Propiedades de los determinantes

[Música] qué tal amigos espero que estén muy bien bienvenidos al curso de matrices y ahora hablaremos de las propiedades del determinante de una matriz y algunas veces pues tendremos que hacer varios pasos para encontrar determinantes bueno esta es una matriz de 2 por 2 y 3 por 3 que son las más sencillas de encontrar su determinante pero vamos a ver que las de 4 por 4 5 por 5 hay que utilizar diferentes extra estrategias para que nos quede más sencillo encontrar el determinante entonces para esto vamos a utilizar también diferentes estrategias en las que tenemos

que conocer las propiedades es muy importante tenerlo claro para no cometer el error o errores al hallar la del determinante de una matriz pero bueno primera propiedad si una matriz tiene una línea en el vídeo me voy a referir a línea hablando de una fila sin una fila cualquiera o una columna cualquiera si a eso me referiré cuando diga línea entonces una línea de ceros el determinante es cero sí aquí por ejemplo esta matriz tiene una columna de ceros esta otra tiene una fila de ceros obviamente pues el determinante es cero porque bueno ya lo

voy a encontrar rápidamente aquí el determinante se encuentra multiplicando estas dos la diagonal principal 5 por 0 0 menos la diagonal secundaria que sería menos 3 x 0 0 entonces siempre como vamos a multiplicar con el 0 pues dará 0 aquí de una vez la diagonal principal que sería esta multiplicación miren aquí esta multiplicación aquí lo haríamos por la regla desarrollos que ya lo expliqué en un vídeo anterior 8 x 0 20 y por 60 la segunda sería 4 por 0 por 2 que también da 0 la tercera sería 0 por lo menos 1 por

10 que también da 0 y a eso le restamos las diagonales que van hacia el otro lado no voy a dejar acá 10 por 0 por 20 luego seguirían estos 2 menos 4 por 0 por 60 y luego seguirían estos 30 x menos 1 por 8 que también da 0 bueno los ayer rápidamente pero pues porque esto ya lo vimos en vídeos anteriores aquí simplemente es por aclarar que siempre no importa ya pues obviamente si nosotros vemos una matriz por ejemplo de 4x4 en la que tiene una columna o una fila de ceros pues ya

sin necesidad de hacer ningún proceso ya sabemos entonces que su determinante va a ser cero y seguimos ahora con la segunda propiedad bueno vuelvo a decirles estas propiedades nos van a ahorrar mucho trabajo más adelante porque vamos a poder encontrar el determinante de una matriz mucho más fácilmente pero bueno segunda propiedad no es porque sean en orden sino pues por como por enumerar las propiedades si una matriz tiene dos líneas iguales vuelvo a decirles línea me refiero a fila o columna igual es su determinante es nulo o sea es cero los invito a que si

quieren ustedes pausa en el vídeo hay en el determinante de estas dos matrices bueno yo voy a hallar este sin miren que aquí tiene las dos columnas iguales o también incluso tiene las dos filas iguales aquí rápidamente 6 por 4 24 siempre menos 6 por 4 24 por eso nos va a dar 0 aquí también podrían hacerlo ustedes por la regla de desarrollo si aquí en este caso hay dos filas iguales miren que está siete menos tres y diez y se repite aquí al final siete menos tres y diez entonces no importa si es una

columna o una fila si hay dos iguales siempre su determinante va a dar cero tercera propiedad y bueno antes de seguir les quiero aclarar lo siguiente estas propiedades son para los determinantes porque en un vídeo anterior ya vimos cuando hay matrices equivalentes pero eso no quiere decir que sea el determinante el que va a ser equivalente no no se confundan con matrices equivalentes que son las que tienen la misma respuesta por ejemplo estas dos matrices son equivalentes si como lo vimos en un vídeo anterior esta matriz y la que voy a colocar aquí también son

equivalentes pero no tienen su mismo determinante bueno yo les quiero aclarar ahora tercera propiedad si se permutan dos líneas paralelas o sea si permuto dos filas o si permuto dos columnas osea si las cambio de un lugar hacia otro ya lo vamos a ver acá de una matriz su determinante cambia de signo voy a hacer aquí el ejemplo con la matriz de dos por dos y les voy a dejar el ejercicio de la matriz de tres por tres por si quieren revisar por ejemplo aquí miren que tenemos la matriz 5 - 2 4 3 aquí

lo que hice fue permutar o cambiar las columnas la columna que estaba segunda la coloque primera y la columna que estaba primero la coloque segundo entonces permite dos columnas entonces vamos a comprobarlo sí que su determinante va a cambiar de signo rápidamente aquí su determinante primero que todo su diagonal principal 5 por 315 siempre menos y su diagonal secundaria 4 por menos 2 que eso es menos 8 entonces como aquí dice menos y voy a colocar menos 8 pues de una vez colocó más 8 cuanto me da esto 15 823 y si hago el determinante

de ésta más de esta matriz entonces aquí nos quedaría menos 2 por 4 que eso es menos 8 siempre menos y su diagonal secundaria 3 5 por 3 15 si aquí no hay necesidad de colocar signo entonces menos 8 menos 15 da menos 23 y como nos podemos dar cuenta pues el signo cambia porque cambie en este caso dos columnas les dejo de ejercicio si lo quieren hacer el determinante de esta matriz es menos 217 y si yo cambio dos filas o dos columnas la que quiera aquí como cambio dos columnas pues voy a cambiar

dos filas por ejemplo voy a cambiar estas perdón aquí cambia dos columnas entonces voy a cambiar por ejemplo voy a cambiar la fila 2 y la fila 3 entonces la fila 32 la voy a pasar para traer la tercera y la tercera para la segunda entonces la primera fila la copio igual menos 2 4 5 y voy a cambiar la segunda y la tercera entonces la que era tercera la copio segunda 3 0 1 2 y la que era segunda la voy a copiar como tercera 67 menos tres y ustedes lo podrán comprobar que entonces

el determinante de esta matriz pues como el de esta era menos 217 el de esta por haber cambiado dos filas en este caso va a dar positivo 217 y vamos ahora con la cuarta propiedad que dice que bueno aquí doy el ejemplo lo voy a hacer con una matriz de dos por dos para no alargar el vídeo porque pues es la matriz más el determinante más rápido de encontrar pero vuelvo a decirles esto funciona para matrices de cualquier tamaño o de no dimensión sirve 3 por 3 4 por 4 5 por 5 bueno lo que

sea entonces cuarta propiedad si multiplicamos todos los elementos de una línea un determinante por un número diferente de 0 obviamente tiene que ser diferente de 0 puede ser fracción puede ser decimal lo que sea el determinante queda multiplicado también por ese número vamos a hacer el ejemplo acá primero que todo pues voy a hallar el determinante de este de esta matriz entonces aquí multiplicamos menos 3 por 5 de menos 15 siempre menos y la otra diagonal 4 x menos 2 que es menos 8 entonces aquí quedaría menos por menos que es más 8 entonces eso

nos da menos 15 8 que eso es menos 7 y por ejemplo voy a multiplicar cualquier fila o cualquier columna por ejemplo voy a multiplicar bueno puede multiplicar esta fila por 3 entonces cómo me queda se multiplicó esta fila por 3 - 3 por 3 da menos 9 y menos dos por tres que es menos seis como multiplica esta pues la otra la dejo igual no cuatro y cinco y si encontramos su determinante menos cuatro por cinco es menos 45 siempre menos y la segunda diagonal 4 por menos 6 que es menos 20 aquí quedaría

entonces más 24 menos 45 más 24 eso es negativo y da menos 21 miren que por haber multiplicado una fila por 3 el determinante automáticamente queda multiplicado también por 3 era menos 7 y ahora es menos 21 esta táctica no se utiliza tanto en este sentido sino en el otro por ejemplo si nosotros tenemos una matriz en la que su determinante le podemos factorizar una fila o una columna por ejemplo si tenemos números muy grandes lo que haríamos sería factorizar en una fila o una columna para que nos queden números más fáciles y al final

al determinante le multiplicamos el número pero ahora si ustedes desean voy a explicar más claramente esta propiedad en otro vídeo solamente es que lo soliciten y vamos ahora con la quinta propiedad que dice bueno esta es la propiedad o una de las propiedades más usadas en matrices sobre todo por ejemplo para encontrar el determinante de una matriz incluida de 3 por 3 de 4 por 4 de 5 por 5 que lo vamos a ver en los siguientes vídeos entonces cuál es la propiedad dice que si a una línea o sea a una fila o columna

de una matriz se les suma otra línea multiplicada por un número este número puede ser cualquiera positivo o negativo raíz si el determinante no cambia y esto es lo importante que en este caso a pesar de que hacemos esto el determinante no cambia voy a hacerles un ejemplo cómo se hace generalmente en matrices por ejemplo dice aquí que si a una línea de una matriz se le suma o línea multiplicada por otro número para les voy a aclarar aquí si le sumo a una fila debe ser otra fila y si a una columna le sumo

tiene que ser otra columna generalmente se hace con las filas entonces voy a hacer un ejemplo con las filas por ejemplo voy a cambiar esta fila si entonces voy a escribir aquí o no más bien voy a cambiar la fila 2 si generalmente se cambiara el número más grande ya les voy a mostrar entonces voy a cambiar esta fila entonces si voy a cambiar la fila 2 tengo que la fila 2 y sumarle o restarle algo solamente es la fila 2 no puede no nos confundamos con lo que hacemos en matrices que es multiplicar la

fila 2 y multiplicar la otra fila eso no funciona en matrices perdón en el determinante tengan mucho cuidado vuelvo a decirles si yo quiero cambiar la fila 2 escribo que a la fila 2 le voy a hacer una operación le voy a sumar o le voy a restar cualquier otra fila multiplicada por algún número y entonces yo lo que voy a hacer es voy a cambiar la fila 2 como voy a cambiar la fila 2 de una vez voy a copiar las otras dos filas iguales entonces la fila 1 que es menos 2 4 y

5 y la fila 3 que es 3 0 y 2 entonces ahora sí la que voy a cambiar en la segunda fila entonces a esa segunda fila tengo que hacerle algo por ejemplo voy a restarle la fila 3 multiplicada por dos o sea voy a multiplicar por dos la fila 3 y así se escribe generalmente como voy a cambiar la fila 2 se escribe aquí en el renglón de la fila 2 si voy a cambiar la fila 3 se escribe en el renglón de la fila 3 bueno pero entonces esta fila que voy a cambiar

queda quieta la fila 2 y la resto le sumo cualquier otra fila multiplicada en este caso este es el ejemplo entonces cómo se hace voy a hacerlo elemento por elemento entonces entonces a esta fila le voy a restar el doble de esta fila voy a el primer elemento entonces a este elemento le voy a restar el doble de éste o sea 3 por 26 que me quedaría 66 ahora hago lo mismo con todas a esta de a este elemento de la fila 7 le voy a restar el doble del elemento de la fila 3 o

sea el doble de 0 que es 07 - 0 eso es y al elemento de la segunda fila que es menos 3 le voy a restar el doble del elemento perdón de la fila 2 le voy a restar el doble del elemento de la fila 3 o sea le voy a restar el doble de 2 que es 4 - 3 - 4 eso es menos 7 si y si ustedes lo si quieren lo pueden comprobar hay en el determinante de esta matriz que pues ya ustedes saben ya les dije es menos 217 hay en el

determinante de esta otra y se darán cuenta que también es menos 217 bueno aquí es simplemente un ejemplo pero en un siguiente vídeo también vamos a ampliar esto si para aplicarlo a encontrar el determinante de matrices de auto en superior bueno aquí quiero aclararles algo y es que aquí dice que se le suma si ustedes dirán pero yo reste si es que se le suma le por ejemplo aquí le sume la fila 3 multiplicada por menos 2 sí entonces en pocas palabras nos dice suma pero puede ser suma así porque aquí le estamos multiplicando un

negativo vamos ahora con la sexta propiedad que bueno ya nos queda esta y otra nada más y se acaba el vídeo la sexta propiedad dice que el determinante de una matriz es igual al de su transpuesta en símbolos es así el determinante de la matriz a es igual al determinante de la matriz traspuesta de la matriz a aquí voy a hacer el ejemplo nuevamente con una matriz de 2 por 2 para no alargar el vídeo pero funciona para todas de cualquier orden entonces bueno cuadradas aquí tenemos una matriz la matriz que llame a aquí voy

a colocar su traspuesta acordémonos que es las filas las colocamos como columnas la fila 1 de 6-3 la colocó como columna 63 la fila 2 es menos 21 lo colocó como columna menos 21 que dice esta propiedad que el determinante de esta matriz debe ser igual al de esta aquí rápidamente 6 por 16 siempre menos y estos dos menos dos por tres que es menos 6 aquí quedaría más 66 más 6 que eso es 2 aquí si hallamos el determinante 6 por 16 siempre menos y la otra multiplicación 3 por menos 2 que es menos

6 aquí se convertiría en más 666 eso es 12 entonces queda comprobado si con este ejemplo sencillo que el determinante de una matriz es igual al de su matriz traspuesta y vamos con la última propiedad que vamos a ver en este vídeo que es la siguiente si a tiene matriz inversa acordémonos que no todas las matrices tienen su inversa pues la inversa siempre se escribe como a elevado a la menos 1 entonces el determinante de la inversa es igual a 1 dividido entre el determinante de la matriz pues este no lo voy a explicar porque

pues habría que hallar la inversa y todo eso lo voy a hacer también para profundizar un poco más en otro vídeo si ustedes quieren en este vídeo no veo necesidad de dejarles ejercicio de práctica eso ya lo vamos a hacer en los siguientes vídeos bueno amigos espero que les haya gustado la clase si les gusto los invito a que vean el curso completo para que profundicen un poco más sobre este tema o algunos vídeos recomendados y si están aquí por alguna tarea o evaluación espero que les vaya muy bien los invito a que se suscriban

comenten compartan y le den like al vídeo y no siendo más bye bye [Música]