche Unterkapitel jetzt in der Vorlesung dran kommen. Das ist für den Hauptkurs vielleicht ein bisschen relevanter, weil ihr dann beim Hauptkurs auch wisst, okay, welche Unterkapitel sind für die Klausur dann relevant, wenn ihr im Nachhinein euch auf die Klausur vorbereiten möchtet. Also hier stehen nicht alle Unterkapitel drin, die dieses Buch hat. Die Unterkapitel, die ich auslasse, die sind dann im Hauptkurs für die Klausur nicht relevant. Hier geht's Natürlich noch überhaupt gar nicht um die Klausur. Ja, also hier geht's, ich werde nichts in der Klausur abfragen, was

ich hier mache, weil das einfach ähm quasi vorbereitende Inhalte sind. Also, dann lege ich mal los mit unterkapitel 1.2 Wesentliches aus der Logik. Es geht um das Konzept Aussage. Also eine Aussage ist sozusagen eine Behauptung. Und wie das mit Behauptungen so ist, kann die richtig sein oder falsch sein. Das Wichtige ist, dass es, dass ich Quasi äh jemanden festnageln kann. Ja, ich kann sagen, das ist entweder richtig oder falsch. Ich kann nicht irgendwie eine Aussage tätigen, die so halbwahr ist. Es gibt nicht so ähm so sowas schwammiges zwischen wahr und falsch in der Mathte, es

gibt entweder wahr falsch. Na, Politiker würden dieses Konzept nicht so gerne mögen. Ich habe ein paar Beispiele. Jedes Tier ist eine Katze. Ja, und da sehen wir natürlich: "Hey, ähm das ist eine Aussage. Ja, die kann wahr falsch sein, aber die ist auf keinen Fall wahr. Es gibt auch andere Tiere als Katzen. Deswegen ist das einfach eine falsche Aussage." Und das ist absolut okay. Ja, eine Aussage darf falsch sein. Ich muss aber nur eindeutig sagen können, ob sie wahr falsch ist. Nächste Aussage. Falls x größer als 3 ist, dann gilt auch x größer als 2.

Was soll dieses x sein? Das x ist eine Variable und wir nehmen das als Platzhalter für irgendeine Beliebige Zahl. Irgendeine beliebige Zahl, die man sich so ausdenken kann. Und hier steht eben, diese Zahl soll strickt größer als drei sein. Zu größer und kleiner kommen wir später auch noch mal genauer. Und wenn das gilt, versteht man mit gesunden Menschenverstand ohne Logik oder ohne ohne Mathte eigentlich, dass es auch größer als zwei sein muss. Aber trotzdem steht da was tieferes hinter. Also da ist ein eine äh eine tiefere Eigenschaft von den Zahlen Dahinter. Die nennen wir Transitivität,

kommt aber auch später. Diese Aussage ist offensichtlich wahr. Jedes Rechteck ist ein Quadrat. Kann man sich überlegen, hey, was ist ein Rechteck? Das ist eine geometrische Figur. Vier Ecken, die mit geraden Linien verbunden sind und die Winkeln sind alle 90°. Quadrat ist auch eine geometrische Figur mit viere Ecken geraden Linien zwischen den Ecken. Winkel sind auch 90°, aber beim Quadrat muss noch die zusätzliche Eigenschaft gelten, dass alle Seiten gleich lang sind. Das muss beim Rechteck nicht im allgemeinen gelten. Deswegen können wir sagen, jedes Rechteck ist ein Quadrat, ist eine falsche Aussage. Wenn wir eine falsche

Aussage haben, dann genügt es, dass wir einziges Gegenbeispiel finden, um diese Aussage zu widerlegen. Also z.B. jedes Tier ist eine Katze, können wir widerlegen. Ein Elefant ist ein Tier, aber keine Katze. Ein Beispiel genügt. Wenn wir aber zeigen wollen, dass eine Aussage richtig ist, haben wir viel mehr zu tun. Dann müssen wir das beweisen und dazu komme ich auch später. Ich werde aber weder im Vorkurs, noch im Hauptkurs besonders viel Gewicht auf das Beweisen legen. Ich versuche immer alles so ein bisschen intuitiver zu begründen, damit ihr das äh einfacher, anschaulicher verstehen könnt, denn wir studieren

hier nicht Mathe. Ja, es geht darum, dass wir wie studieren, Wirtschaftswissenschaften und die Leute, die gerne solche Beweise haben wollen, die sollten vielleicht besser Mathe studieren. Ja, wir wollen die Matthe Werkzeug begreifen, um besser wie machen zu können. Deswegen werde ich ab und zu mal begründen. Ganz selten werde ich wirklich beweisen, aber einmal möchte ich erklären, was das überhaupt ist. Dann gibt es zu den normalen Aussagen Auch noch offene Aussagen. Die offenen Aussagen, die hängen von der zusätzlichen Variable ab. Also, das heißt, allgemein kann eine offene Aussage wahr und falsch sein, in Abhängigkeit davon, welchen

Wert eine bestimmte Variable hat. Das heißt, eine offene Aussage ist ein bisschen näher an dem dran, was Politikerinnen und Politiker machen wollen. Aber das müssen wir bisschen genauer äh beschreiben. Ähm, Wir brauchen noch drei Plätze, sehe ich gerade. Am besten am Stück. Kann man noch irgendwo zusammenrucken? Nee, da sehe ich nur zwei freie Plätze. Da sehe ich auch nur zwei. Na gut, versucht euch selbst zu organisieren. Ich bin mir sicher, ihr kriegt das hin. Ansonsten ist das eine gute Gelegenheit, jemand kennenzulernen, wenn man sich alleine irgendwo hinsetzt. Also, offene Aussage, Z.B. die Aussage: Jedes Rechteck

mit den Kantenlängen A und B ist ein Quadrat. Jetzt haben wir in der Aussage zwei Variablen drin, nämlich die Größen A und B, die stehen für die beiden Seitenlängen von dem Rechteck. Und jetzt seht ihr, diese Aussage ist falsch, wenn A nicht gleich b und sie ist richtig, wenn a = b. Ja, bei offenen Aussagen hängt der Wahrheitsgehalt eben davon ab, welchen Wert die Variablen haben von diesen Offenen Aussagen. Jetzt kommt das erste Mal eine wirtschaftswissenschaftliche Anwendung. Zum Preis P herrscht Markträumung. Was soll Markträum sein? Das ist ein Konzept, was wir benutzen, um ein sogenanntes

Gleichgewicht zu beschreiben. Stellt euch mal einen Markt vor, ein richtig physischen Markt, so ein Marktplatz, wo Gemüsehändler innen sind und Konsument innen und jeder rennt irgendwie rum und z.B. renne ich rum. Ich will jetzt Bananen kaufen zum Bestimmten Preis. Ja, ich habe einen bestimmten Preis im Kopf, den ich maximal bereit bin, so eine Banane zu kaufen. Und wenn es jemanden gibt, der eben zu diesem Preis mir eine Banane verkauft, gehe ich hin, kauf mir die Banane und dann zische ich wieder ab. Dann bin ich weg. Genauso gut könnte ich aber auch jemand sein, der eine

Banane verkaufen möchte. Ja, ich habe einen bestimmten Preis im Kopf bis zu dem, den ich mindestens Haben will, um die Banane zu verkaufen. Und wenn jemand gewillt ist, mir diese Banane zu den Preis abzukaufen, verkaufe ich meine Banane. Wenn ich keine Bananen mehr übrig habe, packe ich meinen Stand zusammen und gehe wieder weg. Und Markträumung bedeutet nun, dass zu einem bestimmten Marktpreis P keiner mehr auf dem Markt ist. Ja, alle die kaufen wollten, konnten kaufen und alle die verkaufen wollten, konnten verkaufen. Es gibt kein zusätzliches Angebot oder Keine zusätzliche Nachfrage mehr und das bezeichnen wir

als Gleichgewicht und dieses Marktgleichgewicht werdet ihr tausendfach eben wiedersehen in allen möglichen vi verschiedenen Varianten. Und da ist es natürlich interessant zu wissen, okay, wie groß muss der Preis sein, damit so ein Marktgleichgewicht herrscht? Und hier kommt dann diese Aussage im Spiel. Zum Preis P herrscht Markträumung. Dieser Preis P wäre dann der sogenannte Gleichgewichtspreis. Das ist eine Aussage, die hängt eben von der Höhe dieses Preises ab. Wenn wir Aussagen haben, können wir diese Aussagen miteinander verknüpfen. Ja, wir können sagen, aus der einen Aussage folgt die andere Aussage. Also, wir hatten eben so eine Verknüpfung. Ein

Rechteck könnte eine Aussage sein. Also die Aussage ist, diese geometrische Figur ist ein Rechteck und die andere Aussage könnte sein, diese geometriere Figur ist ein Quadrat. Und wir wollen diese beiden Aussagen in Verbindung bringen. Und das machen wir mit sogenannten Implikationspfeilen. Das sind so doppelt gestrichelnde Pfeile und diese großen Buchstaben P und Q sollen jetzt zwei verschiedene Aussagen sein. Und wenn aus der einen Aussage die andere folgt, dann verbinden wir die mit so einem Pfeil. Um das ein bisschen präziser zu sagen, wenn Pah ist, dann ist notwendig auch Q Wahr. Ja, das bedeutet dieser Pfeil

von P nach Q. Abhängig von diesen Aussagen könnte der Pil natürlich auch in die andere Richtung zeigen. Ja, wir könnten auch sagen, aus Q folgt P. Es kann auch manchmal sein, dass beide Richtungen funktionieren, dass aus PQ folgt und aus QP folgt. Der Pfeil zeigt in beide Richtungen und dann nennen wir das Ding Äquivalenzpfeil. Und das hilft uns manchmal um Lösungen z.B. zu finden von dem Gleichungssystem. Ja, wir können sagen, ganz am Anfang steht eine Gleichung, die total unordentlich ist, äh ein großes Durcheinander und da steht irgendeine Variable drin. Dann können wir diese Gleichung umformen

und wenn jeder einzelne Umformungsschritt durch so ein Äquivalenzzeichen mit dem mit der ersten Gleichung verbunden werden kann, dann können wir dann bis zur letzten Gleichung diese Äquivalenzzeichen schreiben und sagen x muss = 5 sein. Dann können wir sagen, die erste unordentliche Gleichung ist genau dann wahr, wenn x = 5 ist. Dafür brauchen wir diese Äquivalenzpfeile. Okay, Beispiele dafür. Wir müssen jetzt immer überlegen, also ich meine im steht schon im Titel, deswegen müssen wir nicht so viel äh drüber nachdenken, aber es ist immer gut, das zu hinterfragen. Hier steht im Titel, dass die Implikationen, die hier

stehen, korrekt sind, dass die wahr Sind. Aber lass uns mal drüber nachdenken. Xö 2 ist eine Aussage und daraus soll folgen, dass X² größer als 4 ist. Und wir können jetzt überlegen, diese Aussage war, indem wir einfach Zahlen für x einsetzen. Also, ich nehme eine Zahl, die größer ist als 2, z.B. die 3, wenn ich die drei quadriere, kommt 9 raus und 9 ist größer als 4. Easy. Das Problem ist, ich kann das nicht mit allen Zahlen ausprobieren, die es gibt, Weil davon gibt's einfach zu viele. Das heißt, um zu überprüfen, ob diese Aussage richtig

ist, muss ich mir noch eine andere Technik überlegen. Ja, und das nennt man dann Beweisen. Da kommen wir später dazu. Nächste Aussage B, die oder Implikation sollte ich besser sagen, die werden wir tatsächlich häufig benutzen, um komplizierte Gleichungen einfacher zu machen. Die Aussage in oder die Implikation in B lautet, wenn das Produkt der beiden Variablen x und y = 0 Ist, dann folgt daraus, dass x = 0 ist oder y = 0 ist. Und hier kommt zum ersten mal dieses mathematische oder vor und da schreibe ich mal dran. Dieses oder heißt und oder das ist

eigentlich immer so. Immer wenn ihr irgendwo ein oder stehen habt, dann bedeutet das, es kann sein, dass nur x = 0 ist, es kann sein, dass nur y = 0 ist oder es kann auch sein, dass beide gleich 0 sind. Also oder verstehen wir Immer als und oder auch hier kann man wieder Zahlen einsetzen, ja, und äh sehen, okay, wenn das Produkt gleich 0 ist, dann muss eine der beiden Variablen gleich 0 sein. Und vielleicht werden wir genau diese Implikation nachher mal ausprobieren, um ein bestimmtes Konzept zu benutzen, um das zu begründen. Aussage C: S

ist ein Quadrat. Daraus folgt, dass S ein Rechteck ist. Das kann man, glaube ich, relativ gut mit Worten Begründen. Wenn ein Quadrat ist, dann sind die Winkel alle 90° und beim Rechteck müssen die Winkel alle 90° sein. Also muss es auch ein Rechteck sein. Jetzt Aussage D, sie lebt in Paris. Daraus folgt, sie lebt in Frankreich, weil wir eben wissen, dass Paris in Frankreich ist. dann muss ja auch in Frankreich leben. Das sind korrekte Implikationen. Jetzt können wir aber diese Implikation auch versuchen umzudrehen. Ihr seht ganz Oben dieses A, das hatten wir eben schon in

ähnlicher Form bei dem äh auch bei dem Aufgabenteil A, nicht beim Aufgabenteil, beim Beispielteil A, der hier lautet es noch, wenn Xö 2 ist, dann folgt daraus, dass x² größer als 4 ist. Und hier steht's jetzt ein bisschen komplizierter. Hier steht einerseits x größer als 2 oder x kleiner als -2. Also, wenn jetzt x größer als 2 ist, wissen wir schon von eben daraus folgt. Das heißt, hier gibt's ein Fall nach rechts, dass x² größer als 4 ist. Wir können genauso gut eine Zahl einsetzen, die kleiner ist als -2. Z.B. die -3 -3 qu ist

dann - mal minus geht + 9. Und dann sehen wir wieder 9 ist größer als 4. Aber jetzt was ist jetzt dazu gekommen? Wir können jetzt auch wieder zurückgehen. Also, wenn wir nur wissen, dass x² größer als 4 ist, dann geht der Pfeil auch wieder zurück, aber wir wissen dann nicht in welche Richtung der Zurückgeht. Ja, heißt es dann, dass x -2 kleiner als -2 ist oder heißt es dann, dass x größer als 2 ist? Das können wir nicht sagen. Ist dann beides möglich. Das heißt, bei Quadraten oder wenn wir später zu Wurzeln kommen, müssen

wir immer aufpassen, in welche Richtung die Implikation geht. Wenn wir eine Äquivalenz wollen, dann müssen wir auch meistens negative Zahl zulassen. Oder bei B, wir hatten eben auf der vorherigen Folie gesehen, wenn x* y = 0 Ist, dann folgt daraus, dass x = 0 oder y = 0 ist. Wir können dieses Argument aber auch umdrehen. Ja, wir können sagen, wenn eins von beiden gleich 0 ist, dann muss notwendig auch das Produkt gleich 0 sein. Und deswegen können wir hier auch ein Äquivalenzzeichen hinzeichnen. Okay, ich hoffe jetzt auch mal, es kommen gleich auch noch Beispiele, wo

irgendwas nicht stimmt und dann seid ihr gleich gefragt. Das kommt ihr auch mal Dran. Ich habe eben gesagt, ich brauche eine Technik, um was zu begründen, wenn was wahr ist. Und ein Teil dieser Technik lautet Kontraposition. Kontraposition hört sich total fancy an. Wenn man da irgendwie bekannten Kreis drüber spricht, dann gilt man direkt als Mathematiker, wenn man das sagt. Wenn ihr euch einfach merken wollt, was das ist, dann merkt euch einfach Gegenteil. Ja, das geht genauso gut. Was genau soll Die Kontraposition sein? Also, stellt euch vor, wir haben die Implikation aus Polgt q und wir

müssen uns überlegen, was ist jetzt das Gegenteil davon? Dann könnte man ja sagen, wenn Pah ist, dann ist notwendig Q nicht wahr. Das könnte das Gegenteil sein, aber das passt leider nicht. Wir um das richtige Gegenteil zu finden, müssen wir beide Aussagen P und Q verneinen. Deswegen habe ich bei beiden ein nicht davor geschrieben und wir Müssen den Pfeil umdrehen. Das ist das richtige Gegenteil. Als Beispiel, wenn wir haben die Aussage P ist es regnet. Ja, ich stell mir da eine Wiese irgendwo im Freien vor, es regnet, dann impliziert das die Aussage Q, dass das

Gras nass wird. Und wenn ich diese Aussage ins Gegenteil verdrehen will, dann muss ich beides verneinen. Also es regnet nicht und das Gras wird nicht nass und den Pfeil umdrehen. Jetzt steht sehen wir hier, Was hier steht. Wenn das Gras nicht nass wird, dann weiß ich, hey, es kann auch nicht regnen, denn wenn es regnen würde, würde das Gras ja nass sein. Und das ist die Kontraposition, die wir brauchen. Und das machen wir jetzt äh für eine erste Aussage, die die es schon ein bisschen in sich hat. Und da möchte ich euch ein bisschen Zeit

geben, da drüber nachzudenken. Lass uns mal kurz überlegen, was da eigentlich steht. Also, wir haben zwei Variablen X und Y Und das sollen ganze Zahlen sein. Was sind ganze Zahlen? Vielleicht schreibe ich das einmal kurz auf. Die ganzen Zahlen, die fangen an bei einer ziemlich kleinen Zahl, aber ich mal mal dafür jetzt mal so Punkte und dann gehe ich zu -2 -1 0 -1 2 und jetzt mal ich wieder Punkte, weil das geht beliebig weit nach links in die negativen Zahlen rein und beliebig weit nach rechts in die positiven Zahlen rein. Deswegen habe ich Da

so Punkte gezeichnet. Das sollen alle Zahlen sein, die keine Kommastellen haben. Da sollen keine Brüche dabei sein. Ganze Zahlen, die dürfen aber negativ sein. Und die Null ist auch dabei. Also die Variablen X und Y sollen solche ganzen Zahlen sein. Und jetzt steht hier, wenn das Produkt von X und Y eine ungerade Zahl ist, dann folgt daraus, dass X und Y beide ungerade sind. Diese Behauptung kann ich jetzt durch Ein paar Beispiele irgendwie überprüfen. Also X und Y sollen beides äh ganze Zahlen sein und X* Y soll eine ungerade Zahl sein. Stellen wir uns einfach

mal vor, x* y wäre = 9. Ja, wenn ich diese neun aufteile in zwei einzelne Zahlen, gibt's verschiedene Möglichkeiten. Ich könnte z.B. 1 x 9 nehmen oder 3 x 3, aber ich kann auch die negativen Zahlen dazu nehmen. -3* -3 -1* -9. Da gibt's mehrere Möglichkeiten. Und ihr merkt, dass bei all diesen Möglichkeiten, die Ich aufgezählt habe, gilt, dass die Zahlen ungerade sind. Jetzt kann ich aber nicht jedes Beispiel durchgehen. Ja, ich kann nicht jedes Produkt, jedes ungerade Produkt mir irgendwie vornehmen und die Möglichkeiten darausfinden, wie man dieses Produkt bilden kann, sondern ich muss grundsätzlich

zeigen, dass diese Behauptung gilt und dazu möchte ich die Kontraposition benutzen. Also, ich muss als erstes versuchen, diese Aussage in Ihr Gegenteil zu verkehren. So, also ich hier steht jetzt erstmal, wenn X und Y ganze Zahlen sind, das steht irgendwie so da drüber. Ja, also wir nehmen jetzt erstmal an, X und Y sind ganze Zahlen. Jetzt müssen wir uns überlegen, was ist das P und was ist das Q? Also, was ist die Aussage, die vorne steht und was ist die Aussage, die impliziert wird? Dann ist das hier das P. Und hier steht ein dann. Ja,

das dann Ist mein Folgerungszeit äh Zeichen und X und Y sind beide ungerade. Das ist das Q. Und jetzt muss ich versuchen, mir zu überlegen, hey, wie kann ich dieses XY ist eine ungerade Zahl besser darstellen? Was bedeutet das eigentlich? Also, X und Y ist eine ungerade Zahl. äh nicht x und y, sondern x* y ist ungerade. Das bedeutet doch, dass ich das nicht durch zwei teilen kann. Ja, wenn ich Durch zwei teilen würde, dann wäre das Ergebnis keine ganze Zahl mehr. Aber wenn ich eins dazu zähle, dann kann ich es wieder durch zwei teilen.

Also das bedeutet, ups, was hier los? x* y + 1. Und jetzt teile ich das wieder durch 2 und das ist dann eine ungerade eine gerade Zahl ist eine gerade Zahl. Das ist mein P. Schreibe ich mal davor. Jetzt muss ich das gleiche machen mit dem Q. Also beim Q steht X und Y sind beide ungerade. Das kann ich genauso sagen. Ich schreib es noch mal auf. X und Y sind ungerade. Manchmal beschreibe ich gerade mit E, manchmal ohne. Ich glaube, ich sollte mich da festlegen. So, sind beide ungerade und das bedeutet, dass x +

1 halbe und y + 1 halbe gerade Zahlen sind. Und jetzt kann ich anfangen mir zu überlegen, was ist das Gegenteil und dann kann ich den Pfeil umdrehen. Also die Kontraposition schreibt man hier mit K. Kontraposition von aus P folgt Q. Lautet nun: "Ah, ich habe hier ein Komma geschrieben. Das sollte ich auch noch genauer machen. Ich schreibe hier ein und hin, dann weiß man genauer, was das bedeuten Soll. Ich muss jetzt das Q umdrehen. X und Y sind beides ungerade Zahlen. Das Gegenteil davon heißt X ist eine gerade Zahl oder yine gerade Zahl. Und

dieses oder ist wieder als und oder es könnte auch sein, dass beides gerade Zahlen sein. Also das Gegenteil von Q, das nicht Q, das bedeutet X oder Y ist eine Gerade Zahl. Ach, ich merke gerade, dass ich ein bisschen ein bisschen was doof gemacht habe. Also, was habe ich doof gemacht? Hier habe ich gerade geschrieben und ich hatte im Kopf ein anderes Wort. ganze Zahlen hätte ich dahin schreiben müssen. Das muss ich korrigieren. Also, wenn x* y ungerade ist, dann ist x* y + 1 gerade Und wenn ich die durch zwei teile, dann kriege ich

eine ganze Zahl. Deswegen muss ich das jetzt wegradieren. Ich glaube, ich streich es mal durch, damit man, wenn man das Video schaut, besser durchblickt, was ich da gemacht habe. Eine ganze Zahl. So, und jetzt kann ich das Q in sein Gegenteil verkehren. Also, wenn X oder Y eine gerade Zahl ist, Dann gilt das X halbe oder y halbe ist eine ganze Zahl. Also, wenn ich es durch zwei teile, dann kommt da irgendwie keine Kommazahl raus. Jetzt brauche ich noch nicht P. Das funktioniert aber genauso. Nicht P. P lautet X mal y ungerade. Also das Gegenteil

davon heißt X mal y ist gerade. Also X mal y durch halbe durch 2 ist eine ganze Zahl. Und jetzt kann ich eben dieses hier Aufschreiben aus nicht Q folgt nicht P. Das ist das Gegenteil, die Kontraposition aus der Implikation aus Polg Q. Und wenn ich die jetzt aufschreibe, dann seht ihr, dass das ganz schnell gelöst werden kann. Also nicht Q heißt X halbe oder Y halbe ist eine ganze Zahl und daraus folgt, dass x mal y halbe eine ganze Zahl ist. Und das muss ich beweisen. Ja, das muss Ich jetzt begründen, diese Aussage. Und

wenn ich diese Aussage begründen kann, dann wissen wir, die Kontraposition ist äquivalent zu ursprünglichen Implikationen. Dann haben wir auch die ursprüngliche in Implikation gelöst. Also, wir wissen, dass x halbe oder y halbe eine ganze Zahl ist. Das bedeutet, also aus diesem hier folgt, dass x halbe mal y das Produkt von zwei ganzen Zahlen ist. Also das hier ist eine ganze Zahl, ne? Das ist eine ganze Zahl. Das hier ist eine ganze Zahl und das Produkt ist ebenfalls eine ganze Zahl. Also, wenn ich zwei ganze Zahlen miteinander multipliziere, dann muss wieder eine ganze Zahl rauskommen. Und

damit habe ich schon das begründet, was auf der rechten Seite steht. So, jetzt könnte es aber sein, dass Nicht x die gerade Zahl ist, so, sondern dass y die gerade Zahl ist. Ja, dann drehe ich es halt einfach um, ja, dann multipliziere ich das X vor den Bruch und dann wäre auch hier der Fall erledigt. Also jetzt haben wir eben dieses Gegenteil benutzt, um die ursprüngliche Implikation zu zeigen. Das Schwierige war, das Gegenteil zu zu definieren, aber der Rest ist dann ganz einfach. Und das ist oft so in in Beweisen. Man Muss erstmal irgendwie verstehen,

worum es eigentlich geht, aber wenn man das dann verinnerlicht hat, dann ist der Rest einfach. Und mir geht's immer genau darum, ja, mir geht's nicht so sehr darum, dass ihr ein Beweis von vorne bis hinten durchführen könnt oder die Begründung von vorne bis hinten schafft, sondern mir ist der erste Schritt, der wichtigste, dass ihr versteht, worum es geht und dann habt ihr nämlich den Rest eigentlich auch schon in der Tasche. Okay, wie geht's weiter? Notwendige und hinreichende Bedingung habt ihr auf jeden Fall auch schon mal gehört. Also, wir haben die Folge, diese Implikation aus Pfolgt

Q. Dann haben wir, habe ich irgendwo in der Hand gesehen, ne? Dann können wir den beiden Buchstaben auch so Namen geben, ja, nämlich hinreichende und notwendige Bedingung. Erinnert euch noch mal kurz, was bedeutet aus Poll Q? Bedeutet in Worten, wenn Pah ist, dann ist notwendig Auch Q wahr. Das heißt, Q ist die notwendige Bedingung. Qwendig dafür, dass auch Pah ist. Und P ist die hinreichende Bedingung. Wenn Pahr ist, ja, dann folgt daraus, dass Q wahr ist. Es reicht aus, dass Pah ist. Ja, man kann anstelle von hinreichend auch ausreichend sagen, wenn man möchte. Jetzt habe

ich ein paar Rätsel für euch mitgebracht und äh da versuchen wir einfach mal das anzuwenden, was wir bisher über Aussagen Wissen. Also, wir haben drei verschiedene Aussagen, die sich alle um das gleiche Thema drehen und eine davon ist falsch und ihr müsst die finden, die falsch ist. Wir gehen die einzelnen durch. Erstens, Leben in Frankreich ist eine notwendige Bedingung für eine Person, um in Paris zu leben. Zweitens, leben in Paris ist eine notwendige Bedingung für eine Person, um in Frankreich zu leben. Drittens, leben in Paris ist eine Hinreichende Bedingung für eine Person, um in Frankreich

zu leben. Also im Prinzip immer wieder das gleiche, bloß das notwendig und hinreichend vertauscht wird und dass die Reihenfolge ein bisschen vertauscht wird. Das heißt, es ist super gut, wenn wir uns einmal die allgemeine Struktur überlegen, die zwischen den Aussagen Paris und Frankreich herrscht. Also, wir hatten das ja schon mal. Ich Schreib die noch mal kurz auf. Paris, Frankreich. In welche Richtung sollte ich den Pfeil zeichen zeichnen? Also Paris steht für ich lebe in Paris und Frankreich steht für ich lebe in Frankreich. Geht der Pfeil hier von links nach rechts oder von rechts nach links?

So, du zeigst in die Richtung, ich drehe mich in die Richtung. Das heißt, du sagst, der dreht, der Pfeil zeigt nach rechts. Ja, Also wenn ich in Paris lebe, dann folgt daraus, dass ich auch in Frankreich lebe. Das ist der erste Schritt. Und jetzt müssen wir uns überlegen, was ist jetzt die notwendige Bedingung und was ist die hinreichende Bedingung? Stand auf der vorherigen Folie, aber ich blätter jetzt extra nicht zurück. Was meint ihr? Ruft's einfach rein, wenn ihr möchtet, oder meldt euch bitteschön. Genau. Also das, was an der Pfeilspitze Steht hier in diesem Pil Frankreich

ist notwendig und am Anfang vom Pfeil steht die hinreichende Bedingung. Und jetzt ist es leicht, glaube ich, oder klarer zumindest, welche der drei Aussagen falsch ist. Habt ihr einen Tipp für mich? Hat jemand eine Aussage entdeckt? Da hinten ist eine Meldung. Bitteschön. Das zweite ist falsch. Leben in Paris ist eine notwendige Bedingung für eine Person, um in Frankreich zu leben. Wenn diese Aussage falsch ist, dann reicht ein Gegenbeispiel und zu zeigen, dass sie falsch ist. Hast du ein Gegenbeispiel dafür? Oder hat jemand anders ein Gegenbeispiel? Bitttechön. Okay, ich lebe in Marseille und ich lebe in

Frankreich. Also es ist nicht notwendig, dass ich in Paris lebe, ne? Also ist die Aussage falsch. Perfekt. Ich habe noch mehr von der Sorte. Diesmal nicht mit Worten, sondern nur mit Formeln sozusagen. Also wieder drei Aussagen, aber diesmal sind zwei falsch und eine ist richtig. Die erste lautet: Wenn die beiden Variablen a und b den gleichen Wert haben, dann folgt daraus, dass auch die Quadratzahlen dieser beiden Variablen, also a² und b², den gleichen Wert haben. Die zweite Aussage ist die gleiche wie Die erste, bloß dass der Pfeil umgedreht wurde. a² = b². Daraus soll folgen,

dass a = b ist. Und die dritte Aussage verknüpft diese beiden ja Aussagen mit einer mit dem Äquivalenzzeichen. Das heißt, die dritte Aussage sagt, wir können nach links und nach rechts gehen. Was meint ihr dazu? Welche Aussage ist, wenn ihr eine richtige gefunden habt, könnt ihr die auch nennen und welche ist falsch? Ist das eine Hand? Ja, bitteschön. Die erste ist richtig. Okay. Äh, ich schreibe das jetzt erstmal dazu, aber das bedeutet ja dann auch, dass die anderen beiden falsch sind. Kannst du Gegenbeispiele dafür nennen? Also, findest du ein Zahlenpaar und ja, bitte schön. Welche

Zeit? Entschuldigung. Also, hast du einfach irgendwelche Zahlen, die ich für A oder für B einsetzen kann, so dass die zweite Aussage falsch ist Oder jemand anders. Bitteschön. A = 3, B = -3. Ja, und dann haben wir a* b + mal- ist - 3* 3= 9 -9. Also, wir haben Nein, quatsch, was habe ich denn da gemacht? Nicht a mal b, sondern a² muss ich ausrechnen. A² ist dann 3 x 3= 9. B² ist dann -3* -3, dann habe ich mal minus ist + 9. Das heißt, wir hätten hier den Fall, dass zwar a² =

b² ist, aber für A und B unterschiedliche Werte eingesetzt Wurden. Also ist zweitens falsch. Ja, ein Gegenbeispiel genügt, um das zu begründen. Danke schön. Wie sieht das aus mit der dritten Aussage? Die müsste ja auch falsch sein. Also da geht der Pfeil in beide Richtungen. Ja, bitttechön. Diese Aussag diese Begründung habe ich mir gewünscht. Perfekt. Also, wir haben jetzt hier eine Begründung gefunden, die nicht darauf beruht, dass man einfach Ein Gegenbeispiel findet, sondern die Begründung lautet, die dritte Aussage, die ist ja noch stärker als die zweite Aussage. Und wenn die zweite Aussage schon falsch ist,

dann muss die dritte auch falsch sein. Warum? Die zweite Aussage, die mit dem Pfeil nach rechts, die ist in der dritten Aussage ja mit drin. Da geht der Pfeil ja nach links und rechts. Ja, und wenn die zweite Aussage falsch ist, dann kann die dritte nicht richtig Sein, weil da der Fall nach rechts auch mit drin steckt. Und deswegen schreibe ich hier mal da drunter falsch, weil zweitens falsch ist. Aber natürlich könnt ihr auch das Gegenbeispiel von oben benutzen, was eben genannt wurde, a = 3, b = -3, um diese dritte Aussage zu falsifizieren. Ja,

und die obere, die erste Aussage, die ist richtig. Genau. Perfekt. Jetzt kommen wir zum Vivi Kontext. Wenn die Inflation steigt, dann fällt die Arbeitslosigkeit. Also vielleicht ein bisschen genauer Inflation, damit ist gemeint der Consumer Price Index. Also wenn die Preise, die wir Konsument innen bezahlen müssen, steigen. Im Laufe der Zeit spricht man von Inflation und Arbeitslosigkeit, damit eigentlich gemeint die Arbeitslosen Rate, also der Prozentsatz der Bevölkerung, die keiner Beschäftigung nachgehen können oder wollen. So, hier steht, wenn die Inflation hochgeht, dann geht die Arbeitslosenquote runter. Das ist eine sogenannte empirische Aussage, weil wir es messen können.

Ja, wir können beide Größen, die Inflationsrate und die Arbeitslosenquote können wir messen. Das heißt, wir können empirisch feststellen, ob diese Aussage gilt oder nicht. Und es gibt einen Menschen, der das vor langer Zeit mal herausgefunden hat, dass Der Herr Philips und nachdem ist die Philips Curve eben benannt, die Philips Kurve, da hat man auf der einen Achse die Arbeitslosigkeit, auf der anderen Achse die Inflation und dann stehen da, wenn man so Datenpunkte da eintritt, einfach ein einträgt eine negativ geneigte Kurve, die Philipskurve. So, also diese Aussage, die ist sozusagen empirisch belegt, kann man sagen, nicht

mathematisch, nicht theoretisch, sondern durch die realen Daten. Was kann man jetzt über die folgenden Aussagen A, B, C, D und E sagen? Sind die das gleiche, wie da oben steht, oder also sind die äquivalent dazu oder bedeuten die irgendwas anderes? Wir gehen mal durch. Damit die Arbeitslosigkeit fällt, muss die Inflation steigen. Das heißt, das ist wieder eine Implikation. Und um jetzt zu überlegen, ist das das gleiche oder nicht, lass uns noch mal kurz die Ausgangsimplikation Anschauen und uns überlegen, was ist hier die hinreichende Bedingung und was ist die notwendige Bedingung. Also noch mal zur Erinnerung,

es folgt immer, also auf der linken Seite vom Pfeil steht die hinreichende Bedingung, dann kommt der Pfeil und dann kommt die notwendige Bedingung. So war die Reihenfolge. So, jetzt wenn wir uns die Ausgangsaussage anschauen, wenn die Inflation steigt, Dann steht hier komma und wir denken uns dazu ein dann, dann fällt die Arbeitslosigkeit. Das heißt, hier ist irgendwie so ein Pfeil nach rechts drin. Das heißt, das Fallen der Arbeitslosigkeit ist die notwendige Bedingung und das steigen der Inflation, das ist die hinreichende Bedingung. Und wenn wir das so ein bisschen strukturierter haben, dann fällt es uns viel

leichter festzustellen, ob die Darunterliegenden Aussagen das gleiche sagen. Noch mal A. Damit die Arbeitslosigkeit fällt, muss die Inflation steigen. Ist das die gleiche Aussage wie oben drüber oder ist das eine ganz andere Aussage? Was meint ihr? Ich versuche noch mal ähm von dieser Logik äh losgelöst zu argumentieren, oder ist das ein Handzeichen da oben? Nein, war kein Handzeichen. Okay, aber da ist ein Handzeichen. Bitttechön. Das ist genau der Grund, den ich eben meinte mit losgelöst von der bisherigen Definition von Logik. Einfach ein bisschen äh bisschen allgemeiner denken. Ja, könnte es noch einen anderen Grund dafür

geben, dass die Arbeitslosigkeit fällt? Ja, wenn es diesen anderen Grund gibt, dann kann Inflation nicht der einzige Grund sein und damit ist A nicht das gleiche wie die Ausgangsaussage. Ja, in der Ausgangsaussage steht ja nicht, dass Inflation der einzige Grund sein kann, warum die Arbeitslosigkeit fällt. Es könnte ja sein, dass allgemein ein gutes Wachstum da ist, was dazu führt, dass die Arbeitslosigfreikeit runtergeht, ohne dass die Inflation steigt. Könnte ja sein. Und damit ist A tatsächlich nicht äquivalent. Also ich mache ich schreib das jetzt mal so hin äquivalentzeichen, aber da es nicht äquivalent ist, streiche ich

das Durch. B. Eine hinreichende Bedingung für das Fallen der Arbeitslosigkeit ist, dass die Inflation steigt. So. Und bei B hilft es uns natürlich jetzt, wenn wir uns bei der Ausgangsaussage anschauen, wo haben wir hinreichend hingeschrieben, wo haben wir notwendig hingeschrieben und dann sieht man direkt, okay, B ist tatsächlich äquivalent zu der Ausgangsaussage. Ja, wir haben gesagt, das steigende Inflation ist hinreichend und hier steht hinreichende Bedingung ist, dass die Inflation steigt. Passt genau. Fällt die Arbeitslosigkeit ist notwendig. Fallende Arbeitslosigkeit kommt dann eben äh auch in Aussage B vor. Also, das hier ist äent. Aussage C: Die

Arbeitslosigkeit kann nur fallen, wenn die Inflation steigt. Was meint ihr? Haben wir das schon mal gehört? Irgendwo kam das schon mal vor? Bitteschön. Ganz genau. Also C schreibe ich jetzt hier erstmal hin. Ist nicht äquivalent zu der oberen Aussage, aber ich mache hier mal so eine Verknüpfung. Die beiden Aussagen A und C, die sind äquivalent. Bei D wird's jetzt ein bisschen komplizierter. Da kommt das Wörtchen nicht vor. Wenn die Arbeitslosigkeit nicht fällt, dann steigt die Inflation nicht. Ja, wenn das Wörtchen nicht auf beiden Seiten vorkommt, dann könnte es sein, dass hier eine Kontraposition da ist.

Und wenn wir eine Kontraposition finden, dann wissen wir, die ist immer äquivalent zu der ursprünglichen Aussage. Wie war das noch mal mit der Kontraposition? Wir müssen beide Aussagen, also auf beiden Seiten des Pfeiles verneinen. Also oben steht, da fällt die Arbeitslosigkeit Und bei D steht, die Arbeitslosigkeit fällt nicht. Also verneint. Oben steht, wenn die Inflation steigt und bei D steht, die Inflation steigt nicht. Also, wir haben beide Aussagen verneint und dann müssen wir auch noch den Pfeil umdrehen. Ja, und das ist dadurch geschehen, dass hier die Reihenfolge verändert ist. Also hier hinter dem Komma denke

ich mir noch ein dann oder ich kann hier einen Pfeil hinzeichnen und dann habe ich die Kontraposition. Also ich habe P und Q verneint und einmal umgedreht. Kontraposition. Also male ich hier ein Äquivalenzzeichen hin und ich schreibe mal dazu in Klammern. Das ist die Kontraposition. Ah, ich habe mir vorgenommen, dieses Semester mal richtig richtig schön zu schreiben. Ich muss mich da ein bisschen dran erinnern, damit das besser wird. Okay, letzte Aussage. Eine notwendige Bedingung für das Steigen der Inflation ist das Fallen der Arbeitslosigkeit. Und wenn wir dann wieder oben hinschauen, dann haben wir das im

Prinzip schon dahineschrieben. Ja, also das Fallen der Arbeitslosigkeit, die notwendige Bedingung, also ist E auch richtig. Also auch hier haben wir Äquivalenz und damit ist Kapitel 1, glaube ich fertig. Ja, jetzt haben wir Kapitel 1 Logik geschafft und äh wenn wir irgendwann noch mal was von Kapitel 1 brauchen sollten, dann komme ich darauf Noch mal gesondert zurück. Zwischendurch gucke ich auch noch mal auf die Uhr. Wir haben noch äh 40 Minuten Zeit bis zur Pause und jetzt beginne ich mal mit Kapitel 2. Algebra heißt das Kapitel 2. Man kann sich überlegen, Algebra heißt im Prinzip

rechnen. Ja, wir wollen rechnen und wir wollen eigentlich erstmal nur plus minus mal geteilt machen und dann kommt noch ein bisschen Hochrechnung dazu. Wir schreiben, wir Sagen dazu Potenzen. Also, wenn wir Exponenten haben, das wird auch noch dazu kommen. Und ganz zum Schluss kommt vielleicht noch was super schweres, nämlich Logarithmen. Aber vielleicht kommen wir da heute gar nicht mehr zu. Mal schauen. Jetzt geht's erstmal um plus minus mal geteilt und die Frage ist, hey, mit welchen Zahlen dürfen wir überhaupt plus minus mal geteilt rechnen? Und das sind die Zahlen, die ihr hier seht. Ich habe

die Zahlenbereiche oder die Mengen von Zahlen als äh Kreise dargestellt, die immer größer werden. Und das bedeutet, dass ein größerer Zahl der Kreis immer den kleineren Kreis mit beinhaltet. Also ihr seht hier den Kreis mit dem Buchstaben Z, der beinhaltet den kleineren Kreis mit dem Buchstaben N und so weiter und so fort. Jetzt lass uns mal kurz überlegen, wofür stehen diese doppelt gestrichenen Buchstaben? Ich Fange mit n an. Das sind die natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 1 2 3 4 und so weiter und so fort. Die Idee ist, dass ihr beliebige zwei

natürliche Zahlen nehmen könnt und die mit dem Pluszeichen verknüpft und dann kommt wieder eine natürliche Zahl raus. Dann als nächst größeres kommen die ganzen Zahlen und wir denken uns jetzt, wir lassen nicht nur das Plus zu, sondern auch das Minus. Ja, wir nehmen Uns zwei beliebige natürliche Zahlen und verknüpfen die z.B. auch mit Minuszeichen. Da kann es hin und wieder mal passieren, dass 0 rauskommt oder dass eine negative Zahl rauskommt. Und dann haben wir die ganzen Zahlen. Wir sagen, die ganzen Zahlen sind abgeschlossen gegenüber Addition und Subtraktion. Also, wenn ihr Addition und Subtraktion anwendet auf

ganze Zahlen, kommen wieder ganze Zahlen raus. Das die hatten wir vorhin schon. Also -2 -1 0 1 2 und die Zahlen darüber hinaus noch. Jetzt wird's ein bisschen schwieriger. Dann kommen die rationalen Zahlen. Rational ist hier nicht im Sinne von besonders klug gemeint, sondern das sind Verhältniszahlen. Ratio, ja, das Verhältnis von zwei Zahlen, das sind die Brüche. Ja, und wir setzen eben in Zähler und Nenner eine ganze Zahl ein, wobei im Nenner niemals die Null stehen darf und dann kriegen wir eine rationale Zahl. 2/E - 45/ Dr und so weiter und so Fort. Und dann

gibt es auch noch Zahlen, die wir nicht als Bruch darstellen können. Also diese rationalen Zahlen, die haben überall oder die Menge der rationalen Zahlen, sollte ich sagen, hat überall Löcher. Na, da stecken überall noch Zahlen dabei, die wir nicht als Bruch darstellen können. Z.B. kennt ihr die Zahl Pi oder Wurzelzahlen. Die Wurzel von zwei können wir auch nicht als Bruch darstellen. Und wenn wir all diese Löcher mit ein bisschen Putz zuschmieren, dann kriegen wir die reellen Zahlen. Und das sind die Zahlen, mit denen wir am häufigsten arbeiten werden. Und für mich als Wirtschaftswissenschaftler ist natürlich

interessant, hey, wofür brauchen wir das überhaupt? Wofür brauchen wir die natürlichen Zahlen und so weiter und so fort. Und das seht ihr auf der nächsten Folie. Da habe ich für jeden Zahlenbereich angegeben, wann wir was benutzen. Also die natürlichen Zahlen benutzen wir meistens als Indizs. Wenn wir z.B. eine Menge von Haushalten haben, die wir befragen, dann haben wir eben den Haushalt Nummer 1, den Haushalt Nummer 2 und so weiter und so fort, aber niemals den Haushalt 0 oder den Haushalt -5. Die ganzen Zahlen benutzen wir, wenn es auch um Differenzen geht. Also, stellt euch vor,

wir wollen den Gewinn einer Firma vergleichen im Jahr 2025 mit dem Gewinn im Jahr 2024. Und wir bilden dann die Differenz von den beiden Gewinnen. Und dann wollen wir wissen, ist der Gewinn z.B. positiv oder negativ? Also Zuwächse, die stellen wir als Differenzen da und damit als ganze Zahlen. Bei den rationalen Zahlen können wir direkt das den Ursprung des Wortes benutzen. Also wir wollen Verhältnisse darstellen. Also z.B. wie steht der Gewinnzuwachs im Verhältnis zum ursprünglichen Gewinn? Und damit haben wir eine Wachstumsrate. Ich werde auch den Begriff Wachstumsrate werden wir später natürlich noch mal ganz genau

definieren, aber wenn wir den äh ähm Zuwachs von Gewinn teilen durch den ursprünglichen Gewinn, dann kommt raus ein Bruch, der uns sagt, um wie viel Prozent ist der Gewinn gestiegen. Das nennen wir Wachstumsrate. Dafür brauchen wir die Brüche. Ja, und Wofür brauchen wir die reellen Zahlen? Die gibt's eigentlich gar nicht in der Realität. Ja, also wir finden keinen Gewinn, der die Zahl Pi hat. Wir finden keinen Gewinn, der die Zahl Wurzel 2 hat. Das ist quasi nicht möglich. Die reellen Zahlen sind für uns ein Hilfsmittel, um die Realität einfacher zu machen. Und zwar wollen wir,

ja, also ich will, ihr müsst, ein paar von euch werden das auch wollen, müssen wir ableiten. Das werden wir super häufig Benutzen, denn der das grundlegende Ziel dieser Matheveranstaltung ist, dass ihr Maximierungs und Minimierungsprobleme lösen könnt. Und um das zu schaffen, ist es ein super hilfreiches Mittel, wenn wir Ableitungen bilden und ableiten können wir nur auf den reellen Zahlen, aber das kriegen wir hin. Ja, ihr werdet sehen, das ist alles kein Hexenwert Werk und wir werden viele Beispiele, viele Anwendungen haben, sodass es eine Routine für euch wird, das zu machen. Jetzt kommen wir zu Rechenregeln

und die kennt ihr garantiert schon. Ich muss sie quasi der Vollständigkeit halber mit reinnehmen. Diese Gesetze, diese drei Gesetze, die ihr hier seht, Kommutativ Gesetz, Assoziativ Gesetz, Distributivgesetz, habt ihr garantiert schon mal gehört, aber aus eigener Erfahrung weiß ich äh nach einer gewissen Zeit werfe ich die durcheinander. Ich weiß nicht mehr Genau, welches Gesetz jetzt was ist. Mir ist nicht wichtig, dass ihr diesen drei Namen kennt, sondern mir ist wichtig, dass ihr die Regeln quasi anwenden könnt. Das ist der das Hauptziel. Diese drei Gesetze sind jeweils für Addition und für Multiplikation definiert und die bedeuten

eigentlich auch immer das gleiche. Also das Gesetz für Addition bedeutet das gleiche wie das Gesetz für Multiplikation. Ich gehe jetzt einfach mal schrittweise durch. Das Kommutativgesetz, wenn wir zwei Zahlen addieren wollen, ist es egal, in welcher Reihenfolge wir die addieren. Das gleiche gilt für ein Produkt. Im Produkt ist die Reihenfolge des Produktes egal. Ob wir a mal B oder B* A rechnen, ist Wurst. Assoziatives hier geht es darum, dass wir diese Rechenoperation nicht nur einmal, sondern mehrmals machen. Ja, in diesem Fall zweimal. Also, wir rechnen a + b + C. Und das Assoziativgesetz sagt, es

ist egal, an welcher Stelle wir anfangen. Rechnen wir zuerst b + c aus und addieren dann auf die Summe noch das A oder rechnen wir zuerst a + b aus und addieren dann auf die Summe das C. Das ist egal für die, wenn wir nur addieren, also wenn da nur pluszeichen stehen, ist die Reihenfolge egal. Ja, diese Klammern bedeuten, wir fangen immer dort an, wo die Klammer steht und dann arbeiten wir uns nach draußen vor. Und das gleiche Gilt für das Produkt, also a* b* c, das ist egal, welches Mahlzeichen ihr zuerst ausrechnet. Distributivgesetz, das

letzte von den drei Gesetzen, da geht's umsinklammern und ausklammern. Ich gucke mir mal die obere Zeile an. Also ihr seht, dass da mal und plus beides drin vorkommt in der Rechnung. Und ihr kennt auch die Rechenregel Punkt vor Strich. Die gilt aber nur, wenn keine Klammern da sind. Hier sind aber Klammern da und die Klammern sagen, die gehen immer vor und die sagen, hier musst du anfangen. Also auf der linken Seite des Gleichheitszeichens müssen wir zuerst B und C zusammenrechnen und dann die Summe mit dem Faktor A multiplizieren. So und das Distributivgesetz sagt jetzt, wir

können das A in die Klammer reinmultiplizieren und dazu müssen wir eben jeden Ausdruck, der in der Klammer drin steht, einzeln Mit A multiplizieren. Und das steht auf der rechten Seite. Also, wir rechnen erst a* b aus und dann a* c und dann bilden wir die Summe von beiden. Das Distributivgesetz funktioniert aber auch rückwärts. Also wir können auch einen gemeinsamen Faktor rausmultiplizieren. Ja, wenn wir auf der rechten Seite anfangen von der Gleichung, dann sehen wir, es gibt einen gemeinsamen Faktor, das A. Und das Können wir quasi aus der Klammer rausholen. Also geht immer in beide Richtungen.

Und die untere Seite und die untere Gleichung ist da einfach dafür gedacht. Wir sehen, dass wir da die Klammer von rechts mit einem Faktor multiplizieren. Funktioniert aber ganz genauso wie wenn wir von links multiplizieren. Also bei den reellen Zahlen ist egal, ob wir von rechts oder von links multiplizieren. Jetzt versuchen wir gleich mal diese Drei Rechenregeln ein bisschen zu benutzen, damit die damit ihr seht, wofür man die braucht, wo an welchen Stellen die Anwendung finden. Z.B. bei den binomischen Formeln. Auch die werden wir relativ häufig benutzen und bei denen ist es tatsächlich sinnvoll, die im

gewissen Sinne auswendig zu können. Mein Matte Lehrer hat immer gesagt: "Ey, wenn ich euch um 5 Uhr wecke, dann müsst ihr das können." Ich find es irgendwie lustig, wenn ich Sage: "Ey, wenn ihr mal irgendwie total voll seid, dann müsst ihr die trotzdem können." Ja, also die muss irgendwo in dem Bereich von eurem Gehirn verankert sein, wo die immer abrufbar sind. Es gibt diese Formeln noch etwas allgemeiner, also nicht hoch 2, sondern z.B. hoch 5 oder hoch n. Das ist dann der allgemeine binomische Lehrsatz. Den werdet ihr auch noch kennenlernen, wahrscheinlich in der Statistik. Die

wird von Herrn Fischer gelesen, Nicht von mir. Das heißt, wenn ihr euch an diesen, wenn ihr diesen binomischen Lehrsatz seht, dann denkt noch mal vielleicht an die binomischen Formeln. Ja, das ist die einfache Variante davon. Drei Stück gibt es, die seht ihr hier. A + B zum Quad, A - B zum Quad und dann hier einmal gemischt a + B* A- B. Also a + B Z² heißt ja nichts anderes als a + b* a + b und das gleiche mit a - b. Das heißt, wir haben hier immer zwei Klammern, die wir miteinander multiplizieren.

Einmal steht bei beiden Klammern ein Plus, einmal steht in beiden Klammern ein Minus und einmal ist es gemischt. Das sind die drei binomischen Formeln. So, auf der rechten Seite steht immer A² und es steht immer ein b². Das ist aber eigentlich schon fast alles, was an Gemeinsamkeiten da ist. Wenn wir in den beiden Klammern nur ein Plus haben, also wenn wir die erste Binomische Formel hier haben, ich schreib mal die Zahlen dazu. Erste, das hier ist die zweite und das hier ist die dritte binomische Formel. In der ersten binomischen Formel kommt dann zwischen das A²

und das B² noch ein 2* A* B. Wenn wir zweimal das Minuszeichen haben, schreib das vielleicht auch noch mal aus. a - b* a - b, dann kommt in die Mitte eben nicht +2ab, sondern -2ab. Und bei der dritten binomischen Formel fällt die Mitte einfach weg, aber wir müssen a² und b² voneinander abziehen. Warum gilt das? Ja, wir können das begründen, indem wir einfach mal ausmultiplizieren, ja? indem wir die linke Seite berechnen und dazu benutzen wir eben diese drei Gesetze von der Folie davor. Ich könnte das für alle drei Formeln machen. Ich mache das jetzt

nur für eine der drei Formeln und wenn ihr Lust habt, Probiert es noch mal aus für die anderen beiden Formeln oder ihr sagt euch: "Ey, binomische Formeln kein Problem für mich, die kann ich sowieso." Also, ich nehme jetzt mal die zweite binomische Formel. a - b* a - b und ich überlege mir, welche Rechenregeln ich hier benutzen kann. Ich benutze zuerst das Distributivgesetz. Das Distributivgesetz sagt, ich kann Einen Faktor, der vor einer Klammer steht, in die Klammer reinmultiplizieren. Und der Faktor, der vor der Klammer steht, ist in diesem Fall halt noch mal eine Klammer. Das

ist die ganze Klammer, die ich hier rot eingekästelt habe. Und den Multi diese Klammer multipliziere ich einmal vor das A und einmal vor das B. Also steht da A- B* A- B* B. Und jetzt muss ich noch mal das Distributivgesetz benutzen. Und diesmal habe ich einen Faktor, der rechts neben der Klammer steht. Den muss ich dann eben von rechts in die Klammer reinmultiplizieren und bei dem anderen auch. Also das B muss ich da jeweils reinmultiplizieren und dann kriege ich im ersten Teil a* a, dann steht da - b* a. Jetzt komme ich zur zweiten Klammer,

Dann steht da - b und - b* b. Jetzt kommen hier zwei Minuszeichen. Minus mal minus ist plus. Also + b* b. Und jetzt muss ich noch ein bisschen umsortieren und dann bin ich fertig. Also a mal a ist das gleiche wie A² - b* A ist das gleiche wie A* B. Ja, welches Gesetz habe ich hier benutzt? Wenn wir zurückgehen, das war das erste von diesen Gesetzen, das Kommutativgesetz. Die Reihenfolge darf Ich vertauschen. Dann steht da noch mal - A* B. + b². Den Punkt kann ich wieder wegmachen und dann sehen wir, dass wir

zweimal das A* B da stehen haben. -2* A* B + B² und das ist das, was hier steht. Also, es war jetzt äh eigentlich eher zum Vorführen habe ich diese Rechtenregeln benutzt. Ich hoffe, das war nicht so schwer, was ich gemacht Habe, aber es ist immer gut, die Rechenregeln bei etwas einfacheren Sachen einfach mal auszuprobieren und gucken, ob das Richtige rauskommt. Brüche. Wir kommen jetzt also zu den rationalen Zahlen, zu den Brüchen. Und das wird jetzt schon tatsächlich ein bisschen schwerer als den Rest, den wir bisher gemacht haben. Was ist überhaupt ein Bruch? Also, wir

brauchen für einen Bruch zwei Zahlen. Die nennen wir hier auf der Folie m und N. Und diese Zahlen ist in der normalen Vorstellung sind in der normalen Vorstellung von dem Bruch ganze Zahlen. Ja, also normalerweise nehme ich jetzt z.B. die -2 und die 3, dann habe ich -2 dritt. Aber auf dieser Folie steht einfach nur Zahlen. Das heißt, wir können ein Bruch auch mit reellen Zahlen bilden und da können im Zähler und im Nenner auch reelle Zahlen drin stehen. Jetzt habe ich schon diese Wörter benutzt. Also die Zahl, die oben steht Über den Bruchstrich heißt

Zähler. Unterm Bruchstrich. Nennen wir die Zahl dann den Nenner. Der Nenner in diesem Fall das n darf niemals gleich 0 sein. Wie können wir denn diesen Bruch interpretieren? Der Bruch ist das gleiche wie eine Division. Also wir könnten anstelle m Br n auch schreiben m ge n. Und die Division ist nicht definiert, falls der Divisor, also die Zahl, durch die wir teilen, die null ist. Deswegen darf der Nenner niemals Gleich null sein. Trotzdem wird uns das passieren. In Kapitel 6 wird der Nenner gleich 0 sein und da müssen wir uns überlegen, wie wir damit umgehen.

Wenn jetzt der Spezialfall da ist, dass beides der Zähler und der Nenner ganze Zahlen sind, dann haben wir eine rationale Zahl. Aber Brüche können eben dann auch irrationale Zahlen sein, wenn Zähler oder Nenner keine ganze Zahl ist. Zu jedem Bruch können wir den Kehrwert definieren. Der Kehrwert ist einfach der Umgedrehte Bruch Bruch. Also, wenn wir Zähler und Nenner vertauschen, dann haben wir den Kehrwert. Ja, ihr seht hier zwei Beispiele. Der Kehrwert von 3/4 ist 4/3, der Kehrwert von 6/7 ist 7/6. Wir brauchen den Kehrwert nachher, wenn es um die Division durch Brüche geht, komme ich

dann gleich noch mal drauf zurück. Jetzt kommen wir zuerst mal zum Konzept erweitern. Wir können einen Bruch Erweitern, indem wir beide Zahlen, also den Zähler überm Bruchstrich und den Nenner unterm Bruchstrich mit der gleichen Zahl multiplizieren. Und diese Zahl, mit der wir multiplizieren, die heißt hier einfach k. Und da wir auch den Nenner mit k multiplizieren, darf auch das k nicht gleich 0 sein. Ich möchte, dass ihr jetzt noch mal kurz Aktiviert werdet. Deswegen habe ich zwei Beispiele hier gebracht. Ja, ich habe zwei Beispiele, die wir erweitern sollen und ihr sucht euch einfach eins von

beiden aus. Also einmal sollen wir ein/b erweitern mit 6 und einmal sollen wir 3/4 erweitern mit -2. Wenn ihr Bock habt, überlegt kurz, was ich hinschreiben soll und sagt's mir. Also, erweitern heißt beide Zahlen überm unter und unterm Bruchstrich mit der gleichen Zahl Multiplizieren. Was passiert, wenn ich ein halb erweitere mit 6? Was soll ich hinschreiben? Diktiert mir einfach und dann schreibe ich es auf. Ja, bittechön. 61. Super. Ich lasse hier ein bisschen Platz. Also 61 ist richtig. Ich habe ein bisschen Platz gelassen, damit ich einfach den Rechenschritt noch mal dazu schreiben kann. Also ich

rechne 1* 6 und Ich rechne 2 x 6. Ja, und dann kommt eben 6/12 raus. Wie sieht das aus mit dem unteren Bruch? Also 3/4 erweitern mit -2. Bitteschön. -6 -1 -6 -1 ähm -8- -8. Genau. Danke schön. -6 -8. Also, ich mache wieder den Zwischenschritt. 3* -2 und 4* -2. 3 x -2= -6 Und 4 x -2= -8. Ja, das ist richtig. Also das bedeutet, dass diese beiden Brüche ein/b und 61/12, dass das die gleichen Zahlen sind. Da kommt noch eine Wortmeldung. Ja. Ähm, die Frage lautet, ich sag's einfach fürs Mikro, damit es auch

auf dem Video zu hören ist, ob ich bevorzuge, dass das als Dezimalzahl aufgeschrieben wird. Also, wenn es so ist, dann schreibe ich es explizit dazu, ne? Also, wenn jetzt Eine Aufgabe ist, wo eine Dezimalzahl rauskommen soll, dann schreibe ich z.B. hin, bitte runden Sie Ergebnis auf zwei Kommastellen genau und dann ist klar, es soll eine Dezimalschutz sein. Super, das hat schon geklappt. Jetzt machen wir das umgedrehte. Das äh das umgedrehte vom Erweitern ist das Kürzen. Also auch hier nehmen wir eine gemeinsame Zahl K, aber diesmal teilen wir Zähler und Nenner durch diese Zahl K. Und

der Grund dazu ist, dass wir Gerne haben, wenn Brüche kleinere Zahlen sind. Also, wenn die Zahlen, die im Zähler und Nenner stehen, kleiner sind, dann können wir besser verstehen, was der Bruch ist. Also, wir haben hier wieder zwei Beispiele. Einmal 3040 und einmal 1244. Und die Aufgabe lautet: Versuche diese Brüche so zu kürzen, wie es soweit wie es möglich ist. Ja, dass das Ergebnis wieder eine rationale Zahl ist. Also im Ergebnis sollen wieder im Zähler und Nenner ganze Zahlen stehen. Wenn ihr eine Idee habt, legt los. Da oben sehe ich schon Finger. Bitteschön. Dreiviertel das

obere. Prima. Ich mache das genauso wie eben. Vielen Dank für die Antwort. Also dreiviertel schreibe ich hier nach rechts und dann mache ich noch die Rechnung dazu. Ich vermute, dass du durch 10 geteilt hast, ne? Also, das heißt, ich rechne jetzt 30 ge 10 und hier unten unterm Bruchstrich teile ich Den Nenner auch durch 10. 30 dur 10 dur 10= 4. Dann kommt dreiviertel raus. Wie sieht das aus mit 12/? Ich versuche immer jemanden zu nehmen, der noch nichts gesagt hat. Bitttechön. Super. Also äh Moment, also erstmal durch viert kürzen. Das damit fange ich schon

mal an. Ja, genau. 31. Also 12 ge 4 ge 4. Also man schaut sich erstmal Zähler und Nenner an und überlegt sich, hey, gibt's da eine Zahl, durch die ich Teilen kann? Ja, 12 kann ich durch 4 teilen. 44 kann ich durch 4 teilen. Und dann rechne ich einfach mal aus. 12 dur 4= 3, 44 dur 4= 11 und dann könnte es theoretisch sein, dass man den das Ergebnis, was da rauskommt, noch mal kürzen kann. Ja, macht man eben weiter. Aber hier haben wir zwei Primzahlen, die 3 und die 11 sind Primzahlen. Da können wir

nicht weiter teilen. Okay, das hat auch schon wunderbar geklappt. Jetzt kommen wir zur Addition und Subtraktion. Also, ich habe vorhin gesagt, es geht um plus minus mal geteilt. Wir sind jetzt gerade bei plus und minus. Und die ganzen Zahlen, die wir vorhin besprochen haben, von den natürlichen Zahlen bis zu den reellen Zahlen, für diese Zahlen ist Plus und Minus definiert, also auch für Brüche. Und jetzt müssen wir lernen, wie kann ich Brüche addieren und wie kann ich die Differenzen von Brüchen bilden? Auf dieser Folie seht ihr aber noch einen Spezialfall. Und zwar geht's hier darum,

dass wir zwei Brüche addieren, die den gleichen Nenner haben oder dass wir die Differenz von zwei Brüchen bilden, die den gleichen Nenner haben. Die haben beide den Nenner, der durch die Zahl oder durch die Variable n gekennzeichnet ist. Und dann ist es nämlich easy. Dann kann ich einfach zwei Brüche addieren, indem ich die beiden Zähler addiere. Also ich rechne hier den Zähler vom ersten Bruch, das M, plus den Zähler vom zweiten Bruch, das P. Dann steht hier im neuen Zähler m + p. Und genauso bei der Differenz, wenn die den gleichen Nenner haben, dann kann

ich einfach die Differenz des Zählers bilden. In diesem Fall ist es also einfach und wenn es einen einfachen Fall gibt, dann gibt's auch einen schwierigen Fall und der kommt als nächstes. Wenn wir nämlich zwei Brüche addieren wollen, die nicht den gleichen Nenner haben, Dann müssen wir erstmal ein Hilfsmittel benutzen, was wir vorher definiert haben, nämlich das Erweitern. Also, ihr seht, wir sehen hier zwei Brüche, die unterschiedliche Nenner haben. Beim einen Bruch ist der Nenner N, beim anderen ist er Q. Und jetzt müssen wir diese beiden Brüche erstmal soweit erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben.

Und das funktioniert immer, wenn wir den ersten Bruch mit dem Nenner vom zweiten Bruch multiplizieren. Also erweitern, sollte ich sagen, nicht multiplizieren. Also, wir sehen hier den ersten Bruch m durch dur n, aber wir multiplizieren Zähler und Nenner. mit Q und beim zweiten Bruch machen wir es genau andersrum. Der erweitern wir mit dem Nenner vom ersten Bruch. Ja, also hier steht der zweite Bruch P durch Q und wir multiplizieren hier mit dem Nenner vom ersten Bruch mit dem N. Dann steht in beiden Fällen im Nenner n* q. Ja, Q mal n ist ja genau das

gleiche. Wir haben also wieder ein zwei Brüche mit dem gleichen Nenner und dann können wir die Rechtreel von der vorherigen Folie benutzen. Dann können wir einfach die Zähler addieren. So, es kann jetzt sein, dass dieser neue Bruch einen ziemlich großen Nenner hat. N* Q kann ziemlich groß werden und das heißt, es ist durchaus möglich, dass wir dieses Ergebnis dann noch kürzen können. Ja, und wir sagen dann, dass wir die auf einen Hauptnenner bringen, auf den äh Auf den gemeinsamen Teiler, der möglichst klein ist. Und das heißt, dieses Ergebnis, was wir hier sehen, das kann sein,

dass wir das immer noch verändern möchten, damit wir einen handhabbareren Bruch haben. Okay. Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern erfordert also, dass wir im ersten Schritt ein Hauptnenner finden für beide Brüche. Beide Brüche so erweitern, dass wir diesen Hauptnenner haben und dann Können wir einfach die Zähler addieren oder die Zähler subtrahieren. Jetzt kommen wir zu mal und geteilt Multiplikation und auch das möchte ich in mehreren Schritten herleiten. Jetzt multiplizieren wir einen Bruch erstmal nur mit einer Zahl. Also wir haben hier einen Bruch P* Q und das möchten wir multiplizieren mit einem mit einer

Zahl n. Und das funktioniert, indem wir diese Zahl in den Nenner reinmultiplizieren. Also wir in den Zähler, Entschuldigung, der Nenner steht unten. Ja, wir nehmen die Zahl n und multiplizieren die mit der Zahl, die überm Bruchstrich steht, mit dem Zähler. Genau andersrum ist es, wenn wir durch eine Zahl teilen. Also, wir haben hier unten einen Bruch P durch Q und die teilen wir durch N. Diesen Bruch teilen wir durch n und dann multiplizieren wir das n in den Nenner rein, also unter den Bruchstrich. Das ist Multiplikation eines Bruchs mit einer Zahl. Vielleicht wundert ihr euch,

warum ich das so ausführlich mache. Also, ich kenne das von meinen eigenen Kindern, dass diese Bruchrechnungen manchmal höllisch schwer werden. Also das man vertut sich einfach an irgendeiner Stelle in der Rechnung wegen einem blöden Mist und dann ist natürlich das Ergebnis hinten raus auch falsch. Und deswegen ist es super gut, wenn man Diese Bruchrechenaufgaben einfach übt, damit man eine Routine bekommt. Und ihr werdet in den Tutormsaufgaben natürlich auch Bruchrechenaufgaben haben. Und im Lehrbuch, wenn ihr das irgendwann mal in die Finger bzw. auf den Bildschirm bekommt, stehen noch 100 Aufgaben mehr dazu zu dem Thema. Also,

wenn ihr das Gefühl habt, Bruchrechnung ist äh noch nicht so meins, dann äh versucht einfach Aufgaben dazu zu rechnen, wiederholt das und die Lösungen davon findet ihr auch Im Buch. Durch Routine kann man das eigentlich ganz gut beherrschen. Jetzt steht hier unten auf der Folie noch, dass man den Spezialfall n = -1 beachten soll. Also, wenn wir jetzt n = -1 haben, dann wird p q mal -1, also p* -1 dur q. Jetzt können wir das vertauschen. Also im Zähler vertausche ich jetzt mal -1 mal p q. Und dann seht ihr, dass sozusagen das Minuszeichen,

was hinter Dem Bruchstrich war, jetzt plötzlich auf dem Bruchstrich drauf steht. Aber wir können das jetzt noch weiterführen. Wir können jetzt diese -1 auch wieder davor multiplizieren. P Q. Also, ob das hinter dem Bruchstrich steht oder vor dem Bruchstrich ist eigentlich egal. Ja, und das wäre dann gleich - P durch q. Also, wenn ihr ein Minuszeichen habt, ist es egal, ob das Minuszeichen vor dem Bruchstich steht, hinter dem Bruchstrich oder im Zähler. Das ist alles das gleiche. Und wenn wir uns jetzt auch noch die Division anschauen, dann gilt das auch für den Nenner. Also P

durch Qeilt durch -1 wäre dann das gleiche wie ich verkürze jetzt mal ein bisschen P durch - Q. P dur -q ist das gleiche wie P ge -1 oder äh an der Davor können wir es diesmal nicht schreiben, weil wir Division haben. Okay, Jetzt kommen wir dazu, dass wir zwei Brüche miteinander multiplizieren. Also eben haben wir ein Bruch mit einer Zahl multipliziert. Jetzt multiplizieren wir zwei Brüche miteinander. Und ich finde, die Rechtenregel ist eigentlich ziemlich intuitiv. Wir müssen jetzt hier den Zähler des zweiten Bruches in den Zähler des ersten Bruches reinmultiplizieren. Das P kommt hier

oben rein und das Qenner rein. Also, wir multiplizieren Zähler Mit Zähler und Nenner mit Nenner. Und dann haben wir das Produkt der beiden Brüche. Das vereint jetzt quasi alles, was wir bisher über die Multiplikation von Brüchen mit Zahlen hatten. Und dazu habe ich zwei Beispiele. Da könnt ihr noch mal ran. Also, das erste Beispiel lautet: Wir sollen den Bruch 2/ Drittel multiplizieren mit dem Bruch 3/4 und beim zweiten Beispiel sollen wir 2/ Drittel multiplizieren mit 10/1. Wer Möchte, kann mir wieder diktieren, was ich dahin schreiben soll. Bitteschön. Oha, da muss ich viel Platz lassen, weil

du hast da schon ganz viel zwischendurch gerechnet. Kannst du uns an deiner an deinen Rechenschritten teilhaben lassen? Stopp. Also 2 x 3, 3 x 4. Dann hast du gesagt 2 x 3 sind 6. Halt sauber schreiben und 3 x 4 sind 12. Genau, ich kürze wieder. Also, ich teile Jetzt beides durch eine gleiche Zahl und ich kann beides durch sechs teilen und dann komme ich auf einhalten. Perfekt. Genau. Man kann manchmal sich das Leben ein bisschen leicht machen, indem man von vorne rein kürzt. Und das dieses, das sehen wir hier. Wir haben hier eine drei

im Zähler und hier eine drei im Nenner und dann kann man die sich sozusagen schon sparen und dann hat man nur noch zwei Viertel da stehen und von zweiertel Ist der Schritt dann wiederum leicht zu ein halben. Aber ich bin dir dankbar, dass du den vollständigen Rechenweg jetzt hier angegeben hast mit den Rechenregeln, die wir bisher hergeleitet haben. Wie sieht's aus beim nächsten Beispiel? 2 x mal 10/1. Was kommt da raus? Ja, bitttechön. Genau. Ups, falsch geschrieben. 20 33. Genau. Und da können wir leider nicht kürzen, ne? Die haben keinen Gemeinsamen Faktor, den wir irgendwie

rauskürzen könnten. Also 20 ist das gleiche wie 4 x 5, 33 ist das gleiche wie 3 x 11. Da gibt's keine gemeinsamen Zahlen, durch die wir teilen können. Also sind wir an der Stelle fertig. Perfekt. Also Multiplikation von Brüchen klappt schon. Jetzt ist der nächste Schritt. Wir divisier divisieren genau wir teilen Brüche. Also wir nehmen einen Bruch geteilt durch einen zweiten Bruch. Und jetzt kommt der Kehrwert ins Spiel. Also, wir haben hier den ersten Bruch gelb markiert. Hier haben wir den zweiten Bruch grün markiert und wir wollen quasi den Bruch von diesen beiden Brüchen hier

ausrechnen. Also, wir wollen den gelben durch den grünen Bruch teilen. Und das machen wir so, indem wir erstmal den zweiten Bruch umdrehen. Da kommt dann der Kehrwert hin. Ja, ihr seht, dass da P und Q vertauscht sind. Und zweitens tauschen wir das Geteilzeichen durch ein Malzeichen aus. Also den Divisor, die Zahl, durch die wir teilen, drehen wir um, wir bilden den Kehrwert und dann schreiben wir anstelle von geteilt einfach mal. Und wie mal funktioniert, wissen wir von eben. Ja, Zähler mit Zähler multiplizieren und Nenner mit Nenner multiplizieren. Preisfrage: Was ist 2/3 ge 3/4? Wie was

kommt da raus? Wie lösen wir Das? Ja, bitttechön. Kommt 89 raus. So, jetzt haben sich da zwei Personen gleichzeitig gemeldet und die Personen in der Reihe da hinten in dahinter. Würdest du mir erklären, wie man darauf kommt oder wolltest du ein ganz anderes Ergebnis sagen? Ja, du hast dich auch gemeldet, oder? Genau. Also hier der zweite Bruch ist das 3, das drehe ich um. Da kommt 4/ Drittel raus und dann Multipliziere ich das miteinander und das ist dann also 2 x 4 ge 3 x 3. 2 x 4= 8, 3 x 3= 9. Vielen Dank.

Das war richtig. Und das war bis jetzt das Schwierigste von allen. Ja, das haben wir auch hingekriegt. Perfekt. Jetzt kommen wir zum Thema Hochzahlen Potenzen und das wird äh ja vielleicht das Schwierigste für heute, aber auch äh für die das ist erstmal so ein Peak. Danach wird der Vorkurs wieder ein bisschen Einfacher. Was ist überhaupt eine Potenz? Potenz besteht aus zwei Zahlen. Eine Zahl, die unten steht, die nennen wir Basis und das ist hier das A. Und eine Zahl, die oben steht, das nennen wir den Exponenten. Und das soll hier das n sein. Und ich

habe hier absichtlich den Buchstaben n gewählt, weil der Exponent auf dieser Folie erstmal eine natürliche Zahl sein soll. Wir sehen im Titel aber, dass da sogar ganzzahlige Exponenten genannt Werden, also auch die Minuszahlen von den natürlichen Zahlen und die Null, die stehen ganz unten auf der Folie. Hier seht ihr ein -n. Ich will mich aber erstmal mit den natürlichen Zahlen hier beschäftigen und einfach erstmal definieren, was ist das überhaupt? Und zwar, wenn a hoch n da steht, dann muss ich das a n - 1 mal mit sich selber multiplizieren. Jetzt seht ihr aber hier steht

nicht n -1 mal, sondern n mal und das n mal bezieht sich auf das a. Also das A kommt n mal vor und zwischen den ganzen a steht dann n - 1 mal ein Mahlzeichen. Und da dieses a mal a mal a mal a und so weiter und so fort immer ziemlich viel zu schreiben ist, wählt man eben diese abkürzende Schreibweise a hoch n. Und in ab diesem Unterkapitel soll es darum gehen, wie können wir mit diesen Potenzen rechnen, ja? Welche Rechenregeln gelten für die? Wie ist das Mit Addition, Multiplikation und so weiter und so

fort. Jetzt stehen hier aber noch so ein paar sonderbar Sachen. Also a hoch 1 soll gleich a sein, steht hier. Ja, also das n in diesem Fall ist gleich 1. Das heißt, ich multipliziere das an n- 1, also 0 mal mit sich selbst. H, wie kann ich denn a 0 mal mit sich selber multiplizieren? Das geht doch gar nicht. Aber noch schlimmer wird es, wenn hier a hoch 0 steht. Da müss ich das A ja -1 Mal mit sich selber multiplizieren. Das kann man ja nicht verstehen. Hier ist so ein Doppelpunktgleichheitszeichen und das steht für

definieren. Also wir definieren diese Schreibweise a hoch 0 als 1. Und ich würde euch gerne begründen, warum man das so macht, warum das plausibel ist und die Zeit dafür reicht perfekt. Ich brauche jetzt von euch eine ein A, eine Basis. Und mir wä es recht, wenn das jetzt keine super komplizierte Zahl ist, sondern eher eine einfache Zahl, aber nicht die ein oder die 0. Wer sagt mir eine Basis, mit der ich rechnen kann? Du meldest dich bitteschön, ne? Zwei. Alles klar. Wir nehmen die zwei. Die ist schön. Und jetzt möchte ich einfach mal verschiedene Potenzen

ausrechnen. Ich fange an mit 2 hoch 2. Ups, ich glaube, ich gehe ein bisschen weiter runter. 2 hoch 2. Das ist die abkürzende Schreibweise für 2* 2. Das können wir ausrechnen. Das ist 4. Jetzt gehe ich eins weiter. 2 hoch 3. Das ist die abkürzende Schreibweise für 2* 2* 2. Und wir wissen, wir haben jetzt mehrere Mahlzeichen. Es ist egal, wo wir anfangen. Wir können entweder 4 x 2 oder 2 x 4 rechnen. In beiden Fällen kommt 8 raus. Ich glaube, ich mache noch den Schritt 2 hoch 4. Das wäre also 2* 2* 2* 2.

Und wieder können wir uns bei Mehreren Mahlzeichen aussuchen, wo wir anfangen. 4* 2* 2 oder 2* 4* 2 und wie auch immer. Es kommt in allen Fällen jedenfalls 16 raus. So, die 2 hoch5, die schreibe ich jetzt nicht mehr so auf. Ich möchte mir nämlich überlegen, wie komme ich vielleicht etwas schneller zu dem Ergebnis von 2 hoch 5. Und dazu überlege ich mir, wie hängen denn diese Quadratzahlen äh nicht diese Quadratzahlen, diese Zahlen auf der Rechten Seite miteinander zusammen? Also, wie komme ich von der 4 zur 8? Wie komme ich von der 8 zur 16?

Und vielleicht kann ich diese Rechtenregel ja benutzen, um dann 2 hoch 5 ausrechnen. Ja, bitteschön. Genau. Also mal 2. Einfach wenn ich die 4 x 2 rechne, kommt die 8 raus herein. Oder wenn ich 8 x 2 rechne, dann kommt die 16 raus. Oder wenn ich die 16 x 2 rechne, dann kommt die 32 raus. Ja, und wenn man möchte, da kann Man jetzt die zwei viermal mit sich selber multiplizieren, dann kriegt man 2 hoch 5 und dann sollte auch 22 rauskommen. Ja, und genauso gut könnten wir das jetzt weiterführen. Ups, also wieder mal zwei

und so weiter. Ich mache jetzt hier mal nur so Pünktchen. Warum habe ich das gemacht? Ich möchte nämlich eigentlich in die andere Richtung. Ja, also die Richtung verstehe ich ganz gut. Da kann ich jetzt gut Kapieren, was mit 2 hoch5 gemeint ist. Ich möchte aber wissen, wie ist jetzt 2 hoch 1 gemeint oder wie ist 2 hoch 0 gemeint? Und dazu gehe ich jetzt einfach mal zurück. Und wenn ich mal 2 rückgängig machen möchte, muss ich einfach geteilt durch 2 rechnen. Das mache ich jetzt mal hier. Also, ich rechne geteilt durch 2. Äh, da habe

ich aus Versehen zwei weggelöscht. So. So, wenn ich 32 durch 2 teile, dann seht Ihr, dann komme ich zur 16. Wenn ich 16 durch 2 teile, dann komme ich zur 8. Wenn ich die 8 durch 2 teile, komme ich zur 4. Und jetzt wird's spannend. Wenn ich die 4 durch 2 teile, dann kommt die 2 raus. Und die 2 ist so wie auf der Folie davor definiert. Da steht hier an der Stelle, wo war es hier? A hoch 1 = A. Ja, und jetzt können wir eben sehen, die 2, das wäre das A, ist das

gleiche wie 2 hoch 1. Also können wir hier auf die Linke Seite schreiben 2 hoch 1. Und deswegen gilt eben, dass 2 hoch 1 = 2 ist. Aber es geht noch weiter. Ich kann ja noch weitermachen. Also, ich kann hier noch mal durch 2 teilen. 2 ge 2 ist das gleiche wie 1. Und da haben wir auf der vorherigen Folie gesehen, a hoch 0 soll immer die 1 sein. Also diese 1 wäre dann eben 2 hoch 0. Ja, und so ist das gemeint. Also es ist nicht gemeint mit 2 -1 mal Mit sich selber multiplizieren.

Ja, das kann man irgendwie nicht verstehen. Wir können jetzt diese Reihe übrigens noch weiterführen. Also, ich kann jetzt wieder durch zwei teilen und dann kommt raus ein/b, ne? 1 ge 2 ist 1/. Und wenn wir jetzt noch mal auf die Folie von eben kommen, gucken, dann steht da, dass a hoch -1 das gleiche ist wie 1 dur a. Also, ups, falsche Richtung. Das die 2 ist unser a, also 1 ge a ist das gleiche wie A hoch -1. Also können wir hier schreiben, das ist 2 hoch -1. Und 2 hoch -1 wäre jetzt wirklich eine

Potenz mit dem ganzzahl Exponenten. -1 ist eine ganze Zahl, die 0 übrigens auch und keine natürliche Zahl und auch die können wir eben auf diese Art und Weise hinschreiben. Und das geht auch so weiter. Also ich kann noch mal durch zwei teilen und wenn ich ein halb durch 2 teile ist Es das gleiche wie wenn ich ich mache das mal Nebenrechnung 1/ ge 2. Wie machen wir das noch mal? Wir multiplizieren mit dem Kehrwert, also ein/b und jetzt können wir Zähler und Nenner miteinander multiplizieren, dann kommt ein Viertel raus. Also hier steht jetzt ein und

ein ist aber das gleiche wie 1 dur 2 zum Quadrat. Na, das muss ich ein bisschen schöner schreiben, damit man Nicht denkt, da steht 22, also 2 zum Quadrat und das wäre dann 2 hoch -2. Also, wenn ihr im Exponenten ein Minuszeichen seht, dann heißt es einfach, ihr müsst eins durch diese Potenz teilen, wo kein Minuszeichen mehr steht. Ja, 2 hoch -2 ist das gleiche wie 1 durch 2 hoch 2. Und das war das, was ganz unten auf der Folie steht. Also hier an der Stelle a hoch - n. Wenn ihr Minuszeichen seht, Dann müsst

ihr durch diese Potenz teilen. Also eins durch die Potenz und in der Potenz steht dann noch a hoch n ohne das Minuszeichen. So und jetzt sind wir soweit, dass wir eine Pause machen können. Ich würde um 11 Uhr weitermachen. Schnappt ein bisschen frische Luft und dann machen wir noch eine dreiviertelstunde. Bis dann. Ciao. So, hi, schön, dass ihr wieder da seid. Ich würde jetzt weitermachen Mit dem, wo wir eben mit angefangen haben. Danke schön. Und zwar geht es jetzt auf den folgenden Folien darum, welche Rechenoperationen dürfen wir mit diesen Potenzen machen und wie funktioniert das

Ganze? Also, wenn wir jetzt zwei Potenzen haben, wie können wir die miteinander verknüpfen? Diese sogenannten Potenzgesetze sind also Rechenregeln. Und diese Rechenregeln gelten nicht nur für Potenzen mit ganzzahl Exponenten, sondern auch mit gebrochenen Exponenten z.B., wo dann im Exponenten Bruch steht. Das heißt, die Exponenten, die hier m und m sein, das müssen nicht unbedingt ganze Zahlen sein, ne? Das können allgemeine Zahlen sein, aber wir haben solche komplizierten Potenzen noch gar nicht definiert. Das kommt gleich erst. Aber trotzdem kann ich vorweg schon sagen, die Rechenregeln, die hier für Natürliche und ganzige Exponenten gelten, die übertragen sich

dann auch auf die anderen Potenzen. Wie sehen diese diese Rechenregeln aus? Also, wir fangen mit der ersten an. Da haben wir zwei Potenzen und wir sehen, dass die beide die gleiche Basis haben. Ja, unten steht bei beiden die gleiche Zahl, die Exponenten unterscheiden sich aber und wir wollen die einfach miteinander multiplizieren. Dann steht hier: "Hey, wir können Einfach die Exponenten addieren." Und ich würde das gerne kurz begründen. Warum ist das so? Dass die Begründung ist nämlich relativ anschaulich. Also, wir haben hier A hoch, ich muss kurz gucken, was links stand. A hoch m mal a

hoch n. Und dazu schreibe ich die Potenzen jetzt einfach mal aus. Also so wie sie definiert waren. Wir haben dann a mal a und das insgesamt so oft, dass m mal das A hier steht. Also das ist m mal haben wir das A da stehen. Das Malzeichen kommt dann m - 1 mal vor. Und das multiplizieren wir mit a mal a und zwar so oft mit a, dass hier n mal das A steht. Und jetzt haben wir hier also ein Produkt oder ganz viele Produkte und wir müssen einfach zählen, wie oft kommt das A vor.

Das A kommt m mal vor und n mal, also insgesamt m + n mal, also insgesamt m + n mal, also ist das das gleiche wie a hoch m + n. Also wir merken uns, wenn Wir zwei Potenzen miteinander multiplizieren, die beide die gleiche Basis haben, dann können wir die Exponenten einfach addieren. Das war die erste Rechtenregel. Jetzt nehmen wir hier kein Produkt, sondern ein Bruch. Im Zähler steht a hoch m und im Nenner steht a hoch n. Und um das zu begründen, können wir einfach uns überlegen, wie war das noch mal? Also wie wie

ist das, wenn wir zwei Sachen durcheinander teilen? Und ich Schreibe das noch mal ausführlich auf. Also, wir haben hier a hoch m geil durch a hoch n. Das ist doch das gleiche wie wenn wir schreiben a hoch m* 1 dur a hoch n. Na, wenn wir jetzt nämlich den Bruch, der auf der rechten Seite steht, mit einer Zahl multiplizieren, dann müssten wir diese Zahl einfach nur in den Zähler rein multiplizieren. Also, dann würden wir von rechts nach links wandern. Ich mache einmal kurz den Bruchstrich Schöner. So. Und dann können wir uns noch dran erinnern, dass

1 dur a hoch n das gleiche ist. Das a hoch m schreibe ich ab. Das ist das gleiche wie a hoch - n. Und jetzt können wir die Rechenregel von oben drüber benutzen. Also die Rechenregel von oben drüber sagt, wenn wir zwei Potenzen miteinander multiplizieren und die beiden haben die gleiche Basis, dann können wir einfach die Exponenten zusammenzählen. Also das Ist das gleiche wie a hoch m + - n. Und wenn ich die ganzen Klammern dann weglasse, dann ist das einfach a hoch m - n. Also beim Produkt muss ich die beiden Exponenten zusammenzählen. Beim

Kozienten muss ich die Differenz der Exponenten bilden. Das war schon die zweite Rechenregel. Bei der dritten Rechenregel bilden wir von einer Potenz noch mal die Potenz. Also, wir rechnen erst a hoch m aus. Das sind Klammern und dann machen wir, na, Jetzt habe ich was falsch gemacht. Da muss ich wieder ein n hinschreiben. Wir rechnen zuerst die Klammer aus. A hoch m und das rechnen wir dann noch mal hoch n. Und die Rechenregel sagt, okay, wenn wir so eine Potenz wiederholen, dann müssen wir einfach die beiden Exponenten miteinander multiplizieren. Und das schreibe ich auch mal

ausführlich auf. Also a hoch m und das ganze hoch n. Wie können wir das aufschreiben? Ich Schreibe erstmal a hoch m auf. Das ist a mal a mal insgesamt so oft, dass m mal das A hier steht. Also das hier ist das A hoch m. Jetzt soll ich das hoch n rechnen. Das heißt, jetzt muss ich diesen Ausdruck so oft miteinander multiplizieren, dass dieser Ausdruck n mal da steht. Und ich glaube, ich kann das auch so machen, mit Steuerung C einmal Und dann kommen hier Pünktchen und dann kommt hier noch ein das Ente mal. Also

hier kommt ein Mahlzeichen, hier kommt ein Mahlzeichen, hier kommt ein malzeichen und dazwischen Punktchen. Also insgesamt multipliziere ich das so oft miteinander, dass hier n mal dieses a hoch m mit sich selbst multipliziert wird. Na, ich sollte sagen n - 1 mal das a hoch m steht n mal da. Und jetzt können wir wieder hingehen und uns Überlegen, wie oft steht jetzt das a da? Ja, das steht n mal m mal da. Also das ist das gleiche wie A hoch m* n. Also das wäre die Rechenregel, die wir brauchen, wenn wir eine Potenz mehrfach machen

wollen. Und diese Rechenregel, die benutzen wir nachher, wenn es darum geht, gebrochene Exponenten zu motivieren. Das war die dritte. Jetzt kommt das erste Mal eine Rechenregel, wo wir zwei Potenzen haben, die eine unterschiedliche Basis haben. Also hier sehen wir einmal ein A unten stehen und einmal ein B unten stehen. Unten steht immer die Basis, aber der Exponent ist der gleiche. Und diese Rechenregel sagt, dass wir das Produkt von den Potenzen ausrechnen können, indem wir einfach die Basis erstmal mit sich äh die beiden Basen miteinander multiplizieren und dann hoch n rechnen. Auch das können wir begründen.

Also a hoch n mal b hoch n. Ich schreibe erstmal das A hoch n aus. Das ist a mal a so oft, dass da n mal das A steht. Und das ganze dann mal b mal b und wieder muss das b N mal da stehen. Und jetzt dürfen wir das Gesetz benutzen bei Multiplikation, dass es uns erlaubt, die Faktoren zu vertauschen. Ja, also bei Multiplikation ist die Reihenfolge der Faktoren egal. Wir können die einfach tauschen. Das heißt, wir können Es auch so hinschreiben. Das ist a* b* mal a* b und so weiter und so fort.

A* b. Das heißt, dieses A* B steht jetzt insgesamt n mal da. Und das ist das gleiche wie A* b hoch n. Das war die vorletzte Rechenregel. Und jetzt kommt die gleiche Rechenregel noch mal bloß mit geteilt. Da steht jetzt a hoch n geteilt durch b hoch n. Und hier können wir wieder sagen, ich schreibe das jetzt mal hier hin. A hoch n ge b hoch n ist das gleiche wie A hoch n mal 1 dur b hoch n oder ich soll es glaube ich nicht. Mach's doch anders. Also so kann man es machen, aber

ich mach's doch anders. Ich mach's ausführlich. Also im Zähler steht a mal a mal a insgesamt n mal und im Nenner steht b* b mal b auch insgesamt n mal. Und jetzt können wir aus diesem einen Bruch ganz viele Brüche machen. Wir können sagen, das ist das gleiche wie A B* mal a dur b und so weiter und so fort mal a dur b. Den gibt es n mal diesen Bruch. Also ist das das gleiche wie A durch b hoch n. Und damit haben wir alle Rechenregeln durch. Wann immer ihr das Gefühl habt, ey, ich

weiß die Rechenregeln nicht mehr so genau, dann versucht es aufzuschreiben, ausführlich aufzuschreiben das Problem mit kleinen Zahlen und rauszufinden, ob das vielleicht hinhaut, die Rechnregel, Die ihr noch im Kopf habt oder ob es dann Widerspruch gibt. Und wenn ihr wirklich nicht drauf kommt, dann könnt ihr immer auf diese Folie zurückgehen oder im Buch auf die entsprechende Stelle gehen und die noch mal kompakt hier sehen. Jetzt kommen wir zu dem Fall gebrochene Exponenten. Also im Exponenten steht eine Bruchzahl und da kann man sich überlegen, wie kann ich das jetzt interpretieren? Ja, was bedeutet es, Wenn da

steht k hoch 1/? Also, ein Beispiel schreibe ich mal dazu, wo wir das brauchen. Eine Produktionsfunktion. Das greift jetzt schon ziemlich weit vor. Wir haben ja noch nicht mal mehr definiert, was eine Funktion ist, aber ich schreib es einfach mal hin. Die Funktion soll f heißen und die hängt ab von zwei Variablen, die heißen K und L. Die stehen für Kapital und Arbeit. Arbeit im Englischen Labor. Kapital Schreibt man im Englischen mit C, aber das C ist schon für Consumption Verbrauch. Deswegen hat man hier das K benutzt. Und die könnte z.B. so lauten, dass es

k hoch 1/ mal l hoch 3/ [Musik] klassische Produktionsfunktion. Da sind die Exponenten eben Anteile, die sich in der Regel auf ein addieren. Also da könnte auch ein Drittel und 2 Drittel stehen oder irgendwelche anderen Anteile, die sich auf ein addieren. Ja, Und jetzt die Frage, hey, wie kann ich hoch ein Viertel interpretieren? Ja, k hoch ein heißt ja irgendwie, dass das K ein vier mal vorkommen muss. Ist natürlich Quatsch. So kann man sich das nicht mehr vorstellen. Wir müssen uns das überlegen, indem wir die Potenzgesetze von eben äh merken, ne? Wir indem wir z.B.

dieses Gesetz hier benutzen. Und wir brauchen noch mehr. Wir brauchen noch die Ente Wurzel dafür. Und für die Entewurzel brauchen wir erstmal die normale Wurzel. Deswegen fange ich jetzt erstmal mit der normalen Wurzel an, die sogenannte Quadratwurzel. Was ist das? Also, wir haben hier eine Zahl A. Das ist der Ausdruck, der unter der Wurzel steht und den nennen wir auch den Radikanten. Ja, wer möchte wissen möchte, warum das so ist, der kann mal nachschlagen, was Wurzel auf Latein heißt. Und wir dürfen keine negativen Zahlen unter die Wurzel runterschreiben. Deswegen muss das a größer gleich 0

sein. Also, es geht theoretisch schon, dann kommt man aber in die imaginären oder in die komplexen Zahlen hinein. Das benutzt man in der Physik häufig. In den Wirtschaftswissenschaften brauchen wir das eigentlich nicht. Ja, deswegen nehmen wir einfach an, unter der Wurzel sollen keine negativen Zahlen stehen. So, wir bezeichnen jetzt eine andere Zahl B, die ebenfalls nicht negativ ist, Deren Quadrat a ist als Quadratwurzel aus A. Also, wenn ich b quadriere, dann soll a rauskommen. Also, wenn meine mein A die 4 ist, dann suche ich eine Zahl, so dass 4 rauskommt, wenn ich diese Zahl mit

sich selber multipliziere. Z.B. die 2. Ja, B wäre dann äh 2 wäre dann die Quadratwurzel aus A. Wir wissen natürlich auch -2* -2 ergibt 4. Ja, das heißt, man könnte auch sagen, Die -2 ist eine Quadratwurzel aus von der 4, aber wir sprechen hier immer von dem von dem positiven Teil. Also eigentlich gibt es zwei Quadratwurzeln, die +2 und die -2 von der 4. Aber wir meinen mit Quadratzahlen äh Quadratwurzeln immer nur den positiven Teil und nicht den negativen Teil. So, und jetzt möchten wir mit dieser Wurzel ein bisschen arbeiten und wir wollen zeigen, dass

diese Wurzel eigentlich nichts anderes als eine Potenz ist. Dazu definieren wir die Entewurzel. Die Idee der Entenwurzel ist eigentlich genauso wie bei der Quadratwurzel, bloß, dass wir diese Entewurzel nicht nur quadrieren, also nicht nur hoch 2 rechnen, sondern hoch n rechnen. Also die dritte Wurzel von a ist eine Zahl, für die gilt, dass wenn wir sie zweimal mit sich selber multiplizieren, so dass sie dreimal vorkommt, dass dann das A rauskommt. Dafür brauchen wir ein Beispiel. Das seht ihr hier unten. Also, da ist wieder dieses Wurzelzeichen, wie das schon von der Quadratwurzel kennt, aber jetzt steht

über diesem Wurzelzeichen noch eine drei. Das bedeutet, das ist die dritte Wurzel. Wir suchen jetzt eine Zahl für die gilt, wenn ich diese Zahl mal diese Zahl mal diese Zahl rechne, dass dann das rauskommt, was unter der dritten Wurzel steht, nämlich die 8. Hat jemand eine Idee, welche Zahl das sein könnte? Da sehe ich schon direkt zwei Hände. Vielleicht mal eine Reihe dahinter. Bitteschön. Ja. Mhm. die zwei. Mhm. Genau. Ja, vielen Dank für diese Begründung. Also, die Antwort ist absolut korrekt. Die dritte Wurzel aus 8 ist die 2. Und als Begründung rechne ich jetzt einfach

mal aus. 2* 2* 2. Ja, das wäre ja 2 hoch 3. Wenn ich das ausrechne, kann ich 2 x 4 rechnen, dann kommt 8 raus. Also ist das richtig? So funktioniert die dritte Wurzel und nach diesem Prinzip würde auch die vierte Wurzel oder die Entewurzel funktionieren. Und das ist ein bisschen ungewohnt, deswegen müssen wir das ein bisschen üben. Da habe ich glaube ich auch paar Beispiele dabei. Lasst uns mal kurz überlegen, welche Rechenregeln für solche Entenwurzeln Gelten. Also hier habe ich die Entewurzel von dem Produkt a mal B. Und die Rechenwel Regel lautet, ich kann

erstmal die Entewurzel von Ausrechnen, das sehen wir hier, und erstmal die Entewurzel von B ausrechnen und dann das Produkt davon ausrechnen. Dann kommt das gleiche raus. Ja, das gilt für alle Zahlen A und B, die nicht negativ. Das gleiche für Brüche. Also, wenn ich jetzt die Entewurzel von dem Bruch Ausrechnen möchte, dann kann ich erstmal die Entewurzel von dem Zähler ausrechnen und die Entewurzel von dem Nenner. und dann kann ich danach den Bruch ausrechnen. Dann kommt auch das gleiche raus. Und mit diesen beiden Rechenregeln können wir die Beispiele, die hier unten stehen, etwas einfacher ausrechnen.

Also, wir haben hier die dritte Wurzel aus dem Produkt von 27 x 125. Jetzt mit der Rechtenregel, ich schreibe Jetzt erstmal die Rechtenregel hin, aber ihr müsst dann ausrechnen, was rauskommt. Wäre das die dritte Wurzel von 27 mal die dritte Wurzel von 125. Und das fällt mir persönlich leichter auszurechnen, auch wenn es immer noch schwierig ist. Aber dann komme ich vielleicht zu einem Ergebnis. So, und jetzt seid ihr gefragt, hat jemand eine Idee, was die dritte Wurzel von 27 ist? So, jetzt du in der Reihe davor bitte. Da kommt als Vorschlag die drei raus. Und

das überprüfe ich jetzt mal. Ja, wie überprüfe ich das? Ich nehme die 3 und rechne hoch diese Zahl, die hier über der Wurzel drüber steht. Also schon wieder 3. 3 hoch 3, da kommt raus 3* 3* 3 und das ergibt 3 x 9, also 27. Das passt super. Wie sieht das aus mit der 125 jetzt dahinter? Bitteschön. Ja, gern. Die fünf, die probieren wir auch mal aus. Also, die fünf, also wieder der Test. Ich nehme die fünf und rechne hoch. Die Zahl, die über der Wurzel steht. 5 hoch 3. Das wäre also 5* 5* 5.

Ich nehme einfach die ersten beiden fünfen, das ergibt 25 und 25* 5 ist das gleiche wie 25 x 4 + 25. 25 x 4= 100, also 125. Perfekt, das stimmt. Hoppla. Also kann ich schon mal sagen, das ist das gleiche wie 3* 5 und das kann man wieder ganz gut ausrechnen. Das ergibt also 15. Okay, also ihr merkt schon, das ist schon ein bisschen anspruchsvoller. Jetzt wird's aber noch schwieriger. Einerseits, weil wir nicht nur die dritte, sondern die vierte Wurzel nehmen wollen und andererseits, weil wir ein Kozienten ausrechnen und da kommen aber wieder ein paar

Finger. Ich gehe mal kurz auf die andere Seite vom Hörsal. War da oben ein Handzeichen? Ja, bitttechön. Wow, direktes Ergebnis. Ich schreib das Mal hier ganz weit nach rechts. Zwei Drittel. Kannst du mir erklären, wie das ging? Halt, ich kann nicht ganz so schnell. Die die vierte Wurzel von 16 schreibe ich erstmal auf und da sagst du schon mal das ist gleich zwei. Okay, schreibe ich mal hin. Okay, cool. Ähm, also du hast, ich versuch's mal zusammenzufassen. Das ist die drei. Dann kann ich da hinten das auch wieder weglöschen. Und deine Argumentation schreibe ich jetzt

mal hier oben hin. Also, die 81 hast du zuerst mal gesagt, das ist das gleiche wie 9 x 9 und dann kannst du die 9 wieder aufteilen in 3 x 3. Also das ist 3* 3* 3* 3 und das ist dann also 3 hoch 4. Ja, und da wir hier die vierte Wurzel uns anschauen, muss für das Ergebnis eben hoch 4 ausgerechnet werden. 3 hoch 4 ist 81, passt. Also ist das das Richtige. An der Stelle würde ich gerne einen kleinen Trick auf einen kleinen Trick hinweisen. Also, die Wurzel von 81 ist die 9. Und

jetzt müssen wir quasi die neun noch mal aufteilen. Das heißt, wir müssen davon noch mal die Wurzel nehmen. Also die Wurzel von der Wurzel von 81 ist die 3. Das heißt, wir können sagen, dass die vierte Wurzel von der 81 das gleiche ist wie die Wurzel von der Wurzel von 81. Ja, die vierte Wurzel bedeutet, dass wir einfach die Wurzel Zweimal nehmen. Ja, das klappt leider nicht bei der dritten Wurzel, aber bei der vierten Wurzel klappt das. Okay, wir müssen noch überprüfen, ob die vierte Wurzel von 16 die 2 ergibt. Schreibe ich auch mal hier

irgendwo hin. Also 2* 2* 2* 2 ist das gleiche wie 4 x 4 und das ist gleich 16. Also, wenn wir wieder das ausnutzen, die Quadratwurzel von der 16 ist die 4 und davon noch mal die Wurzel ist die 2, dann haben wir Auch die vierte Wurzel von der 16 und somit kommt zwei drittel raus. Perfekt. Also, wenn ihr äh das gut könnt, dann seid ihr wirklich gut vorbereitet, was die Rechenregeln für Wurzeln angeht. Es ist hier noch mal ein Hinweis. Es gibt einen Rechenfehler, der häufig gemacht wird. Wenn ich jetzt die entweder nur die

normale Quadratwurzel nehmen oder irgendeine Entewurzel von der Summe, dann darf ich die Wurzel nicht einfach in die Summe reinziehen. Also die Wurzel von a + B ist nicht das gleiche wie die Wurzel von a + die Wurzel von B. Ob das jetzt die normale Wurzel ist oder die dritte oder die vierte Wurzel, ist eigentlich egal. Es gilt für keine der Wurzeln. Und wenn ihr noch mal rausfinden wollt, ob das äh wirklich nicht klappt, dann setzt einfach für A und B einfache Zahlen ein. Ja, und dann könnt ihr das quasi per Hand ausrechnen und dann seht

ihr, dass unterschiedliche Sachen Rauskommen. So, jetzt habe ich vorhin gesagt, wir wollen diese Potenzen mit gebrochenen Exponenten irgendwie erklären, darstellen und da brau dafür brauchen wir die Ente Wurzel und da wollen wir mal sehen, warum, denn die Wurzel ist nichts anderes als eine Potenz. Also die Quadratwurzel oder wir könnten auch sagen die zweite Wurzel ist das gleiche wie a hoch ein/ oder die Entewurzel ist das gleiche wie a hoch 1 dur n Und damit haben wir ein Bruch im Exponenten. Aber das hier sind nur ganz besondere Brüche. Also da steht ja im Zähler immer die

ein hier auch und wir wollen allgemeine Brüche auch darstellen. Also a hoch 3/4 z.B. ne? Was soll das sein? A hoch 3/4 kriegen wir, indem wir jetzt diese Rechenregeln für Potenzen benutzen. Also, stellt ihr euch vor, hier steht 3/4 oder allgemein m durch dur n, dann können wir eben mit den Rechenregeln dieses m durch dur n aufteilen, sass sich ein Produkt ergibt mit den Faktoren 1 dur n mal m. Und dann gab es diese Rechenregel, dass wenn ein Produkt im Exponenten steht, dann ist es das gleiche wie wenn wir die Potenz mehrfach anwenden. Also das

hier wäre a hoch 1 dur n hoch m und a hoch 1 dur n ist wieder die nte Wurzel von a. Also a hoch m dur n ist das gleiche wie die Wurzel von a und das ganze hoch n. Ja, wenn ich der wenn ich mir das Anschaue mit dem Beispiel von vorhin k hoch 1/, was soll das sein? Dann können wir erstmal sagen, das ist die vierte Wurzel von K. Das ist einfach. Aber dann war da noch ein zweites Beispiel auf dieser Folie. P hoch -1,5. Ja, das ist eine Kommazahl und diese Kommazahl können

wir auch als Bruch darstellen. Das wäre dann p hoch minus. Ja, und was ist das für ein Bruch? 1, Ja, bitteschön. Ja, oder andersrum 3/ halbe, glaube ich, Ne? Genau. Also -3/ halbe. So. So und wenn ich das jetzt mit den Rechenregeln, die wir bisher haben, darstellen möchte, dann sehe ich erstmal das Minuszeichen. Das bedeutet, ich muss davon den Kehrwert bilden. Das ist dann p hoch 3/be. Okay, jetzt muss ich weitergehen. Das ist 1 durch p. Und jetzt kann ich dieses drei so aufteilen, dass ich ein Produkt bekomme. Z.B. 3. Und jetzt kann ich die

äh Rechenregeln benutzen, die hier stehen, ne? Also, die wir auch schon mal benutzt haben. Wir können dann aus dem Produkt das Produkt entzerren und daraus zwei Potenzen machen. Das wäre 1 dur p hoch 1/2 und das ganze hoch 3. Und das ist wiederum gleiche wie 1 durch die Wurzel von P. Ja, P hoch ein/ ist die Wurzel und das ganze hoch 3. Wenn man möchte, kann man jetzt sogar Noch weitergehen. Dann kann man sagen, das ist 1 durch die Wurzel von P mal die Wurzel von P mal die Wurzel von P. Und diese beiden Wurzeln,

die kürzen sich sozusagen weg. Da bleibt nur das P übrig. Und dann hat man dann ganz zum Schluss diese Form da stehen. 1 dur p mal wzelp. Und das kann man sich irgendwie ein bisschen besser vorstellen, was das überhaupt sein soll, als dieses komische p hoch -1,5. Die Rechenregeln, die wir aber Hergeleitet haben für Potenzen, die gelten ganz normal auch für diesen Ausdruck, ne? Also, wenn wir zwei Potenzen miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis haben, dann können wir die Exponenten einfach addieren. Das können wir mit der 1,5 genauso machen wie mit allen anderen Exponenten auch.

Okay, nächstes Thema. Ungleichung. Jetzt wird's wieder ein bisschen einfacher. Wir nehmen zwei Zahlen. Das können natürliche ganze Zahlen sein, Brüche Oder reellen Zahlen. Stellen wir uns einfach mal vor, das wären reelle Zahlen, dann haben wir alle Zahlen mit drin. Und von diesen beiden Zahlen A und B, können wir die Differenz bilden. Also minus rechnen. Ja, erstmal eine Anmerkung. Bitteschön. Ja, so. Wir rechnen, also wir nehmen uns zwei reelle Zahlen, A und B, und ziehen das B von dem A, dann kriegen wir eine Differenz und diese Differenz kann Entweder positiv sein, sie kann gleich 0 sein

oder sie kann negativ sein. Wenn die Differenz positiv ist, dann folgt daraus, dass das A oder wir sagen dann, dass das A größer ist als das B. Wenn die Differenz negativ ist, dann sagen wir, dass das A kleiner ist als B. Und wenn die Differenz gleich 0 ist, dann sind beide Zahlen gleich groß. Ja, so sind diese drei Symbole sozusagen definiert. Größer, gleich und kleiner. Jetzt seht ihr da drunter aber noch so Eine Kombination von den Symbolen. Das hier ist größer gleich und das hier ist kleiner gleich. Die kleiner gleich oder größer gleichungleichung nennen wir

auch schwache Ungleichung. Und die andere, wo nur das größer oder kleiner steht, nennen wir die strikte Ungleichung. Also größer gleich bedeutet strikt größer oder gleich. Und in diesem Sinne wäre das ein exklusives oder weil beides gleichzeitig nicht gelten kann. Es kann nicht strickgrößer und gleich sein, aber Eins von beiden kann durchaus sein. Bei a größer B. In den allermeisten Fällen ist es nicht so wichtig, ob da jetzt ein stricktgrößer oder ein schwachgrößer drin steht. Und deswegen habe ich mir angewöhnt einfach immer größer oder kleiner zu sagen. Und wenn es wichtig ist, auf diesen Unterschied zu

achten, dann betone ich es. Ja, dann sage ich strickgrößer oder schwachgrößer. Wie verändern sich diese Ungleichungen, wenn wir jetzt das noch kombinieren mit Anderen Sachen? Ja, was für Eigenschaften haben diese Ungleichung? Die erste, für die erste Eigenschaft brauchen wir jetzt drei Zahlen, A, B und C. Und da steht jetzt, wenn das A größer als B ist, das B größer als C ist, dann muss notwendig auch A größer als C sein. Und diese Eigenschaft, die nennen wir auch Transitivität. Schreibe ich mal dazu. Und die ist für alle Zahlen gegeben. Ja, Egal was für Zahlen ihr benutzt,

ob das natürliche Zahlen, reelle Zahlen sind, das gilt immer. Das muss aber nicht in allen Kontexten gelten. Und ich möchte euch ein Gegenbeispiel geben, wo es nicht gilt. Denkt dabei an Steinschere Papier. Ja, Stein gewinnt gegen Schere. Deswegen kann man in gewisser Hinsicht sagen, Stein ist größer als Schere. Die Schere gewinnt gegen Papier. Schere ist also größer als Papier und das Papier gewinnt gegen den Stein. Das heißt, wenn man hier für an Stelle von Gewinn sagt ist größer, dann würde diese Eigenschaft der Transitivität nicht gelten. Aber Steinschere und Papier sind ja auch keine Zahlen, ne?

Von daher ist ja auch in Ordnung. Aber trotzdem haben wir wirtschaftswissenschaftliche Anwendung, wo das eben schiefgehen kann. Ja, wir fordern diese Transitivität ein, vor allem bei Präferenzordnung von Konsumentinnen. Ja, die K die Leute, die Was kaufen, die kaufen sich ein Güterbündel und um das zu tun, müssen sie wissen, das eine Güterbündel finde ich besser als das andere. Und üblicherweise ist es so, dass also diese Präferenzordnung kann man für Güterbündel benutzen, sie kann man aber auch z.B. bei politischen Präferenzen benutzen. Ich finde die eine Partei besser als die andere. So und wenn man jetzt annimmt, dass

alle Leute solche politischen Präferenzen Haben, dann kann man sich überlegen, wie kann ich diese Präferenzen aggregieren? Ja, und wir haben gestern eine Kommunalwahl gehabt, wo wir so eine Aggregation durchgeführt haben. Und es gibt wichtige Resultate, die sagen: "Hey, wenn wir das auf eine ganz bestimmte Art und Weise machen, dann kommt eine soziale Präferenzordnung raus, die aber leider nicht mehr transitiv ist. Und das ja irgendwie doof. Ja, man würde sich eigentlich Schon gerne wünschen, dass eine Präferenzordnung, die für die Gesellschaft bestimmt, was getan werden soll, dass die diese Eigenschaft Transitivität hat. Also in den allermeisten Fällen

kommt Transitivität gar nicht mehr im Vordergrund vor, weil sie automatisch erfüllt ist, aber es gibt eben spezielle Situationen, wo man da genau drauf achten muss, dass das auch erfüllt ist. Kommen wir zum nächsten Spiegelstrich. Wenn wir wissen, Dass A größer als B ist und wenn wir wissen, dass C positiv ist, dann können wir das C auf beiden Seiten der Ungleichung A größer B multiplizieren. Ja, dann steht auf der linken Seite A* C, auf der rechten Seite steht b* C und die Ungleichung hat sich nicht verändert. Alles prima. Was passiert aber, wenn C negativ ist? Wenn

C negativ ist, wenn wir also z.B. auf beiden Seiten der Ungleichung mit -1 multiplizieren, dann dreht sich die Ungleichung einfach um und das müssen wir hin und wieder beachten. Wenn wir das ignorieren, dann wird aus einem Maximum schnell mal ein Minimum und das wäre natürlich doof. Der die letzte Eigenschaft ist, wenn wir zwei Ungleichungen haben, A ist größer als B und C ist größer als D und diese Ungleichungen einfach addieren, dann gelten die Ungleichungen auch für die Summen, also die Summen der linken Seiten und die Summen der rechten Seiten. Dann gilt A + B A

+ C ist größer als b + D. Und diese Eigenschaften, die werden wir hin und wieder mal benutzen. Wofür brauchen wir Ungleichungen eigentlich? Ungleichungen sind meistens dafür da, um irgendwelche Restriktionen darzustellen. Also, ich habe ein bestimmtes Personal in meiner Firma, die haben eine bestimmte Arbeitsstunden und ich kann die das halt nicht überreizen, zumindest nicht auf Dauer. Ja, ich weiß, okay, den Arbeitseinsatz, den ich plane für meine Firma, der darf eine bestimmte Höchstgrenze nicht überschreiten langfristig oder wenn wir an Maschinen denken oder an Budget, ja, ich gehe in Supermarkt, kauf was ein, ich kann nicht mehr

ausgeben, als ich Geld im Geldbeutel habe oder auf der Geldkarte drauf habe. Und solche Restriktionen werden durch Ungleichungen eben dargestellt. Und wir wollen in der Vorlesung im Hauptkurs Maximal und minima finden unter Nebenbedingungen, also unter solchen Ungleichungen. Ja, wenn ich jetzt ein Produktionsplan erstelle, dann möchte ich den optimalen Produktionsplan finden unter der Bedingung, dass ich eben nicht zu viele Leute ähm einsetzen kann dabei. Mit den Ungleichungen können wir auch Intervalle definieren. Die sind hier auf der Folie auf den reellen Zahlen definiert, also auf dem Zahlenstrang der reellen Zahlen. Wir sehen auch gleich Noch ein Bild

dazu. Und wir nehmen wieder zwei Zahlen A und B, wobei wir annehmen, dass die linke Zahl, das A, wirklich strick kleiner ist als B. Und alle Zahlen, die dazwischen liegen, die bilden jetzt ein Intervall. Und wir sollten genauer sagen, ein beschränktes Intervall. Beschränkt ist das Intervall, wenn keine der beiden Intervallgrenzen unendlich oder minus unendlich ist. Und jetzt kommt es drauf an, ob die Beiden Randzahlen mit Teil des Intervalles sind oder nicht. Das ist manchmal sehr wichtig. Wenn sie nicht Teil des Intervalls sind, dann sprechen wir von einem offenen Intervall und das wird dargestellt, dass wir

runde Klammern machen. Also hier seht ihr A B mit runden Klammern drumherum. bedeutet A und B sind nicht Teil des Intervalls. Also die Zahlen, die in dem Intervall stehen, die heißen hier X, sind strikt größer als A und strikt kleiner als B. Umgekehrt, wenn A und B mit im Intervall drin sind, dann haben wir hier schwache Ungleichungen. Also X darf auch gleich a sein oder x darf auch gleich b sein. Und das kennzeichnen wir mit eckigen Klammern. Und manchmal ist so, dass eine bei der beiden Intervallgrenzen mit drin ist und das andere nicht. Und dann

sprechen wir von einem halboffenen Intervall. Das sind die beschränkten Intervalle und hier sind ein paar Beispiele, wie wir Das grafisch darstellen. Also hier seht ihr die äh den Zahlenstrahl für die reellen Zahlen. Ich habe hier das Intervall von -4 bis -2 und hier sehen wir eckige Klammern. Das heißt, die -4 und die -2 sind Teil des Intervalles und grafisch stellen wir das so da, dass wir einen Punkt dahinzeichnen. Ja, wenn ein Punkt da steht, dann wissen wir, okay, die -4 bzw. die -2 sind dabei. Jetzt springe ich direkt mal hier nach rechts. Das Intervall von

+ 2 bis + 4, aber die 2 und die 4 sind nicht mit drin. Runde Klammern und das stellen wir durch so Pfeilspitzen da. Ja, alle Zahlen, die bis zur Fallspitze gehen, die sind noch mit drin, aber die der Endpunkt von der Spitze, der ist sozusagen nicht mehr mit drin. Und hier haben wir ein halboffenes Intervall. Die -1 ist mit drin, das ist ein Punkt. Und die 1 ist nicht mit drin, da ist die Fallspitze. Und dann gibt es noch die unbeschränkten Intervalle. Bei den unbeschränkten Intervallen ist mindestens eine Intervallgrenze unendlich oder minus unendlich. Kleine

Anmerkung. Also das hier ist das Symbol für unendlich mit Minuszeichen minus unendlich. Das sind einfach nur Konzepte unendlich und minusendlich. sind keine Zahlen. Das heißt, wir können die Rechenregeln, die wir bisher gelernt haben, plus minus mal geteilt, nicht für unendlich anwenden. Ja, die sind dafür einfach nicht definiert. Aber trotzdem können wir die Konzepte in so ein Intervall reinschreiben. Das hier, dieses Minus unendlich bis plus unendlich, das hier wären einfach die reellen Zahlen. Ja, da sind alle Zahlen drin. Die Intervallgrenzen minus unendlich und plus unendlich, die sind nicht Teil des Intervalles. Deswegen seht ihr immer da,

wo ein unendlich steht, da darf keine eige Klammer stehen. Also, die dürfen niemals Teil des Intervalls sein, weil es eben keine Reellen Zahlen sind. Wir sind schon boah, wir sind viel weiter als ich gedacht habe, aber die Zeit ist auch schon fortgeschritten. Wir sind schon fast am Ende für heute. Jetzt kommt der Absolutbetrag. Der Absolutbetrag ist ein Abstandsmaß. Und zwar können wir den Absolutbetrag von irgendeiner Zahl nehmen und diese Zahl darf auch negativ sein. Und dieser Absolutbetrag sagt uns, wie weit die Zahl vom Ursprung, also hier von der Null entfernt ist. Und zwar machen wir

das so, dass dieser Abstand niemals negativ sein darf. Ja, man kann nicht -2 Einheiten von irgendwas entfernt sein. Das heißt, wenn die Zahl, von der wir den Abstand messen wollen, negativ ist, dann müssen wir diese Zahl mit -1 multiplizieren oder ein Minuszeichen davor schreiben. Das ist hier passiert, ne? Hier sehen wir - bzw. hier - a. Ich würde zuerst mal erklären, wie das hier mit der Geschweiften Klammer funktioniert, ne? So, geschweifte Klammern werden wir auch häufig sehen. Da stehen bei den geschweifen Klammern rechts immer die Fälle, die es gibt. Und im besten Fall hat man

die Fälle so aufgeschrieben, dass die sich genau ergänzen. Also hier ist a größer = 0 und hier ist a strikt kleiner als 0. Genau ergänzen damit meine ich, dass es keine Möglichkeiten gibt, die hier nicht aufgeführt sind und dass es keine Möglichkeiten gibt, die Irgendwie doppelt aufgeführt sind. Also, wenn hier jetzt stehen würde a größer = 0 und hier a kleiner = 0, dann wäre a = 0 doppelt aufgeführt. Das wäre in diesem Fall nicht schlimm, weil 0 und -0 in beiden Fällen gleich ist. Aber im Allgemeinen wollen wir versuchen, das zu vermeiden, wenn wir

so eine Fallunterscheidung haben, dass jeder Fall irgendwo aufgeführt ist und dass kein Fall doppelt aufgeführt ist. So, wie gehen wir jetzt hier vor? Wir gucken Uns das A. Wenn es a größer gleich 0 ist, dann ist der Absolutbetrag von a einfach das, was hier steht, einfach gleich a. Wenn das a kleiner als 0 ist, z.B. -2, dann müssen wir vor die Zahl noch mal minus setzen und -2, da kommt zweimal minus vor, er gibt plus, er wird dann auch zu + 2. So, das ist die diese Fallunterscheidung. Wie schreiben wir den Absolutbetrag auf mit so

zwei senkrechten Strichen? Und wir können aber auch gleichzeitig den Maximum Operator benutzen und der taucht auch in manchen Anwendungen auf. Deswegen würde ich ihn auch gerne erklären. Der Maximumoperator hat hier so geschweifte Klammern. Die geschweiften Klammern heißen, hier gibt es eine Menge von Zahlen und diese Zahlmenge kann riesig groß sein. Da können Hunderte von Zahlen drin stehen. In diesem Fall stehen da nur zwei Zahlen, nämlich die Zahlen A und - A. Und Maximum bedeutet, hey, geh auf die Suche und nimm das die größte der beiden Zahlen. Ja, wenn da fünf Zahlen drin stehen würden, dann

hieß es eben nehmen die Größe der fünf Zahlen. So, wenn a positiv ist, wenn a z.B. = 2 ist, dann ist 2 größer als -2. Also nehme ich die 2. Wenn a negativ ist, also z.B. = -2, dann steht hier -2, hier steht -2, also +2. Und dann nehme ich wieder die zwei. Also dieser Maximum Operator, der macht Eigentlich genau das, was hier in der Fallunterscheidung kompliziert aufgeschrieben ist und man kann das ein bisschen kompakter darstellen. Das ist der Absolutbetrag. Wenn ich den Absolutbetrag definiert habe, also den Abstand von einer Zahl zur 0, dann kann

ich auch den Abstand zwischen zwei Zahlen aufschreiben, indem ich den Absolutbetrag von der Differenz hinschreibe. Also die Differenz von a - B. Wenn die Differenz positiv ist, das ist der Fall, wenn a größer gleich eigentlich sollte ich sagen, wenn die Differenz nicht negativ ist, das ist der Fall, wenn a größer B ist, dann kann ich einfach die Differenz nehmen. Dann ist das der Abstand zwischen A und B. Wenn a aber strick kleiner ist als B, dann ist die Differenz A- B negativ. Und wenn ich dann nach oben gucke, dann muss ich ein Minuszeichen davor schreiben.

Und das Kann ich bei der Differenz erreichen, indem ich einfach A und B vertausche. Also a wird zu - sehen wir hier. Und - b wird zu + b und das heißt, da steht b - a. Wenn a - b negativ ist, dann ist b - a positiv und dann ist das der Abstand zwischen den beiden Zahlen a und b. Und wieder kann ich da analog zu oben den Maximum Operator benutzen, um diesen Abstand zu messen. Also, ich habe hier ein Maß, mit dem ich mir anzeigen kann, ausrechnen kann, wie weit zwei Zahlen Voneinander entfernt

sind. Und natürlich werden wir dieses Maß nicht nur für reelle Zahlen entwickeln, sondern wir möchten das weiterentwickeln, z.B. auch für Vektoren. Ja, also für Tupel von Zahlen. Wofür brauchen wir Vektoren? Wenn ich in den Supermarkt gehe und was einkaufe, habe ich ja eine ganze Liste von Gütern, die ich einkaufe. Da habe ich nicht nur eine Zahl, da habe ich ganz viele Zahlen und das dann Vektor und manchmal möchte ich wissen, wie lang Dieser Vektor ist. Und das heißt, dann werden wir versuchen, dieses Abstandsmaß zu verallgemeinern. Was haben wir heute gemacht? Das seht ihr hier noch

mal auf dieser zusammenfassenden Folie. Wir haben in Kapitel 1 über Implikationen und Äquivalenzen geredet und dann, also das hier ist Kapitel 1 und der Rest gehört dann zu Kapitel 2. Und also wofür habe ich diese diese zusammenfassenden Folien noch mal da? Also, wenn ihr euch im Nachhinein noch mal erinnern möchtet, wie funktioniert was, dann könnt ihr euch immer einfach die letzte Folie anschauen und nachgucken, ob das in dem in der Vorlesung vorkam, dann kommt ihr, glaube ich, schneller zum Ziel. Ich bedanke mich sehr für eure Aufmerksamkeit. Wer möchte, kann morgen wiederkommen. Dann geht's weiter mit

Kapitel 3. Bis dahin. Ciao.