A pretty reason why Gaussian Gaussian = Gaussian

একটি সাধারণ বন্টনের অন্তর্নিহিত মৌলিক ফাংশন, ওরফে একটি গাউসিয়ান, হল e থেকে ঋণাত্মক x বর্গক্ষেত্র। কিন্তু আপনি ভাবতে পারেন, কেন এই ফাংশন? সমস্ত অভিব্যক্তির মধ্যে আমরা স্বপ্ন দেখতে পারি যা আপনাকে কিছু প্রতিসম মসৃণ গ্রাফ দেয় যার ভর মাঝখানে কেন্দ্রীভূত হয়, কেন এই বিশেষ অভিব্যক্তিটির জন্য সম্ভাব্যতার তত্ত্বটি তার হৃদয়ে একটি বিশেষ স্থান রয়েছে বলে মনে হয়? গত অনেক ভিডিওর জন্য আমি এই প্রশ্নের উত্তরের ইঙ্গিত দিয়েছি, এবং এখানে আমরা অবশেষে একটি সন্তোষজনক উত্তরের মতো কিছুতে পৌঁছাব। আমরা কোথায় আছি তার দ্রুত রিফ্রেসার হিসাবে, কয়েকটা ভিডিও আগে আমরা কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য সম্পর্কে কথা বলেছিলাম, যা বর্ণনা করে যে আপনি কীভাবে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একাধিক অনুলিপি যুক্ত করেন, উদাহরণস্বরূপ একটি ওজনযুক্ত ডাইকে বিভিন্ন বার ঘুরিয়ে দেওয়া বা একটি বলকে বাউন্স করতে দেওয়া। একটি পেগ বারবার, তারপর সেই যোগফল বর্ণনাকারী বিতরণটি প্রায় একটি সাধারণ বিতরণের মতো দেখায়। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য যা বলে তা হল আপনি যখন সেই যোগফলকে বড় এবং বড় করবেন, উপযুক্ত পরিস্থিতিতে, একটি স্বাভাবিকের অনুমান আরও ভাল এবং আরও ভাল হয়ে উঠবে। কিন্তু আমি কখনই ব্যাখ্যা করিনি কেন এই উপপাদ্যটি প্রকৃতপক্ষে সত্য, আমরা কেবল এটি কী দাবি করছে তা নিয়ে কথা বলেছি। শেষ ভিডিওতে আমরা দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল যোগ করার সাথে জড়িত গণিত সম্পর্কে কথা বলা শুরু করেছি। আপনার যদি দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল থাকে, প্রত্যেকটি কিছু ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে, তাহলে সেই ভেরিয়েবলের যোগফল বর্ণনা করে ডিস্ট্রিবিউশন খুঁজে বের করতে, আপনি দুটি মূল ফাংশনের মধ্যে কনভল্যুশন হিসাবে পরিচিত কিছু গণনা করুন। এবং এই কনভোল্যুশন অপারেশনটি আসলে কী তা কল্পনা করার জন্য আমরা দুটি স্বতন্ত্র উপায় তৈরি করতে অনেক সময় ব্যয় করেছি। আজকে আমাদের মৌলিক কাজ হল একটি নির্দিষ্ট উদাহরণের মাধ্যমে কাজ করা, যা হল জিজ্ঞাসা করা যখন আপনি দুটি সাধারনভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল যোগ করেন, যা আপনি এতক্ষণে জানেন যে আপনি দুটি গাউসিয়ানের মধ্যে একটি কনভোলেশন গণনা করলে আপনি কী পাবেন তা জিজ্ঞাসা করার মতই। ফাংশন আমি একটি বিশেষভাবে আনন্দদায়ক ভিজ্যুয়াল উপায় শেয়ার করতে চাই যা আপনি এই গণনাটি সম্পর্কে চিন্তা করতে পারেন, যা আশাকরি প্রথম স্থানে ই-তে নেতিবাচক x স্কোয়ার ফাংশনটিকে বিশেষ করে তোলে তার কিছুটা ধারণা দেয়। আমরা এটির মধ্য দিয়ে হেঁটে যাওয়ার পরে, আমরা আলোচনা করব কীভাবে এই গণনাটি কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য জড়িত পদক্ষেপগুলির মধ্যে একটি। এটি এমন একটি পদক্ষেপ যা কেন একটি গাউসিয়ান এবং অন্য কিছু নয় এই প্রশ্নের উত্তর দেয় কেন্দ্রীয় সীমা। তবে প্রথমে, এর মধ্যে ডুব দেওয়া যাক। একটি গাউসিয়ানের জন্য সম্পূর্ণ সূত্রটি নেতিবাচক x বর্গক্ষেত্রের তুলনায় e থেকে আরও জটিল। সূচকটিকে সাধারণত ঋণাত্মক হিসাবে লেখা হয় x কে সিগমা বর্গ দ্বারা ভাগ করে, যেখানে সিগমা বন্টনের বিস্তারকে বর্ণনা করে, বিশেষত আদর্শ বিচ্যুতি। এই সমস্তগুলিকে সামনের অংশে একটি ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা দরকার, যেটি নিশ্চিত করার জন্য বক্ররেখার নীচের ক্ষেত্রটি এক, এটি একটি বৈধ সম্ভাব্যতা বন্টন করে। এবং যদি আপনি বন্টনগুলি বিবেচনা করতে চান যেগুলি অগত্যা শূন্য কেন্দ্রিক নয়, আপনি অন্য একটি প্যারামিটার, mu, এইভাবে সূচকে নিক্ষেপ করবেন। যদিও সবকিছুর জন্য আমরা এখানে করব, আমরা শুধু কেন্দ্রীভূত বিতরণ বিবেচনা করি। এখন আপনি যদি আজকের জন্য আমাদের কেন্দ্রীয় লক্ষ্যটি দেখেন, যা হল দুটি গাউসিয়ান ফাংশনের মধ্যে একটি কনভোল্যুশন গণনা করা, এটি করার সরাসরি উপায় হল একটি কনভোল্যুশনের সংজ্ঞা নেওয়া, এই অবিচ্ছেদ্য অভিব্যক্তিটি আমরা শেষ ভিডিও তৈরি করেছি, এবং তারপরে প্রতিটি ফাংশনের জন্য প্লাগ ইন একটি গাউসিয়ান জন্য সূত্র জড়িত.

আপনি যখন এটিকে একসাথে নিক্ষেপ করেন তখন এটি অনেকগুলি প্রতীকের মতো, তবে যে কোনও কিছুর চেয়েও বেশি, এটি কাজ করে বর্গটি সম্পূর্ণ করার একটি অনুশীলন। আর এতে দোষের কিছু নেই। এটি আপনি যে উত্তর চান তা পাবেন। তবে অবশ্যই, আপনি আমাকে জানেন, আমি চাক্ষুষ অন্তর্দৃষ্টির জন্য একজন চোষা, এবং এই ক্ষেত্রে, এটি সম্পর্কে চিন্তা করার আরেকটি উপায় আছে যা আমি আগে লিখতে দেখিনি, যা এর অন্যান্য দিকগুলির সাথে খুব সুন্দর সংযোগ প্রদান করে ডিস্ট্রিবিউশন, যেমন পাই এর উপস্থিতি এবং এটি কোথা থেকে আসে তা বের করার নির্দিষ্ট উপায়। এবং আমি যেভাবে এটি করতে চাই তা হল প্রকৃত বন্টনের সাথে যুক্ত সমস্ত ধ্রুবকগুলিকে প্রথমে খোসা ছাড়ানো এবং শুধু সরলীকৃত ফর্মের জন্য গণনা দেখানো, ই ঋণাত্মক x বর্গক্ষেত্রে। আমরা যা গণনা করতে চাই তার সারমর্ম হল এই ফাংশনের দুটি কপির মধ্যে কনভল্যুশন কেমন দেখায়। আপনার যদি মনে থাকে, শেষ ভিডিওতে আমাদের কনভল্যুশন কল্পনা করার দুটি ভিন্ন উপায় ছিল, এবং আমরা এখানে যেটি ব্যবহার করব তা হল দ্বিতীয়টি, তির্যক স্লাইস যুক্ত। এবং যেভাবে কাজ করেছে তার একটি দ্রুত অনুস্মারক হিসাবে, যদি আপনার কাছে দুটি ভিন্ন ডিস্ট্রিবিউশন থাকে যা দুটি ভিন্ন ফাংশন দ্বারা বর্ণনা করা হয়, f এবং g, তাহলে প্রতিটি সম্ভাব্য জোড়া মান যা আপনি পেতে পারেন যখন আপনি এই দুটি বিতরণ থেকে নমুনা পেতে পারেন। xy-প্লেনে পৃথক পয়েন্ট হিসাবে। এবং এমন একটি বিন্দুতে অবতরণ করার সম্ভাবনার ঘনত্ব, স্বাধীনতা ধরে নিলে, y এর x বার g এর f এর মতো দেখায়। তাই আমরা যা করি তা হল আমরা x এবং y এর দুটি-ভেরিয়েবল ফাংশন হিসাবে সেই এক্সপ্রেশনের একটি গ্রাফ দেখি, যা দুটি ভিন্ন ভেরিয়েবল থেকে নমুনা নেওয়ার সময় সম্ভাব্য সমস্ত ফলাফলের বিতরণ দেখানোর একটি উপায়। কিছু ইনপুট s-এ মূল্যায়ন করা f এবং g-এর আবর্তন ব্যাখ্যা করার জন্য, যা বলার একটি উপায় যে আপনি এই যোগফল s যোগ করে এমন এক জোড়া নমুনা পাওয়ার সম্ভাবনা কতটা, আপনি এই গ্রাফের একটি স্লাইস দেখেন লাইনের উপরে x প্লাস y সমান s, এবং আপনি সেই স্লাইসের নীচে ক্ষেত্রফল বিবেচনা করুন। এই ক্ষেত্রটি প্রায়, কিন্তু পুরোপুরি নয়, s এ কনভ্যুলেশনের মান। একটি হালকা প্রযুক্তিগত কারণে, আপনাকে দুইটির বর্গমূল দ্বারা ভাগ করতে হবে। তবুও, এই ক্ষেত্রটিতে ফোকাস করার মূল বৈশিষ্ট্য। আপনি এটিকে একটি প্রদত্ত যোগফলের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত ফলাফলের জন্য সমস্ত সম্ভাব্যতা ঘনত্বকে একত্রিত করার উপায় হিসাবে ভাবতে পারেন। নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে যেখানে এই দুটি ফাংশন নেতিবাচক x বর্গক্ষেত্র এবং e থেকে ঋণাত্মক y বর্গক্ষেত্রের মতো দেখায়, ফলে 3D গ্রাফে একটি সত্যিই চমৎকার সম্পত্তি রয়েছে যা আপনি কাজে লাগাতে পারেন। এটি ঘূর্ণায়মানভাবে প্রতিসম। আপনি পদগুলিকে একত্রিত করে দেখতে পারেন যে এটি সম্পূর্ণভাবে x বর্গ প্লাস y বর্গক্ষেত্রের একটি ফাংশন, এবং এই শব্দটি xy সমতলে যে কোনো বিন্দু এবং উৎপত্তির মধ্যে দূরত্বের বর্গকে বর্ণনা করে। সুতরাং অন্য কথায়, অভিব্যক্তিটি সম্পূর্ণরূপে উৎপত্তি থেকে দূরত্বের একটি ফাংশন। এবং যাইহোক, এটি অন্য কোনো বিতরণের জন্য সত্য হবে না। এটি এমন একটি সম্পত্তি যা বেল কার্ভকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করে। সুতরাং বেশিরভাগ অন্যান্য জোড়া ফাংশনের জন্য, এই তির্যক স্লাইসগুলি এমন কিছু জটিল আকৃতি হবে যা সম্পর্কে চিন্তা করা কঠিন, এবং সততার সাথে ক্ষেত্রফল গণনা করা কেবলমাত্র মূল অবিচ্ছেদ্য কম্পিউটিংয়ের পরিমাণ হবে যা প্রথম স্থানে একটি কনভল্যুশনকে সংজ্ঞায়িত করে। তাই বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, চাক্ষুষ অন্তর্দৃষ্টি সত্যিই আপনাকে কিছু কিনতে পারে না। কিন্তু বেল বক্ররেখার ক্ষেত্রে, আপনি সেই ঘূর্ণনশীল প্রতিসাম্যটি লাভ করতে পারেন। এখানে, s এর কিছু মানের জন্য x প্লাস y সমান s লাইনের উপর এই স্লাইসগুলির একটিতে ফোকাস করুন। এবং মনে রাখবেন, আমরা কম্পিউট করার চেষ্টা করছি যে convolution s একটি ফাংশন. আপনি যে জিনিসটি চান তা হল s-এর একটি অভিব্যক্তি যা আপনাকে এই স্লাইসের অধীনে এলাকাটি বলে। ঠিক আছে, যদি আপনি সেই রেখাটি দেখেন, এটি x-অক্ষকে s শূন্যে এবং y-অক্ষকে শূন্য s-এ ছেদ করে। এবং পিথাগোরাসের সামান্য কিছু আপনাকে দেখাবে যে উৎপত্তি থেকে এই রেখার সরলরেখার দূরত্ব s দুইটির বর্গমূল দ্বারা ভাগ করা হয়েছে। এখন, প্রতিসাম্যের কারণে, এই স্লাইসটি একটির সাথে অভিন্ন যা আপনি 45 ডিগ্রি ঘোরান, যেখানে আপনি উৎপত্তি থেকে একই দূরত্বে y-অক্ষের সমান্তরাল কিছু খুঁজে পাবেন। মূল বিষয় হল যে y-অক্ষের সমান্তরাল একটি স্লাইসের এই অন্য ক্ষেত্রটিকে গণনা করা অন্যান্য দিকের স্লাইসের তুলনায় অনেক বেশি, অনেক সহজ, কারণ এতে শুধুমাত্র y-এর ক্ষেত্রে একটি অখণ্ডতা নেওয়া জড়িত। এই স্লাইসে x এর মান একটি ধ্রুবক। বিশেষত, এটা হবে ধ্রুবক s কে দুইটির বর্গমূল দ্বারা ভাগ করা। তাই যখন আপনি ইন্টিগ্রাল কম্পিউট করছেন, এই ক্ষেত্রটি খুঁজে বের করছেন, এই শব্দটি এখানে এমন আচরণ করে যেন এটি কিছু সংখ্যা ছিল এবং আপনি এটিকে ফ্যাক্টর করতে পারেন। এই গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট. s জড়িত স্টাফ সব এখন সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেটেড পরিবর্তনশীল থেকে পৃথক.

এই অবশিষ্ট অবিচ্ছেদ্য একটু বিট চতুর. আমি এটিতে একটি সম্পূর্ণ ভিডিও করেছি, এটি আসলে বেশ বিখ্যাত। কিন্তু আপনি প্রায় সত্যিই যত্ন না. বিন্দু হল যে এটা শুধু কিছু সংখ্যা.

এই সংখ্যাটি পাই এর বর্গমূল হতে পারে, কিন্তু আসলেই যেটা গুরুত্বপূর্ণ তা হল এটি এমন কিছু যা s-এর উপর নির্ভর করে না। এবং মূলত, এই আমাদের উত্তর. আমরা s এর ফাংশন হিসাবে এই স্লাইসগুলির ক্ষেত্রফলের জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজছিলাম এবং এখন আমাদের কাছে এটি রয়েছে। মনে হচ্ছে e থেকে ঋণাত্মক s বর্গকে দুই দ্বারা বিভক্ত, কিছু ধ্রুবক দ্বারা স্কেল করা হয়েছে। অন্য কথায়, এটিও একটি বেল কার্ভ, আরেকটি গাউসিয়ান, সূচকে এই দুটির কারণে কিছুটা প্রসারিত হয়েছে। আমি আগেই বলেছি, s-এ মূল্যায়ন করা কনভোলিউশনটি পুরোপুরি এই এলাকা নয়। টেকনিক্যালি, এই এলাকাটি দুইটির বর্গমূল দ্বারা বিভক্ত। আমরা শেষ ভিডিওতে এটি সম্পর্কে কথা বলেছি, তবে এটি আসলেই কোন ব্যাপার না কারণ এটি কেবল ধ্রুবকটিতে বেক হয়ে যায়। যেটা আসলেই গুরুত্বপূর্ণ তা হল এই উপসংহার যে দুই গাউসিয়ানদের মধ্যে একটা দ্বন্দ্ব নিজেই আরেকটা গাউসিয়ান। আপনি যদি ফিরে যান এবং একটি গড় শূন্য এবং একটি নির্বিচারে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সিগমা সহ একটি স্বাভাবিক বন্টনের জন্য সমস্ত ধ্রুবকগুলিকে পুনরায় প্রবর্তন করতে চান, মূলত অভিন্ন যুক্তি দুটি ফ্যাক্টরের একই বর্গমূলের দিকে নিয়ে যাবে যা সূচকে এবং সামনের দিকে দেখা যায়, এবং এটি এই উপসংহারে নিয়ে যায় যে এই ধরনের দুটি স্বাভাবিক বন্টনের মধ্যে আবর্তন হল আরেকটি স্বাভাবিক বন্টন যার একটি আদর্শ বিচ্যুতি বর্গমূল দুই গুণ সিগমা। আপনি যদি আগে অনেক কনভোলিউশন গণনা না করে থাকেন তবে এটি একটি বিশেষ ফলাফলের উপর জোর দেওয়া মূল্যবান। প্রায় সবসময় আপনি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন ধরনের ফাংশন দিয়ে শেষ করেন, কিন্তু এখানে প্রক্রিয়াটির এক ধরণের স্থিতিশীলতা রয়েছে। এছাড়াও, আপনারা যারা ব্যায়াম উপভোগ করেন, তাদের জন্য আমি পর্দায় একটি রেখে দেব যে আপনি কীভাবে দুটি ভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির ক্ষেত্রে পরিচালনা করবেন। তারপরও, আপনারা কেউ কেউ হয়তো হাত তুলে বলছেন, এতে বড় কথা কী? আমি বলতে চাচ্ছি, আপনি যখন প্রথম প্রশ্নটি শুনেছিলেন, আপনি যখন দুটি সাধারণভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল যোগ করেন তখন আপনি কী পান, আপনি সম্ভবত অনুমান করেছিলেন যে উত্তরটি অন্য একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা পরিবর্তনশীল হওয়া উচিত। সব পরে, এটা আর কি হতে যাচ্ছে?

সাধারণ বিতরণ অনুমিতভাবে বেশ সাধারণ, তাই কেন নয়?