wir hatten uns im letzten vorlesungsvideo ein einfaches Einführungs Beispiel zum Thema überlagerungssatz angeschaut ein Netzwerk mit einer Spannungsquelle und einer Stromquelle und ein paar Widerständen und ich hatte ihn gezeigt dass die gesuchte Größe das war ein Strom offenbar einen Anteil besitzt der Herr wird von der Spannungsquelle und ein Anteil daher rührt von der Stromquelle und dass diese beiden Anteile addiert wurden und in diesem vorlesungsvideos soll es jetzt darum gehen die Systematik des überlagerungssatzes noch einmal ein bisschen auszubauen das heißt wir schauen uns das ganze erstmal rein mathematisch an aus einer ganz allgemeinen Perspektive und zwar
betrachten wir dafür ein sogenanntes lineares System das sieht jetzt hier vielleicht erstmal Bilder aus als es eigentlich ist gibt es Trachten also ein System das hat ein Ausgang y und verschiedene Eingänge x es gibt hier das hier mal nach daneben man kann sich das in etwa so vorstellen dass hier ist unser lineares System das ist wieder so eine Blackbox die besitzt einen Ausgang y und verschiedenen Eingänge X1 bis xn so und es ist linear wenn der Ausgang also eine lineare Kombination der Eingänge ist das heißt alle Eingänge x1 x2 bis xn werden also nur noch
mit einem konstanten Faktor hier mit C bezeichnet multipliziert und die ganzen einzelnen Summanden werden dann addiert und das ist also eine Funktion der Eingänge X1 bis XL jetzt kann ich die erste Gleichung auch umschreiben ich kann das ein bisschen aufblähen und kann sagen ich kann auch mein Ausgang y darstellen als eine Funktion meines eingangs X1 multipliziert mit der konstanten C1 Plus und jetzt sind die ganzen anderen Eingänge X2 bis XL alle 0 Plus und im zweiten term ist jetzt der Eingang X2 mit meinem Faktor C2 aktiviert und alle anderen Eingänge X1 X3 bis xn sind
0 Plus und so geht das immer weiter bis zu einem Anteil von unserem Eingang xn wenn alle anderen Eingänge X1 bis XL -10 sind das heißt wenn wir das jetzt zusammenfassen können wir sagen unserer Ausgang y ist also eine Funktion des Eingangs X1 wenn alle anderen Eingänge 0 sind plus die gleiche Funktion aber diesmal eine Funktion vom Eingang X2 wenn alle anderen Eingänge 0 sind Plus und so weiter und sofort eine Funktion des Eingangs XL wenn alle anderen Eingänge 0 sind und das könnt ihr also auch noch mal in Worten beschreiben was einem linearen System
ergibt sich also die Gesamtwirkung das heißt das ist unser Ausgang y durch eine Addition sagen also von einem durch eine Überlagerung der teilwirkungen die von jeder Teilursache ausgehen also die Teilursache sind in dem Fall unsere Eingänge X1 bis XL so und jetzt übertragen wir dieses allgemein mathematisches System theoretische Beispiel mal auf unsere Netzwerkanalyse unsere Eingänge sind jetzt Spannungsquellen und Stromquellen und unser Ausgang ist jetzt eine gesuchte zweigspannung oder einen zweigstrom das heißt unser System ist jetzt irgendein lineares resistives Netzwerk und die Quellen haben wir jetzt hier nach außen gezogen das sind also unsere eigene Spannungsquellen
uq1 bis U n und Stromquellen iq1 bis IQM in dem Fall und unser Ausgang ist jetzt also eine gesuchte Größe z.B ein zwei Strom oder eine zweckspannung ich stell das jetzt hier in diesem Fall mal für das Beispiel das zweite strom ist da für die für das Beispiel wieder zwei Spannung verhält sich das dann ganz genau so das heißt wir können also mit dem Betrachtungen von der vorangegangenen Folie festhalten dass unsere zweigstrom jetzt eine lineare Kombination aller Eingänge ist das heißt alle Eingänge IQM werden jetzt ähm multipliziert mit einem Faktor am und die ganzen Therme
auf zu mir über alle Stromquellen von M = 1 bis groß m und alle Spannungsquellen uq n dann auch versehen mit einem Faktor in diesem Fall Beta n und die Therme werden aufsummiert von N gleich 1 bis groß n und diese gewichtet Eingänge also der Faktor multipliziert mit der mit der Quelle mit dem quellstrom oder der Faktor Beta multipliziert oder quer Spannung das sind also die Anteile an dem zweigstrom herohren von den jeweiligen Quellen und in der Nomenklatur werde ich das jetzt fortlaufend nur so darstellen wenn also ein zwei Strom iz gesucht ist dann schreibe
ich den Anteil von der jeweiligen Quelle immer noch in diese Bezeichnung unten hier noch mit rein das heißt also iz IQM wäre also der Anteil an die z-herrühren von der Stromquelle IQM und bei Spannungsquellen genauso wie Zoo n ist also der Anteil am gesuchten zwei Strom von der Spannungsquelle ja und so kann ich das auch für den gesuchte zweigspannung uz ganz analog aufschreiben die also nur dargestellt von den zwei Strom iz ja und aus dieser Betrachtung können wir jetzt also eine Art kleinen Algorithmus formulieren für die Anwendung des überlagerungssatzes und dieser Algorithmus der jetzt hier
ganz ausführlich dargestellt ist der kann hier ein bisschen dazu dienen wenn sie jetzt also eine Übungsaufgabe haben dass sie sich doch so schrittweise durcharbeiten damit sie dann am Anfang keine keine Bearbeitungsschritte vergessen so das heißt wir haben wieder unsere lineares Netzwerk das enthält jetzt unsere unabhängigen spannungs- und Stromquellen und versuchen jetzt ein zwei Strom oder eine zweigspannung der Algorithmus sieht jetzt so aus wir wählen uns also irgendeine Quelle Q in dem Netzwerk aus und wollen deren Teil Wirkung auf den gesuchten zweigstrom oder auf die gesucht zwei Spannung bestimmt das heißt um das zu tun müssen
wir erstmal alle anderen Quellen deaktivieren na das war das was aber am Einführungs ich am Anfang des Beispiel bei der mathematischen Betrachtung jeweils das Null setzen der anderen Eingänge ist das heißt um die anderen Quellen zu deaktivieren ersetzen wir also die Spannungsquellen durch einen Kurzschluss denn ein Kurzschluss ist eine Spannungsquelle bei der die quellspannung null ist und wir ersetzen einen Stromquelle durch einen Leerlauf und dann ein Leerlauf entspricht einer Stromquelle mit dem Gleichstrom 0 wenn wir das getan haben dann berechnen wir also die teilwirkung des heißt den den Anteil her rühren von der Quelle Q
auf den zweigstrom iz-spannung uz und wenn wir damit fertig sind wiederholen wir das ganze Prozedere vom Punkt 1 wie das so lange bis wir alle unabhängigen Quellen im Netzwerk erfasst haben und wenn wir das wenn wir die ganzen Teil Wirkungen berechnet haben dann addieren wir die teilwirkungen zur Gesamtwirkung ja diskutieren das noch einmal anhand des belasteten Spannungsteilers und zwar belasten wir unseren Spannungsteiler diesmal mit einer Stromquelle das heißt wir haben hier eine unabhängige Spannungsquelle mit der quellspannung und zwei Widerstände R1 und R2 und parallel zum Widerstand R2 sitzt jetzt noch eine Stromquelle die liefert uns
den Laststrom i L und gesucht sei jetzt die Spannung U2 über dem Widerstand R2 und ich formuliere das mal als Aufgabenstellung a also gesucht ist die Spannung U2 über den Widerstand R2 und damit wir das mal noch üben formuliert auch noch eine zweite Aufgabenstellung und zwar klären wir mal die Frage wie groß darf denn jetzt der Laststrom il überhaupt werden damit die Spannung U2 vom unbelasteten Fall maximal um 10% abweicht das sind so typische Problemstellungen also wie groß darf der Laststrom il sein damit U2 vom unbelasteten Fall höchstens um 10% abweicht okay die Lösung erfolgt
mit Hilfe des überlagerungssatzes also zur Aufgabe a wir gehen also davon aus dass unsere Spannung U2 sich zusammensetzt aus einem Anteil an der Spannung U2 her rühren von der Spannungsquelle uku den nenne ich als U2 uq + einem Anteil an der Spannung U2 Heeren von der Stromquelle i l den nämlich U2 il wenn wir jetzt in den Algorithmus gehen schauen wir uns jetzt also eine Quelle Q an die wir auswählen und deaktivieren für den Fall jeweils andere Quelle das heißt wenn wir uns also die den Anteil her rühren von der Spannungsquelle uq hernehmen dann müssen
wir für den Fall die Stromquelle durch einen Leerlauf ersetzen und ich zeichne das Netzwerk für diesen Fall jetzt ja noch mal neu ich mache das jetzt in diesem Beispiel einmal ganz ausführlich später werden wir das dann kürzer fassen das heißt das resultierende teilnetzwerk wäre also folgendes wir haben hier die Spannungsquelle uq den Widerstand R1 in Reihe mit dem Widerstand R2 und wenn wir die Stromquelle durch einen Leerlauf ersetzen dann bleibt das Netzwerk so wie es ist und über zwei fällt jetzt die Spannung U2 und zur Bestimmung der das Anteils höheren von der Stromquelle il das
wäre jetzt hier auf der rechten Seite ersetze ich die Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und das resultierende Netzwerk Zeichen ich auch noch einmal das heißt hier wo die Spannungsquelle war ist jetzt unser Kurzschluss wir haben R1 Reihe mit R2 und parallel zu R2 sitzt noch die Stromquelle so und über diese Parallelschaltung fällt also die Spannung U2 Herren von Il ab ja und die beiden teilwirkungen können wir jetzt bestimmen und das ist jetzt eine vergleichsweise triviale Netzwerkanalyse das können wir also mit Hilfe der Methoden die wir bereits kennengelernt haben berechnen im linken Fall hilft uns das spannungsteil
weiter das heißt wir bestimmen hier die teilwirkung U2 uq mit Hilfe des Spannungsteilers also U2 her rühren von UK wäre die quellspannung uq multipliziert mit dem Ausdruck R2 durch die Summe R1 plus R2 und auf der rechten Seite haben wir eine Parallelschaltung von R1 und R2 einfach gegenwärtigen Sie sich das mal ziehen Sie diesen Widerstand R2 hier gedanklich so ein bisschen auf die linke Seite und dann sehen sie dass wir hier drei Bauelemente parallel haben R1 parallel 2 und parallel dazu die Stromquelle il das heißt die Spannung über diese Anordnung U2 hier rühren von der
Stromquelle il ist also minus beachten Sie das Vorzeichen der Querstrom il mal R1 parallel mit R2 und wenn ich das parallelzeichen auflöse steht ja also - Il mal R1 R2 durch R1 plus R2 so jetzt haben wir die beiden teilewirkungen und die Gesamtwirkung U2 können wir jetzt aufschreiben durch Addition unterteilwirkungen das heißt die gesuchte Spannung U2 ist also U2 uq das ist UK mal R2 durch R1 plus R2 plus die teilwirkung U2 MinusL und das ist - Il mal R1 R2 durch R1 plus R2 das wäre das Endergebnis für die Aufgabe a so und jetzt
haben wir zeigt das oben noch mal noch für die Aufgabe B diese Frage formuliert also wie groß darf denn jetzt der Last Strom werden damit U2 von unbelasteten Fall höchstens um 10% abweicht schauen wir uns das erstmal bevor wir jetzt los rechnen erstmal hier in der in dem Ergebnis an das Formel Ausdrucks mehr sie sehen ja wenn der Last Strom 0 ist dann erhalten wir für unsere Spannung U2 hier diesen diesen Term und wenn unser Last Strom jetzt größer wird größer mit einem positiven Vorzeichen größer als 0 ist dann wird die Spannung 2 immer kleiner
und wenn unser Last Strom negativ Vorzeichen hat dann nur die Spannung 2 immer größer das heißt betragsmäßig soll diese Spannung U2 jetzt maximal zehn Prozent vom unbelasteten Fall abweichen wir können dafür zunächst einmal die absolute Abweichung bestimmen die absolut Abweichung ist also definierend als die Differenz aus Istwert und Sollwert die wenn ich Delta u und das ist also unser U2 Minus ja der unbelastete Fall ist U2 uq und die schreibt das hier in Rot als Notiz noch mal darunter das ist also unser Istwert und unser Sollwert ist also der unbelastete Fall U2 uq ja und
wenn wir von der Gleichung oder von der Spannung U2 hier oben also den Sollwert U2 uq abziehen dann bleibt nur noch das U2 il übrig also das ist dann - Il mal R1 R2 durch R1 plus R2 und das entspricht gerade unserem Anteil an U2 Heeren von der Stromquelle ja die Angabe in Prozent deutet also schon darauf hin eine absolute Abweichung ist ja gar nicht gesucht sondern wir suchen eine relativ Abweichung bei einer relativen Abweichung wird also die absolute Abweichung in unserem Fall data u bezogen auf den Sollwert in unserem Fall U2 Herren von uku
ja und wenn Sie also unser Delta u was wir hier oben bestimmt haben jetzt dividieren durch das U2 uq dann erhalten Sie folgenden Ausdruck das ist - R1 mal der Laststrom il geteilt durch die quellspannung und dieser relative Abweichung soll betragsmäßig höchstens zehn Prozent betragen das heißt wir können das so schreiben dass der Betrag der relativen Abweichung also der Betrag von Delta u zu Delta U2 kleiner gleich 10%, also kleiner gleich 0,1 sein muss daraus folgt wenn ich das jetzt umstelle ich bilde also auch den Betrag von unserem Ausdruck minus R1 mal il durch uq
daraus folgt also dass der Betrag des Laststromes il kleiner gleich den Betrag von UK dividiert durch 10 R1 sein muss okay es wird im Übungsheft auch dazu einige Aufgaben geben indem man diese maximale Abweichung so wie man sieht hier gerade geübt haben dann dort auch noch einmal bestimmen soll okay damit bin ich am Ende des überlagerungssatzes angekommen wir haben jetzt also schon drei ganz wichtige Methoden den spannungsteil den stromteiler und den überlagerungssatz kennengelernt damit haben sie es eigentlich schon das Werkzeug in der Hand mit dem Sie fast alle Netzwerke schon auch effizient lösen können nichtsdestotrotz
haben wir jetzt in den nächsten Vorlesen des Videos noch auch ganz wichtige bedeutende Werkzeuge die ich Ihnen zeigen möchte die dann das Leben später doch erheblich vereinfachen können
