[Música] nós vamos entrar agora no assunto que é extremamente rico em aplicações de uma conexão enorme com física com teorias de eletromagnetismo de mecânica dos fluidos então o teorema que nós vamos chegar daqui a pouco não hoje as próximas aulas é o teorema de green e antes eu vou fazer umas preparações para o teorema de games falar em campos vetoriais e que eu ia de campos conservativo já pra começar observe que a linguagem é uma linguagem emprestada da física campus vetoriais campos conservativo se eu estou falando de coisas que estão muito conectadas com aplicações difícil
começar dizendo que o campo vetorial o objetivo vai ser fazer integral de linha de campo vetorial a interpretação física disso vai ser trabalho trabalho realizado por um campo de força sobre uma trajetória mas vamos passo por vez que é um campo vetorial o campo vetorial é uma coisa que a gente até já usou vetorial é uma aplicação definida num domínio do r2 poderia ser de r 3 vamos trabalhar com campos vetoriais invenção 2 e 3 é uma aplicação que tem um domínio do r2 eventualmente 93 e que tem imagem do r2 e se for r
3 a imagem do r10 desse de eu vou não vou fazer grandes exigências sensivelmente eu quero um conjunto aberto o que eu quero fazer derivações então onde apareceu isso na nossa disciplina por exemplo uma mudança de coordenadas para fazer a mudança de coordenada tanto r 2.913 uma mudança de coordenadas eram aplicação de r 292 se inscrevia x igual a r cosseno teto y rc no texas tem uma aplicação entre as variáveis rtt e as variáveis x e y a aplicação de r 2 na vida só que eu vou olhar para esse mesmo objeto com o
olhar totalmente diferente agora vou olhar com o olhar vetorial quando se explicar para vocês qual é a intuição que a gente tem que desenvolver pegar um exemplo muitas vezes vou escrever f maiúsculo com o símbolo de vetores e é quase um vício que estão falando de uma situação que é tão comum a interpretação como vetor que a gente essa tendência de usar o símbolo setorial se não tiver o símbolo também tem importância nenhuma é só uma simbologia não pegar um exemplo da aplicação de r 292 que aplicar o para ordenados xy associar a imagem -
y x se você não pensar em vetores como é que a gente pensaria nisso pensaria nisso de uma maneira cartesiana do seguinte jeito eu tenho um domínio que o r2 eu tenho contra o domínio que é o r2 e o que eu estou fazendo estou considerando uma aplicação que por exemplo manda o para o ordenado 21 aplicar no ordenado 21 a imagem é o par de nada menos 12 certo uma aplicação que vai tem domínio e 2 de maio em r 2 mandou para o senado no paraná mas não é assim que eu quero pensar
esse jeito de pensar não é o jeito vetorial ao invés de pensar assim pensa desta forma eu vou pensar da seguinte forma mesmo aplicação ao invés de pensar que estou mandando o para o ordenado 21 no pará ordenado menos 12 eu vou fazer uma pequena mudança na minha interpretação eu vou pensar que eu estou mandando para o ordenado 21 não para o ordenado menos 12 mas no vetor menos 12 quando estiver nesse contexto de pensar em campo vetorial 21 tem como imagem o vetor menos 12 percebo que é exatamente a mesma coisa formalmente o par
ordenado que nelsinho para o senado mas ao invés de pensar geometricamente ponto e ponto de r 2 eu vou pensar ponto e vetores de visualizar melhor do que isso eu vou visualizar todo no mesmo desenho que eu vou fazer mesmo jeito que nós vamos pensar a partir de agora a partir de agora vou pensar assim o campo vetorial é uma aplicação que quando eu aplico no ponto no meu exemplo quando eu aplico no ponto 2 1 ela me associam o vetor menos 12 aplicado nesse ponto o que eu vou visualizar aqui é isso tudo num
desenho só no ponto 2 1 eu aplico vetor menos 12 eu penso naquele vetor desenhado nesse ponto extremamente conveniente para física essa idéia de vetor aplicado é extremamente conveniente para as situações físicas quando você pensa no campo força força aplicada num ponto isso é muito usado no físico quando vai falhar o trabalho realizado está pensando na força aplicada ao longo de uma trajetória ou um campo de velocidade tem um vetor velocidade em cada conta do pulador um fluidos quando pensa no escoamento de um fluido como é que você descreve esse escoamento você olha para cada
ponto e pensa no vetor velocidade que está atuando naquele ponto o regime de escoamento estacionário quando a velocidade do fluido depende só do ponto onde você olhando e não do tempo ao longo do tempo o campo de velocidade é sempre o mesmo em cada ponto de um ponto para o outro muda pensa no rio que está escoando ele faz curvas então o vetor velocidade vai mudando mas em cada ponto tá sempre passando com a mesma velocidade chama-se escoamento em regime estacionário então essa idéia de ter um ponto e um vetor aplicado é muito conveniente para
a mecânica dos fluidos para eletromagnetismo e assim que eu pensar então isso é que é um campo vetorial para fazer mais alguns exemplos percebendo que esse campo aqui tem uma propriedade interessante que o vetor imagem é perpendicular ao vetor posição observe que pensar aqui eu tenho vetor posição xy esse vetor imagem perpendiculares vitória difícil perceber isso não é que eu faço pra perceber que menos y x é perpendicular e xy só fazer o produto escalar produz calafrios à x - y - xy mais xy da setas todos calar é zero então vejo que esse vetor
é perpendicular ao vetor posição chega a me dar uma interpretação física interessantes imagino que isso seja um campo de velocidade imagina que o óleo por uma superfície a superfície de um fluido e quando eu digo em cada ponto x e y a velocidade é menos y x cada ponto x e y a velocidade - y difícil quais são as trajetórias circunferências porque a fazer uma série de interpretações físicas se eu digo que isso é velocidade isso aqui automaticamente tangente as trajetórias porque a velocidade é tangente as trajetórias então estou dizendo que este vetor que é
tangente a trajetória ele é perpendicular ao vetor radial mas se é perpendicular à radial quem quer perpendicular ao radial que figura que você tem em que o tal invento é perpendicular à radial na circunferência total quem são as trajetórias isso fosse um campo de velocidade se eu tivesse campo de vetores atuando no plano eu jogar uma partícula e pergunta a qual movimento que a partícula vai escrever se esse é o campo de velocidades a trajetória movimentos circulares é esse tipo de interpretação que a gente vai fazer muitas vezes ok neste contexto vou também usar uma
coisa que é muito comum em física eu vou chamar o campo r o campo radial com esta votação chamou o vetor radial de r com flash e muitas vezes também vou escrever x e y indicar o vetor radial e nesse contexto eu chamo de r 100 o vetor zinho o módulo do vetor radial que é a raiz quadrada os dois só uma anotação uma simbologia que eu vou usar bastante ela de r com vetores flechinha o vetor radial e dr sempre assim o módulo d exemplo 31 outro campo de vetores que eu vou usar daqui
a pouco uma coisa surpreendente nesse campo que vou escrever agora daqui a pouco eu vou usá lo e ele vai ser muito interessante uma coisa muito simples o campo y10 pega o ponto x y e associl y los a super simples vamos ver se vocês me acompanharam naquela descrição que diz como é que eu vou tentar então entender uma aplicação que você chama de campo vetorial e vai tentar entender assim para cada ponto eu vou tentar entender que o vetor que está aplicado em cima daquele ponto qual é o vetor de aplicar do vetor imagem
então vamos lá se eu pegar um ponto aqui x y e vetor que eu imagino aplicado nele um vetor do tipo y10 desculpe eu troquei aqui não é esse papel eu quero 10 x outro daria certo também mas o que eu quero mesmo se então imagine que essa de x y e 0 x 1 no ponto x y e vetor que eu vou imaginar aplicado imagina o vetor que não tem componente x representação geométrica física como é o vetor que não têm componentes pode inscrever se em palavras ele só tem um componente y é um
vetor que está na digamos na vertical paralelo ao eixo y qual o tamanho desse vetor é igual à justiça porque só tem a componente isso então olha o ponto se eu tiver um ponto 21 vetor que está aplicado aqui tá brincando vetor vertical de tamanho 20.31 é um vetor vertical de tamanho 3 se eu estiver no ponto 1 é um vetor vertical de tamanho se eu tiver no eixo y em que o x 0 o retorno se eu tiver do lado x negativo eu vou ter um vetor para baixo então a representação geométrica que eu
quero fazer desse campo vetorial é assim em cada ponto tem um vetor aqui eu tenho vetores menores aqui eu tenho vetores nulos e aqui tenho vetores para baixo quanto mais eu me afasto do eixo y maior é o tamanho desses vetores ah sem enxergar um erro porque eu faço esse desenho eu tô fazendo no mesmo desenho do domínio a imagem o domínio enxergo como pontos ea imagem do cheque como vetores e desenhos vetores aplicados nos pontos tudo bem se isso for um campo de velocidade e jogar uma partícula aqui qual é a trajetória de cada
partícula é o movimento imagine que isso é um campo de velocidades e joga uma partícula que vem do movimento ela vai fazer uma reta vertical jogador direito uma reta para cima jogadores querendo uma reta para baixo e jogar no eixo y está parada porque o vetor velocidade exército guarda essa informação para daqui a pouco nós vamos voltar neste exemplo com uma coisa linda linda linda mais um exemplo de campo vetorial eu vou passar pra frente a um campo vetorial você estudou no campo gradiente importante nós vamos à demais lembrá los como é que funciona se
você tem uma fr2 o dia normal a f2 em r bem comportada do ponto de vista de derivadas imagine que essa função seja diferenciável você pode calcular as derivadas sem problemas aí a gente chama de gradiente df indica por este símbolo conhecem símbolo triângulo invertido com vetores em cima e o que é o gradiente da função oeste quando calculada no x y é um campo vetorial cujos componentes são dadas por quem pelas derivadas parciais de levada parcial do fmi em relação à x e outra privada parcial em y relação à y calculado fizemos o gradiente
uma função real eu uso o nome função e aí ela chega em r diferença quando o ambiente é vetorial do ambiente numérico usando as palavras vetorial escalar essa é uma função escalar porque a imagem é real e eu chamo de gradiente um campo vetorial porque a cada par ordenado x e y se um vetor que é o vetor gradiente em muitas propriedades importantes e lembra de algumas perpendicular as curvas de nível em duas propriedades importantes ele é perpendicular as curvas de nível da função curva de nível 1 nível é a curva onde a função do
valor constante gradiente sempre perpendicular à avenida curva de nível de uma montanha pensa numa montanha que a curva de nível das montanhas é uma curva no domínio correspondência todos os valores em que a montanha tem a mesma altura no domingo a curva de nível funciona assim imagine que você tenha uma função de várias variáveis duas variáveis como a gente fez no caso do cálculo de integral do plástico quando você olha o conjunto de pontos em que a função tem a mesma altura todos esses pontos são pontos associados ao mesmo valor fixo de 10 de nível
c zero todos os pontos a gente muitas vezes a linguagem cotidiana chama de curva de nível isso aqui mas de verdade a curva de nível é o domínio de nível é essa a função de duas variáveis ele tem duas componentes com duas componentes e ele é perpendicular à curva de nível o r2 aqui em cada ponto o gradiente a curva de nível naquele ano a gente fala muitas vezes que se refere à curva na superfície como sendo de nível mas isso é um erro técnico ou curva de nível baixo por exemplo quando uma coisa interessante
do ponto de vista biológico se você observar uma montanha onde animais pastando observar que eles passam de forma que eles deixam certos caminhos na superfície do morro aqueles caminhos com cuidado você vai ver que eles estão todos na mesma altitude na mesma altura os animais em geral pasta ou seguir mantendo altura constante o que é natural o animal não ganha nada e ficar subindo e descendo na montanha onde ele estava pastando ele consumiria muita energia realizando trabalho contra o campo gravitacional então ele anda no nível pra não fazer trabalho contra o campo gravitacional e se
alimentar tem razões biológicas observa o o o marca que os animais fazem quando eles andam em cima de uma montanha em geral a gente vê coisas estão na mesma altura ea outra coisa do gradiente aquele aponta na direção de maior crescimento de uma função da função ele tem ele dá a direção de maior crescimento na verdade direção de maior variação da função também não vou detalhar isso mas se isso fosse uma superfície de uma montanha tivesse uma nascente de água que você poderia perguntar qual o caminho que a água faz uma nascente uma superfície de
um morro a água vai para baixo mas se várias maneiras que ela poder várias direções que ela poderia ir abaixo qual é aquela vai ela vai pela direção do gradiente que a direção de a variação é maior a variação de altitude da altura é maior tudo bem continuar fazendo exemplos mas agora vai introduzir um outro conceito aqui eu tenho uma função escalar eu calculo gradiente obtém um campo vetorial dado um campo vetorial eu tenho uma operação que gera um outro campo vetorial super importante chama o campo rotacional esse nome deve não deve ser tão estranho
pra vocês rotacional de um canto ea interpretação física lindíssimo eu hoje vou mal arranhar essa interpretação física e mais para frente eu voltarei ao rotacional discutindo realmente o que é o significado físico do rotacional mas rotacional é uma operação extremamente importante imagine que você tenha um campo de r 3 ele tem três componentes de cada componente depende de três variáveis vai de r 393 em um campo com três componentes vários exemplos com duas não é mas essa é natural você pode ter colocar três componentes aqui três componentes aqui é um campo vetorial que eu tenho
então esse campo que ele chega bem comportado do ponto de vista da diferença a habilidade que eu possa derivar sem problemas como é que o cálculo rotacional do campo f1 rotacional do campo vai ser um outro campo vetorial seu começo com vetorial terminou com vetorial mas é outro campo é diferente no gradiente eu começo com escalar e termina com vetorial no rotacional o comércio com vetorial e terminou com vetorial eu desenvolvi um determinante para calcular rotacional pego determinante jk onde jk é famosa base canônica de r 310 00 10 00 vou colocar um símbolo aqui
o símbolo de derivação mas de uma forma incompleta eu escrevo dell dell x1 tem a função cantor derivando dell dell y não tem a função delzi não tem a função esquisito esse símbolo lan ele é um simples você pode interpretar como algo que vai indicar uma derivação daqui a pouco isso aqui é assim indica uma derivação em x indica a derivação y indica uma elevação 0 e mais as componentes do campo p imagine agora que você desenvolve e se determinante você desenvolve esse detalhamento das regras usuais determinante vamos ver o que dá vai dar um
vetor que chama-se vetor rotacional do campo vetorial desenvolver pelo regra de uma coisa que chama de laplace para desenvolver os determinantes pega o wii e multiplica por este determinante de ordem 2 e se determinante de ordem 2 é de r y eu pego a indicação y aplicar em r - essa indicação dele vai ser aplicado em que então eu escrevo aqui del r é o y - a dell que o z essa é a componente e do vetor rotacional aqui não fazia muito sentido é porque que essa indicação de derivação isso não é um elemento
matemático agora tá tudo fazendo sentido é a derivada parcial - a derrubada parcial outorgada pelo na direção j você elimina a coluna do j faz o determinante mas tem que trocar o sinal lembra turma da plastique noir não troca o sinal no j troca o sinal no car não troca o sinal aqui não trocar o sinal ao invés de ideal é reader x - del pedro z ao contrário é del pedregal z - do rjx e na direção cá dell que deu x - de o pby entender o que é o que eu falei até
agora é só um nome eu tenho um campo vetorial e deu um nome para essa operação fast rotacional vou falar agora um pouco mais do rotacional que ele significa porque alguém calcula-se objeto sob suponha que s só de duas componentes que darão rotacional bom a princípio não dá para calcular rotacional por outros novos até 3 para poder fazer o determinante três por três como é que a gente aplica o conceito de rotacional no caso de ele ser de duas variáveis quem imagina que o r10 que só dependem de y se o empenho que só dependerem
de x e y r 10 deu r do y é zero porque o r10 e deu o que deu zero porque o que só depende de si y então não tem o primeiro tempo o segundo é o perdeu 0 o que o pessoal depende de si y ideal é reader x 0 porque o r ano e aí só sobra a terceira componente é o que deu x - dell perdeu y na direção carro seja votação final de um campo plano é um vetor que aponta na direção perpendicular ao plano você tem um campo que é
só tem componente x e y rotacional na direção z eu tenho um componente só tem só a componente da direção carro estamos juntos [Música]
