AULA1

[Música] Olá vamos a mais uma aula de matemática hoje falaremos sobre probabilidade hoje veremos aula um mas antes de começar probabilidade gostaria de dizer que esse é um assunto muitíssimo importante pois ele não cai no ENEM e outros vestibulares ele despenca né Ainda não vi umaa do Enem que não tenha questões sobre probabilidade n Vamos então ao estudo das probabilidades mas antes um recadinho especial inscreva-se em nosso canal MM matematicando a sala de aula que está sempre L esperando vamos então à probabilidades n probabilidade elementos do estudo das probabilidad Vamos então ver os principais elementos que estão relacionado com o estudo das probabilidades experimentos aleatórios né ve esse pequeno problema para você entender melhor o que é o experimento aleatório uma TV de LCD será sorteada entre os 50 funcionários de uma empresa na festa de confraternização de fim de ano os funcionários foram numerados de 1 a 50 e os números foram marcados em 50 cupões idênticos colocados em uma urna o presidente da empresa reti um cupom da urna não sabemos Qual é o número sorteado pode ser 1 2 3 4 5 a experimento cujo resultado não pode ser previsto Com certeza dizemos que se trata de um experimento de natureza aleatória casual né sabemos que o número sorteado está entre 1 e 50 incluindo os dois né Mas não sabemos qual deles suponha agora que um dado seja lançado não é possível dizer com certeza Qual o número escrito na face superior pode ser 1 do 3 4 5 ou seis trata-se também de um experimento aleatório cujo resultado entre os possíveis esses seis né É imprevisível podemos citar vários outros experimentos de natureza aleatória veja lançar uma moeda e observar a face obtida sabe-se que é cara ou coroa mas não podemos afirmar Com certeza qual delas né sortear uma bola de uma caixa e observarmos sua cor sabendo que na caixa há 20 bolas idênticas em tamanho e peso e que cinco são vermelhas outos amarelas quatro azul e Três pretas ora sabemos que é uma das 20 bolas Mas não sabemos a sua cor sortear seis de 60 números em um concurso da Mega Cena você sabe que os números sorteados serão seis dentre 60 mas não sabe com certeza qual seis será sorteado né retirar uma carta de um baralho comum e observar seu naipe ora sabe-se ou é de ouros ou de copa ou de espada ou de paus Mas não sabemos qual deles sortear Duas cartas entre as 50. 000 enviadas a um programa de Prêmios na TV a teoria das probabilidades permite quantificar as chances de ocorrer um determinado resultado em um experimento dessa natureza Ou seja você Você não sabe o que ocorrerá Mas é possível determinar a chance de algum desses fatos acontecer espaço amostral né O que é o espaço amral é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer num experimento aleatório e é indicado pela letra grega Ômega ou pela letra S então Em geral os autores nos livros representam o espaço amostral de um experimento aleatório por Ômega ou por S né veja o número de elementos do espaço amostral de experimento aleatório é indicado por n de ôa ou seja número de elementos do evento Ômega número de elementos do evento S faz espaço amostral ou representado por s ou por Ômega assim no caso do sorteio da TV de LCD temos que o nosso espaço mostr ôa é composto pelos números que vai de 1 a 50 e o número de elementos do evento amostral do espaço amostral ôa é 50 n já para o lançamento de um dado temos que o espaço amostral que representado por é 1 2 3 4 5 ou 6 e o número de elementos desse espaço amostral é 6 número de elementos de s 6 Suponha que uma moeda seja lançada três vezes sucessivamente e seja observada a sequência de resultados cara representado por c e coroa representado por K obtidos nos lançamentos né usando o PFC o princípio fundamental da contagem o número de resultados possíveis de ocorrer esse experimento é o número de elementos do conjunto S do espaço amostral s é 2 x 2 x 2 8 ou seja no primeiro lançamento há duas possibilidades ou da cara ou coroa no segundo duas possibilidades também cara ou coroa e no terceiro lançamento também há duas possibilidades Cara ou Coroa o PFC garante que se você vai contar as possibilidade de ocorrer acontecer um evento você pode dividir etapas calcular a distance de cada etapa as possibilidade de cada etapa acontecer e para calcular o total de Possibilidade é só multiplicá-las foi isso que fizemos né exibindo essas possibilidades temos que o espaço amostral ess é composto pelos seguintes elementos na dos três lançamentos pode ocorrer cara cara cara ou cara cara coroa ou cara coroa Cara ou Coroa cara cara ou ainda cara coroa coroa coroa cara coroa coroa coroa cara ou coroa coroa e corroa né então nem sempre é tão simples exibir os elementos de um espaço amost né em geral nós estamos interessados mais na quantidade de elementos do espaço amostral do que nos próprios elementos né então na maioria dos casos né que nós formos trabalhar em probabilidade você vai ver nós estamos mais preocupado em saber quantos elementos possu espo amostral e não quem são eles certo mas se for necessário também podemos exibi-los para você verificar Quem são e quantos são veja existem também experimentos aleatórios em que é inviável descrever um a um todos os resultados possíveis é o caso do resultado do sorteio dos números de um concurso da meena em que cada resultado possível consta de seis números escolhidos entre os 60 disponíveis nessa situação será necessário usar as técnicas de Contagem estudadas em análise combinatória para determinar o número de casos possíveis de ocorrer um experimento temos então veja no caso da meac cena o número de elemento de espaço am mostral s é 60 combinado 6 a 6 ou seja todas as possibilidades de você escolher seis números de 60 né sem considerar a ordem entre eles pois a ordem não importa n no caso do sorteio da Mega Cena se você resolver essa combinação vai encontrar o número r50 mil 63. 80 né a ordem dos números não importa nesse caso né portanto significa o quê que para quem joga um cartão da mega-ena está arriscando acertar um cartão entre os 50 mil 63.

800 que é possível sortear né evento vamos ver o que seria o evento né um outro elemento importantíssimo das combinações e das probabilidades aliás né consideremos um experimento aleatório cujo espaço amostral é Ômega ou s seja representado por Ômega ou por S né Sem problema chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral né Ômega ou s então o espaço amostral é um subconjunto o o evento na verdade é um subconjunto do espaço amostral é uma parte dele Certo que pode conter alguns de seus elementos ou todos né em geral indicamos o evento por uma letra maiúscula do alfabeto a b c d e f g e assim por diante até Z né veja um exemplo né uma caixa contém 20 bolas de mesmo peso e tamanho numeradas de 1 a 20 uma pessoa com os olhos vendados retira uma bola dessa caixa trata--se de um experimento aleatório cujo espaço amostral é s nesse caso AD por ess são os números que estão com e indicados novas bolas e vai de 1 a 20 então número de elementos desse espao amostral é 20 né Agora vamos construir alguns subconjuntos desse espaço amostral veja um evento a né ou subconjunto a a bola sorteada contém o múltiplo de quatro então se a pessoa vai retirar a bola pode ser que ela retire o múltiplo de quatro aí quantos múltiplos de qu nós temos nesse passo amral temos o 4 o 8 o 12 o 16 e o 20 no total C Portanto o número de elementos do evento a ou desse subconjunto é 5 né então há cinco elementos nesse espaço amostral com nessas condições né sendo múltiplo de [Música] qu evento b a bola sorteada contém um número formado por dois algarismos Ora se a bola conté número dois algarismos o menor é 10 aí 11 12 até 20 que dá um total de 20 Men 10 10 mais 11 de 11 elementos né ou seja esses elementos estão todos contidos no espaço amostral portanto a possibilidade da que a pessoa tire uma bora cont o número de dois algarismos nesse caso né também é uma possibilidade então trata-se de um número de 11 elementos né Portanto o número de elementos do evento B é 11 temos 11 elementos aqui evento C A bola sorteada cont tem um número primo quem são os números primos são aqueles que dividem exatamente por um e por ele mesmo apenas né o menor é dois a temos o 3 o 5 7 11 13 17 19 próximo é 23 não escrevemos aqui por não faz parte do espaço amostral porque são elementos que constam no espaço amostral n então também a possibilidade que a pessoa retire uma bola que conté o número primo pois esses números primos estão todos contidos no espaço amostral temos aí 1 2 3 4 5 6 7 8 né número de elemento do evento C evento d a bola sorteada um número não nulo menor ou igual a 20 ol os números não nulo menor ou igual a 20 são os números que inici em um e vai até 20 né porque eles não nulo ou seja o zero não faz parte mas do um em diante até ouvintes todos pertencem a esse evento D Observe que esses elementos também estão todos no espaço a mostral O S E aliás todos eles né os dois espaços são iguais pois eles T os mesmos elementos né ou então há possibilidade da pessoa também retirar uma bola dessa há possibilidade não com certeza a bola sorteada estará no evento D por isso a gente diz que evento desse tipo em que ele contém todos os elementos do espaço amostral né é um evento certo com certeza a bola retirada ou o fato considerado estará dentro desse espaço amostral né então o número de elementos do evento D é 20 né E a bola sorteada contém um número formado por três algarismo Ah nesse caso impossível né pois o maior valor desse nosso conjunto aqui do espaço amostral é 20 que é o número de dois algarismo então não há a menor chance de que a pessoa retire uma bola com três algarismos numerada com três algarismos né o número dela ser composto três algarismos portanto esse evento é um evento vazio o número de elementos em relação ao espaço amostral é zero evento desse tipo chamamos de evento impossível Ou seja é impossível você retirar uma bola que estão numeradas de 1 a 20 você ir lá nessa caixa retirar uma bola e o número dela ser formado por três algarismos né isso jamais acontecerá portanto evento desse tipo dizemos impossível né o número de elementos em comum com o espaço amostral aqui ó zero evento complementar né que vem a ser o evento complementar né seja a um evento de um espaço a mostrar o ômega chamamos evento complementar de e em relação a Ômega indica-se por e elevado a c ou e barra que é esse tracinho aqui acima do e o evento que ocorre quando e não ocorre n ou seja o que é evento complementar é um evento é uma situação em que Você prevê uma situação se ela não acontecer a outra situação ocorre ou seja o seu evento complementar né veja um exemplo para ficar mais claro né ou uma ilustração né Aqui está o espaço a mostrar o homem que é representado por esse retângulo né e aqui está o evento e né então se esse evento E tem alguns elementos e nós estamos considerando a possibilidade de ser retirado um desses elemento do espaço do evento Ômega se não acontecer a retirada de um desses elementos ocorrerá a retirada de um elemento desse outro espaço aqui que é o espaço restante né se você não considerar o e sobrará todos esses elementos que chamamos de espaço de evento complementar né Note que a união entre o evento e o seu complementar se você unir os dois né Você tem o próprio espaço Ômega Ou seja quando eu somo os elementos de um conjunto com os elementos seu complementado dá o próprio espaço amostral né pois a união entre eles é a intersecção aliás entre eles é vazia e a união é o próprio conjunto se você somar os elementos dos dois eventos dá sempre a quantidade de elementos do espaço Ômega veja Note que o número de elementos do evento e mas o número de elementos do evento complementar é igual a número de elementos do espaço a mostrar o ômega ou seja se você tiver a quantidade de elementos do um nem precisa calcular do outro né se você tiver o número de elementos do espaço do evento complementar e tiver o número de elementos do evento ou do espaço a mostrar Ômega é só subtrair se você tirar desse total de elementos o evento complementar você consegue os elementos do evento se subtrair os elementos do evento você consegue a quantidade de elementos do evento complementar né Se for necessário usar essa ideia pode usar sem problema que às vezes você tá interessado em descobrir os elementos de um determinado evento mas é mais fácil descobrir do complementar dele ou você quer do complementar e é mais fácil descobrir Quantos elementos tem o evento ou então você calcula um e de posse de um se você tiver a quantidade geral você obtém automaticamente o outro fazendo uma subtração né vej mais um exemplo para ficar mais claro considere novamente o experimento que consiste em retirar uma bola entre as 20 que estão numa caixa e observar o número mostrado na bola vamos representar ao lado o evento a ocorre o número múltiplo de quatro veja tá aqui ó o eventual o número múltiplo qu 4 8 12 16 20 né mas se não ocorrer o número múltiplo de quatro O que acontecerá se alguém retirar uma bola dessa e o número não for múltiplo de quatro é um número que não é múltiplo de quatro ou seja qualquer um desses outros né portanto quando não ocorre um evento se você num experimento aleatório se o evento não acontece com certeza acontece o seu complementar né se você juntar os elementos dos dois conjuntos Você tem os 20 elementos que formam o espaço Ômega nesse caso portanto Olha só né os elementos de ôa que não pertencem a a corresponde aos números que não são múltiplos de quatro eles formam o conjunto complementar de a em relação a Ômega que pode ser representado por a elevado a c ou a barra [Música] né definição e cálculo da probabilidade de um evento acontecer em um espaço amostral equiprovável finito ou seja o que é um espaço amostral equiprovável é aquele em que todos os seus elementos t a mesma chance de acontecer e finito que você consegue contar todos os elementos desse espaço amostral Considerando o espaço amostral S não vazio e o evento e sendo e contido em S ou seja o evento e é uma parte do conjunto S ou do espaço amral s a probabilidade de ocorrer o evento e é um número real indicado por P de e probabilidade de ocorrer o evento e a gente lê assim tal que essa probabilidade de ocorrer event a divisão entre o número de elementos do conjunto e e o número de elementos do espaço amostral ou seja para calcular a probabilidade Antes Você Precisa calcular Quantos elementos possuem o espaço amostral né e Quantos elementos possui o evento considerado para você comparar né esses elemento com todos os elementos né Aí é só fazer a divisão e essa probabilidade é o número que está entre zero e 1 né vai de zero a um né zero para os eventos impossível um para os eventos certos e para outros eventos está entre zero e um né e esse é um conjunto aqui provável Ou seja todos os elementos têm a mesma chance de acontecer para transformar essa probabilidade né de ocorrer um evento qualquer em porcentagem basta multiplicar essa divisão por 100% veja você pega a probabilidade que é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral multiplica por 100 por ou seja multiplica o numerador por 100 continua dividindo pelo total de elementos e coloca o símbolo de porcentagem Pois 100% é a mesma coisa que 100 100 que é 1 portanto quando você multiplica uma fração por 100% você está multiplicando por um e o resultado não ficará alterado né dará o mesmo resultado só ficará transformada em porcentagem porque você multiplica por 100 mas não vai dividir você vai deixar o símbolo de porcentagem né 15% só para relembrar como que você representa 15% há duas possibilidades ou três né Você pode representar assim 15% ou 15 dividido para 100 que esse sío de porcentagem significa que você vai dividir por 100 e se você dividir 15 para 100 você consegue 0,1 dois números após a vírgula toda divisão por 100 deixa dois números após a vírgula 80% por exemplo é 80 so 100 se você dividir dá 0,80 pode ser representado também por 0,8 pois o zero que está após a vírgula e após o último algarismo significativo não precisa ser escrito a não ser que você queira propriedades vamos ver algumas propriedades das probabilidades antes de resolvermos alguns problemas seja ôa espaço a mostrar finito aqui provável correspondente a um experimento aleatório V as seguintes propriedades primeira a probabilidade do evento certo é igual a um basta notar que quando o e o espaço amostral é igual espaço o evento aliás é igual espaço a mostral possui os mesmos elementos e a mesma quantidade né o número de elementos do evento é igual ao número de elementos do espaço amostral e aí você vai fazer a probabilidade né portanto você vai calcular a probabilidade do evento er pegar o número de elementos do evento e dividir pelo número de elementos do espaço amostral mas o número de elementos do espaço e é o mesmo do espaço amostral portanto você pode substituir por ele então você vai dividir o valor por ele mesmo vai dar um se você multiplicar por 100 por vai dar 100% portanto Esse é um evento certo com certeza acontece né segunda propriedade a probabilidade do evento impossível é igual a zero basta notar que quando e o evento e é um é um subconjunto que não tem nenhum elemento em comum com o espaço amostral Ou seja é um conjunto vazio o número de elemento desse conjunto em relação o espaço amostral É zero né portanto para calcular a probabilidade você vai fazer o número de elementos do evento e zero dividido pelo espaço amostral que seja diferente de zero né o espaço amostral é que provável finito né se ele não for zero você vai dividir zero por um número diferente de zero e Vai dar quanto zero se multiplicar por 100% vai dar 0% né ou seja não há menor possibilidade desse evento acontecer vimos isso no caso das sorteio da bola lá na caixa de numeradas de 1 a 20 que era impossível retirar uma bola numerada com três algarismos né era o caso aqui terceira propriedade a probabilidade do evento complementar é igual a 1 menos a probidade do evento e veja o número de elementos no evento mas o número de elementos do seu complementar é igual ao número de elementos do espaço amostral Ômega dividindo essa equação pelo número de elementos do espaço mostrar ôa temos né você vai pegar o número de elementos do evento e dividir pelo pelo número de elementos do espaço mostrar o ômega pegar o número de elementos do do evento complementar de e dividir pelo número de elementos do espaço mostrar Ômega e dividir também o número de elementos do espaço a mostrar o ômega por ele pela mesma quantidade né então o que acontecerá isso aqui é a probabilidade de acontecer o evento e isso aqui é a probabilidade de ocorrer o evento complementar isso aqui é um valor dividido por ele mesmo vai dar um Né desde que ele seja diferente de zero então se eu quero calcular a probabilidade de ocorrer o evento complementar eu passo a probabilidade do evento para o outro lado e ele muda de sinal né então a probabilidade de ocorrer o evento complementar e de e né é igual a 1 menos a probabilidade do evento e ou a probabilidade do evento e é 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento complementar ou seja se você tem a probabilidade de acontecer um você automaticamente sabe a probabilidade do outro acontecer exemplo um uma urna contém Bas de a uma bola será extraída ao acaso da urna qual a probabilidade de ser extraída uma bola com número maior ou igual a 11 nesse caso temos calcular o número de possibilidade do nosso evento oo de probabilidade doç amostral to espço amral o nosso espaço amostral colocar aqui á o quê as bolas numeradas de 1 a panto o número de elementos do evento s 15 agora vamos para o evento a né V chamar aqui de evento a que é o quê total de bolas com número maior ou igual a 11 bolas com números maiores ou igual a 11 né é 11 12 número de Element do evento a é 1 2 3 4 5 portanto Já podemos calcular a probabilidade de ocorrer o evento a é o número de elementos do evento a dividido pelo número de elementos do conjunto S do espaço amostral elemento de A 5 elemento de S 15 uma fração dá para simplificar por 5 né 5 por 5 dá 1 15 por 5 dá 3 dá podemos transformar em porcentagem multiplicando por 100% 1 x 100 100 di 3 por 100 di 3 10 por 3 dá 3 3 x 3 9 para 10 1 10 D 3 3 x 3 9 para 10 1 né coloquei a vírgula aqui já continuar a divisão só colocar z0 dá 3 3 39 para 10 1 mais um z0 né então é aproximadamente 33 v 33% n a resposta é 33 V 33% aproximadamente exemplo dois um dado será lançado duas vezes sucessivamente qual é a probabilidade de a ocorrer cinco no primeiro lançamento e o número par no segundo B o produto dos pontos obtidos ser maior que 12 Vamos iniciar pela letra A N vejamos então letra A nosso espaço amostral S será [Música] do 6 se né ou seja o primeiro dado poid de um a se e o segundo também de um a se Portanto o número de possibilidade de S número de elemento total é seis possibilidades para o primeiro dado e seis para o segundo 30 e se agora o evento a evento a é ocorrer né No primeiro [Música] lançamento o c e no segundo número par então pode ser 5 e 2 pode ser 5 e 4 pode ser opi c e se número de possibilidade do elemento a ocorreu o evento a é o número de elementos do conjunto A e pelo número de possibilidade do espaço amostral número de elementos de a 3 número de elemento do espaço amostral S 30 se dá para simplificar por três Néa 3 por 3 dá 1 36 dá 12 né 1/1 ou a cada 12 lançamento deve ocorrer uma vez ou ainda podemos transformar em porcentagem né que é igual a 1/2 vees 100% né uma ve 100 é 100 100 div por 12 bora fazer aqui 100 div para 12 é a mesma coisa de 50 div para 6 né e 2 por 2 ou 25 div para 3 né tudo por 2 de novo ou tudo por 4 n 25 por 3 dá 8 8 x 3 24 sobra 1 vírgula 10 por 3 dá 3 3 x 3 9 sobra 1 sobra um aproximadamente 8 v 33% n resposta letra A 8,33 por aproximadamente letra [Música] b o número do espaço amostral s é 36 né já sabemos né da letra a 36 orora o evento b o produto dos pontos obtidos ser maior que 12 ora então não pode ser um primeiro porque se for um se um dado der 1 1 x 6 é o máximo vai consir seg se se der 2 2 x ser 12 é o máo se der 3 3 x 6 18 ó 3 x 4 12 3 x 5 já pode ó 3 e 5 já serve né 3 x 5 15 também pode ser 3 e 6 se um for 4ro éé o primeiro suponha né segundo pode ser 4 x 3 12 4 x 4 16 serve ó 4 x 5 20 também serve 4 e 5 também serve 4 e 6 [Música] n também serve 5 E3 né 52 é 10 né Não serve mas 53 dá 15 né outro 5 qu serve né outro 5 e 5 também serve dá 25 né outro ainda 5 e se também serve serve ainda 6 e 2 12 mais 6 e 3 18 serve ainda 6 e 4 serve ainda 6 E5 serve ainda 6 e 6 dá 36 E aí fechou né então número de B ver Quantos elementos nós temos aí no conjunto B né 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 produto dos números sendo maior que 12 né portanto a a probabilidade de acontecer esse evento B é número de elementos do B que nós já temos e o número de elementos do espaço amostral que também já temos que é número de elementos do conjunto B ou do evento b 13 do espaço amostral 36 né podemos transformar também em percentagem né 13 so 36 vezes 100% dá 1300 n 13 x 100300 sobre 36 por né aqui a porcentagem que eu tinha esquecido né para não esquecer a porcentagem vamos lá agora dividir 1300 por 36 né 1300 por 30 e 6 vou dividir por do também né 1 300 dá o quê 13 dá 7 6 650 né 150 por 2 18 n dividindo por dois ainda 325 né por 2 9 né dividido tudo por [Música] 2 agora vamos dividir 32 por 9 D 3 3 x 9 27 27 para 32 dá 12 - 7 5 né 55 5 x 9 45 6 x 9 54 6 x 9 54 para 55 um né V 10 9 dá 1 v 9 9 para 10 1 mais 1 dá 1 panto essa probabilidade é igual ente a é aproximadamente 36,11 por né 36,11 Por 36,11 por é a nossa resposta aproximadamente exemplo três na tabela seguinte está representada a distribuição por turno dos alunos do curso de economia de uma faculdade manhã 20 homens 25 mulheres noite 23 homens e 12 mulheres escolhendo ao acaso um aluno desse grupo qual é a probabilidade de que seja mulher or vamos determinar logo o espaço amostral né S né é aluno do Curso de Economia então número de S quantidade de aluno do Curso de Economia temos aí na tabela é manhã 20 homens mais 25 mulheres noite 23 homens mais 12 mulheres somos 45 né 48 50 60 80 temos 80 né portanto total de elementos do espaço amostral 80 é o nosso total de possibilidade evento a O Escolhido [Música] é mulher número de elementos do evento a Se for mulher tanto faz pode ser da manhã ou da noite né pode ser qualquer uma das 25 mulheres que estudam de manhã ou qualquer uma das 12 que estudam à noite portanto [Música] 37 probabilidade do escolhido ser mulher probabilidade de acontecer o evento a número de elementos do evento a dividido pelo número de elementos do evento S todas as possibilidades né número de elementos do evento a 37 número de elementos de espaço amostral todas as possibilidades 80 quisermos transformar em porcentagem vamos ter 37 dividido por 80 x 100% 37 x 100 3000 700 dividido por 88% Vamos ver quanto que dá dividir aqui 3700 dividido por 80 Podemos dividir logo por 10 370 por 8 37 por 8 dá 4 4 X 8 32 4 37 - 37 - 32 dá 5 Baixo 0 50 por 8 dá 6 6 x 8 48 50 faltam 2is 0 baixam 20 zero aqui né 20 20 por 8 dá 2 2 x 8 16 para 20 faltam 4 40 por 8 5 46 v25 por é a probabilidade disso acontecer resposta 46,25 por exemplo 4 de um baralho comum com 52 cartas será extraída ao acaso uma carta qual é a probabilidade de não sair um a vamos logo determinar nosso espao amostral S né que é carta do baralho então o número de elementos do nosso espaço amostral s é 52 são 52 cartas já tá dito no problema o nosso evento a a [Música] carta é um mais número de elementos nosso passa a mostrar o a ou do nosso evento a quatro né ou de pau ou de copas ou de ouro ou de espada né mas não esse evento que nós queremos nós queremos A negação desse que a carta não seja um mais portanto queremos o complementar né complementar de a a [Música] carta não é um mais então o número de elementos do nosso evento complementar será todas as cartas do espaço né Todo o espaço amostral menos o evento a Men 4 ou seja 48 né portanto a probabilidade da carta não ser mais complementar é o número de elementos do EV evento complementar dividido pelo número de possibilidades totais ou seja do espaço amostral 48 div por 52 dá para simplificar por 4 28 por 4 12 52 por 4 13 né 1213 se transformar em porcentagem vai ficar 12 sobre 13 xes 100% né É só multiplicar vai ficar 12 x 100 1200 dividido por 13% valor aproximado será 1 200 dividido por 13 120 por 13 9 né 9 x 3 27 vai 2 9 X 1 9 2 11 117 para 120 F 3 bxo 0 30 dá 2 né 2 x 3 26 30 - 26 4 colocar a vírgula coloca o zero aqui né 40 por 13 dá 3 3 x 3 39 40 - 39 1 0 aqui 10 por 3 dá 0 né então vamos parar por aqui né então aproximadamente 92,30 por essa é a nossa resposta [Música] aproximadamente 92,30 por exemplo C em um grupo de 80 pessoas todas de Minas Gerais 53 Conhece o Rio de Janeiro 38 conhece São Paulo e 21 já estiveram nas duas cidades uma pessoa do grupo é escolhida ao acaso qual é a probabilidade de que ela tenha visitado apenas uma dessas cidades vamos lá nesse tipo de problema tenho que tomar bastante Cuidado pois aqui nós temos que separar as pessoas que conhecem as doas cidade acho que conhece apenas uma das duas né ó vamos fazer o seguinte ó colocar esse evento aqui conhece o Rio de Janeiro esse evento aqui conhece São Paulo aqui conhece as duas né Então temos o seguinte né 21 pessoas já estiveram nas duas cidades então aqui temos 21 pessoa 21 pessoas conhece São Paulo 21 pessoas conhece o Rio de Janeiro mas ele disse que dessas 53 Conhece o Rio de Janeiro mas que já tem 21 53 portanto temos 53 Men 21 que conhece somente o Rio de Janeiro São 30 e duas pessoas certo vamos ver quantos conhece apenas em São Paulo dis que 38 conhece São Paulo mas que já tem 21 conhece São Paulo então ver quanto está faltando para 38 né 38 Men 21 8 - 1 7 3 - 2 1 17 então 17 dessas 80 conhece apenas São Paulo Aqui nós temos 17 + 21 dá 38 40 70 ora mas s 80 pessoas Então tem tem 10 que não conhece nenhuma das duas cidades portanto Aqui tá o nosso S né que é 80 aqui tá nosso evento Rio de Janeiro e São Paulo e aqui os dois portanto agora nós temos o seguinte ó né o número de S nosso evento Total número de elementos é 80 agora o nosso evento a que é conhece apenas uma dessas cidades né ou visitou né conhece apenas uma das cidades ou Rio de Janeiro ou São Paulo né então o número de a ou desse evento a é ou uma dessas 32 ou uma dessas 17 né 32 mais 17 temos 49 né 7 + 2 9 1 + 3 4 agora a probabilidade de se escolher uma pessoa e ela conhecer apenas uma dessas cidade é número de a dividido pelo número de S [Música] seja 49 né 49 sobre [Música] 80 cve transformar em porcentagem 49 so 80 x 100 por vamos apagar aqui essas continha que nós fizemos para não temos problema agora vamos fazer a divisão de 49 49 x 100 dividido por 80 esse vai dar nosso valor em porcentagem vir aqui 4000 00 por 80 div logo por 10 49 por 8 6 né 6 x 8 48 49 e 1 10 por 8 dá 1 sobra 2 né 10 - 8 2 v 20 20 por 8 dá 2 2 x 8 16 para 20 faltam 4 40 para 8 dá 5 portanto [Música] 61,25 Essa é nossa resposta resposta [Música] 61,25 por exemplo 6 um ônibus de excussão com 20 brasileiros e seis estrangeiros é parado pela polícia federal de Fas do Iguaçu para a vistoria da bagagem o funcionário escolhe ao acaso três passageiros para ter as malas avistadas qual é a probabilidade de que todos sejam brasileiros Então temos aqui V ser escolhidos três passageiros do ôni tem 20 brasileiros e seis estrangeiros portanto 26 pessoas portanto serão escolhidos três das 26 né então o nosso passo amostral [Música] é o seguinte vou L calcular o número de S né número do espaço amostral é combinação de 26 3 a 3 ou seja 26 x 25 x 24 sobre 3 x 2 x 1 se você vai escolher 3 não importa a ordem vai visitar a bagagem dele portanto dá 6 24 por 6 dá 4 4 x 25 é 100 100 x 26 2 600 então número de elementos do espaço amostral 2600 que são as 2600 possibilidade que ele tem escolher três passageiros 2 26 né agora o a né O Escolhido é Brasileiro [Música] né os três são brasileiros né os três são brasileiros né então o número de possibilidade do a é são 20 né são 20 brasileiros portanto você vai para escolher três você tem combinação de 20 tomada três a três ou seja 20 x 19 x 18 sobre 3 x 2 x 1 3 x 2 6 por 18 dá 3 n 3 x 20 60 60 x 19 vamos ver aqui x 60 0 6 x 9 54 vai 5 11 D 110 a probabilidade do escolhido ser brasileiro n se ocorreu o evento a é número de possibilidade de a divo pel número de possibilidade do evento que é igual a número de a 140 sobre número de elementos do espaço amostral os 2 600 ficar logo por 10 N E ainda por 2 114 por 2 57 260 por 2 130 ainda podem transformar em n ficar 57 so 130 ve 100% n ser igual a 57 x 100 5700 dividido por 130 tudo isso em porcentagem que vai dar 5700 130 né ficar logo por 10 57 por 13 4 né 4 x 13 52 para 57 5 50 por 13 3 x 1 39 né 10 dá 1 11 né 50 9 da 11 zero baixa um aqui 110 9 passa 8 né 8 x 3 24 vai 2 104 110 - 104 dá 6 60 por 13 não dá 5 dá 4 4 x 1 [Música] 52 sobra 8 né então aproximadamente né sobrou o resto aproximadamente temos 43 V 84 por panto a resposta é 43,84 por aproximadamente exemplo sete uma questão Caiu no Enem no ENEM também C questão fácil observe o gráfico mostra a velocidade de conexão à internet utilizada em domicílios no Brasil esses dados são resultado da mais recente pesquisa de 2009 realizada pelo comitê gestor de internet ggi porcentagem em domicílio segunda a velocidade da conexão da internet então os dados estão em porcentagem né até 256 KB por segundo 34 domicílio 34% do domicílio entre 256 e 1 MB por segundo 20% dos domicílios de 1 MB por segundo a 2 MB por segundo 15% entre 1 MB 4 MB por segundo 5% de 4 8 MB 1% acima de 8 1% não sabe ou não responde 24% escolhendo-se aleatoriamente um domicílio pesquisado Qual é a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1 MB nesse domicílio ora aí estão as opções né Vamos verificar então de pelo menos 1 MB então não pode ser menos que um isso aqui tá entre do e 1 Então esse 15% ok que tá de 1 a 4 esse c o de 4 a 8 Ok acima de oito também ok se 24 não sabe não responde não vai entrar na nossa pesquisa não temos certeza né portanto nós temos aqui que a nossa probabilidade né Essa probabilidade é de 15% ou ainda 5% ou ainda um 1% ou ainda 1% a probabilidade é de 15 20 21 22 por mas aqui não está em porcentagem né que é o mesmo que 22 sobre 1002 para 100 é 0 [Música] V 22 então letra D resposta correta exemplo o também Caiu no Enem mas não é tão fácil quanto o anterior né diz assim o município de 628 km qu é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município conforme mostra a figura aqui paraar o contrato publicitário uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tende circulando livremente pelo município encontrarse na área de alcance de pelo menos uma das emissoras Qual o valor aproximado dessa probabilidade temos a probabilidade Então vamos trabalhar nosso problema n já temos número do nosso espaço amostral S vou até colocar aqui ó o número de elementos do espaço amostral s é o próprio município é toda a extensão do município 628 km qu [Música] né agora o nosso evento que eu vou chamar de a que é alcance das Antenas né colocar aqui é o [Música] alcance das [Música] Antenas quero calcular o número de elementos então do eventual Ou seja a área do município que as antenas juntas alcançam se você observar né Essa figura esse quadrilátero que é o trapézio né todo quadrilátero a soma dos ângulos internos é 360º esse ângulo é 90º um ângulo reto outro ângulo reto mais 90º então Aqui nós temos 180º portanto a soma desse ângulo a com o ângulo B formado aqui pela alcan da antena B também dá 180 portanto se dá 180 você unir essas duas áreas de abrangência você vai ter uma área correspondente à metade de uma circunferência de raio 10 km veja vou fazer isso para você perceber melhor vou deslocar esse ângulo para coincidir com essa parte aqui ó [Música] veja Então veja que trata-se de uma semicircunferência de raio 10 km né portanto é o alcance dessa antena das duas antenas juntas né é equivalente a cobertura de uma metade de uma circunferência de raio 10 km então basta calcular a área dessa semicircunferência para quem lembra do Ensino Fundamental a área de uma circunferência é pi R ao quadrado seja pi ve o r no nosso caso 10 km né todo a quadrado isso é área da circunferência mas nós não queremos área de uma circunferência completa só da Portanto vamos dividir por 2 né pi é aproximadamente 3,14 10 qu é 100 qum quadrado né divido por 2 3,14 x 100 dá 314 [Música] dividido por 2 31 por 2 dá 15 so 1 14 por 27 então 157 km qu é a área do município que as duas antenas alcançam né portanto Já podemos calcular a probabilidade de que um cidadão desse município circulando livremente est so o alcance de pelo menos uma das Antenas né então vamos lá para calcular probabilidade disso ocorrer o número de elementos do conjunto A do evento a dividido pelo número de elementos do espaço amostral s ou seja a área do município portanto temos n de elementos do evento 157 km qu número de elementos do espaço amostral s a área do município 628 km quadr qum qu div por km qu dá 1 né Pode cancelar vamos transformar então em porcentagem né 157 di por 628 pois as opções estão em porcentagem vamos multiplicar por 100% ou seja 157 x 100 dá 15. 000 e 700 dividido por 600 e [Música] 28 15.