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हाय एवरीवन दिस इज भारती एंड वेलकम टू माय चैनल ड्रीम मैथ्स सो आज हम करने वाले हैं क्विक रिवीजन ऑफ़ द चैप्टर दैट इज प्रोबेबिलिटी सुपर सुपर इजी चैप्टर है प्रोबेबिलिटी में स्टूडेंट्स को क्या दिक्कत आती है कि यहां पे स्टेटमेंट से ही नहीं समझ आता कि कौन सा फर्मूला लगाना है और क्या चीजें कैसे हो रही है तो यहां पे मेन जो गेम है ना वो स्टेटमेंट्स का है फॉर्मूला का है लेकिन फॉर्मूला तो तब लगाओगे ना पहले स्टेटमेंट समझ आ रही होगी तो इस चैप्टर में हम सीख रहे होंगे कि स्टेटमेंट पे कैसे

फोकस करना है स्टेटमेंट समझनी कैसे है फिर रूल लगाने फॉर्मूला लगाने में दिक्कत नहीं आती बहुत इजी चैप्टर अच्छे से समझ रहे होंगे सिंपल फॉर्मूला एडिशन थ्योरम मल्टीप्लिकेशन थ्योरम बेस थ्योरम फिर उसका बाद बर्नोली बेस बिल्कुल बहुत अच्छे सारी चीजें कर रहे होंगे सारे हम पहले फॉर्मूला भी देखेंगे क्वेश्चंस भी अच्छे से कर रहे होंगे सो डोंट वरी इससे पहले हमने मीन मोड मीडियन को रिलेशन रिग्रेशन डिस्पर्जंस स्टैंड डेविएशन इन सबके वन शॉट कर लिए है अगर ये चैप्टर्स भी आपने रिवाइज करने हैं इन सबका लिंक डिस्क्रिप्शन में है ठीक है तो वहां से वो

चैप्टर भी रिवाइज कर सकते हो ये जो प्रोबेबिलिटी है इस चैप्टर की पूरी प्लेलिस्ट का लिंक भी मैं डिस्क्रिप्शन में दूंगी मैंने एक-एक फार्मूला के लिए एक-एक पार्ट बनाया हुआ है प्रॉपर ताकि आप अच्छे से समझ पाओ लेकिन कई बार क्या होता है जब हम सारी चीजें कर लेते हैं उसके बाद हमें कंफ्यूजन होता है कि क्वेश्चन देख के पता कैसे लगे ये पर्टिकुलर इसी वाले मेथड का क्वेश्चन है तो ये वन शॉट सारी चीजें सराइज कर देगा सो वो प्लेलिस्ट भी देखिए तो बहुत अच्छी बात है ये वन शॉट ये सारी चीजें आपको सराइज

करके देने वाला है सो विदाउट एनी डिले फटाफट से स्टार्ट करते हैं आज की क्लास आज हम करेंगे क्या चैप्टर में पहले देख लो पहले सिंपल क्वेश्चंस कर रहे होंगे सिंपल क्वेश्चंस का मतलब जिसमें हम पुराने फॉर्मूला नहीं यूज़ करते थे कि टोटल नंबर नीचे आएगा फेवरेबल केसेस ऊपर आएगा वो वाले क्वेश्चन कर रहे होंगे फिर उसमें होता है यूज ऑफ कॉमिनेशन हमें पता नहीं लगता कि 3 स2 5 स3 ये कहां से आ जाते हैं प्रोबेबिलिटी के अंदर वहां हम देख रहे होंगे कॉमिनेशन वाले क्वेश्च कैसे हैं फिर एडिशन थ्योरम मल्टीप्लिकेशन बेस थ्योरम कंडीशनल

प्रोबेबिलिटी बर नॉलेज के क्वेश्चन मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन इन सबके ये सारे टॉपिक्स आज की क्लास में हम कवर कर रहे होंगे सो स्टार्ट करते हैं सबसे पहला आ रहा है दैट इज क्लासिकल और मैथमेटिकल डेफिनेशन आज की क्लास स्टार्ट हो दो चीजें माइंड में बिठा लो तभी मेरे साथ क्लास में पढ़ना शुरू करना सबसे पहली चीज सिर्फ और सिर्फ आपका ध्यान स्क्रीन पे होना चाहिए कोई भी आपको ऐसा नहीं कोई भी चीज सोच एग्जाम है मेरा ये वाला सिलेबस रहता है इस फ्रेंड को कॉल करना नहीं सिर्फ स्क्रीन पे आ जाओ और पढ़ना है सेकंड चीज

आज की क्लास में ध्यान आपका स्टेटमेंट समझने पे बहुत ज्यादा होना चाहिए कि स्टेटमेंट कहना क्या जाती है स्टेटमेंट बहुत सिंपल है बस माइंड लगा के स्टेटमेंट कहना क्या जाती है एगजैक्टली वो समझने की जरूरत है तो बस स्क्रीन पे आके चीज समझो ये पीडीएफ मिल जाएगी आपको हां इस प्रोबेबिलिटी का आंसर ये आ रहा है ठीक है सबसे पहली चीज देखो अब क्या करने वाले हैं हम दैट इज क्लासिकल और मैथमेटिकल डेफिनेशन ये हम छोटी क्लासेस से देखते आ रहे हैं कि किसी भी चीज की प्रोबेबिलिटी अगर हमें निकालनी है नीचे टोटल नंबर ऑफ

केसेस आते हैं और ऊपर आते हैं नंबर ऑफ फेवरेबल केसेस कितनी बार कर लिया है ना हेड की प्रोबेबिलिटी निकालनी है 1/2 क्योंकि कॉइन में दो ही चीजें होती है हेड या टेल तो टोटल दो चीजें होती हैं हेड कितनी बार आ सकता है एक बार तो वन बाय 2 टोटल केसेस नीचे लिखते थे और ऊपर जिसकी हमें प्रोबेबिलिटी चाहिए ये हम छोटी क्लासेस से चीजें करते आ रहे हैं ठीक है ना एक कॉइन में दो चीजें आ सकती है हेड या टेल तो नीचे टोटल नंबर टू मुझे हेड की प्रोबेबिलिटी चाहिए हेड एक ही

बार आ सकता है सो 1 बा 2 ये हमने बहुत बार किया है किसी चीज के ना होने की प्रोबेबिलिटी p ऑफ न a वो कैसे निकलती है 1 - पफ a अगर आपको किसी की नोट की प्रोबेबिलिटी निकाल है तो वो क्या होता है 1 - p a वन में से माइनस कर दो उसके होने की प्रोबेबिलिटी a बार का मतलब होता है नॉट a क्लियर है चीज ये तो क्लासिकल डेफिनेशन है नेक्स्ट देखो नेक्स्ट हमारे पास है यूज़ ऑफ कॉमिनेशन इन थ्योरी ऑफ़ प्रोबेबिलिटी कॉमिनेशन क्यों यूज़ करते हैं 7 c2 मिल जाएगा क्वेश्चन

में कैलकुलेशन में 5c 3 मिल जाएगा ये कहां यूज होते हैं ये तो क्वेश्चंस में ही मैं आपको समझा रही होंगी कि क्वेश्चन देख के कैसे पता लगा कि यहां कॉमिनेशन लगना है ये क्वेश्चंस में ही बताऊंगी लेकिन कॉमिनेशन अप्लाई कैसे होता है वो मैं यहां बता रही हूं मान लो आपको कैलकुलेट करना है 5 c3 राइट आप क्या करो ऊपर वाला नंबर लिखो 5 फ्टो नीचे वाला नंबर लिखो दैट इज 3 फ्टो और दोनों को माइनस कर दो 5 - 3 2 दैट इज 2 फैक्टोरियल इसको फैक्टोरियल बोलते हैं सॉल्व कैसे करते हैं बताती

हूं बट ध्यान से देखो जो भी यहां लिखा है ऊपर वाला नंबर नीचे वाला नंबर फिर इन दोनों को माइनस करके लिखते हैं यही फॉर्मूला लिखा है देखो ncr-1 फैक्टो इसको सॉल्व कैसे किया जाता है फैक्टोरियल्स उल्टी काउंटिंग खुलते हैं 5 फैक्टोरियल है इसे लिख दोगे 5 * 4 * 3 किसी भी काउंटिंग तक उल्टा जाते हो आप इसको रोक सकते हो मैंने थ्री पे रोका है क्योंकि नीचे वाले 3 फैक्टोरियल से कट हो सकता है तो यहां पे 3 * 2 फ्टो 3 फट से 3 फटोल क्या हो गया कैंसिल 5 * 4 20

2 फटोल मतलब 2 * 1 उल्टी काउंटिंग करते हुए वन तक खोलना होता है तो इसका आंसर कितना बना 10 तो इसका मतलब 5 स3 हमारे पास 10 होता है तो फैक्टोरियल्स कहां लगेंगे कॉमिनेशन कहां लगेगा क्वेश्चन में बताऊंगी फैक्टोरियल सॉल्व कैसे होते हैं ये मैंने बता दिया जिनको आता था बहुत अच्छी बात है जिनको नहीं आता था उनका यहां उन्हें पता लग गया क्लियर है चीज तो हमने अभी तक इस पेज पे दो ही चीजें सीखी एक तो जो हमें डेफिनेशन छोटी क्लासेस से पता है कि टोटल केसेस नीचे आते हैं फेवरेबल ऊपर और

एक कॉमिनेशन वाला फार्मूला क्या है वो समझा है नाउ लेट्स स्टार्ट विद क्वेश्चंस अब क्वेश्चन से स्टार्ट करते हैं क्या लिखा है इन अ लॉटरी देयर आर 10 प्राइजेस एंड 90 ब्लैंक्स एक लॉटरी के अंदर 10 प्राइज हैं और 90 ब्लैंक्स मतलब लॉटरी का पूरा 100 है उसमें से 10 पे प्राइस मिलेगा और 90 पे ब्लैंक्स है इफ अ पर्सन होल्ड्स वन टिकट अगर पर्सन के पास एक टिकट है क्या चांस है कि उसको प्राइस मिलेगा सेकंड पार्ट क्या चांस है कि उसको प्राइस नहीं मिलेगा ठीक है लॉटरी में 10 प्राइज है और 90 ब्लैंक्स

है तो टोटल कितनी हुई हमारे पास लटरी 100 हुई ना ठीक है पहला पार्ट करते हैं गेटिंग अ प्राइस मेरे को प्रोबेबिलिटी किसकी निकालनी है गेटिंग अ प्राइस की तो टोटल नंबर ऑफ केसेस तो 100 है क्यों क्योंकि मेरे पास 100 टिट्स हैं फेवरेबल केसेस कितने हैं गेटिंग अ प्राइस 10 प्राइस है टोटल तो फेवरेबल केसेस कितने होंगे 10 तो प्रोबेबिलिटी क्या होती है टोटल नीचे फेवरेबल ऊपर फेवरेबल कितने है 10 टोटल कितना था 100 यहां से 1/1 दैट इज 1 ये रही 1 प्रोबेबिलिटी तो बहुत सिंपल सा क्वेश्चन है ये बहुत सिंपल है बिल्कुल

हमारी जो हमने बेसिक छोटी क्लासेस में डेफिनेशन की है उससे स्टार्ट कर रही हूं मैं यहां पे कॉइन वाला क्वेश्चन नहीं लाई कोई भी डाई थ्रो करने वाला नहीं लाई यहां पे थोड़ा डिफरेंट टाइप का लाई जैसे लोटरी प्राइस वाला हो गया अभी कैलेंडर वाला एक क्वेश्चन आएगा ताकि डेफिनेशन तो सिंपल रहे लेकिन थोड़ा क्वेश्चन का लेवल बढ़ा दिया मैंने ठीक है आगे देखो नॉट गेटिंग अ प्राइस प्राइस नहीं मिलेगा टोटल केसेस कितने थे 100 प्राइस कितनों पे नहीं है 90 पे तो हमारे पास प्राइस नहीं मिलेगा उसकी कितनी होगी 90/100 दैट इज 9 ये

चीज क्लियर है यहां तक कोई दिक्कत तो नहीं है बहुत सिंपल क्वेश्चन था ये तो अब उसको प्राइस मिल रहा था उसकी प्रोबेबिलिटी कितनी थी दैट इज 1 प्राइस नहीं मिलेगा तो इसकी प्रोबेबिलिटी ऐसे भी तो निकाल सकते थे 1 - p ऑफ प्राइस मिलने की है ना हमने क्या कहा था p ऑफ नोट की प्रोबेबिलिटी 1 - p प्रोबेबिलिटी होने की माइनस कर सकते हैं तो प्राइस नहीं मिलेगा 1 - p ऑफ प्राइस मिलने से भी तो निकाल सकते थे तो वन -1 तो भी आंसर 9 ही आएगा यही सेम आंसर आएगा तो अगर

गेटिंग अ प्राइस की प्रोबेबिलिटी 1 है नॉट गेटिंग अ प्राइसी क्या होगी 1 -19 आप किसी भी मेथड से निकाल सकते हो पूरा सॉल्व करना है पेपर में पूरा सॉल्व करो कम टाइम है फटाफट से वन में से माइनस करो 9 आंसर आ जाएगा क्लियर है ये चीज फर्स्ट क्वेश्चन पक्का सिंपल सा क्वेश्चन था नाउ आगे चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन पे नेक्स्ट इज अ सिंगल अब देखो मैंने क्या कहा था कि यहां पे डाइस वाले या फिर मैं वो क्वेश्चन नहीं लाइ कॉइन वाले जो बहुत सिंपल होते हैं थोड़ा सा लेवल बढ़ाया जो पेपर में

आता है ये क्वेश्चन जो मैं करवा रहे हो ये कंपलसरी क्वेश्चन में आएंगे जो सिंपल वाले प्रोबेबिलिटी के क्वेश्चंस होते हैं वो कंपलसरी क्वेश्चन में आते हैं अब देखो क्या लिखा है अ सिंगल लेटर इज सिलेक्टेड एट रैंडम फ्रॉम द वर्ड प्रोबेबिलिटी एक सिंगल लेटर उठाया गया किस वर्ड से प्रोबेबिलिटी के वर्ड से कोई एक लेटर उठा लिया ठीक है व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट इट इज अ वोल क्या प्रोबेबिलिटी है कि वो एक वोव होने वाला है इसमें टोटल कितने हैं टोटल 11 है काउंट कर लो है कि नहीं देखो 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 है टोटल और इसमें वोवेल्स कितने हैं एक ओ ए आई आई यही होता है ना ए ई आई ओ यू दिस इज ववलू आर द वोवेल्स ये वोवेल्स है तो इसमें से कितने वोवेल्स हैं चार तो मुझे क्या था कि वो सिंगल लेटर वोव होना चाहिए टोटल मेरे पास 11 है वोव चाहिए फेवरेबल फोर है तो इसकी प्रोबेबिलिटी कितनी आएगी 4/11 अब कई बार डाउट होता है मैम पॉइंट में प्रोबेबिलिटी निकालने के फ्रैक्शन छोड़ सकते हैं आपको कैलकुलेटर अलाउड है यहां तक निकालने के बाद एक आंसर अगर पॉइंट

में भी निकाल दोगे तो कोई प्रॉब्लम नहीं है आपको है ना दोनों आंसर लिख दो 4/11 पॉइंट वाला भी लिख दो क्लियर है ये चीज तो ये वाला क्वेश्चन भी किसमें आ सकता है दैट इज आपके कंपल्सरी क्वेश्चन में आ सकता है नेक्स्ट क्वेश्चन देखो व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट अ लीप सिलेक्टेड ये क्वेश्चन बच्चे बहुत डरते हैं कि लीप ईयर वाला क्वेश्चन कहां से आ गया तो टफ होगा नहीं व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट अ लीप ईयर सिलेक्टेड एट रैंडम विल कंटेन 53 संडे स्टेटमेंट को दो से तीन बार से चार बार पढ़ना पड़े

प्रोबेबिलिटी में स्टेटमेंट समझ आ गई क्वेश्चन अपने आप हो जाएगा क्वेश्चन डिफिकल्ट नहीं होता और सबसे अच्छी बात इसकी कैलकुलेशन में टाइम भी नहीं लगता लेकिन स्टेटमेंट पढ़ने में टाइम देना है वो कह रहा है कि क्या प्रोबेबिलिटी है कि मैंने एक लीप य सिलेक्ट किया ठीक है लीप ईयर का मतलब क्या होता है कि उस साल में एक डे एक्स्ट्रा होगा वैसे 365 डेज होते हैं हमारे पास लेकिन लीप ईयर में 366 डेज होते हैं ठीक है 2024 लीप ईयर था कि नहीं था 2024 था नहीं है लीप ईयर चल रहा है हां जी

कहते हैं कोई लीप ईयर सिलेक्ट किया एक दिन एक्स्ट्रा होगा ठीक है अब वो कहता है ये क्या प्रोबेबिलिटी है कि उसमें 53 संडे होंगे अब देखो एक दिन एक्स्ट्रा है हमारे पास पूरे ईयर के अकॉर्डिंग एक दिन एक्स्ट्रा है लेकिन क्या इसमें प्र है कि वो एक्स्ट्रा वाला दिन कौन सा है मंडे भी हो सकता है ट्यूसडे भी हो सकता है वेनसडे भी थर्सडे भी संडे भी हो सकता है तो वो कह रहा है आप एक प्रोबेबिलिटी बताओ मैंने एक लीप यर उठाया उसमें वो एक्स्ट्रा वाला दिन संडे ही होगा थोड़ा घूमा हुआ क्वेश्चन

लग रहा है ना बहुत सिंपल है टोटल डेज कितने हैं मेरे पास 366 डेज है ठीक है अब 366 डेज में कितने वीक आएंगे इसको सेवन से डिवाइड कर दो वन वीक में सेवन डेज होते हैं तो 366 को सेन से डिवाइड कर दो तो आंसर देखो क्या आ रहा है जब आप 366 को 7 से करोगे ना यहां 52 बनेगा इसके रिमाइंडर में टू आ रहा होगा इसके रिमाइंडर में क्या आ रहा होगा टू आ रहा होगा इसका मतलब इसमें 52 तो वीक्स है लेकिन दो दिन एक्स्ट्रा है ऐसे होता है ना हर बार

ये थोड़ी ना होता है कि पूरे पूरे वीक कंप्लीट है और हर साल मंडे से ही शुरू हो रहा है ऐसे तो नहीं होता तो जब हमने 366 को से से डिवाइड किया 52 तो पूरे पूरे वीक्स है लेकिन दो दिन जो है वो वीक से एक्स एक्ट्रा है अब ये दो दिन कौन सेकन से हो सकते हैं मंडे ट्यूसडे भी हो सकते हैं हमारे पास ट्यूसडे वेनसडे भी वेनसडे थर्सडे थर्सडे फ्राइडे फ्राइडे सैटरडे सैटरडे संडे ये सारे डेज ये हो सकते हैं राइट चलो ठीक है कितने डेज हो सकते हैं ये सेवन केसेस हमारे

पास बन गए कि ये दो दिन एक्स्ट्रा वाले कौन से हो सकते हैं ये सेवन केसेस है मुझे तो क्या चाहिए 53 संडे 53 संडे का मतलब मुझे ये चाहिए कि संडे एक्स्ट्रा होना चाहिए संडे कौन सेकन से केस में आ रहा है एक ये वाले केस में आ रहा है और एक हमारे पास ये वाले केस में आ रहा है टोटल केसेस कितने हैं सेवन और संडे किसमें एक्स्ट्रा आ रहा है इन दो में तो सेवन नीचे फेवरेबल टू 2/7 इसकी प्रोबेबिलिटी है बताओ कहीं दिक्कत है तो है कहीं दिक्कत बहुत सिंपल सा क्वेश्चन

बहुत अच्छा सा प्यारा सा क्वेश्चन लेकिन एक अंडरस्टैंडिंग चाहिए ये भी कंपलसरी क्वेश्चन में आएगा और बहुत सिंपल सा क्वेश्चन है समझ आ गई चीज कंटेन 53 संडे संडे का मतलब एक संडे हमें एक्स्ट्रा चाहिए अगर हमारे पास ये वाला कॉमिनेशन आ गया सैटरडे संडे तो भी एक संडे एक्स्ट्रा हो जाएगा अगर ये वाला कॉमिनेशन आ गया संडे मंडे तो भी हमारे पास एक संडे एक्स्ट्रा हो जाएगा तो टोटल केसेस सेवन थे उसमें से मेरे फेवरेबल टू है तो यहां पे 2/7 इज द आंसर क्लियर है ये चीज इसी के साथ जो सिंपल वाले क्वेश्चंस

हैं वो हमारे कंप्लीट हो गए कि कैसे हम सिंपल वाले क्वेश्चन कर सकते हैं टोटल केसेज नीचे फेवरेबल केसेस ऊपर कोई तामझाम नहीं था इसमें मतलब कोई एक्स्ट्रा नहीं था कि मतलब अभी तामझाम समझाऊ जब क्वेश्चन आएंगे इसमें यह भी करना है वह भी करना है ऐसा कुछ नहीं था सिंपल सिंपल बातें की हुई थी हमने सिंपल सिंपल से प्रोबेबिलिटी निकाल ली ठीक है चलिए फिर आगे चलते हैं नाउ नेक्स्ट क्वेश्चन इज़ अ बैग कंटेंस फाइव ग्रीन एंड सेवन रेड बोल एक बैग है फाइव ग्रीन है और सेवन रेड बॉल्स हैं ठीक है टू बॉल्स

आर ड्रॉन इसमें से दो बोल्स निकाली गई व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट वन इज ग्रीन एंड अदर इज रेड दो बल में से एक ग्रीन होनी चाहिए और एक रेड इसकी प्रोबेबिलिटी निकालो यहां पे कॉमिनेशन लगेगा क्यों लगेगा देखो ध्यान से एक तो बैग में से बोल निकलवा रहे हैं ठीक है निकलवा रहे हैं कोई बात नहीं वो भी अपनी चॉइस दे रहे हैं एक ग्रीन होनी चाहिए एक रेड होनी चाहिए तो जब आपको एक ही बैग से हमने बोल निकालने और उस बोल पे भी चॉइस है कि एक ग्रीन एक रेड वहां पे कॉमिनेशन

लगता है पूरी टोटल बोल्स है उसमें से दो तो निकालनी है और वो दो में से भी एक ग्रीन एक रेड जब ऐसी कॉम्प्लिकेशन आ जाए तब आपको कॉमिनेशन यूज करना होता है कॉम क्यों कॉम्प्लिकेशन बोल र ह हों देखो टोटल बल्स कितनी है 12 इस 12 में से तो दो बॉल्स निकालनी निकालनी है और उसमें भी आप बोल रहे हो एक ग्रीन होनी चाहिए एक रेड होनी चाहिए तो दो दो चीजें होगी ना टोटल बोल्स 12 थी 12 में से दो निकालो ठीक है फिर एक बार और दोबारा बोल रहे हो एक ग्रीन कर

दो एक रेड जो कॉमिनेशन लगा दिया आपने एक और चॉइस अपनी बता दी वहां पे कॉमिनेशन लगता है तो ठीक है टोटल बॉल कितनी है 12 तो नीचे टोटल केसेस आते हैं तो मुझे 12 में से दो चाहिए तो नीचे क्या लिखूंगी 12 c2 मुझे 12 में से दो बोल्स चाहिए ठीक है कौन सकन सी चाहिए एक ग्रीन एक रेड चाहिए तो ग्रीन चाहिए ना एक तो ग्रीन वाली हम क्या करेंगे ग्रीन है कितनी फाइव तो एक ग्रीन चाहिए 5 स1 और एक क्या चाहिए रेड 7 स1 टोटल केसेस फेवरेबल केसेस वो चलता रहेगा लेकिन

अब लेवल बढ़ेगा मुझे 12 में से दो बोले चाहिए ठीक है लेकिन वो भी कंडीशन के साथ एक ग्रीन एक रेड तो कॉमिनेशन लगता है टोटल नीचे दैट इज 12 स2 और ऊपर एक ग्रीन और एक रेड चाहिए तो यहां पे कॉमिनेशन लगेगा ठीक है सिंपल बोल देते एक बैग में 12 बोल्स है उसमें से दो चाहिए तो हम सिंपल लिख देते 2/1 लेकिन सिंपल नहीं बोला उन्होंने कहा का एक बैग में 12 बोला है मुझे दो चाहिए लेकिन एक ग्रीन और एक रेड होनी चाहिए तो फिर वो आगे-आगे चॉइसेज बढ़ा रहे हैं ना तो

12 में से दो चाहिए ग्रीन और रेड होनी चाहिए क्लियर है ये चीज तो आप अब कैलकुलेशन करके आंसर निकाल सकते हो नाउ नेक्स्ट क्वेश्चन देखो नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है तो यहां पे क्या लिखा है फ्रॉम अ पैक ऑफ 52 कार्ड्स कार्ड्स वाले क्वेश्चन आने शुरू हो गए कार्ड्स वाले क्वेश्चन मैं करवाती हूं पहले आप में से कितने स्टूडेंट्स हैं जिन्हें कार्ड्स आते हैं कार्ड्स आपको अच्छे से आते हैं जिनको आते हैं फटाफट से रिवाइज कर लेते हैं जिनको नहीं आते अभी समझ लो बहुत इजी है हमारे पास टोटल कार्ड्स 52 होते हैं

जिनको आता है रिवाइज कर लो टोटल कार्ड्स कितने होते हैं 52 ठीक है नंबर देखो a 2 3 4 5 ऐसे 10 तक होता है फिर जे होता है हमारे पास फिर q फिर के ये 13 नंबर्स होते हैं कितने होते हैं 13 नंबर हर एक नंबर के चार कार्ड होने वाले हैं a के भी चार कार्ड होंगे टू के भी चार कार्ड होंगे थ्री के भी चार कार्ड होंगे 13 नंबर है हर एक का चार कार्ड होता है ऐसे ही 52 कार्ड्स बनते हैं ऐसे ही क्या बनते हैं 52 कार्ड्स ये चीज क्लियर है

पक्का आगे बताऊं चलिए अब थोड़ा सा और जानते हैं इन कार्ड्स के बारे में मान लो a के बारे में जानते हैं बाकी सबके बारे में पता लग जाएगा हर कार्ड के पास नंबर के पास कितने कार्ड हैं चार कार्ड है उन चार में से दो तो ब्लैक होते हैं और दो रेड होते हैं हर नंबर के पास क्या होते हैं दो ब्लैक होते हैं कार्ड और दो रेड कलर के होते हैं ठीक है और हर एक की शेप अलग होती है शेप ये नहीं होते सब ऐसे ही है दिखने में लेकिन हर एक के

ऊपर शेप अलग बनी होती है हार्ट शेप का होगा डायमंड शेप का होगा डायमंड शेप ऐसे बनी होती है ठीक है स्पेड होता है क्लब होता है क्लब ऐसे बना होता है स्पेड शेप होती है ऐसे हर नंबर के पास चार कार्ड्स होते हैं जिसमें से दो रेड दो ब्लैक होते हैं और चारों के ऊपर शेप अलग-अलग बनी होती है दैट इज डायमंड बना होगा हार्ट बना होगा क्लब बना होगा और स्पेड बना होगा कौन सा है स्पेड ये चार शेप्स इसके पास होती है एक बात और कभी क्वेश्चन नहीं आता कि हार्ट वाला रेड

कलर का है या स्पेड वाला ब्लैक कलर का है ऐसा कभी कोई क्वेश्चन नहीं आता बस आपको ये पता होने चाहिए कि जो ए कार्ड है उसके पास चार हैं जिसमें से दो ब्लैक दो रेड है और सबकी शेप अलग है स्पेड होती है क्लब होती है डायमंड होती है और हार्ट ये चार शेप्स होती है ठीक है ऐसे ही सेकंड वाले के पास भी चार कार्ड होंगे दो रेड दो ब्लैक उन सबकी शेप अलग होगी सबके पास चार-चार कार्ड होते हैं समझ आ गई चीज अब देखो टोटल कार्ड्स कितने थे 52 टोटल ब्लैक कार्ड्स

कितने हो गए टोटल ब्लैक कार्ड्स बताओ कितने हो गए हर एक के पास दो-दो ब्लैक है ये 13 नंबर्स है तो टोटल ब्लैक 26 हो गए ध्यान से समझना हर एक कार्ड के पास दो-दो ब्लैक है और इसके पास कितने हैं 13 नंबर है हर एक के पास दो-दो 26 ब्लैक हो गए और हमारे पास रेड कितने होंगे दैट इज 26 है ना रेड भी 26 ब्लैक भी 26 मेरे पास क्लब कितने हो गए क्लब के कितने कार्ड्स होंगे 13 नंबर्स हैं सबके पास एक-एक क्लब है तो टोटल क्लब कितने हो गए 13 टोटल स्पेड

कितने हो गए मेरे पास 13 टोटल डायमंड कितने हो गए 13 और कौन सा रह गया हार्ट कितने हो गए 13 तो अगर आपको कार्ड्स आते भी हैं तो ये टोटल नंबर्स अच्छे से पता होने चाहिए मैं रिपीट कर रही हूं टोटल कार्ड्स 52 होते हैं राइट मेरे साथ-साथ बताओ अगर आपको पता है टोटल कार्ड्स 52 ब्लैक कितने होते हैं 26 रेड कितने 26 और सारी शेप्स के कितने-कितने कार्ड्स होंगे 13 13 13 क्लियर हो गई ये चीज एक लास्ट चीज फेस कार्ड्स किसे बोलते हैं फेस कार्ड्स बोलते हैं जे क्यू के को क्योंकि इनके

ऊपर फेसेस बने होते हैं हमारे पास क्या होता है फेस कार्ड्स जे क्यू के को तो टोटल जो मेरे पास फेस कार्ड्स होते हैं वो 12 फेस कार्ड्स होते हैं जे के चार क्यू के चार और के के चार तो टोटल 12 फेस कार्ड्स होते हैं बस इतना अगर आपको पता है कार्ड्स वाले क्वेश्चन सुपर सुपर इजी लगने वाले हैं ये सार सारी चीजें पता लग गई आपको पता थी तो रिवाइज हो गई नहीं पता थी तो अब माइंड में रख लो ठीक है अब फटाफट से क्वेश्चन करते हैं टाइम वेस्ट नहीं करते हम अपने

क्वेश्चन पे आ जाते हैं फ्रॉम अ पैक ऑफ 52 कार्ड्स अच्छा 52 कार्ड्स का पैक है ठीक है टू कार्ड्स आर ड्रॉन एट रैंडम दो कार्ड्स निकाले क्वेश्चन बहुत अच्छे से पढ़ना है पढ़ते हुए माइंड में डालते जाओ 52 कार्ड्स से दो कार्ड्स निकाल फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट वन अ किंग एंड द अदर इज क्वीन 52 कार्ड्स में से दो कार्ड्स तो निकाल रहे चलो ठीक है एक और चॉइस बता रहे हो तुम कि किंग होना चाहिए और दूसरा क्वीन होना चाहिए तो यहां पे सी दैट इज कॉमिनेशन लगेगा 52 में टू निकालने तक तो

ठीक था कि टोटल 52 थे मैंने दो निकाल लिए हो जाता क्वेश्चन नहीं वो कह रहा है उन दो में से एक मेरे पास क्या होना चाहिए किंग होना चाहिए और दूसरा मेरे पास क्या होना चाहिए क्वीन होना चाहिए एक और कंडीशन बता रहा है यहां पे कॉमिनेशन लगेगा ठीक है अब ध्यान न से टोटल 52 52 में से मुझे दो कार्ड चाहिए तो नीचे लिखेंगे 52 स2 समझ आई चीज टोटल कार्ड्स कितने हैं 52 उसमें से कोई दो कार्ड चाहिए मुझे 52 c2 अब कंडीशन बता रहा है एक किंग होना चाहिए कितने किंग होते

हैं मेरे पास चार तो यहां पे 4 स1 मुझे एक किंग चाहिए टोटल चार होते हैं तो 4 स1 और अदर क्या है क्वीन उसमें मेरे पास क्वीन कितनी होती है चार होती है उसमें से एक चाहिए 4 स1 तो यही यहां लिखा हुआ है 4c 1 * 4c 1 / 52c 2 ये चीज क्लियर है तो नीचे तो टोटल वाला लिखा कि 52 में से दो चाहिए ऊपर चॉइसेज वाले किंग चाहिए एक टोटल किंग चार होते हैं 4 स1 एक क्वीन चाहिए टोटल क्वीन चार होती हैं 4c 1 इसको सॉल्व करेंगे ठीक है और

जिसके नीचे वन होता है वो वही नंबर लिखते हैं 4c 1 का आंसर फोर आएगा 4c 1 का आंसर 4 इसको आप सॉल्व करोगे आंसर कैलकुलेट करके आएगा 8 / 663 पूरा आप सॉल्व करोगे क्लियर है ये चीज चले आगे चलिए फिर नेक्स्ट चलते हैं बहुत सिंपल है नाउ नेक्स्ट टॉपिक हमारा है ये हमने सिंपल वाले क्वेश्चंस और कॉमिनेशन देख लिए नेक्स्ट है थ्योरम्स ऑफ प्रोबेबिलिटी तीन थ्योरम्स करनी है हमने मोस्ट इंपोर्टेंट एडिशन थ्योरम मल्टीप्लिकेशन थ्योरम और बेस थ्योरम हम सबसे पहले स्टार्ट करेंगे एडिशन थ्योरम से बहुत मजा आएगा क्वेश्चंस करने में समझने में ध्यान

से समझना सबसे पहला टॉपिक इज एडिशन थ्योरम एडिशन थ्योरम फॉर म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स एडिशन थ्योरम फॉर म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स और अगला हमारे पास है एडिशन थ्योरम फॉर नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स हमारे पास एडिशन थ्योरम है एडिशन थ्योरम में आगे दो चीजें है एक म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स के लिए एक नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स के लिए जब ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव सुनते हैं ना हमें पता लग जाता है प्रोबेबिलिटी शुरू हो गई है और अब हमें समझ नहीं आएगा है ना ये वर्ड ऐस है ना म्यूचुअल एक्सक्लूसिव बहुत सिंपल म्यूचुअल एक्सक्लूसिव का मतलब कुछ भी सेम नहीं है

कुछ भी कॉमन नहीं है आप सुनते हो ना एक्सक्लूसिव सोंग्स कोई भी आप सॉन्ग वाला चैनल देखो व लिखा होगा एक्सक्लूसिव सॉन्ग कि ये सिर्फ हमारे चैनल पे ही गाना आ रहा है है ना तो म्यूचुअल एक्सक्लूसिव का मतलब कुछ कॉमन नहीं होता उसके लिए एडिशन थ्योरम करेंगे कोई हमारे पास a और b दो चीजें हैं अगर इसमें कुछ भी कॉमन नहीं है तो ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव होंगे ए बी दो चीजें का मतलब ए बी दो इवेंट है फॉर एग्जांपल एक बैग में से रेड बॉल निकालनी है वो एक इवेंट ले लिया एक बैग में

से ब्लू बॉल निकालनी है वो दूसरा इवेंट ले लिया अगर इन दोनों में कुछ कॉमन नहीं होता तो ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स होते हैं अगर कुछ कॉमन होता है तो वो होते हैं नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव म्यूचुअल एक्सक्लूसिव मतलब सिर्फ हमारे पास किसी के पास नहीं नॉट कॉमन कुछ भी कॉमन नहीं नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव मतलब कुछ तो कॉमन है क्लियर है चीज आगे चलते हैं अब पेपर में कैसे पता लगे एडिशन थ्योरम कहां लगानी है जहां पे आपको और मिल जाए इदर मिल जाए स्टेटमेंट में वहां पे एडिशन थ्योरम लगती है या फिर स्टेटमेंट समझते हुए

ऐसी कोई सिचुएशन आ जाए कि ये केस भी हो सकता है और ये केस भी हो सकता है जहां ओर वर्ड लिखा हुआ मिल जाए या फिर स्टेटमेंट समझते हुए और वर्ड की जरूरत आपको पड़ जाए वहां पे एडिशन थ्योरम लगती है ओर वर्ड इज फॉर एडिशन थ्योरम ठीक है सबसे पहले एक्सक्लूसिव इवेंट्स के लिए मतलब जिनमें कुछ कॉमन नहीं होता एक्सक्लूसिव इवेंट्स क्या है अभी क्वेश्चन से और अच्छे से क्लियर होगा अगर कुछ भी कॉमन नहीं है तो पफ ए और b क्या होता है पफ a + p ऑफ ब सिंपल फार्मूला अगर कुछ

भी कॉमन नहीं है a और b में तो p ऑफ ए और b को क्या होगा p a + p ब जैसे दो के लिए था वैसे तीन के लिए भी होता है पफ ए ् p ऑफ ब प् p ऑफ सी अगर कुछ भी कॉमन नहीं है दे आर म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स क्वेश्चन से और अच्छे से चीजें क्लियर हो रही होंगी ठीक है अगर मान लो कुछ कॉमन है उनमें मतलब वो म्यूचुअल एक्सक्लूसिव नहीं है क्या है नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव मतलब कुछ कॉमन है अगर नोट आ जाए ना तो मतलब कॉमन है नोट म्यूचुअल

एक्सक्लूसिव एक्सक्लूसिव नहीं है सब के पास होता है कॉमन सी चीज है कॉमन वर्ड आ गया तो पफ ए और b क्या होगा पफ ए + p ब लेकिन कॉमन वाली चीज हम माइनस कर रहे होंगे तो पफ ए + p ऑफ ब माइनस कॉमन वाली चीज ऐसे हम तीन वाले में बात करें तो पफ ए + p ब + p स ये तो ठीक है माइनस कर रहे होंगे कॉमन वाले ए का कॉमन bc3 है ना तो माइनस क्या करेंगे ए वाला कॉमन bc8 वाला कॉमन माइनस कर रहे होंगे लेकिन तीनों वाले कॉलम को

जो कॉमन है तीनों वालों का वो बाद में ऐड कर रहे होंगे क्योंकि इसमें तो वो निकल गए ना तो हम तीनों के कॉमन वाले को क्या कर रहे होंगे ऐड कर रहे होंगे ये दो फार्मूला माइंड में रख लो अभी क्वेश्चन कराऊंगा अब अच्छे से आपने सिर्फ फॉर्मूला पढ़ लो ठीक है क्लियर हो गई चीज आपको बस ये याद रखना है म्यूचुअल एक्सक्लूसिव में कौन से लगने हैं और नॉट एक्सक्लूसिव में कौन से क्वेश्चन से अभी सुपर इजी कर देते हैं देखो क्वेश्चन क्या कह रहा है अ कार्ड इज ड्रॉन एट रैंडम फ्रॉम अ

पैक ऑफ कार्ड एक कार्ड निकाला गया ठीक है पैक ऑफ कार्ड से एक कार्ड निकाल है आगे चलते हैं फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट द ड्रोन कार्ड इज इदर अ क्लब र एन एस ऑफ डायमंड कहता है जो हमने कार्ड निकाला है प्रोबेबिलिटी बताओ कि वो कार्ड या तो क्लब होगा या फिर एस ऑफ डायमंड होगा पहले तो यहां पे ओर वर्ड दिख गया तो ये एडिशन थ्योरम का क्वेश्चन है क्या वर्ड मिल गया र वर्ड एडिशन थ्योरम का क्वेश्चन हो गया ठीक है अब यहां पे दो चीजें हो सकती हैं या तो वो क्या है

क्लब है तो ए मान लो कि हम क्लब को ले रहे हैं लेट ए बी एन इवेंट कि हमने क्लब ड्रॉ किया है और एस ऑफ डायमंड लेट बी बी एन इवेंट कि हमने एस ऑफ डायमंड ड्रॉ की ठीक है ना पहले ए ब बताओ लेट ए बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग क्लब ड्राइंग मतलब निकाला हमने वो ड्रॉ करने वाला नहीं बी बी एन इवेंट ड्राइंग दैट इज ए ऑफ डायमंड ठीक है प्रोबेबिलिटी अब यहां पे हमें क्या निकालना है a निकालना है p ऑफ ए और b अभी तक मुझे नहीं पता ये ये तो

पता लग गया एडिशन थ्योरम है ये नहीं पता लगा ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव है या नहीं है वो देख लेते हैं अच्छा क्लब है मेरे पास कितने क्लब होते हैं मेरे पास पूरे 52 के डेक में टोटल मेरे पास 13 क्लब्स होते हैं है ना शेप थी ना क्लब स्पेड डायमंड हार्ट उसी में से है ये तो यहां मेरे पास टोटल 13 होते हैं और एस ऑफ डायमंड एस का मतलब ए कार्ड ए कार्ड डायमंड वाला वो तो एक ही होता है है ना एस जो ए कार्ड है डायमंड वाला वो एक ही होता है क्या

इसमें कुछ कॉमन है क्लब 13 है क्लब में डायमंड कहां से आया और ये ऑफ डायमंड है इसका अपना पत्ता है क्या इसके पत्ते और इसके पत्ते में कोई कॉमन पत्ता है हमारे पास कॉमन कार्ड है नहीं है तो यह म्यूचुअल एक्सक्लूसिव है इसमें कुछ कॉमन नहीं है ए में कुछ कॉमन नहीं है तो ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव है एडिशन थ्योरम है म्यूचुअल एक्सक्लूसिव है p ऑफ ए और b क्या होगा p ऑफ ए + p ऑफ ब a क्या है मेरे पास क्लब क्लब टोटल कितने कार्ड्स थे 52 क्लब चाहिए दैट विल बी 13/5 ठीक

है और बी की क्या आएगी एस ऑफ डायमंड टोटल कार्ड 52 एस ऑफ डायमंड का एक ही कार्ड होता है एस के चार कार्ड हैं डायमंड वाला एक ही होगा ना 1/52 तो क्वेश्चन क्या आएगा सॉल्यूशन 13/5 2 + 1/52 ये रहा सॉल्यूशन ये रहा आंसर तो क्वेश्चन देख के सॉल्यूशन पढ़ना शुरू करोगे कभी नहीं समझ आएगा स्टेटमेंट समझ के खुद से चीजें करो आप आंसर पे पहुंचो ग समझ आ रही है चीज यहां पे स्टेटमेंट पे टाइम देना है प्रोबेबिलिटी सुपर सुपर इजी है नाउ नेक्स्ट क्वेश्चन देखो नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है हमें

नेक्स्ट क्वेश्चन इज अ बैग कंटेंस 30 बोल्स ठीक है सॉरी फ्रॉम 1 टू 30 एक बैक के अंदर एक क्वेश्चन रहता तो नहीं ना हमारा एक मिनट नहीं अब बैक कंटेंस 30 बोल्स 1 टू 30 नंबर्ड व टू 30 एक बैग के अंदर 30 बोल्स है हर एक बोल पे एक नंबर है 1 2 3 4 30 तक वन बल इज ड्रॉन रैंडम फाइंड द प्रोबेबिलिटी एक बोल निकाल ली हमने प्र बिलिटी निकालो दैट द नंबर ऑफ द बोल इज अ मल्टीपल ऑफ फाइव और एट कि जो हमने बोल निकाली है वो मल्टीपल होनी चाहिए

फाइव या फिर एट की ओर का मतलब क्या है एडिशन थ्योरम दिख गई हमें एडिशन थरम फाइव और एट या तो फाइव का मल्टीपल होना चाहिए चाहे एट का तो ए बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग मल्टीपल ऑफ फाइव लेट बी बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग मल्टीपल ऑफ एट तो a में लिख दो सारे मल्टी मल ऑफ फाइव वाले कौन सेकन से आएंगे फ आएगा 10 आएगा 15 20 25 30 35 आएगा नहीं वन से 30 तक ही काउंटिंग है 8 इसमें एट की लिखो 8 60 क्या आएगा आगे 24 32 लिखूं नहीं क्योंकि 30 तक

ही जाना है ठीक है क्या इनमें कोई नंबर कॉमन है नहीं ना तो ये क्या है म्यूचुअल एक्सक्लूसिव कुछ कॉमन नहीं है एक्सक्लूसिव चीजें है हमारे पास किसी के पास नहीं है इसमें कुछ कॉमन नहीं है म्यूचुअल एक्सक्लूसिव है तो p a और b क्या आ रहा होगा दैट इज़ p a + p ऑफ b टोटल कितनी बॉल्स थी 30 चलिए a वाली कितनी है 1 2 3 4 5 6 6 b वाली कितनी है फोर तो सि b वाली कितनी सॉरी थ्री यहां पे कितना आ गया 6 / 30 + 3/3 देखो b में

तीन थी ना 1 2 3 तो यहां पे देखो 3 / 30 तो 6/3 + 3/30 इसका आंसर आ गया क्लियर है ये चीज बताओ प्रोबेबिलिटी कहां से टफ लगती है सिंपल है चले आगे चलिए नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलते हैं बहुत इजी है अगर आराम से चीजें करोगे पेशेंस के साथ स्टेटमेंट को टाइम देना है बस आगे देखो अ कार्ड इज ड्रॉन फ्रॉम अ वेल शफल्ड पैक ऑफ 52 कार्ड्स ठीक है पैक ऑफ कार्ड से लिया एक कार्ड ड्रॉ किया व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट इट इज इदर अ स्पेड र अ किंग एक कार्ड मैंने

निकाला 52 कार्ड्स में से क्या प्रोबेबिलिटी है कि वो स्पेड होगा या फिर किंग होगा तो ए ले लो ड्राइंग अ स्पेड बी ले लो दैट इज ड्राइंग अ किंग मैं ए बी क्यों बता रही हूं ये ना जब हम यहां पढ़ना शुरू करते हैं हमें समझ नहीं आता सीधा प ऑफ ए लिख देते हैं चीजें समझ नहीं आ रही होती पहले ए बी तो तो बता दो क्या है लिखो लेट ए बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग स्पेड लेट बी बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग दैट इज किंग ठीक है अब ए में स्पेड है बी

में क्या है किंग है अब स्पेड का मतलब क्या है इसमें 13 कार्ड्स होंगे है ना सबके स्पेड ए का स्पेड भी टू का स्पेड भी थ्री का स्पेड भी सबके स्पेड्स होंगे 13 कार्ड्स इसमें है इसमें क्या है किंग है किंग है इसका मतलब किंग के सारे चारों के चारों कार्ड्स होंगे है ना किंग के चारों के चारों तो यहां के किंग का स्पेड भी तो होगा मेरी बात समझ आ रही है ए में क्या है सारे के सारे स्पेड बी में क्या है चार किंग उसने कहा था किंग हम ड्रॉ कर सकते हैं

मतलब हम किंग भी निकाल सकते हैं तो किंग के सारे केसेस लूंगी ना ए क्या किया मैंने स्पेड निकाल सकता है टोटल स्पेड 13 होते हैं बी क्या लिया कि किंग निकाल सकते है टोटल चार किंग होते हैं तो उस चार किंग में से एक किंग स्पेड वाला भी तो होगा तो एक कार्ड यहां पे कॉमन आ गया यहां पे ओर वर्ड से तो एडिशन थ्योरम समझ आ गया लेकिन अब जब मैंने ए और बी देखे इसमें कॉमन कार्ड मिल रहा है इसने कहा था स्पीड होना चाहिए ये कह रहा है किंग होना चाहिए स्पीड

में 13 पत्ते हैं ठीक है जब मैं किंग ड्रॉ करूंगी उसमें से एक कॉमन पत्ता स्पीड वाला भी तो आएगा तो इसका मतलब ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव नहीं है ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव नहीं है ये चीज समझ आई कि नहीं जब हम ए ले रहे होते हैं कि मैंने कोई स्पेड निकालना है तो मैं कोई भी स्पेड निकाल सकती हूं 13 में से वो 13 की 13 मेरी लिस्ट में होते हैं मैंने किंग निकालना है वो कोई भी किंग निकाल सकती हूं वो चार के चार मेरी लिस्ट में होते हैं तो एक 13 में से एक किंग

वाला स्पेड और यहां के किंग वाला स्पेड कॉमन कार्ड हो गया तो ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव नहीं रहे एक कॉमन चीज आ गई दैट इज़ नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव ठीक है तो इसमें p a और b क्या निकलेगा p a + p ऑफ b - p ऑफ ए हो जाएगा a की प्रोबेबिलिटी निकालते हैं 13 / 52 b की प्रोबेबिलिटी निकालेंगे 4/5 2 - a का मतलब कॉमन वाले की प्रोबेबिलिटी निकालो ये इसमें कॉमन कितने कार्ड है एक ही ना तो बा 52 यहां पे यह सारा लिखा हुआ है क्लियर हो गई चीज बहुत सिंपल सिंपल वर्ड्स

में चीजें बता दी तो ये दैट इज 13/5 4/5 कॉमन एक ही पता है 1/52 सॉल्व करोगे यू विल गेट द आंसर कि इदर आ स्पेड या फिर किंग होगा ठीक है चले आगे फिर चले नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन पे नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है देखो ये सारे आगे सॉल्विंग की हुई है आपको पता है कैसे करनी है एलसीएम लेके नेक्स्ट क्वेश्चन देखो अब बैक कंटेंस 30 बोल्स 1 टू 30 वही क्वेश्चन है 30 बोल्स है वन से 30 उसके ऊपर मार्किंग हो रखी है वन बॉल इज ड्रॉन एट रैंडम एक

बॉल मैंने निकाल ली फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट द नंबर ऑफ बॉल इज मल्टीपल ऑफ फाइव और सिक्स हमने प्रोबेबिलिटी निकालनी है कि जो मैंने एक बोल निकाली है उस पे जो नंबर लिखा है या तो वो मल्टीपल ऑफ फाइव होगा या फिर मल्टीपल ऑफ सिक्स होगा और है तो क्या हो होगा एडिशन थ्योरम है ना a क्या है ड्राइंग दैट इज मल्टीपल ऑफ फ तो फ आ जाएगा 10 15 20 25 30 बी में सिक्स के करना है सिक्स आ जाएगा 12 18 24 आगे आएगा 30 ठीक है क्या कुछ ए में कॉमन है बिल्कुल

है 30 कॉमन है इसका मतलब ये नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव का क्वेश्चन है किसका है नॉट मच एक्सक्लूसिव का क्योंकि इसमें कॉमन है तो p ऑफ ए और b क्या आएगा दैट इज p ऑफ a + p ऑफ ब - p ऑफ ए कॉमन वाला निकाल देंगे a की प्रोबेबिलिटी 1 2 3 4 5 6 टोटल 30 6/3 बिटी 1 2 3 4 5 + 5/3 कॉमन कितना है 1 1/3 दिस इज द सॉल्यूशन क्लियर हो गई जी स्टेटमेंट समझ आ रही है चीज ही हैंडल कर पा रहे हो तो फिर दिक्कत आएगी नहीं आराम से

पेशेंस के साथ स्टेटमेंट को टाइम दो प्रोबेबिलिटी के क्वेश्चन को टाइम नहीं लगता आगे चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन पे देखो नेक्स्ट क्या कह र है नेक्स्ट हमारे पास है अ कार्ड इज ड्रॉन अ रैंडम फ्रॉम अ स्टैंडर्ड पैक ऑफ कार्ड एक कार्ड हमने निकालना है ठीक है व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट इट इज इदर अ किंग और क्वीन दो पार्ट्स हैं या तो वो क्वीन किंग होगा या क्वीन सेकंड पार्ट कह रहा है इट इज़ इदर अ किंग र अ ब्लैक कार्ड इसमें ओर लगा हुआ है दोनों पार्ट में मतलब फर्स्ट पार्ट भी एडिशन थ्योरम

का क्वेश्चन है सेकंड पार्ट भी एडिशन थ्योरम का क्वेश्चन है अब कहते हैं अब एक कार्ड निकाल रहे हैं या तो वह किंग होगा या फिर क्या होगा क्वीन a ले लो कि हमने किंग निकाला है b ले लो हमने क्या निकाली है क्वीन क्या इसमें कुछ कॉमन होगा नहीं यह क्या है म्यूचुअल एक्सक्लूसिव किंग के चार पत्ते होते हैं अपने उसी में से कोई एक निकला होगा ना क्वीन के चार पत्ते होते हैं उसी में से कोई एक निकला होगा तो कुछ कॉमन हुआ ही नहीं प्रोबेबिलिटी ऑफ a और b जो है वो p

ऑफ ए + p ऑफ ब हो जाएगी क्योंकि ये म्यूचुअल एक्सक्लूसिव है ठीक है तो इसकी कितनी होगी 4/5 2 उसने कहा ना किंग निकालना है तो किंग तो चार में से कोई भी निकल सकता है टोटल केसेस नीचे फेवरेबल मेरे कौन से हैं वो चार कार्ड्स तो 4/5 2 प्लस यहां पे कित कितने आएंगे ब में भी कितने आएंगे 4/5 2 ये हमारा यहां पर लिखा हुआ है क्लियर है ये चीज आगे सेकंड पार्ट देखो इट इज इदर अ किंग र अ ब्लैक कार्ड या तो वो किंग हो सकता है या फिर ब्लैक कार्ड

तो ए मान लो हमने इवेंट ले लिया कि हम किंग ड्रॉ कर रहे हैं तो हमारे पास चार किंग होते हैं और बी क्या ले लिया कि हम ब्लैक कार्ड ड्रॉ कर रहे हैं ब्लैक में कितने होते हैं 26 हमारे पास किंग को ड्रॉ करना भी एक फेवरेबल केस है या कोई ब्लैक कार्ड को ड्र करना भी फेवरेबल केस है हमारे पास चार किंग है कोई भी एक आ जाए सब मेरे लिए फेवरेबल है तो ए में चार कार्ड्स हो गए बी में 26 हो गए अब ध्यान से समझना ये बी में जो 26 है

ब्लैक कार्ड जो मेरे पास 26 है इसमें किंग वाले भी तो दो ब्लैक कार्ड होंगे और यहां पे भी किंग वाले दो ब्लैक कार्ड होंगे मतलब कॉमन आ गया मेरी बात समझ आ रही है a में क्या है चार कार्ड्स है किंग के दो ब्लैक दो रेड और बी में क्या है सारे ब्लैक कार्ड तो इसमें से ब्लैक कार्ड किंग वाला भी तो होगा तो इसमें कॉमन आ गए दो कार्ड्स तो यह म्यूचुअल एक्सक्लूसिव नहीं है यह क्या है नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव तो पफ ए और b क्या होगा दैट इज p ऑफ a + p

ऑफ b - p ऑफ ए a कितना है 4/5 2 b कितना आएगा 26/5 2 कॉमन कितने हैं दो तो 2/52 ये चीज क्लियर है यही इसका सॉल्यूशन है देखो 4/5 2 + 26/5 2 - 2/52 अगर क्वेश्चन की स्टेटमेंट क्लियर है क्वेश्चन डिफिकल्ट नहीं है ये बार-बार मैं चीज बोलूंगी प्रोबेबिलिटी सुपर सुपर इजी है बताओ यहां तक कोई दिक्कत नहीं क्लियर है एडिशन थ्योरम क्लियर होगी फॉर म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स जिसमें कुछ भी कॉमन नहीं है और फॉर नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स जिसमें चीजें कॉमन मिल जाती है नाउ नेक्स्ट टॉपिक इज मल्टीप्लिकेशन थ्योरम किसकी बात

कर रहे हैं मल्टीप्लिकेशन थ्योरम की 2 मिनट ब्रेक ले लो एक बार एडिशन थ्योरम के क्वेश्चंस रिवाइज कर लो फॉर्मूला रिवाइज कर लो फिर आगे मेरे साथ आना मल्टीप्लिकेशन थ्योरम पे जल्दी से फटाफट से टाइम ले लो अब मल्टीप्लिकेशन थ्योरम क्या कह रही है रिवाइज कर लेना एडिशन थ्योरम आ जाओ मल्टीप्लिकेशन पे कह रही है मल्टीप्लिकेशन थ्योरम फॉर इंडिपेंडेंट इवेंट्स एंड मल्टीप्लिकेशन थ्योरम फॉर डिपेंडेंट इवेंट्स एक इंडिपेंडेंट इवेंट्स की बात करेंगे एक डिपेंडेंट इवेंट्स की बात करेंगे एडिशन थ्योरम में दो चीजें थी म्यूचुअल एक्सक्लूसिव एक्सक्लूसिव खत्म हो गया यहां किसकी बात करेंगे इंडिपेंडेंट इवेंट्स और

डिपेंडेंट इवेंट्स की चलिए अब इसको थोड़ा सा साइड पे रख के इंडिपेंडेंट डिपेंडेंट समझते हैं अगर ये समझ आ गए बस फिर तो सुपर सुपर इजी प्रोबेबिलिटी में कुछ रह ही नहीं जाएगा आराम से चीजें समझना अब देखो क्या होते हैं इंडिपेंडेंट इवेंट्स क्या होते हैं और डिपेंडेंट इवेंट्स क्या होते हैं एक स्टोरी से समझाती हूं हमारे पास था एक क्या कहते हैं इसको मग बोल लो या फिर एक बैग बोल लो ठीक है इसमें तीन रेड थी फोर ब्लैक बॉल्स थी ठीक है स्टोरी सुनना आराम से इससे सब क्लियर हो जाएगा एक हमारे पास

बैग है थ्री रेड फोर ब्लैक बॉल्स है इसमें एक स्टूडेंट आया उसने एक बोल निकाल ली इसमें से ठीक है ये स्टूडेंट हमारे पास बहुत अच्छा सा स्टूडेंट है इसने बोल निकाल ली बोल का कलर देखा और वापस यहां डाल दी बोल निकाली बोल का कलर देख देख और वापस बोल डाल दी दूसरा स्टूडेंट आया इसने भी यहां से बोल निकाली अब देखो ये ध्यान से देखना ये यहां पे आया था इसने बोल निकाली वापस डाल दी इसके पास सेवन बोल्स थी उसमें से एक निकाली थी इसने मेरी बात समझ आई इसने कलर देखा सेवन

बोल्स थी ना कोई भी चूज करके ऐसे बिना देखे जाए सेवन की इसके पास ऑप्शन थे सेवन बोल में से एक बोल निकाल ली और वापस रख दी ठीक है ये सेकंड स्टूडेंट आया इसके पास भी कितने बॉल की सिलेक्शन है मतलब कितने बोल की चॉइसेज है सेवन बोल्स की तो इसका मतलब इसको पता ही नहीं लगा कि इसने बोल निकाली थी इसने बोल का कलर देख के वापस रख दी लेकिन इसको इफेक्ट नहीं पड़ा क्योंकि इसको भी चॉइस के लिए सेवन बॉल्स मिल गई इसको बोलते हैं इंडिपेंडेंट इवेंट कि इसने जो किया उसको फर्क

नहीं पड़ा इसके इवेंट पे यह डिपेंडेंट रहा ही नहीं इसने अपनी जो काम किया इससे इसने फर्क नहीं पड़ने दिया इसने बोल ली सेवन य होता सिक्स में से चूज करता क्या पता कोई कलर की प्रोबेबिलिटी ज्यादा हो जाती कोई कम हो जाती नहीं इसने क्या किया कलर देखा वापस रख दिया इसको भी सेवन बॉल की चॉइसेज मिली इसको भी सेवन बॉल की चॉइसेज मिली इसको बोलते हैं इंडिपेंडेंट इवेंट्स फर्क नहीं पड़ा लेकिन अगर ये आप बोल का कलर देख के अपने पास रख लेता और सेकंड स्टूडेंट आके वो उन सिक्स बॉल्स में से एक

कलर निकालता तो फिर वो डिपेंडेंट इवेंट हो जाता क्योंकि इसका किया हुए ने इस पे फैक्ट डाल दिया जो इसने कलर की बोल निकाल ली होगी इसको मिलने के चांस कम रह गए होंगे तो अगर इसने वापिस डाल दी इसके पास भी सेवन थे इसके पास भी सेवन इंडिपेंडेंट इवेंट्स लेकिन अगर वापस नहीं डाली इसके पास सेवन चॉइस थी इसके पास सिक्स इसको कहते हैं डिपेंडेंट क्लियर हो गई चीज एग्जांपल से अच्छे से आगे और समझो इसका मतलब जब हम बोल वापस डाल रहे हैं मतलब रिप्लेसमेंट हो रही है है ना मैंने बोल का कलर

देखा वापस रिप्लेस उसको वहीं पर दोबारा रख दिया रिप्लेस कर दिया तो जब रिप्लेसमेंट होती है तो वो इंडिपेंडेंट इवेंट्स होते हैं रिप्लेसमेंट होते तो क्या होते हैं इंडिपेंडेंट इवेंट्स लेकिन मैंने बोल निकाली वापस नहीं रखी मतलब विदाउट रिप्लेसमेंट वापस नहीं रखी तो वो दूसरे को इफेक्ट करेगा कि मेरे पास चॉइस के लिए कम बोल थी तो वो हो जाते हैं डिपेंडेंट इवेंट्स ये ऐसे वर्ड हैं जो आपको क्वेश्चन में मिलते हैं और आप डर जाते हो क्लियर है ये चीज तो अगर रिप्लेसमेंट हो जाए वहां चीज वापस रख दी जाए उसने दूसरे को फेक्ट

नहीं किया वो इंडिपेंडेंट इवेंट्स है लेकिन अगर वापस चीज नहीं रखी गई विदाउ ट रिप्लेसमेंट है वो दूसरे को इफेक्ट करेगा उसको क्या बोलते हैं डिपेंडेंट इवेंट्स ठीक है यह सब क्लियर हो गया रिलेट कर लोगे सब अच्छे से बात शुरू हुई थी इंडिपेंडेंट डिपेंडेंट से उससे मैंने आपको रिप्लेसमेंट और विदाउट रिप्लेसमेंट भी वर्ड बीच में समझा दिया इस एग्जांपल से मैंने आपको इंडिपेंडेंट क्लियर किया ठीक है अब चलते हैं इसके फार्मूला देखते हैं क्वेश्चन देखते हैं और अच्छे से चीजें क्लियर करते हैं चलिए आ जाओ भाई अगर इंडिपेंडेंट इव है मतलब एक ने दूसरे

को इफेक्ट नहीं किया तो p ऑफ ए इज पफ a * p ऑफ b अगर किसी ने किसी को फेक्ट नहीं किया तो p ऑफ ए क्या होता है p a * p ऑफ ब एक चीज का ध्यान रखना अभी आपने ओर वाले फार्मूला किए थे वहां पे आपने यह वाला किया था किया था ना जब वहां पे केस था दूसरे वाला कि वो लोग नॉट म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स में ये किया था वहां पे भी p ऑफ ए था यहां पे भी p ए है ये डिफरेंट है ये वाला अगर एडिशन थ्योरम में p ए

लग रहा है मतलब ये कॉमन वाला हम माइनस कर रहे हैं प्रोबेबिलिटी ये वाला p ऑफ ए इज कि हम कॉमन वाली प्रोबेबिलिटी माइनस कर रहे हैं तो ये वो वाला प ए नहीं है ये क्या है मल्टीप्लिकेशन थ्योरम वाला पफ ए तो वो p ए जो एडिशन थ्योरम यूज़ कर रहे थे वो कॉमन के लिए हो रहा था ये p ए क्या होगा दैट इज p a * p b कभी एक दूसरे से टकरा नहीं मिलते नहीं कि आपको कंफ्यूजन हो फिर भी मैंने यहां क्लियर कर दी चीज कभी नहीं कंफ्यूजन होगा कि पीफ

ए भी कॉमन वाला है कि ये वाला नहीं एडिशन थ्योरम में वो पीफ ए भी कॉमन वाला होता है बाकी जगह ये वाला होता है क्लियर है चीज तो अगर आपके पास इंडिपेंडेंट इवेंट है एक ने दूसरे को कुछ नहीं कहा p ए बज p a * p ब आगे चलते हैं ये नोट अभी हम नहीं पढ़ेंगे बाद में पढ़ेंगे और आगे अगर डिपेंडेंट इवेंट्स हो तो मल्टीप्लिकेशन थ्योरम क्या करती है अब हम समझेंगे कंडीशनल प्रोबेबिलिटी का कांसेप्ट कि वहां क्या होता है मल्टीप्लिकेशन थ्योरम अगर इंडिपेंडेंट इवेंट्स की है तो फार्मूला इज दिस लेकिन अगर

डिपेंडेंट इवेंट्स की है अभी कोई फार्मूला नहीं करा रही कंडीशनल प्रोबेबिलिटी का क्वेश्चन के थ्रू ही चीजें समझा रही होंगी अब क्वेश्चन से चीजें क्लियर करते हैं और अच्छे से क्लियर होंगी चलिए भाई क्वेश्चन से करते हैं स्टार्ट यहां से जाते थे ना हम एग्जांपल देखो ये वाला क्वेश्चन बहुत अच्छा है फ्रॉम अ पैक ऑफ़ 52 कार्ड्स ठीक है टू कार्ड्स आर ड्रॉन एट रैंडम पैक ऑफ़ 52 कार्ड्स ठीक है दो कार्ड्स निकालेंगे वन आफ्टर द अनदर विद रिप्लेसमेंट दो कार्ड्स निकाले पहले एक निकाला देख लिया वापस रख दिया फिर दूसरा निकाला विद रिप्लेसमेंट मतलब

एक निकाल के बाहर नहीं रखा दोबारा प्लेस कर दिया वापस डाल दिया दो कार्ड्स निकाले एक निकाला देखा वापस रखा फिर उसी में से दूसरा कार्ड निकाला व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट बोथ कार्ड्स आर किंग क्या प्रोबेबिलिटी है कि वो दोनों कार्ड्स किंग्स ही होंगे इसमें कहीं भी और नहीं लिखा तो ये हमारा क्वेश्चन नहीं हो सकता एडिशन थ्योरम का ठीक है अब कैपेबिलिटी कि दोनों कार्ड्स किंग होंगे लेट ए कि पहला कार्ड किंग है बी बी एन इवेंट दैट ड्रॉइंग सेकंड कार्ड भी किंग ए मैंने क्या ले लिया इवेंट कि फर्स्ट कार्ड किंग है

बी क्या इवेंट ले लिया कि सेकंड कार्ड भी किंग है मुझे प्रोबेबिलिटी निकालनी है कि वह दोनों क्या होंगे दैट इज़ किंग अब यह क्या है डिपेंडेंट है या इंडिपेंडेंट है इंडिपेंडेंट है क्योंकि मैंने एक कार्ड निकाल के वापस डाला फिर दूसरा निकाला अगर मैं वापस नहीं रखती तो मेरी किंग निकालने की प्रोबेबिलिटीज चेंज हो जाती मैंने एक कार्ड निकाला किंग हो भी सकता है नहीं भी मैंने वापस रख दिया फिर दूसरा कार्ड निकाला पहले वाले को भी कार्ड के लिए भी 52 कार्ड्स की चॉइसेज थी दूसरा कार्ड ड्रॉ करते हुए भी 52 कार्ड्स की

चॉइसेज थी एक दूसरे को कोई फेक्ट नहीं किया पी ऑफ ए इज पफ a * p ऑफ ब पहला किंग ड्रॉ करने की प्रोबेबिलिटी टोटल 52 फर यहां पे b फिर भी नीचे 52 फोर किंग वहीं पर ये रे आंसर आ ग क्लियर है ये चीज देखो ना पहली बार जब मैं ड्रॉ कर रही थी किंग तो टोटल कार्ड 52 थे दूसरी बार भी क्या थे 52 फेवरेबल केसेस मेरे चार ही है ना किंग ही चाहिए चार किंग होते हैं 4/5 2 * 4/5 क्लियर है चलिए आगे चलते हैं ये हमारे पास क्या है मल्टीप्लिकेशन

थ्योरम का क्वेश्चन है एक साथ दो कॉर्ड ड्रॉ कर रही हूं पहला कार्ड दूसरा कार्ड तो एक ही साथ लिखूंगी p ए समझ आ रही है चीज़ एक ही केस में दो कार्ड ड्रॉ कर रही हूं तो p ए ही लिखेंगे इसे कि a और b एक ही साथ काम हो रहा है पहले एक कार्ड निकाला वापस आका दूसरा कार्ड निकाला टोटल प्रोबेबिलिटी पूछ ली तो p ए निकलेगा आगे देखो नेक्स्ट क्वेश्चन और अच्छे से चीजें और क्लियर हो रही होंगी अब बैग कंटेंस फोर रेड बोल्स थ्री वाइट एंड फाइव ब्लैक जब भी ऐसे क्वेश्चन

हो ना आप एक बैग बनाओ ठीक है फोर रेड थ्री वाइट फाइव ब्लैक बार-बार पढ़ना ही नहीं क्लियर हो जाएगा यहां नंबर की मिस्टेक नहीं होगी पेपर में कौन सी वाइट कितनी रेड है कितनी ब्लैक है टू बल्स आर ड्रॉन वन आफ्टर द अदर विद रिप्लेसमेंट दो बोल्स निकाली है एक के बाद दूसरी लेकिन रिप्लेस वन आफ्टर द अदर मतलब एक ही अभी इवेंट चल रहा है मल्टीप्लिकेशन थ्योरम का क्वेश्चन है अभी कोई बात खत्म नहीं हुई कि एक बोल निकाली मैं चली गई फिर दूसरी बोल नहीं एक ही इवेंट चल रहा है एक बोल

निकाली वापस रखी दूसरी बोल निकाल ली मल्टीप्लिकेशन का क्वेश्चन है फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट फर्स्ट इज रेड एंड द सेकंड इज ब्लैक हमने ये प्रोबेबिलिटी निकालनी है कि फर्स्ट रेड हो और सेकंड क्या हो ब्लैक हो उसने क्या विद रिप्लेसमेंट मतलब वो वापस रख रहा है तो बहुत इजी है देखो प्रोबेबिलिटी किससे निकालनी है फर्स्ट रेड की यहां पे किसकी सेकंड क्या होनी चाहिए दैट इज सेकंड ब्लैक होनी चाहिए मैं इसे लिख दूं यहां पे पी बी है ना याद रहेगा ना कौन सेकन से कलर लेने हैं प ब लिख दि वैसे तो लेते लेट

a बी द इवेंट ऑफ़ ड्राइंग रेड b बी द इवेंट ऑफ ड्राइंग ब्लैक वो भी ले सकते हो प ब यहां पे ये इंडिपेंडेंट है तो ये p r * p ब इंडिपेंडेंट में अलग-अलग हो जाते हैं p r कितने रेड ड्रॉ करने के कितनी है 4 अपन टोटल कितनी है फोर और ये थ्री कितने हुए सेन 7 और फव कितने हुए 12 तो 4/1 * ब्लैक की कितनी है 5/1 ये रहा इसका आंसर ये रहा इसका आंसर क्लियर है यह चीज़ क्वेश्चन क्लियर पक्का देख लो इधर और है नहीं एडिशन थ्योरम लगनी नहीं है

चले नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलिए फिर नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है नेक्स्ट हमें कह रहा है अ प्रॉब्लम इन स्टैट्स बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है यह पेपर में आता भी है देखते हैं क्वेश्चन क्या कह र है मन स्टट्स इज गिवन टू थ्री स्टूडेंट्स एक क्वेश्चन था स्टट्स में वह तीन स्टूडेंट्स को दिया गया ए बी एंड c हुज चांसेस ऑफ सॉल्विंग इट आर 1/2 1/3 1/4 मतलब a से सॉल्व हो जाएगा उसकी क्या चांसेस है 1/2 b से हो जाएगा 1/3 c से हो जाएगा 1/4 चांसेस का मतलब क्या है

प्रोबेबिलिटी दे रखी है है ना प्रोबेबिलिटी चांसेस ही तो होते हैं कि ये होगा इसके कितने चांसेस है प्रोबेबिलिटी कहते हैं उसको व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट द प्रॉब्लम विल बी सॉल्वड क्या प्रोबेबिलिटी है कि प्रॉब्लम सॉल्व हो जाएगी मेरी बात बहुत ध्यान से समझना इन्होंने नहीं बोला कि प्रोबेबिलिटी निकाल लो कि a से होगी b से होगी या c से वो तो दे दिया उन्होंने कि a से होने की प्रोबेबिलिटी सॉल्व होने की प्रोबेबिलिटी 1/2 है b से सॉल्व होने की प्रोबेबिलिटी 1/3 है c से 1/4 है वो कहता है आप ये बताओ कि

प्रोबेबिलिटी इसकी कि क्वेश्चन सॉल्व हो जाएगा अब कहीं ये तो नहीं लिखा ना कि a पक्का ही सॉल्व कर देगा बी पक्का ही ये क्वेश्चन सॉल्व कर देगा नहीं वो कह रहा है आप प्रोबेबिलिटी बताओ कि कम से कम किसी एक से तो क्वेश्चन सॉल्व होगा हो सकता है तीनों से हो जाए ठीक है हो सकता है किसी एक से हो हो सकता है ए ने किया हो हो सकता है b ने किया हो सकता है c ने किया हो हो सकता है दो दो ने किया हो ए ने करा हो मिलके या फिर b

स ने कर लिया हो एसी ने कर लिया हो है ना कुछ भी हमारे पास केसेस बन सकते हैं तो क्वेश्चन पहले ध्यान से समझो क्वेश्चन पे ध्यान से समझ ली ना चीज सॉल्यूशन बहुत सिंपल है तो हमारे पास एक क्वेश्चन है तीन स्टूडेंट हैं एक इसे सॉल्व कर सकता है दूसरा तीसरा उसकी प्रोबेबिलिटी दी हुई है वो कहता है आप मुझे प्रोबेबिलिटी बता दो कि क्वेश्चन सॉल्व हो जाएगा ये भी तो हो सकता है ना किसी से ना हो तो कहता है प्रोबेबिलिटी बता दो कि ये क्वेश्चन सॉल्व हो जाएगा उसे कोई फर्क नहीं

पड़ता एक बच्चा बैठ के कर रहा है दो बच्चे बैठ के कर रहे हैं कि तीनों ने सॉल्व कर दिया बस वो ये चाहता है कि इसकी प्रोबेबिलिटी बताओ कि ये क्वेश्चन सॉल्व हो जाएगा ठीक है अब बहुत ध्यान से मेरी बात समझना क्वेश्चन सॉल्व हो जाएगा ठीक है मतलब क्या है हम निकाल दें कि क्वेश्चन सॉल्व नहीं होगा क्यों मेरी बात ध्यान से समझना अगर मैं इसकी प्रोबेबिलिटी निका लूंगी कि क्वेश्चन सॉल्व होगा तो बहुत केसेस बनाने पड़ेंगे हो सकता है तीनों से हो हो जाए हो सकता है a ने किया हो b ने

या c ने हो सकता है ए ने किया हो c से ना हुआ हो ए ने किया हो b ने ना किया हो तो बहुत सारा प्रॉब्लम हो जाएगा बहुत सारे केसेस लेने पड़ेंगे तो ऐसे क्वेश्चन में मैं ये निकाल लेती हूं प्रोबेबिलिटी की किसी से सॉल्व नहीं हुआ मतलब a से भी सॉल्व नहीं हुआ b से भी सॉल्व नहीं हुआ c से भी सॉल्व नहीं हुआ इसकी प्रोबेबिलिटी निकाल लेती हूं क्वेश्चन में पूछा है कि सोल्ड की निकालो कोई बात नहीं मैं बाद में 1 - p नोट सोल्ड कर लूंगी है ना ऐसे भी

तो कर सकते हैं ना हम हमेशा वन में से माइनस करके उसके उल्टे की प्रोबेबिलिटी निकाल सकते हैं तो अगर मैं p नोट सोल्ड निकाल लूं जो निकालना इजी है p नोट सोल्ड का मतलब a से भी नहीं हो रहा b से भी नहीं हो रहा c से भी नहीं हो रहा कोई केस ही नहीं बनेगा तो यहां पे सिंपल है निकालना तो मैं p नोट सोल्ड की निकाल लूं और फिर वन में से माइनस कर दूं क्या पी सोल्ड की प्रोबेबिलिटी नहीं आ जाएगी है ना हम यही यहां पर करने वाले हैं तो हम

किसकी प्रोबेबिलिटी निकालेंगे पी नोट सोल्ड की ये तीन चीजें आ रही है ठीक है कि किसी से नहीं हुआ ये इंडिपेंडेंट है ना अगर a से नहीं सॉल्व हो रहा उसका ब से कोई इफेक्ट नहीं पड़ता चीटिंग वाला मत सोचना कि मैम a ने नहीं करा तो b कैसे कर लेगा चीटिंग भी तो कर सकता था नहीं ये बहुत अच्छे बच्चे हैं दूर दूर बैठे हैं एक दूसरे से किसी से कोई चीटिंग नहीं हो सकती तो a से सॉल्व नहीं हो रहा इससे b को कोई इफेक्ट नहीं पड़ता क्या ब से सॉल्व नहीं हो रहा

वो उसकी मतलब गलती है कि उसको समझ नहीं आ रहा सी से सोल नहीं हो रहा उसकी गलती है तो ये एक दूसरे को इफेक्ट नहीं कर रहे ये इंडिपेंडेंट इवेंट्स है तो पफ a बार b बार c बार क्या आएंगे p ऑफ a बार * p ऑफ ब बार * p ऑफ c बार a से होने की प्रोबेबिलिटी कितनी है 1/2 तो a से ना होने की कैसे निकलेगी 1 - 1/2 दैट इज अगेन 1/2 ऐसे p ऑफ ब बार कैसे निकलेगा b से होने की प्रोबेबिलिटी कितनी है 1/3 b बार की कैसे निकलेगी

1 - 1/3 दैट इज 2/3 ऐसे c बार की प्रोबेबिलिटी कितनी निकलेगी 3/4 ये रही 3/4 इनको कैंसिल करा आंसर कितना आया 1/4 ये क्वेश्चन सॉल्व नहीं होगा इसकी प्रोबेबिलिटी कितनी आई 1/4 मुझे किसकी निकालनी थी कि क्वेश्चन सॉल्व होगा तो सॉल्व की कैसे निकलेगी 1 माइनस नॉट सोल्ड की तो य 1 - 1/4 दैट इज 3/4 इसका आंसर आ रहा होगा तो क्वेश्चन देखने में लग रहा है लेकिन है बहुत सिंपल देखने में लग रहा है ना कि कैसे होगा क्वेश्चन क्वेश्चन सॉल्व हो रहा है हमें क्या बताया तो है नहीं कौन सॉल्व कर

रहा है उसने कहा इससे होने की प्रोबेबिलिटी ये है इससे होने की ये इससे होने की ये पूछ लिया बताओ क्वेश्चन सॉल्व हो गया किस प्रोबेबिलिटी बताओ क्वेश्चन सॉल्व हो गया किसने किया कोई इंफॉर्मेशन नहीं है तो हम भी ऐसे ही चल दिए हमने कहा क्वेश्चन सॉल्व नहीं हुआ फिर वन माइनस नॉट सोल्ड वाले से हमें सोल्ड वाले की प्रोबेबिलिटी मिल गई क्लियर है ये चीज ये क्वेश्चन क्लियर है पक्का चलिए नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलिए एक चीज और इसमें आपने एक चीज देखना वो कह रहा है प्रॉब्लम विल बी सोल्ड मतलब वो चाहता है कि

क्वेश्चन सॉल्व हो जाए एटलीस्ट एक बच्चा भी चाहे कर दे मेरी बात समझ आ रही है कह रहा है क्वेश्चन सॉल्व हो जाए एटलीस्ट चाहे एक बच्चा कर दे हो सकता है एक बच्चे ने किया हो हो सकता है दोनों ने कर दिया हो हो सकता है तीनों बच्चों ने कर दिया हो वो कहते हैं क्वेश्चन सॉल्व होना चाहिए कम से कम एक बच्चा तो कर दे तो एटलीस्ट वर्ड का एसेंस है यहां पे ये क्यों बता रही हूं अ बताऊंगी तो कहता क्वेश्चन सॉल्व हो जाए चाहे एक बच्चा करे चाहे दो कम से कम

हो जाए तो कम से कम मतलब एटलीस्ट वर्ड तो जहां एटलीस्ट वर्ड लिखा हो या एटलीस्ट वर्ड का एसेंस आ जाए आपको वहां पे ऐसे ही होता है हम उल्टा मान लेते हैं p क्वेश्चन सॉल्व नहीं होगा और सॉल्व करने की वन माइनस प से निकाले ठीक है अगले क्वेश्चन से और अच्छे से समझाती हूं अ हस्बैंड एंड वाइफ अपीयर इन एन इंटरव्यू एक हस्बैंड और वाइफ इंटरव्यू में आए ठीक है फॉर टू वैकेंसीज फॉर द सेम अ पोस्ट कहते हैं एक सेम सेम पोस्ट थी उसके लिए दो वैकेंसी थी जैसे मान लो एक सेम

पोस्ट है टीचर है तो सेम पोस्ट के लिए दो वैकेंसीज होगी तो हस्बैंड वाइफ उन वैकेंसीज के लिए आए द प्रोबेबिलिटी ऑफ हस्बैंड सिलेक्शन इज 1/7 हस्बैंड की सिलेक्शन होगी उसकी प्रोबेबिलिटी 1/7 है वाइफ की प्रोबेबिलिटी कितनी है 1/5 व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट एटलीस्ट वन ऑफ देम विल बी सिलेक्टेड कि कम से कम एक तो उनमें से सिलेक्ट होगा हो स कम से एक होगा एक भी हो सकता है हो सकता है हस्बैंड हो हो सकता है वाइफ हो हो सकता है दोनों हो जाए है ना तो एटलीस्ट का मतलब होता है कम से

कम एक तो हो दो भी हो सकते हैं तो ये केसेस बनाने पड़ेंगे केसेस हम चाहते नहीं तो मैं प्रोबेबिलिटी निकाल लूंगी कि कोई भी सिलेक्ट नहीं हुआ उसने कहा ना एटलीस्ट वन ऑफ देम सिलेक्ट कोई तो सिलेक्ट होगा मैंने कहा नहीं कोई सिलेक्ट नहीं होगा तो बाद में मैं एटलीस्ट सिलेक्टेड की कैसे निकाल लूंगी 1 - p नॉट सिलेक्टेड कैसे निकाल लूंगी 1 - p नॉट सिलेक्टेड की यह चीज़ क्लियर है बहुत आराम से जब यह एटलीस्ट वर्ड आता है ना कभी भी और जब केसेस बन रहे होते हैं तो हम यही करते हैं

उल्टा काम करते हैं कि उसने कहा कम से कम कोई तो सिलेक्ट होगा मैंने कहा कोई सिलेक्ट नहीं होगा फिर 1 - p नो सिलेक्टेड की p एटलीस्ट वन सिलेक्टेड वाली प्रोबेबिलिटी हमें दे जाएगा क्लियर हो गई ना यह चीज़ पक्का अच्छे से समझ आया ना चलते हैं फिर आगे आप पहले निकाल लेते हैं कोई सिलेक्ट नहीं होगा कोई सिलेक्ट नहीं होगा मतलब हस्बैंड भी नहीं एच बार और वाइफ भी नहीं हस्बैंड और वाइफ के एक दूसरे के सिलेक्शन से कोई लेना देना नहीं है हस्बैंड का अपने मतलब स्किल्स के ऊपर सिलेक्शन होगा वाइफ का

अपने ये इंडिपेंडेंट इवेंट्स है इंडिपेंडेंट इवेंट्स ऑफ पी ऑफ ए भी क्या होता है p a * p ब इसकी 1/7 थी पफ ए तो पफ h बार कितना आएगा 6/7 ऐसे करेंगे ना पफ h बार कैसे निकलेगा 1 - 1/7 करके आपको ये चीजें पता है ऐसे वाइफ का कितना निकलेगा वाइफ का था 1/5 तो दैट विल बी 4/5 ये करके आपके पास आ जाएगी कि किसी का सिलेक्शन नहीं हुआ आप इसको सॉल्व करोगे हमें तो चाहिए एटलीस्ट सिलेक्टेड वाला एटलीस्ट वाला कैसे निकलेगा 1 माइनस इसका जो आंसर आ रहा होगा 24 / 35

जो भी इसका आंसर आ रहा होगा फर्स्ट का आंसर इज 11 / 35 क्लियर है ये चीज बताओ कोई दिक्कत है तो नहीं इसी के साथ हमारा फर्स्ट पार्ट कंप्लीट हो गया तब जहां पे हमें बहुत सारे केसेस लग रहे हो और समझ ना आ रहा हो क्या करो तो हम उल्टा चलते हैं नोट पे फिर वन माइनस करके हमें अपना रिक्वायर्ड आंसर मिल जाता है नाउ नेक्स्ट सेकंड पार्ट देखो बोथ ऑफ देम विल बी सिलेक्टेड है तो बहुत सिंपल है आप कर लोगे पी एड ये इंडिपेंडेंट है हस्बैंड * वाइफ की आप प्रोबेबिलिटी मल्टीप्लाई

करोगे नन ऑफ देम विल बी सिलेक्टेड आप फर्स्ट पार्ट में ऑलरेडी निकाल चुके हो कि नन ऑफ देम की कोई भी सिलेक्टेड नहीं होगा मतलब ना h बार ना w बार दैट इज h ब * w बार है ना कोई सिलेक्ट नहीं हो रहा मतलब हस्बैंड पे भी बार वाइफ पे भी बार तो आप ये निकाल लोगे दैट विल बी कितना हस्बैंड की कितनी थी सिलेक्शन की 1/7 तो 6/7 नॉट सिलेक्शन की हो जाएगी 4/5 24 / 35 इसका आंसर है ये लिखा है क्लियर है दो पार्ट नीचे वाले इजी थे एटलीस्ट वाला बस मुझे

आपको समझाना था चले आगे चलिए नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन पे आने से पहले एक नोट पढ़ेंगे हम जो हमारा पेंडिंग है ये वाला तो ये नोट में ये लिखा है क्वेश्चन टाइप ही समझाई है कि जहां पर भी एटलीस्ट वर्ड आ जाए प्रोबेबिलिटी ऑफ हैपनिंग ऑफ एटलीस्ट वन इवेंट इन केस ऑफ n इंडिपेंडेंट इवेंट्स कि अगर आपको पता लग जाए एटलीस्ट एक तो सिलेक्ट हो जाए एटलीस्ट ये तो हो जाए तो जब आपके पास एटलीस्ट वर्ड आ जाए तो वहां पे हम कैसे क्वेश्चंस कर रहे होते हैं नोट की निकाल के फिर

वन माइनस कर रहे होते हैं जब इन क्वेश्चंस कर रहे थे उसके अंदर मल्टीप्लिकेशन थ्योरम के भी कांसेप्ट लग रहे थे जैसे हमने कहा हा हस्बैंड भी नहीं हो रहा वाइफ भी नहीं हो रहा तो मैंने नोट ये यहीं पर डाला है मल्टीप्लिकेशन थ्योरम में क्योंकि इस क्वेश्चन टाइप के सॉल्यूशन करते हुए हमारे मल्टीप्लिकेशन थ्योरम यूज़ हो रही थी क्वेश्चन समझने में ये कांसेप्ट वही था कि जब एटलीस्ट वर्ड है बहुत सारे केसेस बन रहे हैं तो आप p नोट निकाल लो वन में से माइनस करके रिक्वायर्ड चीज मिल जाएगी लेकिन वो p नोट p

निकालने में मल्टीप्लिकेशन थ्योरम का यूज़ हो रहा था इसलिए मैंने मल्टीप्लिकेशन थ्योरम में ये वाला नोट डाला है ये क्वेश्चन टाइप इंपॉर्टेंट है इसलिए नोट में डालिए ठीक है आगे देखो नेक्स्ट हमारे पास क्या है दैट इज मल्टीप्लिकेशन थ्योरम फॉर डिपेंडेंट इवेंट्स इसका कोई फर्मूला नहीं कराया ये कंडीशनल प्र पे बेस्ड है कंडीशनल प्रोबेबिलिटी क्या होती है अभी समझते हैं करते हैं क्वेश्चंस चलिए अब आगे चलते हैं हमने कहां तक कर लिया था हस्बैंड वाइफ फला लास्ट किया था चलिए नेक्स्ट क्वेश्चन बहुत अच्छा क्वेश्चन है अ बैग कंटेंस 10 वाइट एंड फाइव ब्लैक बल्स एक

बैग है उसमें 10 वाइट है और फाइव ब्लैक बॉल्स है ठीक है हम यहां पे ऐसे लिख लेते हैं ताकि नंबर में कोई मिस्टेक ना हो बॉल्स की जो नंबर है टू बोल्स आर ड्रॉन एट रेंडम वन आफ्टर द अदर विदाउट रिप्लेसमेंट एक बोल निकाली वापस नहीं रखी फिर दूसरी बोल निकाल ली विदाउट रिप्लेसमेंट मतलब यह डिपेंडेंट इवेंट्स की बात कर रहा है क्वेश्चन में इदर और कहीं नहीं है एडिशन थ्योरम हो नहीं सकती रिप्लेसमेंट विदाउट रिप्लेसमेंट वर्ड मिल जाए मतलब मल्टीप्लिकेशन थ्योरम है विदाउट रिप्लेसमेंट है सेकंड वाला दैट इज डिपेंडेंट की बात हो रही

है फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट बोथ बोल्स ड्रॉन आर ब्लैक मैंने एक बोल निकाली ली रख ली अपने अपने पास दूसरी बोल निकाली रख ली हमने ये प्रोबेबिलिटी निकालनी कि जो पहली और दूसरी बोल निकाली है वो ब्लैक कलर की है क्लियर है ये चीज चलो अब ध्यान से चीज समझना डिपेंडेंट इवेंट्स है ये क्यों जब मैंने पहली बार ब्लैक बॉल निकाली होंगी तो बैक के अंदर कितनी बोल्स थी 15 उसमें से एक निकाल के बाहर रख ली जब दूसरी बार बोल निकाली होंगी बैक के पास कितनी बोल थी बैक के अंदर कितनी बोल थी 14

एक निकाल के बाहर रख ली ना तो दूसरी बार जब बोल निकालू पूी चॉइस के लिए मेरे पास कितनी है 14 इसने पहली बोल ने दूसरी वाली को इफेक्ट कर दिया ना पहली बार चॉइस के लिए 15 थी दूसरी बार अब मेरे पास चॉइस के लिए 14 है तो ये डिपेंडेंट इवेंट का क्वेश्चन है ठीक है बहुत सिंपल ध्यान समझना लेट ए बी कि मैं यहां पे लेट ए बी एन इवेंट ड्राइंग ब्लैक बोल इन फर्स्ट ड्रो एंड बी बी एन इवेंट ड्राइंग ब्लैक बोल इन सेकंड रो ध्यान से समझना मैं क्या कह रही हूं

लेट ए बी एन इवेंट ड्रॉइंग ब्लैक बॉल इन फर्स्ट ड्रॉ सेकंड क्या है बी बी एन इवेंट ड्राइंग ब्लैक बोल इन सेकंड ड्रॉ ठीक है मुझे क्या निकालना है p ऑफ ए मुझे बॉल्स निकालनी है ठीक है पीओ फबी का फार्मूला क्या होगा देखो पहली बार में मैंने ब्लैक बॉल निकाली बिल्कुल निकाली दूसरी बार में भी ब्लैक बॉल की प्रोबेबिलिटी चाहिए ना बिल्कुल लेकिन मैं a पहले ही निकाल चुकी हूं मैं एक ब्लैक बोल पहले ही निकाल चुकी हूं तब दूसरी निकाल रही हूं ये पहले निकाली हुई मैंने वापस नहीं रखी इस ने इसको इफेक्ट

किया तो आप पफ a * p ऑफ ब नहीं लिखोगे ये होता अगर ये इंडिपेंडेंट इवेंट्स होते लेकिन ये डिपेंडेंट इवेंट है तो पफ ए भी पफ a * p ब नहीं होगा ये होगा p ऑफ a ऑलरेडी हो चुका है स्लैश लगा के लिखते हैं मुझे b की प्रोबेबिलिटी चाहिए तो p ए = p ऑफ a * p ब / इसका मतलब है यह हो चुका है इसने इसको इफेक्ट कर दिया इसकी इफेक्ट वाली प्रोबेबिलिटी बताओ यह चीज़ क्लियर है p a क्या होगा p a * p ऑफ जो हो चुका है वह यहां

b यह डिपेंडेंट के केस में होता है इंडिपेंडेंट मल्टीप्लिकेशन थ्योरम लगती तो ऐसे लिखते हैं p a * p b लेकिन यह डिपेंडेंट है इफ़ेक्ट कर रहा है तो यहां पे हम ऐसे लिखेंगे कि a हो चुका है जो बाद में लिखते हैं वह हो चुका है और यह इसको इफेक्ट करर है ठीक है अब इसमें हम वैल्यूज डालेंगे देखो कैसे पफ ए पहली बार मैं ब्लैक बॉल ड्रॉ कर र उसकी प्रोबेबिलिटी क्या होगी टोटल बॉल्स कितनी है 15 और मैंने कितनी उसमें से ब्लैक की निकालनी ना ब्लैक कितनी थी फाइव तो 5/1 आगे चलते

हैं सेकंड क्या है a हो चुका है a हो चुका है मतलब एक बॉल निकल चुकी है तो टोटल बॉल कितनी रहेगी 14 आगे चलो एक बोल कौन सी निकली है ब्लैक कलर की तो पहले पांच थी अब कितनी रह गई चार तो इसकी क्या आएगी 4/1 तो 5/1 * 4/1 इसका आंसर है क्लियर हुई ये चीज एक बार दोबारा बता रही हूं ध्यान समझना मैंने पहले एक बोल निकाली बाहर रख ली फिर दूसरी निकाली जब बाहर रख ली तो दूसरी बार निकाल दो 14 बोल्स ही रह गई इसने इसको इफेक्ट किया p ए भी

चाहिए p a * अब b नहीं b पे a का इफेक्ट पड़ चुका है तो b बा a जिसका इफेक्ट पड़ चुका होता है वो हम बाद में लिखते हैं कि इसने इस पे इफेक्ट डाला है पहली बार उसके अंदर बाउल के अंदर 15 थी मैंने ऊपर ब्लैक फाइव लिखी नीचे टोटल 15 अब मैंने पहली बार में ब्लैक एक निकाल ली ना तो टोटल बोल्स 14 रहेगी ब्लैक पांच थी वो चार रहे गी तो ये इफेक्ट वाली जो है दैट इज 4/1 यही इसका सॉल्यूशन है यही आंसर यहां पर आ चुका है इसी को बोलते

हैं कंडीशनल प्रोबेबिलिटी जो ये लिखा है ना मैंने b / a ये कंडीशनल प्रोबेबिलिटी है कि इसकी वजह से इसके आंसर चेंज हो रहे हैं ये इसको इफेक्ट कर रहा है क्लियर है ये चीज नेक्स्ट क्वेश्चन देखो बहुत इजी क्वेश्चन अगर स्टेटमेंट समझ आ जाए फोर कार्ड्स आर ड्रॉन विदाउट रिप्लेसमेंट चार कार्ड्स निकाले गए विदाउट रिप्लेसमेंट एक निकाला अपने पास ही रखा दूसरा निकाला तीसरा वापस नहीं रखा विदाउट रिप्लेसमेंट मतलब डिपेंडेंट जब मैंने पहली बार कार्ड निकाला 52 थे बाहर रख दिया एक अब अगली बार कार्ड निकालू गी कितने में से निकल रहे हैं 51

कार्ड काड में से अगली बार निकाल रहे हो कितने में से निकल र है 50 कार्ड्स में से क्योंकि मैं वापस ही नहीं रख रही निकाल निकाल के साइड प कर रही हूं एक बार निकाला य साइड पर रख दिया अब कितने कार्ड्स र गए 51 अगले कार्ड जब मैं निकालू मेरे पास 51 चॉइस है तो ये डिपेंडेंट इवेंट्स है व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट दे ऑल आर एसेस क्या प्रोबेबिलिटी है कि वो सारे एसेस होंगे इसकी हमने प्रोबेबिलिटी निकालनी है ए बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग ए इन फर्स्ट ड्रॉ बी बी एन इवेंट ऑफ

ड्राइंग ए ए इन सेकंड रो सी बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग ए इन थर्ड ड्रो डी बी एन इवेंट ऑफ ड्राइंग एस इन फोर्थ ड्रॉ ठीक है a क्या प्रोबेबिलिटी ली कि मैंने एस पहले ड्रो में निकाला बी क्या प्रोबेबिलिटी ले रही हूं कि सेकंड ्र में भी ए निकाला वो सारी चीजें मुझे क्या चाहिए मुझे ए ब सडी चाहिए ठीक है पहले p ऑफ ए पहले वाले पे किसी का इफेक्ट नहीं डालता 52 के टू कार्ड्स में से निकला दूसरे वाले पे पहले वाले का इफेक्ट पड़ेगा जब मैं b निकाल लूंगी जब मैं b

निकालू कीी a ऑलरेडी निकल चुका है जब मैं c निकालू गी अब ए ऑलरेडी निकल चुके हैं जब मैं d निकालू गी ऑलरेडी ए बी सी निकल चुके हैं ये बात समझ आई p ऑफ ए ब सडी निकालना है p ऑफ ए a पे किसी का इफेक्ट नहीं पड़ा b पे एक का है c स पे ए दोनों का है डी पे ए स का है समझ आ रही है ये चीज अब पहला बार ए निकालू तो प्रोबेबिलिटी 4 बा 52 दूसरी बार एस निकालू कार्ड्स 51 रह चुके हैं एक एस पहले निकल चुका है

3/5 1 अब टोटल कार्ड्स कितने हैं 50 देखो ना ये वाला ध्यान से देखो पहले a निकाला 4/5 2 अब इसमें a का इफेक्ट है मतलब एक कार्ड निकल चुका है तो 3/5 इसकी बारी दो कार्ड्स निकल चुके है तो टोटल कार्ड कितने बचे 50 वह दो भी ए निकाल लिए तो मेरे पास तो ए दो ही बचे यहां पे तीन कार्ड निकल चुके हैं तो कितने बचे 49 और वह भी तीन ए निकल चुके हैं मेरे पास कितना बचा व तो 4 / 52 3 / 51 4/5 * 1/49 बताओ कोई तकलीफ़ है तो

है बताओ सिंपल सा है यह रहा इसका आंसर चले आगे चलिए फिर नेक्स्ट पे चलते हैं बहुत सुपर सिंपल इजी नेक्स्ट क्वेश्चन देखो टू कार्ड्स आर ड्रॉन फ्रॉम वेल शफल पैक ऑफ 52 कार्ड्स फाइंड द प्रोबेबिलिटी दैट दे आर बोथ एसेस इफ द फर्स्ट कार्ड इज रिप्लेस एंड नॉट रिप्लेस कहता है दो कार्ड्स हमने ड्रॉ करे वेल शफल्ड पैक से 52 कार्ड से कहता है क्या प्रोबेबिलिटी है कि बोथ द बोथ एसस कि दोनों ही कार्ड किसके हैं ए के हैं पहला केस है वो रिप्लेस कर रहे हैं मतलब इंडिपेंडेंट का केस है दूसरा केस

है कि रिप्लेस नहीं कर रहे मतलब डिपेंडेंट का केस है ये क्वेश्चन आपका होमवर्क है एक ही क्वेश्चन में इंडिपेंडेंट डिपेंडेंट दोनों की मल्टीप्लिकेशन थ्योरम आगी क्वेश्चन आप करोगे दो कार्ड्स निकाल रही हूं प्रोबेबिलिटी बतानी है कि दोनों कार्ड ए ही होने चाहिए फर्स्ट पार्ट में कि रिप्लेसमेंट के साथ निकल रहे हैं सेकंड पार्ट में रिप्लेसमेंट के साथ नहीं निकल रहे दिस इज योर होमवर्क क्वेश्चन ठीक है क्लियर है चले आगे ये होमवर्क क्वेश्चन डाल दें ये है आपका एग्जांपल नंबर 64 और 21 पेज पे आपको मिल जाएगा पीडीएफ की इसके आप आंसर्स मैच कर

सकते हो नेक्स्ट क्वेश्चन देखो इतना इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है ये ए स्पीक्स ट्रुथ इतनी बार पेपर में आता है बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है ये वाला ए स्पीक्स ट्रुथ इन 80 पर केसेस कि ए जो है वो 80 पर केसेस में सच बोलता है बी इन 90 केसेस बी जो है वो 90 पर केसेस में सच बोलता है इन व्हाट परसेंटेज ऑफ केसेस आर दे लाइक टू कांट्रडिक्ट ईच अदर इन स्टेटिंग द सेम फ कहता है ए के सच बोलने के चांसेस 80 पर है बी के 90 पर है आप प्रोबेबिलिटी निकालो इन व्हाट परसेंटेज ऑफ केसेस

आपको क्या लगता है कितने परसेंट चांस है दे विल लाइक टू कांट्रडिक्ट ईच अदर मैं एक ही चीज उनसे पूछूं लेकिन उन दोनों के आंसर अलग आ रहे हो इसकी क्या परसेंटेज है क्या चांसेस है कांट्रडिक्ट ईच अदर का मतलब एक सच बोल रहा होगा एक झूठ बोल रहा होगा मैं आपसे एक चीज पूछ रही हूं ठीक है दो स्टूडेंट से एक कुछ और बोल रहा है एक कुछ और बोल रहा है इसका मतलब एक सच बोल रहा और एक झूठ बोल रहा है तो कहता है क्या परसेंटेज है कि वो एक दूसरे को कंट्रा

इक्ट करेंगे कंटक्ट का मतलब क्या है देखो लिखा है स्टेटिंग द सेम फैक्ट एक ही बात के लिए एक दूसरे को कांट्रडिक्ट करेंगे इसकी क्या परसेंटेज है ये तभी हो सकता है जब एक सच बोल रहा हो एक झूठ बोल रहा हो हो सकता है ए सच बोल रहा हो बी झूठ बोल रहा हो या फिर हो सकता है ए झूठ बोल रहा हो बी सच बोल रहा हो हमने परसेंटेज निकालने की वो दूसरे को कंटक्ट कर रहे हैं मतलब एक बोल रहा होगा एक झूठ बोल रहा होगा अब हमें नहीं पता तो हमें दोनों

केसेस लेने पड़ेंगे a हो सकता है सच बोल रहा हो बी झूठ झूठ का मतलब बार लगा दिया हो सकता है a झूठ बोल रहा हो बी सच बोल रहा हो हमें नहीं पता अब इनकी प्रोबेबिलिटीज निकालनी है प्रोबेबिलिटी ऑफ ए बार आपको पता है ओर का मतलब क्या होता है प्लस ये लो समझ आई चीज तो ये क्या हो गया p ऑफ a बार b ् p ऑफ a बार ब क्लियर हो गई चीज मैंने दोनों पे एक पे बार लगा दी यहां पे b पे बार है ठीक है अब एक के सच बोलने

से दूसरे को तो कोई इफेक्ट नहीं पड़ता ना ऐसा तो नहीं है ना कि मैं सच बोल रहा हूं तो तुम्हें झूठ ही बोलना है नहीं ना हम एक दूसरे को इफेक्ट नहीं करते तो ये p ऑफ ए p ऑफ ब बार इंडिपेंडेंट है तो मैं इन्हें अलग-अलग कर सकती हूं कर सकती हूं कि नहीं कर सकती बिल्कुल कर सकती हो कर सकती हो अब a के सच बोलने की प्रोबेबिलिटी कितनी है 80 पर मतलब 80/1 आप कहोगे मैम ये क्या करवा रहे हो दो मिनट रुको बस अभी बताती हूं क्वेश्चन हम कर क्या रहे

हैं इनटू p ऑफ b बार b के सच बोलने की कितनी थी 90/100 तो झूठ बोलने की कितनी होगी दैट इज कितनी 10/1 है ना प्लस p ऑफ a बार कितना आएगा 20/1 और b कितना आएगा 90/1 ये सारी कैलकुलेशन आप करोगे यू विल गेट द आंसर ये सारी यहां पे डिटेल की हुई है पफ ए है तो पफ a बार ये होगा p ब ये है तो p ब बार ये होगा पूरा आप करके दिखाओगे मैंने आपको कांसेप्ट समझाया ये ऐसा क्वेश्चन है जहां पे एडिशन थ्योरम मल्टीप्लिकेशन थ्योरम एक साथ लग रही है क्वेश्चन

में और कहीं नहीं लिखा क्वेश्चन में रिप्लेसमेंट कहीं नहीं लिखा विद रिप्लेसमेंट विदाउट कुछ नहीं लिखा क्वेश्चन की स्टेटमेंट समझी केस बना और से मुझे समझ आ गया ये एडिशन थ्योरम है एडिशन थ्योरम के बाद जब ऐसे लिखा मुझे पता लग गया ये इंडिपेंडेंट है एक दूसरे को इफेक्ट नहीं कर रहे इसको ऐसे तोड़ के लिख सकती हूं तो एडिशन थ्योरम एंड मल्टीप थ्योरम का साथ-साथ यहां पे काम चल रहा है ये क्वेश्चन है जहां पे एडिशन एंड मल्टीप्लिकेशन साथ-साथ लगते हैं क्वेश्चन समझ आना चाहिए वो एक दूसरे को कंटक्ट कब करेंगे जब एक सच

एक झूठ बोल रहा हो कंट्रक्शन का मतलब दोनों एक जैसी चीज नहीं बोल रहे स्टेटिंग द सेम फैक्ट ऐसे कैसे हो सकता है सेम सही चीज बताने के लिए एक कुछ और बोल रहा है एक कुछ और बोल रहा है फॉर एग्जांपल आज गोल्ड का रेट पूछ लो तो एक कहेगा ये कितना है कितना है एक तो अगर वो दोनों अलग-अलग रेट बता रहे हैं एक तो झूठ बोल रहा है ना उसमें से तो वही हमने किया कौन झूठ बोल रहा है हमें नहीं पता हमने ये क्वेश्चन किया है यहां पे 80/1 को 4/5 लिखा

है पहले आपको नहीं ऐसे करना आप ऐसे ही फॉर्मेशन में 80/1 ही रहने दो फिर यहां पे p a बार निकालो ग 1 - क्या आएगा 80/1 दैट विल बी 20/1 आ जाएगा आप वैसे ही कैलकुलेशन करोगे ठीक है अगर आपको नहीं भी कट करना आप ऐसे भी कर सकते हो फाइनल आंसर में कट कर देना सेम आंसर्स आएंगे तो आप ऐसे क्वेश्चन कर रहे होंगे पेपर में पूरा लिखना p ऑफ ए पफ ए बार p ऑफ ब अब यहां पे केसेस बने हुए हैं कि a स्पीक्स द ट्रुथ बी टेल्स अ लाय बी स्पीक्स

द ट्रुथ a टेल्स लाय अगर आपको ये समझ आ गया तो ये लैंग्वेज समझने में दिक्कत नहीं आएगी ठीक है आप पहले ही केसेस बना दो स्टार्टिंग में लेट कि a स्पीक्स द ट्रुथ बी टेल्स अ लाय फिर आप p ऑफ a बार पूरा फॉर्मूला लिख दो फिर चीजें निकालो कोई फर्क नहीं पड़ता सॉल्यूशन आपका टीचर को समझ आना चाहिए जरूरी नहीं है पहले यही लिखना है जो बुक में लिखा है नहीं आप पहले केसेस बना दो देर टू केसेस दिस एंड दिस उसके लिए हमें ये ये चाहिए वी विल फाइंड p ए p a

बार p b p ब बार फॉर्मूला में डालो आंसर निकालो क्लियर है ये चीज अब इसका आंसर निकल जाएगा चलिए नेक्स्ट क्वेश्चन चलिए फिर नेक्स्ट क्वेश्चन पे चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन क्या कह रहा है ध्यान से देखना सिर्फ और सिर्फ किसका गेम है दैट इज हमारे पास गेम है प्रोबेबिलिटी की आपको स्टेटमेंट समझ आनी चाहिए नेक्स्ट क्वेश्चन देखो ए बैग कंटेंस वन ब्लैक एक बैग के अंदर एक ब्लैक और दो वाइट बॉल्स हैं ठीक है अनदर बैग बैग कंटेंस टू ब्लैक वन वाइट बॉल ठीक है अब बॉल इज ड्रॉन फ्रॉम फर्स्ट बैग एंड पुट इड

इन टू सेकंड बैग एक बॉल यहां से यहां गई और सेकंड बैग में रख दी बहुत ध्यान से समझना एंड देन अ बॉल इज ड्रोन फ्रॉम द सेकंड बैग और फिर मैंने यहां से बॉल को क्या किया ड्रॉ किया ठीक है फाइंड द प्रोबेबिलिटी कि ये जो बल है वो वाइट है एक बोल को दूस एक बोल को एक बैग से दूसरे बैग में डाला ये बल वाइट गई है ब्लैक ये मुझे नहीं पता मैंने सेकंड बैग से एक बोल निकाली वाइट इसकी प्रोबेबिलिटी बताओ ये वाइट ही है सेकंड जो मैंने बैग से बोल निकाली

है ये चीज क्लियर हो गई पक्का मैं रिपीट कर रही हूं यहां से बॉल ट्रांसफर हो रही है मुझे नहीं पता कौन से कलर की है यहां से एक बॉल निकालनी है प्रोबेबिलिटी बताओ ये जो बोल निकालनी है वो वाइट होगी अब क्वेश्चन हमने पढ़ लिया सॉल्यूशन नहीं देखना अब हमारे माइंड में एक चीज नहीं आ रही कि यहां से यहां जो बोल जा रही है वो वाइट है कि ब्लैक है नहीं पता ना हमें तो तो ह केसेस क्या है हो सकता है वाइट ट्रांसफर्ड हुई है या फिर हो सकता है और कि ब्लैक

ट्रांसफर्ड हुई है है ना अपने आप केस बन गया ना कि हो सकता है वाइट ट्रांसफर हुई है हो सकता है ब्लैक आप कहोगे मैम क्या फर्क पड़ता है वाइट ट्रांसफर हुई या ब्लैक क्यों टोटल नंबर आपके यहां से इफेक्ट नहीं पड़ेंगे देखो बताती हूं मान लो वाइट ट्रांसफर हुई है ठीक है अगर वाइट ट्रांसफर हुई है तो यहां पे एक ब्लैक एक वाइट रह जाएगी और सेकंड वाले में दो ब्लैक दो वाइट हो जाएंगी अगर वाइट ट्रांसफर हुई है तो यहां वाइट बढ़ जाएगी अगर ब्लैक ट्रांसफर हुई है तो यहां पे दो वाइट ही

रह जाएंगी और यहां पे तीन ब्लैक और एक वाइट हो जाएगी है ना हो जाएगी ना चलिए अब यहां से वाइट निकलेगी तो उसकी प्रोबेबिलिटी अलग होगी और अगर इस वाले से वाइट निकलेगी तो उसकी प्रोबेबिलिटी अलग होगी क्यों यहां पे वाइट कितनी है टू तो यहां से वाइट निकलने की प्रोबेबिलिटी अलग है तो यहां वाइट कितनी है वन यहां से वाइट की निकालने की प्रोबेबिलिटी अलग है तो ये फर्क पड़ता है कौन सी कैसे ट्रांसफर हुई लिखना कैसे क्वेश्चन में बताते हूं पहले बताओ ये सारी चीजें क्लियर है पक्का चले आगे चलिए अब बताती

हूं पेपर में क्वेश्चन में लिखना कैसे है अब हम लेंगे लेट a बी द केस दैट वाइट बोल इज ट्रांसफर्ड लेट ए बी एन इवेंट कि वाइट बोल ट्रांसफर हुई है एंड बी बी एन इवेंट कि कौन सी बल अ बॉल ट्रांसफर हुई है ब्लैक बॉल ट्रांसफर हुई है ठीक है अब ध्यान से समझना ए या हमने लिया कि वाइट ट्रांसफर हुई है बी हमने लिया ब्लैक ट्रांसफर हुई है इनके बीच में र है तो पहले मैं क्या करूंगी इसकी प्रोबेबिलिटी निकाल लेती हूं फिर इसकी निका लूंगी दोनों को ऐड कर दूंगी ठीक है मैं

अब निकालू गी पड मतलब कहने का मतलब कि मैंने वाइट ट्रांसफर करी और सेकंड रो में वाइट ही निकाल रही हूं फिर मैं निकालू पी बीड मतलब मैंने ब्लैक ट्रांसफर करी और सेकंड रो में वाइट ही निकाल रही हू मेरी बात समझ आई उसने कहा था बोल ट्रांसफर हुई आपने जो सेकंड बार बोल निकाल वो वाइट होनी चाहिए अब बोल ट्रांसफर वाइट भी हो सकती है ब्लैक भी हो सकती है तो हमारे पास और था दोनों के केसेस ऐड होने हैं तो वाइट ट्रांसफर हुई और फिर वाइट निकाली सेकंड से उसकी प्रोबेबिलिटी ब्लैक ट्रांसफर हुई

और फिर वाइट निकाली सेकंड से उसकी प्रोबेबिलिटी दोनों की प्रोबेबिलिटीज क्या होंगी ऐड होंगी पफ एडब क्या होगा p ऑफ ए p ऑड p ऑफ एड क्या लिखोगे पफ ए * p ऑड क्या ये सही है नहीं जब मैं वाइट ट्रांसफर कर रही हूं यहां से यहां क्या इसमें इफेक्ट पड़ रहा है बिल्कुल पढ़ रहा है तो ये इंडिपेंडेंट नहीं है डिपेंडेंट है तो ये वाला जो a है वो इफेक्ट कर रहा है w को तो p a * p w / a ये बात ध्यान रखना अब y ट्रांसफर करने की क्या प्रोबेबिलिटी है हमारे

पास कितनी थी यहां पे देखो y ट्रांसफर होगी टोटल बोल कितनी थी थ्री y ट्रांसफर हो रही है तो इसका मतलब कितनी होगी 2/3 अब यहां से मैं वाइट निकाल रही हूं जब वाइट ट्रांसफर हो गई तो यहां पे वाइट कितनी बन गई टू टोटल कितनी है फोर तो 2/3 * 2/4 कहां पर है ये वाला देखो हमारे पास 2/3 * 2/4 ये रहा क्लियर हुई चीज अगर नहीं हुई दोबारा आराम से बता रही हूं दो हमारे पास थे यहां से बोल ट्रांसफर होनी थी वाइट भी हो सकती है ब्लैक भी जोन सी ट्रांसफर होगी

उससे इस वाले हमारे बॉक्स प पे इफेक्ट पड़ेगा तो मैंने केसेस बनाए कि वाइट ट्रांसफर हो रही है दैट इज a लिया वाइट ट्रांसफर हो रही है और सेकंड वाले से वाइट ही निकालनी है a p A * p w नहीं लिख सकते क्योंकि जब y ट्रांसफर होगी तो सेकंड वाले बाउल पे इफेक्ट पड़ेगा तो w / a जब इफेक्ट पड़ता है तो w / a p a y ट्रांसफर होने की 2/3 अब y ट्रांसफर हुई तो वहां पे एक वाइट बढ़ गई ना तो टू टोटल कितनी थी फोर 2/3 * 2/3 ठीक है आगे

देखो अगर ब्लैक ट्रांसफर होती है यहां ध्यान से देखना अगर हमारे पास ब्लैक ट्रांसफर होती है मैंने ब्लैक ट्रांसफर करी और सेकंड वाले से वाइट ड्रॉ कर रही हूं तो p ऑफ w * p ऑफ दैट इज यहां पे क्या आ जाएगा मैंने कौन सी ट्रांसफर कर दी है ब्लैक इस पे फेक्ट पड़ेगा अगर मैंने इधर से ब्लैक ट्रांसफर करिए दूसरे वाले बाउल में टोटल नंबर ऑफ बोल्स तो चेंज हो चुकी है ना तो इधर से ट्रांसफर करके दूसरे पे इफेक्ट पड़ता है ब्लैक ट्रांसफर कितनी होंगे देखो टोटल मेरे पास कितनी बोल्स थी यहां पे

देखो मेरे पास टोटल कितनी बोल्स थी यहां पे अहो कितनी थी थ्री ब्लैक ट्रांसफर हो रही है 1/3 अगर अब देखो ध्यान से अब इसमें ब्लैक ट्रांसफर ई है दो ब्लैक थी वन वाइट थी ना ब्लैक ट्रांसफर होगी तो थ्री ब्लैक होगी वन वाइट होगी इस वाले सेकंड वाले में दो ब्लैक वन वाइट थी वन ब्लैक ट्रांसफर होगी थ्री ब्लैक वन वाइट रहेगी तो यहां पे अब वाइट निकालू गी तो 1/4 तो 1 बा 3 * 1/4 क्लियर है ट्रांसफर कौन सी बोल हो रही है वो टोटल नंबर ऑफ बोल तो यहां बढ़ाती है यहां

पे वाइट अब एक ही है ना तो टोटल बोल फोर वाइट निकालने की प्रोबेबिलिटी वन 1/3 * 1/4 ये इसका आंसर है क्लियर हो गई चीज अच्छे से क्वेश्चन समझ आए मैंने रिपीट पे चीजें बताई है अगर अभी भी डाउट है लेट मी नो इन द कमेंट सेक्शन पर्टिकुलर क्या डाउट है आपका इस क्वेश्चन में फिर वो चीजें आपकी क्लियर करेंगे इसी के साथ ये क्वेश्चन कंप्लीट हो गया दोनों के केसेस ऐड करने हैं कि हमने कहा था ना वाइट ट्रांसफर भी हो सकती है और ब्लैक भी हो सकती है तो दोनों वाले आपने आंसर्स

एंड में ऐड जरूर करने हैं तो ये क्वेश्चंस थे जहां पे आपके पास एडिशन थ्योरम एंड मल्टीप्लिकेशन थ्योरम क्या हो रहे थे एक ही क्वेश्चन में यूज हो रहे थे क्लियर है चीज चले आगे पक्का नेक्स्ट चलते हैं फिर नेक्स्ट हमारे पास है दैट इज यूज ऑफ बर्नोली थ्योरम इन थ्योरी ऑफ़ प्रोबेबिलिटी बर्नोली थ्योरम का यूज करके हम प्र के क्वेश्चंस इजी कर सकते हैं ये बर्नोली है का मतलब क्या है ये कहां लगती है क्या चीज है ये अभी बताती हूं बहुत सिंपल है कई बार क्या होता है जब एक जैसी चीजें बहुत बार

करनी होती है कि कॉइन को एक बार नहीं दो बार नहीं तीन बार नहीं बहुत बार हमें टॉस करना है एक डाइस को एक बार नहीं दो बार नहीं तीन बार नहीं काफी बार हमें गरना है तो वहां पे हम बर्नोली सरम का यूज करते हैं सेकंड अगर रिपिटेटिव हो रही है चीज पहली बात तो ये वहां पे बर नोलेज लगती है सेकंड चीज वहां पे अगर सक्सेस और फेलियर की भी बात हो रही हो बर्नोली यूज हो रही होती है ये दो चीज का ध्यान रखना फॉर एग्जांपल मैंने एक डाइस को थ्रो करना है

सिक्स टाइम्स ठीक है सक्सेस क्या है कि सिक्स आना चाहिए अगर मैं छह बार एक डाई को थ्रो कर रही हूं वन भी आ सकता है टू भी आ सकता है थ्री भी आ सकता है फोर भी आ सकता है फाइव भी आ सकता है कुछ भी आ सकता है तो मैं क्या कह रही हूं कि अगर आप एक डाइस को सिक्स टाइम्स थ्रो कर रहे हो तो एक काम को बहुत बार रिपिटेटिव कर रहे हो बनोली का क्वेश्चन हो सकता है दूसरा कह रही हूं जितनी बार उसमें सिक्स आएगा वो हमारी सक्सेस काउंट होगी

अगर छह बार बार मैं एक डाइस को थ्रो कर रही हूं हो सकता है दो बार सिक्स आए तीन बार सिक्स आए बाकी बारही कुछ हो रहा है 1 2 थ कुछ भी आ सकता है तो जहां पे एक रिपिटेटिव एक काम हो रहा है दूसरा सक्सेस या फेलियर की बात हो रही है वहां पे बर्नोली थ्योरम का कांसेप्ट आता है क्वेश्चन देख के चीजें अभी और अच्छे से समझ आ रही होंगी पहले देखो बनोली सर्म का फार्मूला क्या है दैट इज प ऑफ r मतलब प्रोबेबिलिटी r की दैट इज एनसीआर p की पावर r

q की पावर n - r यहां पे n आ है क्या n मतलब एक काम को कितनी बार करना है फॉर एग्जांपल एक डाइस को छह बार फेंकना है तो n क्या है सिक्स उसको सिक्स टाइम्स थ्रो करना है तो n की वैल्यू क्या है सिक्स है p मतलब प्रोबेबिलिटी ऑफ दैट इज सक्सेस मैंने कहा था आपको तब सक्सेस मिलेगी जब आपके थ्रो करने पे सिक्स आ रहा होगा तो प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस कितनी होगी 1/6 टोटल एक डाइस पे कितने नंबर होते हैं सिक्स सिक्स आने की प्रोबेबिलिटी कितनी है 1/6 तो प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस कितनी

हुई 1/6 फेलियर का मतलब कुछ और आए सिक्स ना आए तो टोटल सिक्स है और उसके अलावा कोई और नंबर आ रहा है 1 2 3 4 5 तो वो हमारे फेलियर काउंट होंगे तो प्रोबेबिलिटी ऑफ फेलियर इज 5/6 हमारी फेलियर त कब काउंट होगी जब 1 2 3 4 5 अगर इन पांच नंबर में से कोई आ रहा हुआ तो हमारी फेलियर काउंट होगी तो टोटल नंबर सिक्स और ऊपर क्या है फाइव दैट इज 5/6 ये हमारे क्या है फेलियर की प्रोबेबिलिटी मैं आपको एग्जांपल से फॉर्मूला समझा रही हूं कि n मतलब एक डाइस

को कितनी बार थ्रो करते हैं वो वैल्यू होगी क्वेश्चन में और अच्छे से समझ आएंगी चीजें कितनी बार क्या चीज रिपीट हो रही है दैट इज n p मतलब प्रोबेबिलिटी ऑफ दैट इज क्या हमारी सक्सेस है q मींस प्रोबेबिलिटी ऑफ हमारा दैट इज फेलियर r मतलब हमें क्या चाहिए फॉर एग्जांपल मुझे सिक्स टाइम्स डाइस थ्रो करना था मैं चाहती हूं तीन बार सिक्स आना चाहिए तो r की वैल्यू थ्री मुझे उसमें कितनी बार सक्सेस चाहिए मुझे r3 मतलब तीन बार उसमें डाइस थ्रो करने पे मान लो सिक्स चाहिए तो r की वैल्यू थ्री ये फार्मूला

मैंने आपको एग्जांपल से समझा दिया ऐसा क्वेश्चन भी आगे मिल रहा होगा प्रोबेबिलिटी ऑफ आर सक्सेसेस प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस प्रोबेबिलिटी ऑफ फेलियर टोटल नंबर ऑफ ट्रायल्स ये चीज क्लियर है पक्का ये चीज समझ आई अब बर्नोली थरम कहां लगेगी कैसे क्वेश्चन आएंगे वो फटाफट से देख लेते हैं जल्दी से देखते हैं बर्नोली के क्वेश्चन देखो नेक्स्ट इज मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन बाद में करते हैं पहले बर्नोली के क्वेश्चन देखते हैं इन एन आर्मी 3/5 ऑफ द सोल्जर्स आर नोन टू बी मैरिड आर्मी के अंदर 3/5 मतलब प्रोबेबिलिटी क्या है सोल्जर्स की मैरिड होने की 3/5 आगे देखो

एंड द रिमर 2/5 अनमैरिड और अनमैरिड होने की प्रोबेबिलिटी कितनी है दैट इज़ 2/5 आर्मी के अंदर एक सोल्जर की अनमैरिड मैरिड होने की प्रोबेबिलिटी क्या है वो दे रखी है आगे देखो कैलकुलेट द प्रोबेबिलिटी ऑफ़ गेटिंग एगजैक्टली फोर मैरिड सोल्जर्स इन अ रो ऑफ फाइव सोल्जर्स मे पास फाइव सोल्जर है एक रो में उनमें से चार मैरिड ही होंगे इसकी प्रोबेबिलिटी निकालो मेरे लिए सक्सेस क्या है कि वो मैरिड हो जाए है ना मेरे लिए प्रोबेबिलिटी किसकी निकालनी है मैंने कि मैरिड सोल्जर्स ढूंढने हैं तो मेरे लिए सक्सेस क्या है कि यहां पे मैरिड

सोल्जर्स मिल जाए जब सक्सेस फेलियर की बात हो रही हो ये बर्नोली का क्वेश्चन है इसमें कहीं भी इधर और नहीं है ये हो नहीं सकता एडिशनल थ्योरम का क्वेश्चन कोई केस एडिशन थ्योरम का क्वेश्चन नहीं हो सकता कोई केस नहीं बन रहा कोई विद रिप्लेसमेंट विदाउट रिप्लेसमेंट कुछ नहीं इसमें लिखा बस ये है कि वो मैरिड होने चाहिए पांच में से चार मतलब मैरिड होना मेरे लिए यहां पे एक सक्सेस का काम कर रहा है तो ये बर्नोली का क्वेश्चन है ध्यान से समझो अभी यहां पे बर्नोली लगने है ये समझ आ गया फार्मूला

लिखा दैट इज एसी p की पावर r q की पावर n - r अब चीजें ढूंढना शुरू करते हैं मुझे चाहिए n n मतलब टोटल कितनों की बात हो रही है यहां पे फाइव सोल्जर्स की बात हो रही है तो n मतलब फाइ अगर मैं कॉइन को टोस्ट कर रही हूं कितनी बार वो n होता है मैं डाइस को कितनी बार थ्रो कर रही हूं वो n होता है यहां पे कितने सोल्जर्स के बारे में मैं जानना चाहती हूं कितने सोल्जर्स में से चेक कर र हो चीजें वो n होता है तो यहां पे n

कितना है फाइव है आगे देखो क्या लिखा है ध्यान से मुझे चाहिए r r का मतलब होता है कितना सक्सेस चाहिए मुझे चार मेरिड चाहिए तो r की वैल्यू क्या है फोर जैसे मुझे था उस एग्जांपल में कितने सिक्स चाहिए तीन सिक्स चाहिए चार सिक्स चाहिए मुझे यहां पे मेरिड कितने चाहिए फोर तो r की वैल्यू क्या होगी फोर p इज प्र लिटी ऑफ सक्सेस अब यहां पे p प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस है सक्सेस कब मिलेगी जब वो मैरिड होगा मैरिड की कितनी है 3/5 तो p की वैल्यू 3/5 q की वैल्यू कितनी है 2/5 अनमैरिड

की ये है ना 2/5 और q है फेलियर फेलियर क्या होगा कि वो अनमैरिड निकले तो वो q कितना होगा 2/5 अनमैरिड होना फेलियर क्यों है क्योंकि उसने मैरिड की प्रोबेबिलिटी पूछी तो दूसरा हमारे लिए फेलियर होता है ये सारी वैल्यूज आ गई फॉर्मूला में डालो सॉल्व करो इसको कैसे सॉल्व करते हैं मैंने बताया हुआ है 5 फैक्टोरियल 4 फ्टो 1 फैक्टोरियल स्टार्टिंग में समझाया है आपका आंसर आ जाएगा 162 / 625 क्लियर है ये चीज बनोली इस का क्वेश्चन क्लियर है पक्का नेक्स्ट देखते हैं नेक्स्ट क्या कह रहा है देखो यहां पे ध्यान से

देखना फाइंड द प्रोबेबिलिटी ऑफ थ्रोइंग सिक्स एटलीस्ट वंस इन अ सिक्स थ्रोज विद अ सिंगल डाई एक सिंगल डाई को मैं सिक्स टाइम थ्रो कर रही हूं ठीक है प्रो बिलिटी निकालनी है कि सिक्स टाइम जब एक सिंगल डाई को थ्रो कर रही हूं तो कम से कम एक बार तो उसमें सिक्स आएगा जब मैं डाई को थ्रो करती हूं वन भी आ सकता है टू भी थ्री भी फोर भी फाइव भी सिक्स भी कुछ भी आ सकता है तो कहते हैं जब मैं सिक्स टाइम्स एक ही डाई को बार-बार थ्रो कर रही हूं तो

कम से कम एक बार तो उस डाइस पे सिक्स आया होगा उसकी प्रोबेबिलिटी बताओ ठीक है अब एक ही काम को बार-बार कर रही हूं डाइस को बार-बार थ्रो करू डाई को एक बार गिरा दो बार गिरा तीन बार गरा है ना रिपीटिटिवली जब काम ऐसा होता है वहां बर्नोली लगती है जब रिपीट पे काम हो रहा है कि एक ही चीज को छह बार करना है पांच बार कर ना है तो वहां पे बर्नोली लगती है यहां पे और नहीं लिखा इधर नहीं लिखा कोई केस नहीं बन रहा कोई मल्टीप्लिकेशन थ्योरम विद रिप्लेसमेंट विदाउट

रिप्लेसमेंट कुछ नहीं है ये बर नॉलेज का क्वेश्चन है क्लियर हो गई चीज अब आगे देखो यहां पे लिखा है एटलीस्ट वंस इन अ सिक्सथ रो कि मैं छह बार डाई को थ्रो करूंगी कम से कम एक बार तो उस डाई पे सिक्स बना हुआ आ जाए इसकी प्रोबेबिलिटी बताओ हो सकता है एक एक बार सिक्स आए हो सकता है दो बार सिक्स आ जाए हो सकता है तीन बार आ जाए चार के चार थ्रो में सिक्स आ जाए हो सकता है फाइव के फाइव थ्रोज में सिक्स आ जाए हो सकता है सिक्स के सिक्स

में सिक्स आ जाए है ना उसने कहा प्रोबेबिलिटी निकालो कि कम से कम एक बार तो आए अब हमें नहीं पता ये तो बहुत सारे केस बनाने पड़ेंगे कि एक ही सिक्स आया या मैंने छह बार गरा क्या पता दो बार सिक्स आ गया हो सकता है मैंने छह बार डाई गरा तीन बार सिक्स आ गया बहुत सारे केसेस बनेंगे तो जब ऐसे केसेस बनते हैं एटलीस्ट वर्ड होता है हम कहते हैं नहीं आया ही नहीं सिक्स मान लो सिक्स आया ही नहीं और हम सिक्स आने की एटलीस्ट सिक्स आने की कैसे निकालेंगे 1 -

p06 जब एटलीस्ट वर्ड आता है बहुत सारे केसेस बनते हैं और जहां बहुत सारे केसेस बनते हैं वहां पे हम उससे उल्टा काम करते हैं उसने कहा एटलीस्ट सिक्स हम कहेंगे p न 6 सिस आया ही नहीं है क्या कहेंगे एटलीस्ट कैसे निकलेगा 1 - p06 कि 6 नहीं आया वन में से माइनस करके हमें ड एटलीस्ट सिक्स वाला मिल जाएगा अब ये बर्नोली का भी क्वेश्चन है एटलीस्ट का भी आ गया अब ध्यान से चीजें समझना यहां तक क्लियर हुआ अब बर्नोली कैसे लग रही है देखो यहां पे मुझे पहले क्या निकालना है p

न 6 ठीक है बर्नोली का क्वेश्चन है तो प्रोबेबिलिटी बर्नोली सेही निकलेगी क्या होगा ncr-1 नॉट सिक्स मुझे सिक्स नहीं चाहिए मतलब r0 है ना मुझे एक बार सिक्स चाहिए होता r1 होता मुझे दो बार सिक्स चाहिए होता r2 होता मुझे सिक्स चाहिए ही नहीं तो r कितना हुआ रो कितनी बार थ्रो कर रहे हैं हम डाई को सिक्स टाइम n कितना हुआ सिक्स प्रोबेबिलिटी अब यहां पे p क्या है मेरी प्रोबेबिलिटी है किसकी सक्सेस की तो यहां पे सक्सेस क्या है सि देखो ना मेरे को सिक्स नहीं चाहिए दैट इज आर यहां पे सक्सेस

क्या है सिक्स आना मेरी बात समझ आ रही है r क्या लिया मैंने कि कोई सिक्स नहीं चाहिए मतलब सिक्स ही हमारा प्रो बिलिटी ऑफ सक्सेस फेलियर डिसाइड कर रहा है तो नोट 6 r0 ले लिया तो मेरी प्रोबेबिलिटी ऑफ़ सक्सेस कितना होगा 1/6 प्रोबेबिलिटी ऑफ़ फेलियर क्या होगा 5/6 सारी यहां पे वैल्यूज डालो आपको आपके आंसर सारे मिल जाएंगे p की पावर r q की पावर n - आ समझ आई चीज ये मत सोचना मैम सिक्स नहीं आना चाहिए प्रोबेबिलिटी ऑफ सक्सेस क्या लेंगे बात सारी सिक्स पर ही हो रही है नहीं आना चाहिए

उसकी पनिशमेंट मिल गई मैंने r0 ले लिया सारी बात सिक्स पे ही हो रही है तो सक्सेस क्या होगा सिक्स आने का ही 1/6 यहां पे नहीं आने का 5/6 फेलियर मतलब 5/6 सारी वैल्यूज डालोगे आपको आंसर मिल जाएंगे दिस इज p नोट 6 p एटलीस्ट सिक्स की वन माइनस जो भी आपका आंसर आएगा दैट इज 5/6 की पावर 6 इन्होंने यहां पे पहले ही आप वन माइनस करके कैलकुलेशन कर रहे हैं आप पहले कैलकुलेशन करके वन माइनस बाद में पुट करो कोई फर्क नहीं पड़ता उन्होंने पहले ही वन माइनस लिख दिया कोई बात नहीं

ठीक है आप पहले ये निकाल लो फिर वन माइनस करो उन्होंने वन माइनस करते करते साथ-साथ कैलकुलेशन कर दी कोई प्रॉब्लम नहीं है क्लियर हो गई चीज पक्का देख लो चले आगे नेक्स्ट क्वेश्चन देखो दिस क्वेश्चन क्वेश्चन नंबर 92 इतने सारे क्वेश्चन हमने किए नहीं एग्जांपल नंबर है ठीक है डरना मत मैम 92 क्वेश्चन किया अभी अरे नहीं नहीं ये क्वेश्चन आपका होमवर्क क्वेश्चन है कि तीन डाइस को वो थ्रो कर रहा है प्रोबेबिलिटी एटलीस्ट वन ऑफ द नंबर्स टर्निंग अप ग्रेटर दन फर पहले तो तीन बार टाइज थ्रो कर रहा है बर्नोली का क्वेश्चन

है रिपीटेशन पे काम हो रहा है इधर और मल्टीप्लिकेशन कुछ नहीं लिखा हुआ रिप्लेसमेंट विदाउ विदाउट रिप्लेसमेंट केसेस कुछ नहीं बन रहे तो किसका क्वेश्चन है बर्नोली का क्वेश्चन है एटलीस्ट वर्ड है वन माइनस हो रहा होगा तो ये क्वेश्चन आपका होमवर्क क्वेश्चन है आप कर रहे होगे क्लियर है ये चीज बर नॉलेज क्लियर हो गई पक्का चले आगे चलिए बर नॉलेज से नेक्स्ट टॉपिक जो है दैट इज मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन नेक्स्ट टॉपिक क्या है मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन ये क्या है अगर प्रोबेबिलिटी को मनी के साथ हम कंबाइन कर दें वहां से एक नई टर्म बनती है

दैट इज मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन फॉर एग्जांपल एक बैग के अंदर मैंने तीन-चार कलर की बोल्स डाल दी और मैंने कहा जो वाइट कलर की बोल निकालेगा उसको ₹ 50 का ड्रॉ मिलेगा या ₹ 100 मिलेंगे उसको तो जो वाइट कलर की बोल निकालेगा उसको ₹1000000 मिल रहे हैं वाइट कलर की बोल निकालने की प्रोबेबिलिटी को मैं पैसों के साथ कंबाइन कर रही हूं तो इसको क्या बोला जाता है मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन जब प्रोबेबिलिटी को पैसों के साथ कंबाइन करके एक कंबाइन चीज निकाली जाती है प्रोबेबिलिटी इनटू मनी वो हमें क्या देता है मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन क्लियर है बहुत

सिंपल है प्रोबेबिलिटी वैसे ही निकालेंगे जैसे हमने सीखी है और पैसे हमें कितने लगाने हैं साथ में इनटू मल्टीप्लाई में वो हमें क्वेश्चन में दिया होता है देखो क्वेश्चन करते हैं इसका ध्यान से देखना बहुत इजी है अब अब बैग कंटेन टू वाइट बॉल्स एंड थ्री ब्लैक बॉल्स एक बैग के अंदर दो वाइट हैं और थ्री ब्लैक बॉल्स हैं फोर पर्सन ए बी सी डी इन द ऑर्डर नेम ईच ड्रोज वन बोल एंड डज नॉट रिप्लेस इट पहले ए आया उसने एक बोल निकाली रख ली अपने पास बी आया इसमें से एक बोल निकाली रख

ली अपने पास ऐसे करके एक-एक करके सारे बोल निकाल के अपने पास रखते गए आगे देखो द फर्स्ट टू ड्रॉ अ वाइट बॉल रिसीव ₹ 50 अब पहला आया होगा दूसरा आया होगा तीसरा किसी के पास वाइट गई होगी किसी के पास ब्लैक ए बी सीडी में से जिसके पास सबसे पहले वाइट गई होगी उसको ₹ मिलेंगे ठीक है डिटरमिन देयर एक्सपेक्टशंस एक्सपेक्टशंस निकालो तो प्रोबेबिलिटी इनटू मनी इंट्रोड्यूस होगी तो वहां एक्सपेक्टेशन निकलती है जिसको मैथमेटिकल एक्सपेक्टशंस बोलते हैं ये चीज क्लियर है पक्का आप करें क्वेश्चन देखो हमने डिटरमिन देर एक्सपेक्टेशन हम a की एक्सपेक्टेशन

निकालेंगे b की c की D की ठीक है अब सबसे पहले कौन जा रहा है a जा रहा है मान लो सबसे पहले a गया a को मिल गई मान लो वाइट बॉल ठीक है प्रोबेबिलिटी क्या है a को वाइट बॉल मिलने की ध्यान से समझना सबसे पहले a गया a ने बोल निकाल ली ये रही हमारे पास हम बना ही लेते हैं ये टू वाइट थ्री ब्लैक a गया ठीक है a ने बोल निकाली a की एक्सपेक्टेशन निकाल रहे हैं मतलब हम मान के चल रहे हैं a लकी ड्रो जीत गया a वाइट बॉल

निकालेगा तभी तो लकी ड्रॉ जीतेगा तो एक टोटल कितनी है इसमें फाइव वाइट कितनी है टू तो a की प्रोबेबिलिटी वाइट बोल निकालने की कितनी है 2 बा 5 तो ये 2/5 ठीक है एक्सपेक्टेशन के लिए इनटू मनी करते हैं मनी कितनी मिल रही थी 50 ये लो इसका क्या आ गया 20 आ गया तो एक ही एक्सपेक्टेशन कि वो पहले ही गया पहले ही वाइट बॉल उठा ली वो जीतेगा दैट इजू 5 * 50 a की एक्सपेक्टेशन का मतलब हम मान के चल रहे हैं कि a ही जीत गया a ने जाते ही वाइट

बॉल निकाल ली वाइट बोल निकालने की प्रोबेबिलिटी इंटू पैसे हमने कर दिए ठीक है ये होगी a की प्रोबेबिलिटी एक्सपेक्टेशन आगे चलते हैं आगे हम क्या कह रहे हैं b की निकालते हैं किसकी निकालते हैं अब एक की एक्सपेक्टेशन होगी अब किसकी निकालेंगे b की एक्सपेक्टेशन ध्यान से देखो b को कब पैसे मिलेंगे जब a को ना मिले हो ठीक है ना हमने क्या कहा था जिसको सबसे पहले वाइट वैसे तो वाइट बोल दो है ये नहीं कि जिसको भी मिलेगी उसको पैसे मिलेंगे नहीं जिसको सबसे पहले वाइट बोल मिलेगी उसको पैसे मिल रहे होंगे

तो मुझे बी की एक्सपेक्टेशन निकालनी है मतलब बी को पैसे मिल रहे होंगे ठीक है बी को पैसे कब मिल रहे होंगे कि ए को नहीं मिले है ना सबसे पहले वाइट बॉल बी को मिली है तभी तो उसको पैसे मिल रहे होंगे तो ए को वाइट बॉल नहीं मिली होगी बी को मिली होगी तभी बी का प्राइस आएगा क्लियर हो गई चीज तो हम इसकी प्रोबेबिलिटी निकालते हैं ध्यान से समझना b को a को वाइट बॉल नहीं मिली ठीक है p ऑफ a बार * b को मिली तो यहां पे हम क्या करेंगे a

बार b मेरी बात ध्यान से समझना b की एक्सपेक्टेशन का मतलब कि b जीत चुका है मतलब b को पहले सबसे पहले वाइट बॉल मिली है b से पहले अभी सिर्फ a ही आके गया है तो a को वाइट बॉल नहीं मिली होगी a का b को इफेक्ट पड़ेगा क्योंकि वो पहले आके गया है ना नंबर बोल कम हुई होंगी टोटल में तो p ऑफ a बार b कि a को नहीं मिला b को मिला क्लियर है यहां तक अब आगे मल्टीप्लिकेशन थ्योरम क्या कहती है पफ a बार ये रहा इं p ऑफ ब लेकिन

वो आया था जिसने बोल ली थी वापस नहीं रखी अपने साथ ले गया तो ये क्या है विदाउट रिप्लेसमेंट है बोल ली और अपने पास रख ली थी ना विदाउट रिप्लेसमेंट डिपेंडेंट कंडीशनल लगेगी तो जो a बार बोल ले गया वो इफेक्ट करेगा b को टोटल नंबर में तो हम ऐसे करते हैं ए बार ले गया बी को इफेक्ट कर रहा है अब पहली बार वो वाइट नहीं लेके गया होगा टोटल बॉल कितनी है फाइव वाइट लेके नहीं गया तो मतलब ब्लैक ले गया तो 3/5 है ना अगर a के हाथ में वाइट नहीं लगी

तो ब्लैक लगी होगी 3/5 उसने वापस नहीं रखी तो जब बी आया होगा बैग से बोल निकाल होगी अब बैग में चार ही बोल रह गई है फाइव नहीं क्योंकि a लेके एक जा चुके है लेकिन हम मान रहे हैं इसने वाइट बोल निकाल ली है तो वाइट बॉल कितनी है 2 तो 2/4 3/5 * 2/4 यहां पे यह रहा क्लियर है चीज यहां क्या करेंगे सॉल्विंग करेंगे अभी एक्सपेक्टेशन के लिए प्राइस मल्टीप्लाई करते हैं इसके साथ प्राइस मल्टीप्लाई होगा दैट इज इंट 50 आंसर कितना आ गया ₹ 15 मतलब b की जो एक्सपेक्टेशन है

दैट इज ₹ 15 क्लियर हो गई चीज पहले इन्होने सॉल्व कर लिया ना इसको यहां पे बाद में 50 से मल्टीप्लाई किया तो आप भी सॉल्व कर लेना जैसे भी 3 * 2 6 5 * 4 कितना आ जाएगा 26/2 आ जाएगा 6/2 * 50 कर लेना कट करके ये आंसर आएगा 50 तो ये b की एक्सपेक्टेशन है ठीक है अब देखते हैं c की क्या एक्सपेक्टेशन है ध्यान से c की एक्सपेक्टेशन मतलब हम मान के चल रहे हैं कि सबसे पहले c को ही वाइट बॉल मिली है मतलब a को भी नहीं मिली b

को भी नहीं मिली किसको मिली है c को तो सबसे पहले p आया था उसने ड्रॉ कर ली थी वाइट नहीं थी फिर उसके बाद b आया था किसके बाद a बार के बाद है ना a b को इफेक्ट करेगा तो b आया था उसको नहीं मिली फिर स आया जिसको मिल गई लेकिन c किसके बाद आया a बार ब बार के बाद तो ऐसे लिखा जाएगा a बार पहले a आया वाइट नहीं लेके गया फिर बी आया वाइट नहीं लेके गया लेकिन a के बाद आया तो a वाला इफेक्ट करेगा ये वाली चीज इसको

इफेक्ट करती है अब ए दोनों आ गए अब c आएगा यहां पे देखो p ऑफ a बार इसको वाइट नहीं मिली कितनी थी यहां पे देखो टू वाइट थ्री ब्लैक जब वो a सबसे पहले अ चलो ये रब हो गया अब आप देख लो भी यहां पे सी सबसे पहले गया था a उसको वाइट नहीं मिली 3/5 हुआ फिर कौन गया b इसको भी वाइट नहीं मिली देखन टोटल तो अब चार रहेगी ना क्योंकि एक a ले आया इसको वाइट नहीं मिल रही b को ब्लैक कितनी थी तीन एक हमारा a लेके आ चुका है

तो अब इसके पास कितनी बची दो मेरी बात ध्यान से समझना a वाइट नहीं लाया स्टार्टिंग में पांच थी टोटल ब्लैक ले आया तीन ब्लैक थी 3/5 बी भी गया वाइट नहीं लाया अब टोटल चार रह चुकी है और एक ब्लैक ए लेके जा चुका है तो ब्लैक दो रह चुके है टोटल में चार ब्लैक में दो 2/4 c जाके वाइट लेगा टोटल कितनी बची है तीन क्योंकि एक इसने ले ली एक इसने ले ली वाइट अभी भी दो के दो बचे हैं क्योंकि किसी ने ली ही नहीं तो c के वाइट निकालने की 2/3

ठीक है अब इसको इं 50 कर दो आपको c की एक्सपेक्टेशन मिल जाएगी जब ए जाता है ना टोटल में से निकालता है टोटल पांच थी पांच में से वाइट मिली नहीं ब्लैक लेके आया होगा तो 3/5 सेकंड भी गया पांच में से चार बची है और ब्लैक एक ले जा चुका है तो दो बची है 2/4 सी गया वाइट लाया वाइट दो की दो बची है लेकिन टोटल में दो ब्लैक जा चुकी थी तो कितनी किनी बची तीन आप सी की एक्सपेक्टेशन निकाल सकते हो ऐसे ही आप डी की एक्सपेक्टेशन निकालो दैट इज योर

होमवर्क आराम से अगर मेरी बात सुनी है तो चीजें क्लियर होंगी देखो सबसे पहले ए गया नहीं मिली उसको फिर बी गया a के जाने के बाद सी गया ए के जाने के बाद अब डी जाएगा ए बी सी के जाने के बाद और ये नंबर समझ आते हैं अगर मेरी बात ध्यान से सुनी है तो क्लियर है ये चीज इसी के साथ हमारा मैथमेटिकल एक्सपेक्टेशन भी कंप्लीट स्टार्टिंग में बोला था तीन थ्योरम्स कराऊंगा बेस एडिशनल मल्टीप्लिकेशन होगी नाउ नेक्स्ट इज बेस थ्योरम बहुत-बहुत सिंपल इसका यहां पे लिखा है फार्मूला ये सब ये मैं कुछ

भी नहीं करवाऊंगी कुछ भी नहीं हम सीधा क्वेश्चन पे चलेंगे क्योंकि क्वेश्चन से चीजें इतने मस्त तरीके से क्लियर होंगी आपको बहुत अच्छे से समझ आएगा इस अगर ये क्वेश्चन अच्छे से कर लिए यह फार्मूला आप अपने आप कर लोगे इतना सिंपल है कुछ भी नहीं है लेकिन पहले क्वेश्चन के थ्रू कैसे पता लगे यह बेस थोरम का क्वेश्चन है क्वेश्चन खुद चिल्ला के बोलता है अरे मैं बेस थरम का क्वेश्चन हूं सब कुछ तुम्हें डाटा दे रहा हूं बस फॉर्मूला में डालो इतने सिंपल क्वेश्चन होते हैं इसके ध्यान से अब क्वेश्चंस देखो एन इंश्योरेंस

कंपनी इंश्योर्ड 2000 स्कूटर ड्राइवर्स 4000 कार ड्राइवर्स 6000 ट्रक ड्राइवर्स एक इंश्योरेंस कंपनी है जिसके अंदर स्कूटर ड्राइवर्स का 2000 ऐसे हैं जिनके उन्होंने इंश्योरेंस ली है 4000 कार ड्राइवर है जिन्होंने इंश्योरेंस लिए और 6000 ट्रक ड्राइवर्स ने इंश्योरेंस लिए ठीक है आगे चलो प्रोबेबिलिटी ऑफ एक्सीडेंट इज अब प्रोबेबिलिटी कि इनका एक्सीडेंट होगा मतलब स्कूटर ड्राइवर का एक्सीडेंट होगा उसकी प्रोबेबिलिटी 0.01 है कार ड्राइवर का होगा 0.03 है और 6000 ये जो ट्रक ड्राइवर्स है इनमें से किसी का एक्सीडेंट होगा उसकी प्रोबेबिलिटी 0.15 है तो कितनों ने लिया हुआ है इंश्योरेंस वो बता दिया कौन

सेकन से ड्राइवर हैं सेकंड इनमें से कित दोनों का एक्सीडेंट होता उसकी हमें प्रोबेबिलिटी बताई गई है ठीक है द प्रोबेबिलिटी ऑफ एक्सीडेंट इज दिस रिस्पेक्टिवली आगे चलते हैं वन ऑफ द इंश्योर्ड पर्सन मीट्स एन एक्सीडेंट इसमें से ये देखो कितने लोग थे टोटल टू और फोर 6 6 और 6 12 टोटल 12000 लोग थे इसमें से किसी एक का एक्सीडेंट हो गया ठीक है व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी दैट ही इज अ स्कूटर ड्राइवर क्या प्रोबेबिलिटी है कि जिस एक का एक्सीडेंट हुआ है इन 12000 लोगों में से वो स्कूटर ड्राइवर ही है वो कार

ड्राइवर या ट्रक ड्राइवर नहीं है इसकी प्रोबेबिलिटी बतानी है क्वेश्चन ध्यान से समझो डाटा दो तरह का देता है कि इतने इतने लोगों ने इंश्योरेंस करा रखा है इसमें से इतने इतने लोगों का एक्सीडेंट होता है ठीक है उन दो डाटा में से एक खुद कह देता है ऐसा होगा जैसे उसने कहा था प्रोबेबिलिटी है उसका एक्सीडेंट होगा ये रहा तो उसने एक चीज बोल दी एक्सीडेंट हो गया और दूसरे की पूछ लेता है कि एक्सीडेंट डेंट इसमें से किसी का हुआ होगा जब दो चीजों का डाटा देके एक तो खुद कह देता है ऐसा

हो गया और दूसरे की प्रोबेबिलिटी पूछ लेता है वहां पे बेस थ्योरम लगती है अभी और क्वेश्चन कराऊंगा वहां पे भी ये चीज समझा रही होंगी दो चीजों का डाटा दिया कितने इंश्योर्ड है कितनों का एक्सीडेंट होता है फिर अपने आप कह दिया एक्सीडेंट हो गया और फिर दूसरे की प्रोबेबिलिटी पूछ ली अगर दो चीजों का डाटा दे के एक का कह देता है हो गया और दूसरे की प्रोबेबिलिटी पूछ लेता है यहां पर बेस थ्योरम लगती है कितने का दिया था दो का एक खुद ही कह दिया कि ये तो हो गया और दूसरे

की प्रोबेबिलिटी पूछ रहा है बेस थ्योरम ठीक है अब निकालना क्या है अगर ये पता लग जाए फॉर्मूला वही बन जाएगा ध्यान से आप देखो इसने क्या दिया है वन ऑफ द इंश्योर्ड पर्सन मीट्स एन एक्सीडेंट बट इज द प्रोबेबिलिटी दैट ही इज अ स्कूटर ड्राइवर कहता है एक पर्सन का एक्सीडेंट हो गया जो चीज हो गई है ना उसको हमेशा बी ले लिया करो लेट बी बी एन इवेंट की एक्सीडेंट हो गया तो जो भी चीज होगी उसको बी ले लो ध्यान से और वो कहता है प्रोबेबिलिटी निकालो कि वो स्कूटर ड्राइवर ही है

वो मतलब स्कूटर ड्राइवर भी हो सकता था कार ड्राइवर भी हो सकता था ट्रक ड्राइवर भी हो सकता था वो कहता है प्रोबेबिलिटी निकालो वो स्कूटर ड्राइवर ही है जिस चीज की वो प्रोबेबिलिटी पूछता है उसको नेमिन देना शुरू करो a1 a2 a3 मेरी बात ध्यान से समझना जो उसने दे दिया कि ये तो हो गया उस इवेंट का नाम बी दे दो हमेशा और जिसकी वो प्रोबेबिलिटी पूछ रहा है कि देखो कि वो स्कूटर ड्रा ड्राइवर है तो और कौन सेकन सी केसेस है स्कूटर ड्राइवर भी हो सकता था कार भी ट्रक भी उनको

नेमिन दे दो a1 a2 a3 लेट a1 बी द इवेंट कि 2000 स्कूटर ड्राइव शोर्ड हो रहे हैं इंश्योर्ड हो रहे हैं ए टू बी द इवेंट कि 4000 कार ड्राइवर्स इंश्योर्ड हो रहे हैं मुझे निकालना क्या है उसने कहा है एक्सीडेंट हो गया मतलब ये चीज हो चुकी है जो हो चुकी है हम बाद में लिखते हैं ये इस पे इफेक्ट डालेगा ना उसने कहा कि एक्सीडेंट हो गया तो बी बाद में आएगा मुझे चाहिए कि वो किसने किया स्कूटर ड्राइव स्कूटर ड्राइवर का हुआ है वो क्या है a1 तो मुझे pa1 / b

चाहिए अगर आपने ये पहचान लिया बेस थ्योरम है और ये चीज लिख ली आपका क्वेश्चन हो गया अभी बहुत सेकंड्स में बताऊंगी सेकंड्स में इसका सलूशन निकलने वाला है पहले ये चीज समझ आई कि नहीं उसने जो चीज कहा हो गया उसको आपने बी लेना है कि एक्सीडेंट हो गया लेट इट बी बी जो हो गया वो बाद में लिखते हैं फिर वो कहते है कि उसने तो स्कूटर ड्राइवर नहीं किया है जो उसके साथ के केस है स्कूटर ड्राइवर भी हो सकता कार भी ट्रक भी a1 a2 A3 ले लो तो मुझे pa1 /

b निकालना है दो चीजें दे रखी थी ये तो मुझे पता लग गया बेस थ्योरम है निकालना क्या है यह भी पता लग गया इसका फार्मूला कैसे बनता है वो देखो अगर आपको पता लग जाए pa1 / b निकालना है आप इसको उल्टा करके लिख दो ऊपर a1 / b को लिखो b / a1 ऐसे काम करोगे सिंपल लगेगा पहले आराम से पेशेंस से मेरी बात सुनो यहां लिखा है a1 / b निकालना है समझ आया ना इसको उल्टा करके लिख दो a1 / b को क्या लिख दो b b बा a1 और जो यहां

लिखा है उसको साथ लिख दो ध्यान से p ऑफ ब बा a1 * p ऑफ a1 जो यहां हमें क्वेश्चन से समझ आया निकालना क्या है उससे बेस थर्म का फार्मूला कैसे बनता है वो देख लो जो यहां लिखा है उसको उल्टा कर दो a1 / b लिखा है तो b बा a1 लिख दो और जो बाद में लिखा है वो साथ में मल्टीप्लाई में लिखो p a1 अब नीचे क्या लिखते हैं यही सब लिखते हैं a1 के साथ भी a2 के साथ भी a3 के साथ भी क्योंकि यहां तीन थे तो हम यहां पे

p ऑफ b / a1 ओहो ऑफ a1 + p b बा a2 यहां पे p a2 + p b / a3 यहां पे p a3 बस अगर ये समझ आ गया बेस थ्योरम का क्वेश्चन हो गया यही बता रहा है हमें क्या-क्या चाहिए स्टेटमेंट ने बताया निकालना क्या है फॉर्मूला मैंने लिखना बताया इसको उल्टा कर दो b / a1 को a1 / b फिर जो यहां लिखा के साथ मल्टीप्लाई में यही सेम चीज पहले a1 के साथ a2 के साथ a3 के साथ a1 वाली तो सेम आ गई a2 a3 के साथ भी ये सब

हम अब क्वेश्चन में निकाल रहे होंगे मुझे p a1 p a2 p a3 चाहिए ना तो हम क्या करेंगे देखो ध्यान से यही लिखा है लेट a1 a2 a3 बी द इवेंट्स कि कौन-कौन से इंश्योर्ड हुए हैं और बी इवेंट लिया कि इंश्योर्ड पीपल मीट एन एन इंश्योर्ड पर्सन मीट्स एन एक्सीडेंट वो b लिया जो उने दिया होता उसको b लेते हैं और जो हमें प्रोबेबिलिटी निकालनी होती है उसके केसेस को a1 a2 a3 लेते हैं मैंने स्कूटर ड्राइवर की प्रोबेबिलिटी निकालनी थी तो मैंने a1 a2 a3 ले लिया स्कूटर ड्राइवर कार ड्राइवर ट्रक ड्राइवर

इन सबको ले लिया तो यहां पे p a1 कैसे निकलेगा कि देखो ध्यान से p हमें क्या-क्या चाहिए मुझे मुझे p ऑफ a1 a2 a3 चाहिए तो मैं p a1 p a2 p a3 निका लूंगी a1 का मतलब क्या है कि एक स्कूटर ड्राइवर इंश्योर्ड हुआ टोटल कितने इंश्योरेंस हुए थे 12000 12000 नीचे ऊपर 2000 ये किसका है दैट इज कौन सा कार ड्राइवर 4000 बा 12000 a3 6000 / 12 नीचे टोटल और ऊपर उनका नंबर कि कार ड्राइवर कितने हुए स्कूटर ड्राइवर कितने हुए ये सब निकल गए देखो ध्यान से ये सब निकल गए

p a1 p a2 p a3 है ना अब क्या रह गया p b / a1 p b / a2 p b / a3 फार्मूला खुद बताएगा कि क्या-क्या निकालना है b ऑफ बा a1 का मतलब क्या है जो यहां हो जो बाद में लिखा होता है वो हो चुका होता है a1 हो चुका है मतलब वो एक स्कूटर ड्राइवर है और उसका एक्सीडेंट हुआ है स्कूटर ड्राइवर के एक्सीडेंट की प्रोबेबिलिटी 0.01 है वो एक कार ड्राइवर है और उसका एक्सीडेंट हुआ है उसकी प्रोबेबिलिटी 0.03 जो बाद में लिखा होता है वो पहले हो चुका होता

है a2 मतलब वो कार ड्राइवर है अब इसकी प्रोबेबिलिटी बताओ कि उसका एक्सीडेंट हुआ है कार ड्राइवर की प्रोबेबिलिटी एक्सीडेंट की 0.03 है ये सारी चीजें आपको फॉर्मूला ने बता दी थी निकालो ये सारी वैल्यूज यहां पे डायरेक्टली फॉर्मूला में डालो कैलकुलेशन करो क्वेश्चन डन क्वेश्चन कंप्लीट कुछ भी एक्स्ट्रा नहीं करना है ये टेबल बनाने की जरूरत ही नहीं है आप सीधा फॉर्मूला में कुछ नहीं टेबल बनाने की जरूरत आप सीधा फॉर्मूला में चीजें डालो ये वाली ये लो सारी चीजें फॉर्मूला में डालो कैलकुलेशन करो यू विल गेट दिस आंसर ठीक है अब एक और

क्वेश्चन से और अच्छे से चीजें क्लियर करती हूं वो भी बेस थ्योरम का ही है देयर आर टू अनस दो अनस है अन कंटेन वन वाइट एंड सिक्स रेड बोल ध्यान से समझना एक अन में वन वाइट है और सिक्स रेड है लो जी वन वाइट है सिक्स रेड है अन टू कंटेन अन टू में क्या है फोर वाइट है थ्री रेड है इसमें वन वाइट सिक्स रेड इसमें क्या है फोर वाइट थ्री रेड वन ऑफ द अन इ सिलेक्टेड एंड रैंडम एंड द बल इज ड्रॉन फ्रॉम इट ये दो अन थे इसमें से कोई

एक सेलेक्ट किया और में से बोल निकाल ली आगे चलो अब इसमें देखो एंड फाउंड टू बी वाइट वो जो हमें बोल मिली ना वो वाइट मिली ये दो बॉक्सेस थे इनमें से कोई एक चूज कर लिया और उसमें से कौन सा चूज किया हमें नहीं पता वो एक चूज कर लिया और उसमें से बोल निकाली वो बोल वाइट थी व्हाट इज द प्रोबेबिलिटी कि बोल फर्स्ट वाले से ही निकाली गई है मेरी बात ध्यान से समझना इसमें दो तरह का डाटा था कि दो अन है दोनों में बोल्स है ठीक है ठीक है दो

काम थे कि अर्न भी सिलेक्ट करो और उसमें से बॉल का कलर भी सिलेक्ट करो लेकिन उसने एक काम करके दे दिया कि बोल का कलर वाइट है हमें अन की सिलेक्शन पूछ रहा है जब दो डाटा देके फिर एक का काम खुद कर लेता है और हमसे दूसरे का काम करवाता है तो वहां पे बेस सरम लगती है जैसे पहले उसने क्या कहा था इतने इंश्योरेंस है इतने एक्सीडेंट है ये सब है एक्सीडेंट कहता हो गया अब बताओ ये कौन से वाले ड्राइवर का हुआ है अब इसने कहा बोल तो वाइट है अब बताओ

कौन से वाले अन कि है तो डाटा दो तरह का देता है अन दो दिए सिलेक्शन नहीं पता ही हमें बोल्स भी दे दी उसमें अब कहते हैं बोल तो वाइट है अन बताओ कौन सा है तो डाटा दो है दो अन दे दिए उसके अंदर बोल्स दे दी एक काम खुद कर दिया कि बॉल का कलर वाइट है अन सिलेक्ट करो तो ये बेस थ्योरम का क्वेश्चन है जो वो दे देता है उसको हम बी लेते हैं कि लेट बी बी एन इवेंट कि उसने वाइट बॉल ड्रॉ की है और जिसकी वो पूछता है

लेट इट फ्रॉम द फर्स्ट टर्न तो मैं फर्स्ट टर्न वाले को a1 ले लेती हूं सेकंड वाले को a2 जरूरी नहीं है अगर यहां अन टू लिखा होता तो भी मैं इसको a1 a2 ही लेती कहने का मतलब जो यहां लिखा होता है उसके अकॉर्डिंग हम अन के बारे में बात हो रही है ना तो एक को a1 एक को a2 ले लेंगे अब वो कह रहा है वाइट बोल है मतलब जो है वो तो हम बाद में जो चीज हो चुकी है वो तो हम यहां लिखते हैं कि वाइट बोल है तो मैंने b

लिख लिया वो कहता है फर्स्ट से होनी चाहिए p a1 / b निकालना है मुझे यह पता लग गया बेस थोरम का क्वेश्चन है मुझे यह पता लग गया p a1 / b निकालना है बहुत सिंपल है इसका फॉर्मूला इसको उल्टा करके लिखते हैं b / a1 * p a1 और नीचे सबका लिखते हैं a1 a2 दोनों का लिखेंगे वहां पे तीन थे तीन लिखे थे यहां पे दो है दो ही लिखेंगे पहले a1 के साथ फिर a2 के साथ क्वेश्चन खत्म फॉर्मूला में सीधा वैल्यू डालो कोई टेबल बनाने की जरूरत नहीं है क्लियर हुई

ये बात कि नहीं पक्का अब देखो यहां पे p ऑफ b क्या-क्या चाहिए मुझे मुझे चाहिए p ऑफ a1 p ऑफ a2 ठीक है अब कितने आन है टोटल टोटल कितने आन है दो पहला सिलेक्ट करने की कितनी प्रोबेबिलिटी है 1/2 दूसरा सेलेक्ट करने की प्रोबेबिलिटी 1/2 दो ही आन है टोटल अर्न टू पहला सिलेक्ट होगा उसकी प्रोबेबिलिटी 1/2 दूसरा सिलेक्ट होगा उसकी प्रोबेबिलिटी 1/2 फिर मुझे क्या चाहिए पफ बी बा एव क्या चाहिए प ऑफ बी बा एव की पहला अन ले लिया उसमें से वाइट बोल निकल रही है ये इसका मतलब जो काम

हो चुका है पहला आन सिलेक्ट कर लिया उसमें से वाइट बोल निकल रही है पहले आन में कितनी है देखो पहला आन ये रहा टोटल बल्स कितनी है सेवन इसमें से वाइट बॉल निकलेगी तो / से है ना उसने कहा पहला आन है उसम से वाइट बोल नि निकाल रहे हो हमने बी ब द इवेंट लिया ना वाइट बॉल निकालने को पहला आन है उसमें से वाइट बॉल निकल रही है 1/7 दूसरा आन है उसमें से वाइट बॉल निकल रही है फोर वाइट थ्री रेड टोटल कितनी है सेवन ही है दैट इज 4/7 दैट इज

4/7 यही सारे आंसर्स आपके पास आ रखे हैं जो हमने यहां निकालने सीधा फॉर्मूला में वैल्यू डालो आपको आंसर मिलेगा टेबल बनाने की जरूरत नहीं है कंफ्यूज नहीं होना मैम ये 1/2 1/7 कहां से आया है ये सारे इन्होंने टेबल फॉर्म में पहले बनाते हैं फिर वैल्यू पुट करते हैं आपको ऐसी कोई जरूरत नहीं है पहले टेबल में करो या वैल्यू पुट करो आप सीधा यहां पे अपनी वैल्यूज डालोगे यही आपके आंसर मिलेंगे जैसे मैंने समझाया सीधा उसके बाद अपने फर्मूला में वैल्यू डाल दो ये वही वैल्यू देखो 1/2 1/7 जो मैंने बताई है 4/7

यही आंसर आ रहा होगा 1/5 तो प्रोबेबिलिटी इज नॉट अबाउट द फार्मूला बट स्टेटमेंट अच्छे से समझनी है स्टेटमेंट समझने का मतलब कि सामने वाला कहना क्या चाह रहा है पूछ कह रहा है ये आपको चीज समझ आ जाए बहुत सिंपल क्वेश्चंस होते हैं प्रोबेबिलिटी के आई होप आपको चीजें अच्छे से क्लियर हुई हैं इसी के साथ हमारा प्रोबेबिलिटी का चैप्टर की जो वन शॉट है कंप्लीट हो गया यही यहां मैंने फॉर्मूला बना के दिखाया हुआ है कुछ भी यहां पे एक्स्ट्रा नहीं है फॉर्मूला य p ऑ a1 / b है पहले इसको उल्टा करा

है देखो a1 / b है ना पहले इसको a1 / B को b / a1 लिखा ये नीचे वाला लिखा और इसको a1 a2 दोनों के साथ लिखा a1 a2 म्यूचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स पता है a1 a2 अलग अलग-अलग इवेंट्स थे अर्न वन अर्न टू ले रहे थे दोनों में कोई रिलेशन नहीं था दोनों एक दूसरे पे डिपेंड नहीं थे बी उस पे डिपेंड कर रहा था कि वाइट उससे निकलेगी कि उससे निकलेगी यही सब लिखा हुआ है क्वेश्चन में ये चीजें क्लियर कर चुकी हूं तो इससे टेंशन नहीं लेनी आई होप आपको चीजें अच्छे से

क्लियर हुई है प्रोबेबिलिटी का भी वन शॉट हो गया लेट मी नो इन द कमेंट सेक्शन इन तीनों थ्योरम में से सबसे अच्छी थ्योरम आपको कौन सी लगी इंटरेस्टिंग कौन सी लगी एडिशन मल्टीप्लिकेशन या बेस थ्योरम तीनों ही इंटरेस्टिंग है और इ अगर क्वेश्चंस की स्टेटमेंट अच्छे से समझ आने लगे आई होप यू लाइक दिस वीडियो इफ यू लाइक दिस वीडियो डू लाइक शेयर कमेंट एंड सब्सक्राइब टू माय चैनल चच इज डमस थैंक यू सो मच फॉर वाचिंग