El primer matemático que tuvo un conocimiento preciso de la existencia del número pi fue Árquímedes de Siracusa Arquímedes está considerado uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos. Su vida y su obra son de leyenda, descubrió la ley de la palanca, el principio fundamental de la hidrostática, el volumen de la esfera y ¡se anticipó casi dos mil años al cálculo integral! Este genial matemático murió durante el sitio de Siracusa asesinado por un soldado romano a pesar de las órdenes dadas para mantenerlo con vida.
Lo que descubrí hace muchos siglos es que dado que todos los círculos sean grandes o pequeños tienen la misma forma el cociente entre su perímetro y su diámetro es siempre el mismo. Si este cociente es siempre el mismo número para cualquier perímetro el diámetro bien merece un nombre. Y en efecto estaríamos hablando del número pi.
¡Ay! De la misma definición de pi podemos despejar el perímetro, y dado que el diámetro es dos veces el radio obtendremos la fórmula que todos habréis estudiado en el colegio gracias a mí. Uno de los resultados probados por Arquímedes y a los que debe su inmortalidad es la fórmula para el área del círculo.
Este resultado es la Proposición I de su tratado sobre la medida del círculo. El enunciado es cómo Sigue: Todo círculo es equivalente a un triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es el radio y el otro el perímetro del círculo. Fijaos que si el área el círculo es igual al área del triángulo podemos obtener una fórmula Explícita, ¿verdad?
El área del triángulo es base por altura dividido entre dos sustituimos la base por el perímetro y la altura por el radio del círculo. Recordad que el perímetro era 2 pi por el radio, simplificamos y llegamos a la fórmula área del círculo igual a pi por el radio al cuadrado. ¿Pero como se le pudo ocurrir esta idea a Arquímedes!
Vamos a verlo. Vamos a hacer lo siguiente, dividimos nuestro círculo en cuatro partes iguales y con nuestras tijeras recortamos estas cuatro porciones y las situamos de modo que el perímetro del círculo quede lo más horizontal posible. Esta nueva figura plana tiene el mismo área que el círculo ya que no hemos añadido ni quitado nada.
Pero si situamos una copia idéntica encima tenemos otra figura plana a la que llamamos P1 cuyo área es el doble que la del círculo. Hay un leve parecido entre esta figura P1 y un paralelogramo de altura r si no fuese porque el perímetro no ha quedado Horizontal. Pero podemos hacer una cosa, en vez de en cuatro partes podemos cortar el círculo en ocho partes iguales y situarlo con el perímetro horizontal.
La nueva figura duplicada a la que llamamos P2 sigue teniendo como área el doble del área del círculo pero en este caso el parecido con un Paralelogramo es mayor. Si seguimos este procedimiento cortando el círculo en 16 partes iguales la figura P3 tiene el doble del área del círculo y ya se parece bastante a un paralelogramo de altura r y base el perímetro del círculo. Si aumentamos cada vez más el número de partes en las que dividimos el círculo las figuras duplicadas tienen todas el doble de área que el círculo, pero el parecido con un paralelogramo es cada vez mayor.
En el límite tenemos la figura Pn que es un paralelogramo, de hecho un rectángulo de altura r y base l y cuyo área sigue siendo el doble que la superficie del círculo. Pero el área de este rectángulo es también el doble de la del triángulo de altura r y base l. ¡Qué es la conclusión a la que llegó Arquímedes!
Estas fórmulas dependen de la constante pi. ¿Pero cuál es el valor de este número? Pues si no conocemos su valor de poco nos sirven las fórmulas.
También el genio de Siracusa dio respuesta a esta pregunta en uno de sus resultados más notables. Pero para entender su método recordemos primero la fórmula del área de un polígono regular. El área de un polígono regular es el perímetro por la apotema dividido entre 2.
Donde el perímetro es la suma de todos los lados y la apotema es la distancia del centro del polígono a cualquiera de sus lados. La idea de Arquímedes consistía en a partir de un círculo de radio 1, cuyo área es Pi por la fórmula que acabamos de ver, y considerar a continuación un polígono regular inscrito en la circunferencia y otro un circunscrito. De este modo el área del polígono inscrito Será menor que el área del círculo, y que será menor que el área del polígono circunscrito y dado que tenemos fórmulas para las áreas de los polígonos podremos acotar el valor de pi.
Vamos a ilustrar el método de Arquímedes con el hexágono. Fijaos, que dado con una vuelta completa son 360 grados y el hexágono tiene seis Lados, el ángulo central de cada triángulo es 360 dividido entre 6, esto Es, 60 grados. Por simetría estos triángulos son isósceles es decir los otros dos ángulos del triángulo son iguales y dado que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados obtenemos que estos ángulos también son de 60 grados.
El hexágono está formado por seis triángulos equiláteros. Comencemos estudiando el polígono inscrito. En este caso sabemos que el lado coincide con el radio y es por tanto 1 y dado que el hexágono tiene 6 lados su perímetro es 6.
Sin embargo, desconocemos el valor del apotema, pero sabemos que se proyecta perpendicularmente en la base del triángulo y lo divide en dos partes Iguales. Tenemos entonces un triángulo rectángulo en el que conocemos un lado y la hipotenusa. Por el teorema de Pitágoras obtenemos que el lado Desconocido, que es precisamente el apotema, vale exactamente raíz de 3 dividido entre 2.
Así que el área del hexágono inscrito es (6 por raíz de tres entre 2 )/ 2. Simplificando tenemos que este área vale 3 x raíz de 3 entre 2. Vayamos ahora al hexágono circunscrito.
En este caso sabemos que la apotema vale 1 pero desconocemos el valor del lado. Si llamamos x a este lado desconocido podemos aplicar de nuevo el teorema de Pitágoras y obtener este lado. Vale 2 x raíz de 3 entre 3.
de este modo el área del hexágono circunscrito es 6 por 2 raíz de 3 entre 3 todo dividido entre dos. Que tras simplificar vale 2 por raíz de 3. Tenemos entonces que 3 raíz de 3 entre 2 es menor que Pi que a su vez es menor que 2 raíz de 3.
[Música] Dado que es fácil acotar el valor de raíz de 3 viendo cuando un número al cuadrado no llega o se pasa de 3 podemos utilizar esta última acotación, sustituir y concluir que 2,598 es menor Pi y que a su vez es menor que 3,4642 esta acotación no es muy precisa pero Arquímedes no se quedó ahí e hizo cálculos similares para los polígonos de 12 24 48 y 96 lados llegando al asombrosamente precisa acotación de 3,1412989 es menor que pi es menor que 3,1428265. Espero que os haya gustado esta breve historia de pi aquí os dejo un enlace a nuestro cómic de Arquímedes y en la descripción os dejamos la bibliografía recomendada. Ya sabéis like y Sub si os ha gustado el vídeo.
Nos vemos pronto. ¡Hasta luego! ¡Pero no me pises los círculos!
