[Música] Olá caríssimos então nessa aula nós vamos começar a fazer modelagem essa aula eu vou dedicar para modelos de crescimento populacional e é um treino bastante interessante a gente começa com o modelo muito simples e aí a gente vai já refinar um pouquinho e ver como que essa coisa fica sofisticada Comentei na aula passada que muitas da importância de saber fazer modelagem porque muitas vezes a gente modela pensando num problema mas isso serve para outras coisas esse exemplo é um exemplo super rico que é usado por um monte de coisa ele foi concebido pensando em
população Mas ele também serve para propagação de uma doença porque o modelo acaba sendo o mesmo naquela história que eu fiz aqueles quadrinhos né tem problema você simplifica você analisa você percebe que na hora de fazer a simplificação as ideias são as mesmas então ele acaba servindo para muitas outras coisas ele é muito conhecido como modelo de crescimento populacional então eu vou usar essa linguagem eu tenho uma variável e aqui eu vou fazer uma modelagem contínua variável contínua depois eu vou falar desta equação aquela mesma equação que tá ali no canto direito da Luz num
contexto de variável discreta onde aparece um comportamento muito mais difícil de entender é uma forma de introduzir o conceito de caos inclusive mas isso será para uma outra então o que nós vamos fazer coisas contínuas Então você tem uma população o primeiro modelo mais simples que tem é falar que a variação da população Depende de nascimentos menos mortes mas migração sendo que migração pode ser positivo ou negativa pode ter indivíduos que só saem não é bom para outro local o indivíduos que vem para esse local E aí agora tô fazendo aquelas análises de simplificar isso
é a base conceitual mas o que as pessoas fazem quando estudam isso elas incluem a migração nos Nascimentos e mortes uma pessoa que vem é conto junto como se fosse o nascimento e uma que vai para um outro local eu conto como se fosse uma morte e aí a gente trata como se a migração fosse zero isso funciona quando a gente tem modelos que não tem retado Depois tem uma outra uma coisa que alguém pode observar isso é uma super simplificação porque porque no mundo real o cara que nasceu nascido mesmo ele não está apto
a se reproduzir e eu passo que uma migração que veio para o território de uma pessoa adulta ela já chega a apta se reproduzir então quando a gente introduz esta variável que é um retardo que é o que nasceu ele demora para poder se interferir na reprodução porque ele tem um tempo para se tornar adulto isso a gente faz também modelagem Então essa simplificação não seria adequada mas no primeiro momento pensa-se que a migração é zero então a taxa de variação da população ela é proporcional à população proporcional pelo número de nascimentos e proporcional pelo
número de mortes tanto o número de mortes como o número de nascimentos é proporcional à população se a população é grande tem mais mortes chora duas populações uma o dobro da outra já estabilizadas vai ter mais mortes naquela que até o dobro da população e Nascimento também é proporcional ao número de indivíduos porque o nascimento depende do cruzamento então quanto mais indivíduos mais cruzamentos mais nascimentos então a taxa de variação é proporcional ao Nascimento Ou seja é proporcional ao número de indivíduos por um fator que tem a ver com o nascimento e morte n menos
M vezes o número de indivíduos isso nem é uma equação diferencial né Isso é um exercício de derivada qual é a função cuja derivada é proporcional a própria função isso é básico básico lá do Cálculo 1 né logo que a gente aprende derivado a gente aprende a fazer isso a população a função que resolve Aquilo é uma constante que é o Inicial e elevado a n - m x que é o exemplo mais simples que a gente tem dessa situação e os potencial é a função cuja derivada é proporcional ao próprio e tem uma população
Inicial porque quando t 0 isso é um então no instante t = 0 que é o início das observações população e o óbvio né se o n é maior que o n quer dizer que a taxa de nascimento é maior que a taxa de morte isso tem ele para mais infinito se o n é menor que o m a taxa de nascimento é menor que de morte a população está indo para zero extinção E se eles são iguais isso é Zero Isso aqui é constante igual a amizade modelo super simples Note que nós estamos falando
do modelinho muito simples né e ele dá uma conclusão que não é realista desde a conclusão que a população ou é constante ou vai para o Infinito ou vai para zero e não é bem assim no mundo real a população existem condicionantes externas que são relevantes Então tem um modelo que é um pouquinho mais real mas Realista e aqui aparece aquilo que eu falei na aula passada uma vez que você termina de ter um modelo você faz essa análise para ver fazer previsões fazer conclusões e quando a gente olha para o resultado desse modelo e
faz previsões E observa na natureza a gente vê que não é assim entre ficar constante e para infinito tem uma o fenômeno que é o mais comum em que a população cresce para um determinado valor ela não não fica parada no valor inicial ela tem um n maior do que o m ela cresce a população mas ela cresce tendendo por uma população limite ou ela tá grande ela decresce para uma população limite porque é só pensar em termos realistas né uma determinada região uma determinada população um determinado habitat a população tem uma capacidade limite o
máximo que é possível aquela região com aquela suprimento de alimentos com aquele espaço físico com todas as condições naturais a capacidade da população que pode ficar suportada naquele lugar se a população está Menor Ela pode crescer até esse tanto se ela tá maior ela vai decrescer mas ela poder tende essa estabilizar numa população limite Esse já é um modelo mais realista que é esse modelo que tá aqui então eu deixei de falar em n e m de nascimento e morte porque na verdade é uma constante de proporcionalidade que já reflete essa constante se tem mais
Nascimento mais morte do que tá acontecendo então a taxa de variação da população que é a derivada ela é proporcional ao número de indivíduos Então ela tende a crescer com o número de indivíduos mas ela também é proporcional a uma diferença entre um k menos a população alguns autores escrevem isso fazendo proporcional ao n 1 menos n sobre k o fator aqui é se esse n tá perto da população limite se ele é menor Esse número é menor do que um Então esse fator é positivo aumenta o crescimento se o n é maior do que
a população limite isso é maior do que um ser negativo contribui para diminuir a população para que é derivada fique negativa Então nesse modelo n é população é uma constante que embute todas as condições de crescimento de crescimento da população e cá é a população limite é a população máxima que população não é máxima né é a população estável daquela região Isso é uma equação diferencial então modelagem com variável contínua a gente chega em equações diferenciais muitas vezes a gente consegue resolver a equação diferencial quando a gente consegue resolver ótimo a gente resolve Às vezes
a gente não consegue uma solução explícita e a gente ainda assim consegue fazer a análises eu vou mostrar nas próximas aulas situações desse tipo para vocês na de volta erradica nós vamos fazer primeiro a solução explícita e depois nós vamos fazer a análise a partir de uma análise gráfica tá bom então essa aqui é uma equação diferencial vamos lembrar um pouquinho Quais são as diferenças agora olha só que agora eu já começo também eu vou deixar um pouquinho de lado essa notação porque essa anotação é sugestiva né para população tal Na verdade o que eu
tô querendo resolver isso aqui é uma função cuja derivada é proporcional a própria função e proporcionar uma constante menos a função ou seja RK vezes a função - R Y2 como é que resolve essa equação diferencial Aí você pega seus nas suas anotações lá do tempo dos cursos de cálculo e resolve a equação diferencial não é difícil resolver essa aqui ela envolve dois passos vou Recordar para vocês Primeiro vou me livrar desse Y2 faça uma mudança de variável um sobre y aí a derivada zelinha é menos um sobre Y2 né derivada disso Y - 1
abaixo expoente Y - 2 tá aqui Yuri eu pego essa equação divido por -1 sobre Y2 para chegar aqui eu divido por -1 sobre Y2 então ele tem o y linha fica menos y sobre Y2 aqui fica menos RK sobre y que dividir por menos aqui o sinal fica mais mata o Y2 r e na nova variável então isso aqui é o zelini RK z 1 sobre y é Z e aqui observa que o igual tá aqui tá do lado de cá menos eu passei para lá ficou mais e deixo o r do lado de
cá constante isso aqui na variável Z é uma equação linear de ordem 1 então é muito fácil de resolver vou resolver rapidinho para vocês Para a gente poder depois analisar a solução então agora vou resolver equação chegamos nessa equação na variável Z1 sobre Y receba linear completa com R lembra como é que a gente resolve linear a gente esquece um pouquinho desse termo põe 0 que é homogênea resolve homogênea para cada solução da homogênea tem uma solução da equação linear no caso aqui é uma varia um número real então a solução exponencial quando tem número
a solução é complexa aparece elevado a parte real vezes seno cosseno da parte imaginária vezes variável então quando eu faço homogênea né tiro a variável você põe uma variável que é uma variável para resolver equação uma variável auxiliar aqui não os elevado a zero então fica só RK a raiz da homogênea da não é da homogênea da equação característica a equação diferencial homogênea tá igual a da Zero e a gente faz uma equação algébrica aquelas equações de Ensino Médio que chama característica solução é RK então tem uma solução da equação diferencial que é de ordem
um porque a primeira derivada então o espaço das soluções é um espaço de ordem um constante elevado a menos RK porque essa é a solução aqui da equação característica então todas as soluções da homogênea tem essa cara e agora para achar com r a gente procura uma solução particular a solução particular tem dois ou três métodos coeficientes a determinar variação dos parâmetros como é R constante Então a gente vai procurar uma solução particular constante uma solução particular constante a derivada é zero aqui fica RK constante igual a r porque agora eu tô procurando uma particular
da completa igual a r cancela o r a constante é um sobre k então a solução Z é um sobre k + a uma variável qualquer não é uma variável que varia em r e por isso que esse conjunto de soluções tem dimensão um isso é um sobre y então aqui agora somei essa fração [Música] e inverti invertendo para dar o y que é o nosso T população então a população é o k sobre a soma da fração o denominador ficou cá ele foi para lá em cima um mais a elevado k elevado a menos
rkt Essa é a solução geral quando eu fixo a população Inicial Quando eu digo olha no instante zero tinha um número quando eu comecei a observar isso vai ser vai ter uma utilidade para gente em seguida bom quando eu faço t = 0 isso dá um então eu descubro que k sobre 1 + a k é a população Inicial isolei o a daqui é k - a população Inicial sobre k - Inicial ou seja para de todas as soluções da nossa equação diferencial para uma dada a população Inicial tem uma daquelas soluções que tá no
instante zero que aquela população inicial Então aquela que na população inicial no instante zero é n0 é aquela que tem esse a igual a isso eu coloquei aqui escrevi de duas formas k - 0 sobre N zero e cai em zero menos Essa é a solução dada por esse modelo para aquela equação com aquela condição de ter a população limite vamos olhar um pouquinho o que que a gente conclui aqui olhando para esta forma se eu fizer até igual a zero se eu não errei nas contas vai ter que dar o n0 e quando a
gente faz N = 0 isso fica um faz t igual a zero isso fica um menos um k sobre N zero e o k inverter perfeito não errei na conta o que acontece quando T tem ele para infinito quando detento para infinito a exponencial tende a zero porque é positivo k positivo exponencial com expoente negativo isso tá tendo para menos infinito exponencial tende a zero então isso tende a zero isso tende a então quando a gente faz igual a zero deu n0 como tinha que dar e quando eu faço t tendendo para infinito o ndt
tende a k Então vamos pensar no conceito de Equilíbrio agora esse é um conceito Como eu disse novo tá vou mostrar nesse modelo que tem dois equilíbrios e em todos os modelos que a gente vai analisar essa ideia de Equilíbrio vai ser super importante nas próximas aulas vou falar muito disso esse modelo tem dois equilíbrios olha para equação o equilíbrio é o ponto em que a derivada é zero se o n é zero Então tem um equilíbrio quando a população n é zero se o n é zero a derivada é zero e esse é o
equilíbrio instável o que que ele é um equilíbrio instável bom primeiro é um equilíbrio porque se a população Zerou imagina que é um ecologista analisando uma população de uma espécie que estava sujeita a extensão um dia ele constata que Zerou a população bom então não tem mais ninguém acabou equilíbrio vai ficar sem mas se ele descobre que tem uma imigração ele traz uma alguns espécies para aquele habitat se ele perturba esse n e coloca o -0 mesmo que pequeno Desde que seja suficiente aí tem questão da realidade né o n0 o suficiente para a população
se reproduzir ela vai embora e tende para a população limite Então esse equilíbrio se você perturbar ele muda de natureza isso que significa um equilíbrio instável o outro equilíbrio ocorre quando ele é igual a k os dois equilíbrios eu tô vendo aqui na fórmula da diferencial da derivada derivada do n em relação a t é rnk se o n é zero a derivada é zero E se o n é k a derivada também é zero e esse é um equilíbrio estável por que que eu sei que ele é estável primeiro ele é o equilíbrio porque
se a população for exatamente claro que no mundo real essas situações são extremas né n = 0 n = k mas se a população for exatamente igual a população limite daquela região ela o modelo diz que ela fica parada ela fica está ela não muda nas duas mas se eu der uma perturbação aqui introduzir um n0 aí ele passa a valer essa fórmula E se o n0 é pequeno Ele vai embora vai crescer quando tem ele para infinito e se eu colocar ele igual a k população fica derivada zero então não varia k e é
estável porque pequenas perturbações não interferem porque a população para ter te atendendo infinito tende para cá a gente pode mostrar isso num gráfico que a gente tem que ter e aqui o ndt então eu tenho dois equilíbrios se o n é a população fica estável no zero não acontece nada se o n então quiser e se o NK também não acontece nada a população fica estável no carro só que olha só se o n é maior do que k essa derivada é negativa se o n é maior do que o k - n negativo e
a derivada é negativa então enquanto o n for maior ou que eu escrevi ele aqui mas é caro enquanto o n for maior do que o k essa função tá decrescendo e nós já Vimos que ela tem de para cá então nós temos um comportamento em que a população tem de procar e começando com qualquer ni zero positivo se o n pequeno menor do que k - n é positivo positivo derivada positivo a função é crescente Então ela atende para a população estável então Olha que bonitinho nós temos dois equilíbrios um estável e um estável
que que significa o instável que se eu perturbo se eu coloco uma população próxima dela mas diferente no caso do zero se eu coloco uma população Inicial pela análise que foi feita vai entender para cá no infinito ou seja ela vai se afastar do Zé e o n = k é um outro equilíbrio população fica parada Mas que é estável porque ele atrai as outras populações as outras situações se eu começo com ele maior vai ter D para o Cássio eu começo com n menor vai entender também e aqui esse é o primeiro modelo é
o primeiro exemplo né primeira vez que nós estamos fazendo isso eu não vou fazer uma análise mais fina mas aqui a gente tem ainda um refinamento para se fazer isso é bacana que são sofisticações em cima do modelo que é o que é tem uma diferença quando a população Inicial é muito pequena ou muito perto do carro que tem a ver com a maneira como tem que é uma questão no fundo da concavidade dessa função a função pode ter comportamento de mudar de concavidade no crescimento ou não e isso é uma análise que pode ser
feita a partir dessas equações bom deixa eu comentar com vocês a questão do modelo com retardamento tá para fechar essa aula só para encerrar eu vou fazer uma análise rápida de um up ainda neste modelo e que ilustra isso que eu comentei nessas duas aulas né na primeira e nessa a gente vai sofisticando sofisticando o modelo as coisas vão se complicando mas a análise vai ficando mais realista uma coisa que a gente introduz nesse tipo de modelo é a consideração de retardamentos que que a ideia de retardamento é a ideia de que o crescimento da
população ele é proporcional à população Mas ele tem que levar em conta que os novos indivíduos não estão aptos a reproduzir então a taxa de variação naquele exemplo que eu tinha feito era proporcional ao número de indivíduos e tinha uma proporcionalidade com o próximo estava da população limite mas a gente acaba introduzindo a ideia de que tem que olhar a população lá atrás porque a taxa de variação Ela depende dos indivíduos mas ela depende também dos indivíduos adultos Então tem que pôr um fator que tem a ver com quantos nasceram lá atrás porque o número
de pessoas tinha lá atrás passado um tempo todos estão aptos a procriar Então esse tipo de reflexão vai levando a sofisticações no modelo então uma variante do modelo colocando retardo é que a taxa de variação é proporcional ao n e onde naquele modelo que a gente tinha era ele sobrecar é o quanto faltava para a população limite introduz o n passado sobrecarga interferindo na taxa de crescimento e essa ideia né de olhar na verdade dos adultos né e olha só essa pequena alteração faz com que essa equação já não seja mais fácil de resolver se
você falar como é que resolve essa daqui eu vou te dizer olha métodos numéricos Porque a gente já não consegue explicitar a solução o modelo já fica muito complicado e mais aparecem comportamentos sofisticados não vou fazer uma análise completa dessa aqui mas só para mostrar como que a gente muitas vezes é ilustrar esse fato Às vezes eu não tenho a solução explícita como não é o caso mas eu consigo tirar algumas conclusões é dentro dessa situação Imagine que tem um instante T1 que a população bate no valor k nesse modelo se no instante tem um
bateu no carro e que antes de chegar no T1 a população estava menor do que aquela situação que ele tá chegando no Ká crescente se o n é menor do que k isso aqui é menor do que um é a derivada é positiva então tá crescendo então no instante tem um valecar derivada positiva tá crescendo lá na frente vai valer mais do que cara Opa mais k é a população limite essa população limite ela é meio a trator embora já não seja mais esse modelo que esse modelo aqui não tinha o retardamento né mas a
mesma ideia de que a população limite é uma trator então e agora vamos olhar o que acontece no instante T1 + T Olha que coisa Sutil pega no instante tem uma olha o n de t - t o retardo tá fazendo aqui um retardo de tempo t isso aqui é nd1 que era o próprio carro então a derivada no T1 também é zero derivada isso não tem menos tempo que que você está mostrando que tem outros pontos críticos só de ter introduzido esse retardo eu tenho outros pontos em que a derivada é zero ou seja
outros pontos de equilíbrio e na verdade aparece com essas pequenas modificação aparecem soluções periódicas Então essa é uma análise mais sofisticada que eu não vou fazer nesse instante mas olha só de introduzir a ideia de retardamento a gente pode ter soluções periódicas que aparece por esse fato está vendo que tem um outro t em que não tem só dois instantes em que é derivada é zero você tem a derivada estava positiva valia cá derivada positivo quer dizer que a população cresceu subiu e depois voltou a cá com o instante zero com derivadas é tem aí
agora uma coisa de oscilar a população e aí tem exemplos né que quando a gente analisa a gente descobre isso Mas isso foi só um exemplo para ilustrar Como que essa estudo de mesmo nesse modelo simples de crescimento de uma população tem riqueza para a gente analisar e eu vou voltar a esse modelo daí numa situação discreta que também vai dar uma análise muito rica ficamos por aqui
