2 MEF1 AULA 2 ETAPA 1

muito bem em continuidade aqueles conceitos que a gente introduziu que eram o alicerce do método né A primeira abordagem nessa abordagem agora nós vamos estabelecer a base para tudo que nós vamos fazer ao longo de todo o desenvolvimento eu diria o seguinte tudo aquilo que nós vamos fazer durante o desenvolvimento do método vai cair nessa conversa de hoje então toda a atenção aqui é fundamental né Vocês vão perceber isso né A única coisa que vai mudar é linguagem mas por exemplo o elementos sinos tem uma uma questão estão assim interessante nós temos alguns procedimentos que

se repetem ao longo de todo o histórico do método e esses procedimentos nós vamos ver agora né as leis que alicerçam esse comportamento o que vai mudar do que nós vamos fazer aqui pro que vem depois é a linguagem matemática que ela vai se elaborando mas desde que a gente entenda fisicamente O que está sendo feito isso não causa nenhum problema absolutamente algum problema então vamos dá uma avançada nisso aqui bom o que que é isso aqui eu diria o seguinte todo Engenheiro faz isso isso que tá aqui talvez eles nem pensem Porque é tão

intuitivo Mas isso faz parte de quem trabalha com projeto de quem trabalha com sistemas de engenharia né é que a gente tá colocando de uma maneira organizada diria que nós estamos eu diria o seguinte todo Engenheiro tem que ter isso no sangue se não tiver tem que fazer uma transfusão de sangue porque isso aqui é a base para qualquer análise de problema que você vai fazer que que tá dizendo aqui vamos vamos falar que pode ser uma coisa muito formal Mas vamos mostrar exemplos práticos aqui inicialmente mais simples e depois nós vamos sofisticando a primeira

coisa que você faz tendo um problema real já que nós falamos do problema real e construir o modelo físico é isso aqui ó idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado Ou seja que tem a solução conhecida depois você monta as equações de Equilíbrio depois você resolve as equações de Equilíbrio e finalmente interpreta os resultados como é que eu posso enxergar isso aqui através de um exemplo simples porque isso aqui tá muito formal né então Imagine a seguinte situação eh de um engenheiro que tem que projetar uma pequena ponte né uma ponte que

vai lá no galpão que se move so ela vai o motorzinho que levanta uma carga e aí o diretor da engenharia chama Engenheiro Sobe aqui olha eu tenho que projetar a minha estrutura para carregar aqui 5 toneladas e cuidado hein tem 200 pessoinha lá embaixo da estrutura por favor bom então a primeira reação que ele tem é idealizar o sistema de uma maneira que ele possa ser analisado Eu já vi algumas pessoas fazendo algumas coisas estranhas começarem a analisar o problema Pelo modelo é muito esquisito isso né ó vamos construir o modelo para ver onde

Na realidade se aplica o meu modelo é o contrário né você tem um problema físico ou seja primeiro eu não lembro acho que 105% dos projetos que eu participei nesses 42 anos de engenharia a gente primeiro desenhou o problema real para depois tomar decisão a respeito do modelo que a gente ia fazer nunca o contrário Então eu vou fazer um desenho aqui isso daqui eu estou desenhando a estrutura real que que é isso aqui vamos supor que eu tenha uma viga né ó aqui é uma viga Isso aqui é uma representação de um perfil I

né Tá certo cujo corte tá aqui ó esse perfil aí que nós estamos desenhando para fazer o nosso projeto El ele vai ser objeto de uma discussão de alguns detalhes que ainda aqui nós não estamos falando mas vamos comear para entender essa ideia eu tenho uma viga aqui essa viga tá apoiada essa viga apoiada eu tenho aqui um motorzinho por exemplo esse motorzinho ele vai carregar né um equipamento por exemplo que aqui eu tenho uma carga por exemplo P aqui 5000 kg coisa do tipo isso aqui é o real eu tenho que idealizar o meu

problema de uma maneira que possa ser analisado Ou seja que tem a solução conhecida o que eu quero dizer com isso é que depois de ter entendido Qual é a minha estrutura nós vamos fazer o modelo obviamente esse modelo é muito simples né É o primeiro modelo que ó Isso aqui é o modelo de uma viga mas a viga não é uma linha não é a isso aqui é a linha do centroide Ó que a gente aprende nos cursos básicos de resistência dos materiais isso aqui é o centro de gravidade né é a linha que

passa pelo centroide da sessão Então juridicamente essa viga é representada por esse cara mas não é uma linha isso aqui tem uma área tem um momento de inércia que será objeto da nossa discussão adiante e aí eu faço esse é o nosso modelo isso aqui é o Real isso aqui é o modelo por que que eu digo idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado que tem a solução conhecida porque no manual da Protec tem isso no livro do Dimon cheng tem isso resolvido esse problema já foi resolvido ou eu tenho condição de

resolvê-lo né olha aqui vamos supor eu tenho uma viga que tem um comprimento aqui l isso daqui vale a isso daqui Vale B então nós acabamos de construir o modelo idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado que tenha solução conhecida isso aqui tem solução eu conheço esse problema tá mas eu conheço mas eu eu não tô com o livro do Timon chenko aqui Ah não então você monta as equações de Equilíbrio como é que eu faço isso Ó eu tenho aqui as reações aqui eu tenho uma reação aqui eu tenho uma reação

de apoio se essa estrutura tá em equilíbrio o somatório das forças que agem sobre ela é igual a zer então eu posso dizer que a reação R1 mais a reação R2 é igual a p eu tenho uma equação e nós temos duas incógnitas é só que nós conhecemos também da estática básica que o somatório dos momentos também é igual a zer se eu pegar aqui p x a igual a R2 xes o l ou seja os momentos em relação a esse ponto o p x a = R2 x l Aqui nós temos duas equações duas

incógnitas esse problema eu consigo resolver Então olha só olha só que interessante idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado isso aqui é meu problema real isso aqui é o nosso modelo esse modelo já é um modelo amplamente conhecido mas eu posso montar as equações de Equilíbrio e agora Finalmente eu vou interpretar os resultados não tem como o cara fazer um problema e já sair colocando no relatório eu tenho que ver a coerência disso essas reações de apoio tem que equilibrar a força peso ou a força que foi aplicada aqui devido ao peso

do equipamento que eu tô levantando e mais o peso do motor eu tenho que checar isso né aliás quem faz relatório é usuário né eu fico muito assustado às vezes que tem algumas pessoas que perguntam assim eu vou comprar um software mas esse software faz relatório pessoas perguntam assim Como assim É como se você fosse um médico e a máquina fosse fazer o para você e o médico não que vai interpretar o resultado não existe isso né coisas do cae para quem gosta de viver perigosamente né que não estamos inseridos nisso então Ó idealize o

sistema de uma maneira que possa ser analisado is aqui é o problema real esse aqui é o modelo Essas são equações E aí nós vamos interpretar os resultados Aliás a partir desse resultado eu posso projetar este aparelho de apoio Então os desdobramentos são os mais eh amplos possíveis mas Aí surge uma questão uma questão conceitual que justifica o porquê de nós estarmos aqui conversando sobre elementos finitos a duas abordagens nos problemas de mecânica estrutural a abordagem do sistema contínuo e a abordagem do sistema discreto O que é isso já lá na física básica a gente

estudava alguns problemas interessantes né tem um problema aqui que todo mundo conhece lá da física né da lei de Newton né você pega três bloquinhos M1 m2 e M3 E aí você aplica uma força no Conjunto O conjunto inteiro se movimenta o que que você faz você pega esse conjunto inteiro aqui considera uma coisa só e o conjunto inteiro se movimenta aí você aplica a lei de Newton a das forças é o produto da massa vezes aceleração aí o cara pergunta o seguinte posso estudar este cara aqui posso eu isolo ele do mundo ah mas

ele tá isolado do mundo não esse cara tá empurrando o bloquinho o outro aplica uma força nele de ação e reação então tem uma ação desse cara nesse e ele tá empurrando o M3 o M3 reage Ou seja quando eu tô fazendo isso eu não estou estudando esse cara isoladamente eu tô representando juridicamente o comportamento do resto através das forças que ele troca com o resto isso aqui é um diagrama de Corpo Livre Quando você estuda um problema de mecânica estrutural normalmente você parte de um pequeno trecho que é um DX Isso aqui é uma

figura emblemática né esse DX aqui fala consideros um DX o cara fala o que que é um DX então eu vou eu vou mostrar uma figura para você aqui que é o seguinte ó esse aqui é o Zé e esse aqui é o Ciqueira Man o Ciqueira ó o cara fala assim consideramos um DX tão pequeno quanto Ciqueira é é o Ciqueira aqui entendeu Esse é o DX aí o que que o cara faz ele faz o equilíbrio do DX que é um elemento diferencial um elemento diferencial se ele colocar o el di estarte el

tem deriv que é uma diferenci essas equações a que muita gente tem saudades e outros asei n são asações que resem a maior parte dos problemas de geometri vai no do uma srie de problemas A grande questão da equação diferencial é que ela resolve os sistemas contínuos que que eu quero dizer com isso se você for ao livro do timonen a um livro de mecânica estrutural de resistência dos materiais você vai ter aqui para cada posição x você vai ter a deformada dessa viga Olha só para cada x você vai ter essa posição aqui e

vai ter a viga deformada como eu tô mostrando aqui quantos pontos tem nessa viga infinitos e pros infinitos eu consigo ter a resposta do meu problema isso é o sistema contínuo tá claro sistema contínuo eu consigo resolver o que ocorre nos infinitos pontos dele e a solução é por diferenciais só que por um outro lado isso aqui seria o ideal né pô eu tenho a resposta em todos os pontos nos seus infinitos pontos e a solução é exata porém se você pegar um livro do timchenko ou de resistência dos materiais ou teoria de placa e

casca ou teoria da elasticidade você não vê lá resolvido um bloco de motor um chassi de caminhão um navio Como diz um amigo meu é muito complicadíssimo né Não dá para fazer isso você não consegue resolver problemas de geometria complicada e carregamento complicado por equação diferencial e a abordagem dos infinitos pontos que é o sistema contínuo é só ir procurar lá você vai ver não tem solução para isso então qual é a solução aí é que entra a ideia da discretização de sistema contínuo é de certa forma a gente já falou isso né Eu tenho

um modelo de 10.000 nós eu não estou resolvendo os infinitos pontos mas só aqueles 10.000 mas eu acho que aqueles 10.000 são suficientes para representar o comportamento do conjunto aí é que entra o conceito de discretização e a formulação dos elementos finitos que nós vamos começar construir agora então este problema aqui tem solução analítica exato dentro da teoria de viga só que a maioria dos problemas não caem nesse tipo de de facilidade de uma geometria simples de um carregamento Simples então aí é que nós vamos entrar no sistema discreto aí é que vai entrar a

discretização do sistema cuno Olha só nós vamos tomar como base para poder desenvolver o nosso raciocínio aquele problema que a gente já mencionou na primeira parte né que é o sistema tático leve para transposição de curso d'água que o pessoal chama de portada tática leve isso aqui não tem solução eh analítica disponível né a gente até consegue fazendo uma aproximação como nós vamos mostrar então o que que nós vamos fazer a seguir nós vamos pegar né esse esse mesmo r raciocínio em que nós partimos do Real construímos um modelo e buscamos a solução matemática aplicar

o mesmo método o mesmo conceito a esse sistema que obviamente é um pouco mais complexo mas nós vamos ver que não há Dificuldade em fazer isso isso vai ser a porta de entrada o passaporte para entrar nos elementos finitos até porque nós vamos poder avaliar as duas soluções esse caso que ainda são possíveis né então nós vamos fazer exatamente isso daqui pegar esse problema real e fazer o primeiro modelo que a gente consegue enxergar para representar isso daqui por elementos finitos Ou seja a discretização do problema contínuo OK É isso que nós vamos fazer muito

bem eh nós vamos aproveitar como dissemos esse exemplo para dar o primeiro passo na ideia da discretização de sistema contínuo quer dizer nós estamos naquela ideia né eu tenho um problema para resolver Quais são os quatro Passos idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado Ou seja que tenha solução conhecida você vai montar um modelo você monta as equações de Equilíbrio resolve as equações de Equilíbrio depois você interpreta os resultados Essa é essencialmente a sequência que todos os modelos de elementos finitos chegu é claro que a gente pegou um modelo muito simples de

uma viga com motorzinho B apoiada construir uma b b apoiada agora nós vamos fazer isso aqui pro nosso né Muito bem queria fazer um comentário que você não precisa acreditar nisso porque nós vamos demonstrar isso juntos isso a gente já comentou né quando você resolve o sistema contínuo ou seja os infinitos pontos se a estrutura inteira está em equilíbrio cada pedacinho tá em equilíbrio que é um DX né o DX você fala quanto que vale o DX Ah tão pequeno quanto Ciqueira né até desenhou um Ciqueira desse tamanhinho aí tá certo agora quando você resolve

um problema discreto como os modelos de elementos finitos Por que discreto porque você não resolve infinitos pontos se o seu modelo tem 1 milhão de nós quantos tem no contínuo infinitos então é discreto Não tem jeito sempre vai ser aproximado nós vamos resolver equação algébrica e tem um procedimento para fazer isso e isso sai do diagrama de Corpo Livre O que é muito importante então o que que nós vamos fazer vamos pegar aquele nosso Exemplo né se a gente voltar um slide Olha só esse aqui é o tal do sistema tático leve para a transposição

de curso d'água eu posso ter a minha vista por aqui né ou por aqui né ou posso olhar por aqui então nós vamos desenhar seguindo aquela sequência que nós fizemos na viginha primeiro como sempre isso jamais nós vamos abrir mão é desenhar o Real Então nós vamos desenhar o real e observar né na nesse real como é que a gente vai montar o nosso modelo então em primeiro lugar eu vou fazer o seguinte eu vou desenhar um bote aqui ó tá o bote née sistema é montado assim eu tenho dois botes que são conectados popa

a popa né esse bote aqui é um ó esse bote é um do outro lado tem outro que ele é conectado aqui e nós temos essas plataformas aqui ó Isso aqui é uma plataforma Isso aqui é uma plataforma tá certo o projeto que a gente desenvolveu era esse aqui você tem a plataforma aqui você tem o pneu do caminhão né tô representando aqui o pneu ó aqui é o pneu do caminhão tá andando aqui em cima ó tá entrando em cima da plataforma e aqui você tem o eixo né se você e aqui você tem

o nível da água né olha só B Essa é a visão que nós temos olhando daqui você vê que a água ela não entra no boote ela fica por aqui tá certo agora vamos ter a mesma né Vamos olhar o nosso problema com uma outra visão esse cara olhando daqui você vê que nosso grande objeto sempre é entender como que a estrutura real funciona eu só posso Pretender fazer um modelo disso depois que eu entendi a realidade então vou fazer um outro desenho Só que nesse outro desenho eu vou representar aqui um dos botes ó

nós estamos olhando agora os botes daqui né aqui é outro bote e aqui estão as plataformas né ó ó a plataforma aqui aquela plataforma Tá certo que é beleza Olha só e aqui eu tenho alguns pontos de conexão né porque um cara que ele entra tenho dois pinos você coloca dois pinos exatamente para ele não ficar pivotado né então isso aqui é montado a braço por por isso que é de alumínio é leve né E aqui nós temos os botes olha só aqui nós temos os botes ou seja tudo que nós estamos fazendo aqui é

exatamente a representação da realidade isso tudo aqui faz parte do mundo real vamos continuar com o nosso desenho aliás eu não lembro um projeto na minha vida que eu não tinha feito isso antes de fazer o modelo eu preciso de entender como isso daqui se comporta olha aqui Aqui tá o nível da água tá certo e Aqui nós temos por exemplo vamos imaginar que o pneu do caminhão tá aqui ó o pneu do caminhão né aplicando uma força aqui tá certo isso aqui nos coloca no entendimento do problema físico agora nós vamos tentar montar um

modelo desse problema físico Aliás idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado que tem a solução conhecida é isso que nós vamos fazer a semelhança da Viga então para fazer esse modelo nós vamos começar aliás esse modelo aqui foi o primeiro modelo que a gente fez dessa ponte foi o primeiro para poder fazer uma avaliação preliminar dela Olha só nós temos aqui um conjunto né que é uma plataforma que eu vou representar aqui ó isso aqui ele é contínuo né porque aqueles dois pinos garante que ele não fique pivotado E aí eu vou

fazer uma observação que é a seguinte Olha só vamos pensar juntos Imagine que isso daqui é um daqueles botes e aqui essa marca é a marca que a linha d'água marca no bote tá marcado aqui ó essa é a linha da água daqui para baixo é água bom todo mundo conhece o Arquimedes o volume dessa massa de água deslocada eu posso calcular se eu calcular o peso dessa massa de água deslocada isso dá um empuxo que tem que ser igual ao peso que é aplicado no bote se o peso for maior eu bote e afunda

Tá certo agora olha só que interessante se eu pegar esse bote e afundar e eu afundar de 1 mm eu também vou saber qual foi o aumento que eu tive nessa força para ele afundar 1 mm o que que é isso se eu afundar 1 mm e eu tenho um aumento de força eu tenho uma força por afundamento unitário do ponto de vista físico este bote se comporta para plataforma como se fosse uma mola então eu posso propor um modelo onde cada bote Para efeito de estudar a plataforma ele se comporta como uma mola eu

não tô querendo dizer absolutamente que essa mola ela vai servir para calcular o bote longe disso o bote vai ter um cálculo específico como eu tô querendo calcular essa plataforma que tá sujeita à ação de uma força que atua aqui o meu modelo Inicial pressupõe que eu tenha uma viga apoiada em cima de molas onde essa mola representa juridicamente o bote para efeito do movimento da plataforma eu não tô querendo dizer que essa mola vai estudar o bote né Depois nós vamos ter que fazer o modelo do bote Então olha só idealize o sistema de

uma maneira que ele possa ser analisado nós idealizamos o nosso problema como uma viga em cima de mola esse é fundamentalmente o nosso modelo e tem um detalhe e que tem a solução conhecida Então qual é a minha primeira lógica aí a minha primeira lógica vai ser a mesma do anterior né idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado eu vou lá no livro do timonen tem solução para isso já pronta aí eu pego e falo o seguinte Olha só eu vou lá no livro do Timon chank eu vou ver se existe solução

para viga em cima de mola é o raciocínio lógico né idealize o sistema de uma manea que possa ser analisado que tem a solução conhecida o nosso modelo para calcular essa plataforma é uma plataforma em cima de mola é uma viga sob mola sob base elástica então eu vou lá no timonen e vou procurar aí eu vou no primeiro volume do timonen né resistência dos materiais que tem dois volumes eu não achei aí no segundo Quando eu abro o primeiro capítulo aí eu fico contente porque lá no timen no primeiro capítulo tem assim vigas sob

base elástica eu falo Opa sucesso total né só que aí tem um pequeno detalhe que me faz digamos assim abraçar a derrota né Ele fala viga so base elástica contínua que que significa ele o timonen tem solução para um problema que não é bem esse que nós temos isso daqui é uma viga apoiada em molas discretas em pontos em Pontos escolhidos adequadamente o que o timchenko tem é a solução de um outro problema qual é o problema é esse aqui esse aqui tem solução de equação diferencial é o problema de uma viga apoiada num conch

elástico contínuo isso tem solução analítica no timochenko só que esse is não é o meu problema o meu problema é esse esse aqui existe solução por meio de equação diferencial E qual é o procedimento que ele faz o de sempre né ele pega um DX aqui ó ele pega um DX um o que que é um DX é um trecho de viga tão pequeno quanto se queira né e ele coloca lá aí ele monta a equação diferencial E aí depois ele tem a solução pro problema Qual é a solução para esse problema solução é o

seguinte né e isso aqui você observa no campo quando o veículo entra ele forma uma onda elástica e a estrutura se deforma e se você for na solução analítica para cada x aqui olha só para cada x você sabe exatamente Quanto que vale o deslocamento você sabe quanto vale o momento fletor ó que nós vamos ter um capítulo ó momento de flexão na viga você sabe isso aqui você tem solução pronta para isso mas você tem solução para esse problema não para esse até de curiosidade ó ele levanta um parâmetro lá no Timon cheo que

é um beta ninguém precisa saber isso pelo amor de Deus só não falam para ilustrar que a raiz4 do k so 4 e i que que é esse k é a mola basicamente e o que que é o e é o material se for o aço o módulo da elasticidade 21.000 kofa por MM qu e o que que é é um momento de inércia né ó ó aqui ó ó aqui diferente rigidez diferente mas nós vamos ter um capítulo para isso Ou seja se você quiser calcular para qualquer x o momento fletor é o p

dividido pelo 4 beta tem solução analítica para isso mas não tem solução pro nosso problema aí o Timon Chen Fala um negócio Salvador lá né assim ó tá vendo aqui is que é uma onda elástica que tem um comprimento lâmbda sabe onde acontece isso também no trilho do trem trilho de trem é projetado assim isso aqui são os dormentes quando você pega um trilho de trem e tem os dormentes os dormentes estão muito próximo um do outro e eles funcionam como base elástica porque o solo tem uma rigidez ele não é rígido se você tiver

a distância entre os apoios que no caso do trilo de trem são os dormentes ou aqui a distância entre o centro dos botes o timchenko diz o seguinte Olha quando esse lâmbda é muito maior que a distância entre os apoios você considera aproximadamente que esse problema e esse são semelhantes a solução é muito próxima então você ainda olha só no desespero você ainda Conseguiu resolver analiticamente o problema de forma aproximada mas com a solução analítica né Ou seja a base elástica contínua permite você calcular como se fosse o problema discreto mas nem sempre você consegue

isso faz até lembrar aquela história né aqui o cara tá o cara passou ali no na bacia das Almas né o cara que passa com 499 na prova aa coloca Deus me ajude lá no cantinho da prova já viu isso aí é mais ou menos o que tá acontecendo aqui a gente tá conseguindo resolver o problema usando equação diferencial usando a solução analítica porque nós estamos numa situação que ainda dá para aproximar Mas isso não acontece sempre Então aí é que entra o conceito dos elementos finitos ao invés de considerar o contínuo e nos seus

infinitos pontos Nós Vamos considerar a estrutura dividida em elementos que que é isso aqui isso aqui é um trecho de viga é um elemento isso aqui é um elemento isso aqui não é um DX não hein isso aí que tem nome endereço e CPF isso aqui é um elemento é um elemento finito que vale 20 MM 40 mm 80 MM né não vou falar cím porque cím dade de alfat Dá licença né mas ele isso aqui é um nó né ó Isso aqui é um nó isso aqui é um nó então nós estamos dividindo a

estrutura num número discreto de pontos esses pontos que nós estamos marcando aqui são os nós e esses caras aqui são os elementos Olha que esse elemento é uma mola esse elemento é um trecho de viga tem naturezas diferentes então nós transformamos um problema contínuo num problema discreto Se eu fizer um modelo aqui que tem 2000 Nós Nós só estamos calculando o deslocamento desses 2000 mas a gente julga que esses 2000 são suficientes para tratar a estrutura deformada nós vamos ver depois então aí é que começa a nossa discussão para fechar isso aqui vamos fazer o

quer dizer quando você tralha com sistema contínuo de equação diferencial isso daqui é um sistema discreto você não precisa acreditar que nós vamos demonstrar junto equação algébrica então volando SL anterior né a noss estura ela foi representada no nosso modelo inicialmente a gente observou como é que o timonen resolve isso daqui mas isso aqui é o nosso modelo discreto isso que interessa para nós porque em todos os problemas nós vamos buscar a discretização do sistema contínuo isso é fundamental porque a maior parte dos problemas a gente usou isso como um exemplo para mostrar que teve

uma saída aqui no limite né mas isso nós não vamos conseguir fazer sempre você não vai conseguir fazer um bloco de motor representando um problema de equação diferencial que se aproxima a realidade física é uma Evidente impossibilidade então aí nós estamos entrando de pisando no lotação mesmo do elementos finitos é a discretização de sistema contínuo eu tô resolvendo os infinitos pontos não só alguns que são os discretos Ok Esse é o primeiro conceito fundamental Ok então nós usamos esse problema real para introduzir esse salto do que é o contínuo pro discreto aproveitando ainda a possibilidade

de escapar para uma solução analítica conhecida mas isso na maioria dos casos não vai ser possível por isso que nós estamos entrando agora de corpo inteiro nas técnicas de discretização Ou seja eu tenho um conjunto eu divido em elementos os elementos estão conectados nos nós isso tá visto aqui ó se é um elemento se é um elemento isso elemento ISS elemento ISS elemento isso aqui é um nó isso aqui é um nó isso aqui é um nó eu estô representando os infinitos pontos não aí é claro que uma pergunta é óbvia né que surge naturalmente

pera aí se você só tá estudando os infinitos pontos e o que que acontece aqui no meio Essa é a segunda parte do método Então vamos só para já deixar a expectativa o seguinte depois que eu tenho o deslocamento nodal isso aqui é real que eu tô mostrando ó eu tenho esse nó e esse nó eu vou aplicar o deslocamento nodal o elemento se deforma então elementos finitos vamos dizer como diria Jeck Vamos por partes a primeira questão é você a partir da rigidez de cada elemento conhecer a rigidez da estrutura isso tudo será demonstrado

mas o objetivo é calcular o deslocamento dos nós a partir do deslocamento do dos Nós você aplica o deslocamento do nó você vai ter o deslocamento e a deformada dentro do elemento usando uma técnica que todos vocês devem ter saudades das aulas de termodinâmica é a interpolação é uma técnica chave em elementos finitos a partir do deslocamento do nó se calcula o deslocamento dentro do elemento usando as técnicas matemáticas de interpolação dentro de um sentido físico concreto então isso nós vamos fazer então a gente utilizou né esse exemplo aqui para mostrar só que agora nós

vamos dar um salto né E vamos tentar adaptar pra nossa situação né que isso aqui Será demonstrado Logo logo logo né que é quando você trabalha com sistema discreto você usa equação algébrica sistema contínuo equação diferencial eu poderia dizer assim tau equação diferencial né porque nós não vamos resolver a equação diferencial do bloco de motor num chassi Isso vai ser transformado em equação algébrica então aí nós vamos agora adaptar o que nós falamos vamos lá vamos dar um salto agora lembra que a gente falou idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisada ou

seja Construa um modelo e que tem a solução conhecida resolva as equações de Equilíbrio né monta e resolve as equações de Equilíbrio e depois Interprete os resultados uma sequência vou repetir idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado e que temha a solução conhecida Construa um modelo resolva as equações de Equilíbrio né interpreta os resultados você monta e resolve agora nós vamos transformar isso daqui no sistema discreto sistema discreto segue a mesma lógica idealize o sistema de uma maneira que ele possa ser analisado como uma montagem de elementos nós não estamos falando de

elementos diferenciais nós estamos falando de elementos finitos Essa é a diferença nós continuamos querendo entender o comportamento do todo a partir de cada trecho aliás isso se faz na equação diferencial também só que cada trecho é um DX é um D Y é um DZ aqui não o elemento tem nome endereço CPF isso aqui tem um comprimento bem definido idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisado como uma montagem de elementos agora a diferença é que aqui eu posso ter 1 milhão de elementos 1 milhão de elementos e nós temos que ter um

procedimento para resolver isso e aí nós vamos dar o salto você vai as equações de equilíbrio para cada elemento aí é que é o detalhe que nós vamos precisar da ajuda computacional só que nós temos que ter Claro quem faz o quê o software ele não é pago para fazer modelo Até Aqui nós fizemos o modelo a mão hoje com a ferramenta gráfica você faz esse modelo graficamente depois é que o software vai resolver o sistema deade equações Mas o que eu tô querendo dizer é que se essa estrutura tá em equilíbrio esse elemento também

tá em equilíbrio Como é o nome disso diagrama de Corpo Livre esse elemento também tá em equilíbrio Como é o nome disso diagrama de Corpo Livre esse cara também tá em equilíbrio diagrama de Corpo Livre esse cara tá em equilíbrio diagrama de Corpo Livre o que eu quero dizer é que se você tem um modelo de 1 milhão de elementos serão efetuados 1 milhão de diagramas de Corpo Livre você monta o modelo o software é que vai fazer o diagrama de Corpo Livre do modelo que você montou como ele faz isso nós vamos ver daqui

a pouco só que tem um detalhe tem um pequeno detalhe aqui que você já conhece nós vamos reforçar imagina que este elemento aqui este elemento aqui são vizinhos Você conhece o deslocamento desse nó não esse é o objetivo da análise eu não conheço Olha esse cara tá aqui ele veio para cá quanto que vale esse deslocamento de novo mas nem o Bispo de Nova York sabe meu esse cara veio para cá eu não sei quanto vale esse deslocamento porque esse é o objetivo do cálculo Mas eu posso jurar na Bíblia que se esse cara deslocou

10 esse cara também deslocou 10 se não a estrutura tá abrindo no meio ou seja esse eu conheço se eu pegar esse elemento eu digo que ele deslocou de um Delta o vizinho deslocou do mesmo Delta porque senão a estrutura abrindo no meio isso tem um nome chama equação de compatibilidade você já fez isso eu vou mostrar aqui uma equação daquelas da matemática que a gente usava para abrir o raciocínio olha aqui 5x 8y 4 10 prometimento com os números só para ilustrar 6x + 18y - 65z = 15 - 8x + 4y - 10z

= 60 na matemática básica você cansou de resolver problemas desse tipo tem um método nós vamos até falar sobre isso logo em seguida aí era colocado uma condição resolva Esse sistema de equação impondo que 4x = y e z = 10y que que é isso aqui você vai resolver esse sistema de equação os métodos usando os métodos que normalmente são conhecidos só que você vai impor uma condição você tá amarrando que além de resolver essa equação isto seja satisfeito isso aqui tem um nome né meio bonito aí Isso aqui no fundo é um constr equation

né é uma amarração que você tá fazendo Você tá obrigando que isso aconteça é isso que acontece em elementos finitos eu não conheço esse deslocamento e nem esse só que eu imponho a priori que eles devam ser iguais na hora de resolver o sistema de equações o eu quero dizer o seguinte idealize o sistema de uma maneira que possa ser analisada como uma montagem de elementos se a estrutura tá em equilíbrio cada elemento também tá em equilíbrio eu monto as equações de Equilíbrio desse elemento agora eu monto a equação de Equilíbrio desse outro elemento agora

desse outro elemento que eu quero dizer que o somatório de FX fy iG Z tem que ser igual a zero somatório dos momentos tem que ser igual a zero mas eu vou impor quando eu Gero essas milhares ou milhões de equações que existe uma equação de compatibilidade que é a condição de conexão dos elementos eles têm que estar conectados isso eu imponho na solução da equação aí a partir disso eu vou resolver as milhões ou milhares de equações simultâneas Ou seja quando eu monto um modelo discreto de elementos finitos a gente não precisa acreditar nisso

porque nós vamos provar isso daqui a pouco daqui a pouquinho nós geramos equações algébricas e não dienis e tem um procedimento para fazer isso por isso que o cara estuda cálculo numérico na matemática básica estudo aqueles equações mais românticas que são três equações a três incógnitos CR nós vamos falar disso quando você tem sistemas com grande número de equação existe uma estratégia numérica por qu por causa do computador porque a maneira mais compacta e elegante de resolver de equações simultâneas é na forma de Matriz Então olha só que interessante Matriz em elementos finitos adquire um

contexto administrativo e não físico o problema físico ele surge a partir do entendimento do Real você faz o modelo e isso gera um sistema de equações como nós vamos ver aí na hora de resolvê-lo você precisa do computador o computador é pago para fazer isso para resolver o sistema de equação e não para montar modelo já falei vocêo computador para montar modelo é a séde moral aí vem aí o representante do computador me processar né Porque pô Como assim tô exigindo uma coisa que o cara não sabe resolver ele não foi feito para isso quem

faz modelo é usuário bom sentido então é uma questão administrativa vamos fazer mais um comentário sobre isso eh é interessante que a gente fale até para entender a lógica disso daí né e montar o sequencial porque nós estamos falando Resumindo né ó vamos fechar Qual é o objetivo eu tenho uma estrutura eu quero saber como a estrutura se comporta como se deforma eu divido a estrutura em elementos os elementos estão conectados nos nos eu fiz uma malha de elementos finitos a partir da rigidez de cada elemento eu monto a rigidez da estrutura e aí nós

vamos saber o movimento de todos os nós numa primeira instância isso gera milhões de equações que eu vou tratar na forma matricial Então essa é a ideia do discreto quando é que começou isso isso começou na década de 40 Olha só esses caras aqui são caras Geniais que desenvolveram né ricoff newmark mcen todos esses caras aqui trabalharam na década de 40 eh eh para resolver a questão de elementos finitos né porque eles tinham um problema qual era o problema resolver equação diferencial a maioria dos problemas complexos a solução da equação diferencial não tá disponível de

forma simples né Você tem uma viga bem apoiada uma chapa engastada no contorno aliás para isso você não precisa de elementos finitos né Nós vamos voltar a falar sobre esse tema Mas qual é o motivo disso isso aqui tá tá numa uma frase meio assim né superar a intrat abilidade do tipo de problema contínuo real isso é isso parece aquela frase né que a gente falou no começo que que é isso é um sistema tático leve para transposição de curso d'água seria uma ponte General né aqui é a mesma coisa superar a intrat abilidade do

tipo de problema contínuo real o que que é isso Problema contínuo é resolvido por equação diferencial Só que os problemas reais se você for pegar um chassi de caminhão um bloco de um vagão e tentar resolvê-lo por equação diferencial isso é intratável o cara tá querendo fugir da equação diferencial daí é que surgiu a tentativa é na década de 40 Olha só de superar essa intrat abilidade partindo pro sistema discreto então surgiu a grande ideia do elemento sinito que é entender o comportamento do conjunto A partir do entendimento do comportamento de cada um dos seus

o quê elementos E qual é o o conceito chave é o conceito de rigidez então Isso tava tudo combinado né Como diz no só Esqueceram de combinar com os russos né porque o cara falou pô nós resolvemos o grande problema que é entr tratabilidade do tipo de problema contínuo real vamos transformar em problema discreto e não mais resolveremos equações diferenciais mas equações algébricas Só faltou combinar né porque eh tem uns negócios assim que são muito interessantes né para quem já viveu muito tempo na engenharia tem tem fatos pitorescos né que você já vocêé engraçado assim

quem já não participou de uma reunião em que o cara levanta uma dúvida aí a reunião começa uma briga no meio da reunião né de repente Cadê o cara da dúvida O cara tá almoçando lá tranquilo e os caras estão discutindo a dúvida ainda né a dúvida ficou e o cara já foi embora e tá cadê o cara da dúvida não sei onde tá o cara tá almoçando lá tá comendo lá uma picanha né tal e é mais ou menos aqui né então quando já tava tudo combinado eh surgiu um problema que é mais ou

menos que nem esse cara aqui né is só que eu aprendi no grupo Olha só eu fiz o grupo escolar no primário o gato farofino as equações diferenciais Qual é a relação de uma coisa com outra né Eh essa história do gato farofino é muito interessante porque tinha um gato chamado farofino que comia toda a ratada da região né era terror cara e um dia teve uma assembleia dos ratos né E eles fizeram uma assembleia e um cara deu uma sugestão né que era colocar um guiso no pescoço do gato que toda vez que o

gato se aproximasse ia fazer um barulho e essa ideia foi aclamada né aprovada por aclamação foi considerada uma ideia maravilhosa e genial quando estavam assinando tudo para configurar né o o que foi tratado teve um ratinho que levantou a mão e levantou uma dúvida né a dúvida acho que vocês imaginam Qual é né quem é que vai colocar o guiso no pescoço do gato mas começou a vazar rato para tudo Qual é lugar e não resolveu nada absolutamente nada foi o que aconteceu com elementos finitos nessa época né mal comparando porque quando o cara falou

assim olha vamos resolver usando equação algébrica né Ah que bom puda maravilha tá tudo aclamado tudo resolvido aí teve um cara falou assim mas como é que vocês vão usar essas equações aqui sabe o que eu tô falando na época eu tô falando disso aqui 100 equações a 100 incógnitas na literatura do livro neste livro aqui que nós estamos usando como referência para acompanhar o curso na bibliografia eu coloquei um livro chamado matemática para engenharia que é basicamente um livro de aplicações de cálculo numérico para quem vai desenvolver rotinas que se usam em software ou

numeric cpes que tem aí um livro que eu TD Estados Unidos ele resolve um sistema de 100 equações a 100 incógnitas ele faz uma conta usando fatorial de quanto tempo ele levaria usando aqueles métodos românticos do Cramer e demonstra isso lá vocês Leiam d 10 elevado a 147 anos é isso que o cara precisa para resolver ver sem equações a ser incógnitas usando aqueles métodos românticos que a gente aprende na matemática básica é uma Evidente impossibilidade sabe quando que isso resolveu no final da década de 50 o que que aconteceu no final da década de

50 aconteceu que surgiu o programa espacial e surgiu o computador e aí começaram as técnicas computacionais para resolver sistema porque o cara aprende cálculo numéri na faculdade para resolver métodos numéricos que permitiram resolver isso aqui e isso cada vez fica mais né Eh mais fácil porque você tem melhores softwares e assim por diante né então Eh essa questão é uma questão fundamental Porque o método realmente começou a ter um desempenho assim a florar mesmo no final da década de 50 na década de 1950 quando começaram a aparecer os computadores eent dessa lógica dos computadores você

conseguiu ter ferramentas cada vez mais poderosas até o dia de hoje né Eu só queria fazer um comentário final para fechar que eu acho que vale a pena que é a visão do matemático que a visão do engenheiro nós vamos fazer uma pequena observação Aí vamos partir para chegar no alicerce que são as leis ok