Mecânica Quântica 2 - Observáveis e operações no espaço de Hilbert produto tensorial - Aula 7.2

bom Dando continuidade ao nosso curso de quântica 2 Vamos falar agora dos observáveis que atuam no espaço de Hilbert de um elétron né retomando o raciocínio do final do último vídeo eu comentei com vocês que sempre que a gente quer descrever um estado de um elétron né levando em conta os graus de liberdade internos e graus de liberdade externos né os estados que descrevem um elétron moram no espaço de Hilbert H que é construído em termos dos espaços de Hilbert né dos graus de liberdade externos e internos né mais precisamente né com prodo tensorial então

o espaço de Hilbert de um elétron é o produto tensorial do espaço de Hilbert dos graus de liberdade externos com os internos A partir dessa construção Se nós estamos descrevendo o espaço de Hilbert HR em termos da base formada pelos cats R né que são a estados dos operadores de posição E se nós estamos escrevendo né o espaço de HT HS em termos da base mais e menos né que eu vou simbolizar aqui por sendo igual a mais ou menos então então eu comentei com vocês né que o espaço de Hilbert H é o espaço

expandido Ok vai ser no caso o espaço aqui expandido pelo né pelos cats R produto tensorial com és ok que também né pode ser escrito de uma forma mais compacta e mais conveniente como sendo simplesmente o cat R né Beleza isso tudo Eu comentei no final né do último vídeo né que esses aqui são os estados enfim né que vão descrever a configuração de um elétron levando em conta os graus de liberdade externos e internos Mas beleza tendo em mãos Quais são os estados quânticos que descrevem um sistema físico qualquer para que a gente consiga

extrair qualquer tipo de informação fisicamente pertinente desses né desses estados a gente precisa claro né saber como são definidos os observáveis que atuam no espaço de Hilbert onde moram esses estados né isso porque todo tipo de análise na mecânica quântica todo tipo de análise física que envolve medições de grandezas né como é que o estado evolui no tempo como é que ele fica apó medição todas essas né enfim essas características essas informações fisicamente pertinentes que a gente consegue extrair de um sistema quântico são extraídas a partir dos observáveis relacionados às grandezas que nós estamos medindo

nós estamos analisando e por aí vai né não faz sentido a gente ter né um estado que descreve um elétron por exemplo se a gente não souber extrair nenhum tipo de informação dele né das características físicas né das probabilidades de medição né enfim evolução temporal não faz sentido a gente precisa extrair essas informações Então o que a gente tem que fazer agora né que nós sabemos pelo menos né Quais são os estados como eles são construídos né os estados que descrevem o elétron agora a gente tem que né mostrar no caso né saber no caso

construir né Como são os observáveis que atuam nesse espaço de Hilbert bom para construir esses observáveis a metodologia é Idêntica a que a gente usou para poder construir esses estados né Sempre que a gente tem um espaço de Hilbert que é construído como sendo o produto sensorial de outros dois espaços de Hilbert Que nós conhecemos bem todos os elementos Enfim tudo relacionado ao espaço de Hilbert que nós estamos construindo né pode ser construído né Pode ser né no caso definido em termos né das grandezas nos espaços de Hilbert que compõem esse espaço maior da mesma

forma que a gente construiu os estados de H como sendo o produto tensorial dos Estados de HR e de HS né qualquer tipo de operador que atua em H também pode ser construído como sendo o produto tensorial de operadores que atuam em HR e HS E é assim que a gente constrói os observáveis dado que observáveis são operadores Vamos começar com os operadores que a gente usou para poder definir esses estados né porque lembrando esses estados aqui R é foram construídos a partir dos Estados r e dos Estados é que foram construídos a partir de

um conjunto completo de observáveis que comutam então esses estados daqui né os estados que descreve no caso os elétrons né eles no caso né foram construídos a partir dos operadores x e y e z né dos operadores de posição e também dos operadores S qu e sz agora x y e z são operadores que atuam em HR não em H da mesma forma s quadado e sz são operadores que atuam em HS e não em H né como é que eu faço para poder definir esses operadores né esses observáveis no caso né para o espaço

de Hilbert agora né enfim que leva em conta os graus de liberdade internos e externos primeiramente qual que é relação entre esses observáveis e esses estados daqui né bom aqui a gente tem que x atuando no CAT R vai retornar x vezes o próprio Cat R né aqui para poder fazer diferenciação do operador e do alto valor eu vou colocar o chapéu tá porque principalmente o meu x e o meu Z eu enfim a caligrafia é igual né quando ele é maiúsculo e minúsculo Mas enfim né o operador Y atuando no CAT R vai retornar

Y vezes o próprio Cat r e o operador Z atuado no CAT R vai retornar Z vezes o próprio Cat R além disso a gente tem que o operador S quadrado atuado né no CAT mais ou no CAT menos vai retornar 3/4 de H bar qu do cat mais ou menos e o operador sz atuando nos cats mais ou menos vai retornar mais ou menos H Barra sobre 2 Cat mais ou menos Então essa daqui é a relação entre né enfim esses observáveis e esses estados que a gente tá utilizando né enfim para poder construir

né os elementos no caso do espaço de Hilbert que descreve os estados de um elétron no caso né grau de liberdade internos e externos né Vamos lá levando em conta que agora os nossos estados são os estados R E é né com é sendo mais ou menos o que que nós gostaríamos né como é que a gente gostaria que esses observáveis aqui fossem construídos né para h o que a gente gostaria é que x atuando em R fosse igual a qu fosse igual a x atuando em R né Ou seja a gente gostaria que o

x atuasse da mesma forma em R certo e não atuasse de forma nenhuma no Spin afinal de contas esse cara lê um grau de liberdade externo né a mesma coisa para Y e para Z né Ou seja a gente gostaria que Y chapéu atuado em R Y fosse igual a y r e y da mesma forma Z chapéu atuado em r retornasse z r és né enfim graus de liberdade externos né passando somente né a parte relacionada aos graus de liberdade externos da mesma forma a gente gostaria que o nosso operador S qu atuando em

R mais ou menos fosse o quê fosse 3/4 de H bar qu né de R mais ou menos e que o sz atuado né no CAT R mais ou menos retornasse mais ou menos H bar so 2 R + ou menos né então a gente gostaria que os graus de liberdade atuassem somente na parcela do cat relacionada a aqueles graus de liberdade agora como é que a gente traduz tudo isso em linguagem de operadores né Nós gostaríamos que operadores relacionados a grau de liberdade externos atuassem nos graus de liberdade internos como a identidade o operador

identidade é o operador que quando atua no elemento não faz nada da mesma forma nós gostaríamos que os observáveis né os operadores relacionados aos graus de liberdade Inter atuassem nos graus de liberdade externos como a identidade que seria equivalente a não fazer nada né Então sempre que a gente tem algum operador relacionado a algum grau de liberdade a gente gostaria que ele atuasse nesse grau de liberdade como é a atuação esperada dele e no outro grau de liberdade a gente gostaria que ele atuasse simplesmente como a identidade e como é que a gente faz isso

a partir do produto tensorial né bom imagina que a gente tem um Cat a e um Cat b o cat a ele mora em ha e o cat B mora em HB Além disso nós temos um operador a chapéu que atua em ha e nós temos um operador B chapéu que atua em HB da mesma forma que nós podemos construir o estado Cat a produto sensorial com Cat B que é um estado que mora no espaço de Hilbert ha produto tensorial com HB nós podemos construir o operador a produto tensorial com b ou seja fazend

o produto tensorial entre operadores que atuam em espaço de Hilbert diferentes sempre que a gente faz isso esse operador vai atuar em elementos de ha produto tensorial com HB ele atua sempre no espaço de Hilbert né construído a partir do o que o primeiro atua produto tensorial com que o segundo atua ou seja esse operador atua em elementos dessa forma e como é que é essa atuação né Por definição a produto tensorial com B atuado né no caso né no estado a produto tensorial com com B é por definição o operador a atuando no CAT

a produto tensorial com o operador B aplicado n no CAT b então a gente faz realmente o primeiro com o primeiro segundo com o segundo né A partir disso se eu quero construir né observáveis que atuam só nos graus de liberdade externos ou só nos graus de liberdade internos né ou seja atuando no outro grau de liberdade como sendo a identidade vamos lá como é que a gente vai construir os nossos observáveis né vamos lá o nosso observável X Ele vai ser construído como ele vai ser construído como sendo o observável x o operador x

que atua em HR produto tensorial com a identidade do espaço HS por quê Porque aí quando esse cara atuar nesse Cat daqui vai ser o operador x nos graus de liberdade externos e a identidade nos graus de liberdade internos e essa né construção segue para todos os outros então o operador Y ele é construído como sendo o y que atua em he R produto tensorial com a identidade né em S e mesma coisa pro Z ele vai ser o z que atua em HR produto tensorial com a identidade em S Adivinha como é que vai

ser agora com o s quadado e com sz né ou com qualquer operador que lê alguma informação dos graus de liberdade internos do elétron né bom esses caros aqui vão ser construídos como sendo a identidade de HR produto tensorial né com esses né estados definidos nos graus de liberdade internos então com o s quadado que atua em HS e com o sz que atua em S né no caso eu vou começar a omitir esses Rs E esses S daqui né de forma que dependendo do contexto fica subentendido Qual que é o operador se eu tiver

colocando x atuando nesse cara né você vai ler obviamente que esse X é o x que atua em H agora se eu começar a escrever X atuando em R fica subentendido que esse é o x que atua em HR vou parar de escrever né de qual espaço de Herbert que é E aí fica subentendido Claro pelo contexto é bem fácil né de perceber Qual que é o contexto na verdade Basta ver quais que são os estados né que os operadores estão atuando né E isso daqui né enfim é a mesma construção para todo mundo obviamente

a gente pode construir operadores mais gerais do que esses daqui né que leam somente alguma informação dos graus de liberdade internos ou externos por exemplo Nada me impede de construir um operador sei lá vou chamar operador de operador f porque né meu nome é Felipe né enfim vou dar o nome aqui F só para poder simplificar que é sei lá o operador x né que atua em HR produto tensorial com o s Quad né A princípio poderia fazer isso E aí no caso né Por exemplo como é que seria o f atuando em r e

e no CAT mais ou menos por exemplo como é que seria essa atuação né bom seria x x 34 g h bar qu R mais ou menos por quê Porque esse cara daqui tá atuando em R esse cara daqui tá atuando no mais ou menos e aí enfim cada um desses vai dar né esse resultado daqui né nada impede Dev gente construir operadores né que não tenham em Uma das entradas né do produto tensorial uma identidade quando a gente coloca a identidade É porque nós estamos construindo operadores que atuam somente em um grau de liberdade

ou no outro né E claro Existem muitos observáveis que estão relacionados aos graus de liberdade externos ou internos né mas a princípio nada em impede de você ter alguma mescla nada impede de você ter por alguma razão n um contexto que vai aparecer algo dessa forma que não é a identidade um dos dois Ok mas aí é só fazer essa regrinha né primeiro no primeiro segundo no segundo então percebam né o fato da gente tá construindo o espaço de Hilbert do elétron a partir do produto sensorial né dos dos graus de liberdade externos e internos

né faz com que a gente na prática meio que já conheça quase toda a descrição de H né conhecendo a descrição de hrhs porque tudo de H de alguma forma pode ser construído a partir né da junção de elementos que atuam ou que fazem parte de HR e de HS inclusive um comentário importante de ser feito é que essa ideia né de você construir operadores né com o produto tensorial e que primeiro atua no primeiro e segundo atua no segundo né Essa Ideia de construção de operadores também vale para construção de qualquer tipo de operação

a partir do produto tensorial que que eu quero dizer com isso né vamos lá a partir do momento que nós temos o cat r que é um elemento de H lembrando nós podemos né definir o bra R que é um elemento de quem do espaço Dual né do espaço de Hilbert Dual a partir do momento que nós temos Bras e cats Qual é o tipo de operação natural que a gente pode fazer um braquete né então por exemplo né vamos supor que eu quero fazer aqui a conta de quanto é que vai dar um R

né bra R com o cat R linha linha né como é que a gente faz para poder poder né enfim fazer esse braquete daqui bom percebam que esse braquete né pode ser escrito por obviedade como sendo um R produto tensorial com é né isso daqui com um R linha produto tensorial com é linha Ok simplesmente escrevendo esses caras né em termos né enfim do produto sensorial que gerou tanto esse bra quanto esse Cat agora olha só essa é uma operação que envolve o produto tensorial então aqui Vale aquela mesma lógica primeiro no primeiro segundo no

segundo Então nesse cara daqui ele é R R linha multiplicado com linha Então essa a ideia né de operações com o produto tensorial né fazer primeiro com primeiro segundo com segundo né não é só para operadores são para operações Gerais como esse caso daqui por conta disso esse nosso braquete original vai retornar quanto né bom quanto é que é R com R linha vai ser um Delta de Direc R Men R linha e quanto é que vai dar esse com y linha vai dar um Delta de croner linha né no caso esses casos aqui podem

ser mais ou menos e aí com isso percebam né esses cats daqui foram construídos com Os Cats R e com Os Cats é esses cats R daqui formma um conjunto ortonormal de HR né uma base ortonormal de HR da mesma forma esses Cates é formam uma base Orto normal de HS e percebam fazendo o produto sensorial desses caras aqui percebam que os vetores n que a gente chega né que são esses skets daqui também são ortonormais formam um conjunto ortonormal né Não só um conjunto ortonormal né mas também uma base né para h né e

eu consigo garantir que forma uma base por quê Porque esses caras daqui formam uma base para HR esses caras daqui formam uma base para HS e a gente sabe que HR e HS são espaços de Hilbert completamente Independentes porque é um é um de é um de grau de liberdade externo e o outro é do grau de liberdade interno né consequentemente né se eu junto esses dois eu consigo construir aqui uma base que descreve né os graus de liberdade internos e externos e não só uma base mas uma base ortonormal Além disso olha só essa

nossa base R né nossa base de H percebam né por essas relações que ela corresponde a base formada por um conjunto completo de observáveis que comutam que conjunto completo é esse x y z s qu e s z né a gente sabe que esses caras aqui comutam entre si porque eles formam um conjunto completo de observáveis que comutam de HR a gente sabe que esses caras comutam entre si porque eles formam um conjunto completo de observáveis que comutam de HS e a gente sabe que os né operadores relacionados a grau de liberdade externos e internos

comutam né porque enfim eles dizem respeito a grau de liberdade completamente Independentes que que significa significa que se a gente tem um conjunto completo de observa que como mutam né de diferentes espaços de Hilbert Como foi o nosso caso né a gente tinha aqui o conjunto completo de observáveis que comutam de HR e o conjunto completo de HS né se a gente constrói um espaço de Hilbert a partir do produto tensorial desses caras né E generaliza esses né observáveis esse conjunto completo de observáveis que comutam dessa forma né enfim construindo esses operadores para o novo

espaço de Hilbert que é o prío tensorial né que agora aqui é esse nosso H percebam se a gente pega a base formada né enfim a partir dos alto estados desses né enfim desse conjunto completo de observáveis que comutam de cada um dos espaços de Hilbert e a gente faz um produto tensorial deles esses estados aqui construídos pelo produto tensorial também correspondem aos al estados de um conjunto completo de observáveis que comutam qual conjunto completo é esse o da União no caso né dos conjuntos né dos de observáveis que comutam de cada um dos espaços

de Hilbert né que no caso né enfim foram colocados o produto tensorial para poder construir o espaço de Hilbert maior né E lembrando claro isso só é possível porque a gente tá pegando né enfim dois espaços de Hilbert completamente Independentes os graus de liberdade externos são completamente Independentes dos graus de liberdade internos nesse sentido a gente pode pensar agora né nesses estados R como sendo os estados obtidos a partir de um conjunto completo de observáveis que comutam que é o conjunto x y z s qu s z né e não necessariamente que ficar pensando né

nesses estados aqui como sendo Ah pega a base formada em HR pega a base formada por HS e faz o produto sensorial né obviamente isso não deixa de ser verdade né Mas a gente pode pensar no caso né mais imediatamente nesse cara a partir de um conjunto completo de observáveis que comutam sem necessariamente ficar o tempo inteiro né pensando em HR e HS Ok então isso aqui na verdade é bem natural né o conjunto completo que a gente tá pegando é aquele né que diz respeito aos graus de liberdade externos e aos graus de liberdade

internos né então é isso né Essa é uma maneira natural no caso da gente formar conjuntos completos de observáveis que com muton né de um espaço de Hilbert maior construído a partir né de produtos sensoriais de espaço de Hilbert né Sempre que você tem né conjuntos completos de observados que comutam de espaço de Hilbert independentes e você faz o produto sensorial desse espaço de Hilbert né você consegue construir novos conjuntos complexos de observáveis que comutam para esse né espaço de hert maior né enfim a partir simplesmente né da un dos conjuntos completos anteriores né enfim

fazendo essas essas adaptações né claro para que o operador passe a atuar né no espaço de Hilbert correspondente Além disso né aproveitando esse contexto de construção de operadores né enfim operações que atuam em um espaço de Hilbert né construído como sendo o produto tensorial de outros espaços de Hilbert vamos lá né o nosso H ele é um HR produto tensorial com h s né bom um operador extremamente importante pra gente trabalhar né e a aparece um bocado de vezes principalmente em manipulações né com anotação de de irac é o operador identidade como é que a

gente constrói o operador identidade do espaço de Hilbert H né bom eu acho que ninguém tem dúvida de que ele vai ser construído como sendo a identidade de HR produto sensorial com a identidade de HS certo agora explicitamente como é que essa identidade pode ser escrita né bom a gente pode abrir esses caras daqui certo vamos escrever explicitamente Qual que é a identidade de um Qual que é a identidade do o outro e vamos juntar para escrever o operador de forma explícita ok né E vocês vão entender o que que eu tô querendo dizer né

Vamos lá a identidade que atua no nosso espaço de Hilbert do elétron vai ser o quê como é que a gente consegue escrever essa identidade em termos dessa nossa base R né enfim que é a base que a gente tá usando aqui para o HR se vocês se lembrarem a identidade de HR pode ser escrito como sendo uma integral em d3r de Cat R bra R né eu mostrei isso para vocês lá no início né do curso de mecânica quântica né se não me engano foi na aula dois inclusive da de postulados quando fui falar

de espaço de posição e tudo né agora esse cara produto tensorial com a identidade né no contexto de spin como é que é identidade no contexto de spin né bom se vocês lembrarem a identidade ela era mais mais somada com um menos menos em termos daquele é para poder ficar mais agradável a gente pode fazer o seguinte a gente pode colocar um somatório em ep de Cat é bra é a no caso né o é sendo mais ou menos aí fica exatamente né o mais mais mais o menos menos percebam que aqui a gente tem

os Estados né relacionados a HR e os estados relacionados a HS e um produto tensorial Isso significa que a gente pode juntar esses Cates e esses braços para poder escrever tudo em termos né de R que são né enfim os estados agora que nós estamos descrevendo elétron né E aí no caso a identidade de H vai ficar o quê vai ficar um somatório em é integral em D 3 R de R R juntando essas duas expressões Então essa daqui né fica sem a identidade para esse nosso espaço de Hilbert né juntando as duas informações aqui

é bem natural a gente pensar nessa construção né levando em conta que enfim né o produto tensorial desses estados é simplesmente você juntar os dois Ok então is aqui é operador identidade a gente usa muito se vocês lembrarem identidade para manipulações com briat mas então é isso né mostrado como a gente constrói observáveis e Opera de uma maneira geral né em um espaço de Hilbert que é construído como sendo produto tensorial de outro espaço de Hilbert vou Encerrando o vídeo de hoje era essa discussão que eu queria fazer aqui né então né enfim volto com

vocês no próximo vídeo pra gente continuar discutir um pouquinho mais né como é que fica essa descrição toda né de um elétron levando em conta os graus de liberdade internos e externos n