2 3 4 Operaciones elementales de determinantes

[Música] tenemos este teorema sobre operaciones elementales para determinantes esto nos va a facilitar muchos cálculos entonces tenemos esto sea naïve dos matrices cuadradas del mismo orden si b es una matriz que se obtiene de a al intercambiar dos filas o bien dos columnas de a entonces el determinante de a bueno debe difiere por un signo del de a por ejemplo si tengo una matriz a ya esa matriz a cambio una fila por otra entonces el determinante es el mismo bajo signo es decir cambie un signo o bien si la matriz simplemente cambio dos columnas también

eso ocurre el determinante se altera por un siglo ahora bien si ves se obtiene de a al sumar un múltiplo de una fila de a a otra fila de a entonces el determinante de b coincide con el determinante de a o también se puede leer de esa manera al sumar un múltiplo de una columna de a a otra columna de a entonces los determinantes no se altera qué quiere decir esto pues bien quiere decir que se aplicó el concepto de eliminación como que tenemos el concepto de gauss si alteró una fila una columna lo que

aunque hace pero de manera cuidadosa vamos a ver más adelante a qué me refiero con esto porque no es propiamente la eliminación de gauss en la eliminación de gauss tú puedes alterar la fila que vas a modificar multiplicar esa fila y agregarle otra pero en este concepto no puede ser así vamos a verlo más adelante con un ejemplo y finalmente tenemos que si ve se obtiene al multiplicar una fila de a por una constante c entonces el determinante de b va a ser se ve está el determinante de a o también se puede leer así

si se obtiene de b de a al multiplicar una columna de a por una constante entonces el determinante debe va a ser se ve es el determinante vial creo que todos estos puntos van a quedar más fácil en siguiente ejemplo entonces vamos a tener esta matriz a un caso sencillo esto es aplicable a cualquier matriz de cualquier orden entonces vamos a tener una matriz que es 29 23 49 entonces es claro que el determinante de esto es 18 menos 12 es 6 entonces para el primer punto que tenemos ahí tenemos que intercambiar fila 1 con

fila 2 por ejemplo cambiemos 23 por la 49 entonces ahora tenemos ese intercambio de filas y resulta que esto es 12 menos 18 me queda menos 6 ahora bien la matriz a vamos a cambiar pues ahora las columnas y la columna 1 por la 2 entonces me queda de esta forma saquemos el determinante va a ser 3 por 4 12 menos 18 me da menos 6 entonces no es una demostración esto sin embargo es un ejemplo donde nos debe de quedar claro que al cambiar dos filas o dos columnas de una matriz el determinante sólo

se altera por un signo ahora bien el punto 2 me dice básicamente que si multiplica una fila y se la sumo a otra o si multiplico una columna y se la sumó a otra no se debería de alterar el determinante y eso lo podemos ver para cuando uno quiere eliminar algo como que por ejemplo imagínense que quiero eliminar el 4 que está en la fila 2 con quién o con que lo voy a eliminar bueno con el elemento 2 de la fila 1 cómo lo puedo hacer bueno lo puedo hacer de muchas formas pero hay

que ser cuidadosos aquí no es como en el método de gauss de eliminación de gauss ojo no es como ese método entonces si hay que tener cuidado y yo sugiero lo siguiente entonces si quiero eliminar por ejemplo el elemento 4 que está en la fila 2 lo quiero eliminar con este elemento que está en la fila 1 pues bien al que voy a eliminar veo que está en la fila 2 bueno esa fila no la tengo que alterar entonces voy a poner fila 2 igual a la fila 2 con quien le voy a eliminar con

este 2 es múltiplo de 2 con signo negativo entonces sería menos dos veces la fila 12 menos dos veces la fila 1 puedo eliminar este de esta manera me va a quedar menos 2 x 2 es 4 sumado el 4 es 0 menos dos por tres es menos 6 sumado a 9 nos da tres ahora sí tomemos el determinante de 2 por 36 - 06 efectivamente no se alteró el determinante pero eso también lo puedo hacer por columnas por ejemplo vamos a eliminar el 2 de la columna 1 con el elemento 3 de la columna

2 como lo harían pues bien puedo hacerlo de esta manera la columna 1 que es la que voy a modificar va a ser igual a la columna 1 entonces donde voy a modificar tiene que quedar igual por eso lo sugiero así c 1 igual hace 1 menos éste lo tengo que multiplicar por menos dos tercios para que me quede menos 2 y sumado con 2 ahora si se elimina entonces tengo que toda esta columna se multiplica por menos dos tercios entonces menos dos tercios me queda menos dos más dos es cero y menos dos tercios

multiplicado por nueve si simplificamos y le sumamos cuatro me va a dar menos dos entonces el determinante quedaría 0 - menos 6 y efectivamente no cambia nada tanto por filas y columnas pero siguiendo esta regla donde voy a modificar esa no la tengo que alterar y finalmente el punto 3 básicamente nos dice que puedo estar factor izando elementos en una fila o columna por ejemplo aquí se pueden dar cuenta que esta columna 24 es lo mismo que dos veces el vector 12 es decir esta columna hay un factor común que es el 2 s 2

puede salir el determinante y entonces me quedaría dos veces el determinante de 1239 pero observen que la columna 239 es múltiplo o es factor común y 3 entonces la columna 2 es tres veces el vector 13 entonces éste sale también esto me queda dos por tres y ahora la columna 2 me queda 13 tomó el determinante sería 3 menos dos veces 1 por 66 entonces en este pequeño ejercicio vimos las propiedades con las operaciones elementales tanto para filas como columnas [Música]