Exercício Resolvido- Moysés Nussenzveig - Volume 3 - Capítulo 12 Ex.1

fala Pessoal espero que estejam aí todos bem e então vamos para mais um exercício aqui dessa vez inaugurando aí o capítulo 12 que fala sobre equações de máximo Tá então esse esse primeiro exercício ele é muito interessante porque ele é um exercício muito bom e muito ilustrativo geralmente a gente os professores geralmente fazem esse exemplo em sala que é o o qu é um capacitor de placas planas paralelas é formado por dois discos circulares de raio A então eu fiz o desenho anteriormente para poder fazer mais bonitinho então aqui eu tenho dois capacitores né de

de de raio A então raio a separados por uma distância no é uma distância D no vácuo então entre os capacitores é vácuo não é matéria e essa distância no meu desenho não representa bem mas essa distância ela tá ela é muito menor do que o Rai ou seja os capacitores estão bem bem juntos né as placas estão ligadas a a um gerador que produz uma carga no interior do do capacitor dado por isso então a carga no capacitor ela é dado por q0 seno de Ô T Então essa é a carga Admita que o

campo entre as placas é uniforme desprezando fuga de linha de força ou seja não sai não sai não sai linhas aqui pelas extremidades E Tome o eixo Z ao longo do eixo do capacitor então o eixo Z Z tá bem no centro do tá bem aqui no centro não é onde eu desenhe não só tô representando que o z tá para lá mas o z tá bem no centro aqui do eixo do capacitor ou seja passando uma linha pelos dois centros Esse é o eixo do capacitor tá Seria mais ou menos onde está essa distância

D aqui ó bem aqui esse aqui seria o eixo vermelho tá calcule o campo B entre as placas a uma distância Rua do Eixo então um campo magnético uué mas um campo magnético como assim né É tem campo elétrico mas mas assim pessoal é esse é um exercício clássico onde a gente vai aplicar a lei da indução né de Ampere maxor né então a lei da indução de Ampere maxo então assim a gente vai usar essa lei então a lei de Ampere maxo per Max eu acho que é agora me deu uma dúvida se é

com dois L mas acho que é então a integral né de b então a integral de linha de B escalar d l ela é igual a Mi 0i né isso aqui seria lei de Ampere aí maxel vai lá e faz a correção mi0 y0 e a variação do fluxo né então a variação do tempo do fluxo eh do campo elétrico então aqui fica e escalar da Então essa é a lei Esse é o termo corrigido né é o termo corrigido por maxor Então antes tinha a lei de Ampere e vem aqui Max com com essa

lei só que olha que interessante aqui não tem corrente no vácuo aqui né não tem corrente não tem carga ali não tem vác aí vem a pergunta que é uma pergunta que talvez você já tenha feito quando eu pego um circuito com capacitor né sei lá vamos pegar um circuito aqui tem um resistor é um circuito RC tem uma fonte aqui vamos colocar uma fonte Sei lá uma fonte aqui ó né como que passa a corrente né como que passa corrente por aqui né como que ela passa sendo que aqui é vácuo né então assim

essa é a pergunta né é uma é uma pergunta que foi respondida né justamente por essa por essa por essa lei de amper maxo maxel vai vir aqui vai falar que o quando esse campo elétrico estiver variando ele vai gerar essa variação do campo elétrico vai gerar uma corrente né Essa variação do campo elétrico vai gerar uma uma uma como se uma corrente Essa vai ser a chamada corrente deslocamento de maxo tá então variação do campo elétrico vai gerar também uma certa corrente tá essa corrente vai ser Justamente esse termo aqui ó vamos colocar aqui

de outra cor vai ser esse termo aqui ó esse aqui vai ser a corrente de deslocamento de Max Tá mas enfim isso aqui é só um comentário né Vamos lá vamos vamos vamos fazer essas contas aqui então a gente quer ah deixa aqui ó calcule bem entre as lá que uma distância rodo eixo então ó eu coloquei esse ponto aqui e essa distância aqui esse d o vermelho a distância desse ponto aqui ó a esse é o r tá então o que que vai acontecer aqui aqui mais ou menos vai ter uma determinada Opa Deixa

eu ver se eu consigo fazer aqui eu vou ter alguma coisa desse gênero aqui ó né eu vou ter eu vou tá pegando a circulação em torno desse desse ponto Tá então vamos lá a circulação desse ponto vai ser integral de b o b vai sair constante né Ops então o b aqui vai sair como constante da integral né que nessa área Ness durante todo esse círculo vai ser vai ser ele vai ser constante e vai ficar integral a integral n circular em DL só que o DL vai ser o comprimento da circunferência qual circunferência

essa circunferência aqui então fica 2 pi co Isso vai ser igual a mi0 zero e aqui fica o fluxo desse campo elétrico só que assim o e vai sair para fora da porque o e a gente falou considere e uniforme Então vai sair o e né claro Pera aí que eu não posso esquecer a derivada né vai ficar então DDT vai sair da integral e Nossa ficou meio ruim aqui deixa eu só refazer D DT então vai ficar aqui o e vai sair da integral vai ficar e e o da Assim na verdade é melhor

é melhor a gente fazer passo a passo aqui vamos lá vamos primeiro calcular o campo elétrico vamos deixar isso aqui em aberto então Ó o campo elétrico quando ele uniforme ele é dado por Sigma sobre y z0 sendo que o Sigma é densidade de carga superficial né então o Sigma ele é a quantidade de carga quem que é a carga ela é dada por isso aqui ó q0 seno de Ô T Essa é a carga dividido por pela área qual que vai ser a minha área Vai ser 4 né vai ser desculpa pi pi Quad

porque eu tô olhando no capacitor Então essa carga o campo que vai ser gerado devido a carga no capacitor né então a carga é dado por isso aqui q0 seno de Ô T dividido pela área do capacitor que é Pi a quadrado dividido por0 quando dividir por y0 vai ficar assim né Então essa esse é o meu campo elétrico né perceba que esse campo elé tá na direção Z se eu quiser colocar isso vetorialmente então isso aqui vai ficar ó vai ficar uma a Vou colocar aqui a integral vamos na verdade vamos fazer assim vamos

calcular esse fluxo aqui separadamente então Ó o fluxo vou arrastar um pouquinho pro lado aqui então Ó o fluxo do campo elétrico acho que fica mais fácil do que fazer direto às vezes a primeira vez você tá vendo Então o e o e foi o que a gente achou Ali vai ficar q0 seno de Ô t então q0 seno de Ô T dividido por0 pi qu só que esse campo tá na direção Z né foi o que foi o que a gente assumiu ó o campo ele tá indo para cá tá indo na direção Z

então isso aqui vai ficar escalar com a área só que a área perceba a área disso aqui é isso aqui o o da se a gente bem a gente bem sabe que o da ele é justamente o da da vetor ele é justamente o da na direção da normal tá só que a normal dessa área tá na mesma direção de e ou seja vai ficar vezes da na normal só que a Normal também tá na direção Z né a normal a área é sempre né algo que sempre sai ali fazendo um ângulo de vamos pegar

assim ó fazendo um ângulo de 90 né então Ó aqui é o vetor normal então a gente vê que o vetor normal ele vai tá na direção de Z tá então vai ficar escalar de z com z que dá 1 entendeu então vai sair então isso aqui o fluxo claro que isso aqui é integral duplo Isso aqui vai ficar ó ZZ vai ficar vai dar um então vai ficar a única coisa que tem o da aqui vai ser o da Então vai sair né não tem outro outra coisa então vai ser q0 seno de Ô

T dividido por e0 pi qu vezes a área e essa área a gente já pode colocar assim ó vezes a área área dessa sessão né seria R PI quadado só que eu vou deixar né eu tô calculando fluxo nessa região aqui mas vou deixar como área tá Por enquanto então a gente conseguiu calcular isso aqui se a gente derivar isso aqui se a gente derivar a única coisa está em relação ao aí eu já fao um pouco mais direto Então qual que a única coisa que tá no tempo ali aque seno né então se eu

derivar o seno isso aí D cosseno derivada do seno é cosseno né Então essa derivada Vai dar vai sair as constantes vai ser q0 n q0 ve o a div pi qu certo V vezes ah vezes a derivada do sen derivada do seno vai dar cosseno de Ô t xes ô tá tudo bem então olha como vai ficar o nosso a nossa coisa aí né vai ficar então ó vamos dar uma simplificada né Vamos trocar algumas coisas ó o e zer vai sumir com e0 ó o eer vai sumir com e0 tudo bem ah por

enquanto acho que só isso né agora a gente vai dar uma uma melhorada nessa coisa aí tá a gente vai pegar então vamos lá só para eu escrever de acordo com o gabarito Então vamos dar uma melhorada então o b vai ser eu acho que a área já eu na verdade eu teria que colocar o ria ao quadrado é vai ter que fazer então essa área aqui essa área aqui lembrando essa área é a área da onde a gente tá calculando o fluxo fluxo é nessa área aqui que é onde a gente tá calculando circulação

do campo magnético tá então essa área aqui vai ser pi ve R quadr tá então é pi x r qu Então vamos lá isso aqui vai ficar como então eu vou passar esse 2 pi dividir então vai ficar mi0 q0 vezes o a que é o qu pi R qu vees o cosseno de Ô T ve o Ô tá tá isso dividido por que que vai sobrar aqui vai sobrar um 2 pi R que eu passei dividindo vezes um pi a quadrado tá esse B ele vai est Vamos colocar pelo módulo Por enquanto né Vamos

calcular o módulo por enquanto então ó vamos ver que que mais dá para cortar então Ó o pi vai com pi o r quadrado vai com esse ru Então vai sobrar vai sobrar B vamos ver já vou escrever conforme eu deixei ali mi0 q0 que eu acho que é igual quer dizer já tá igual barito vou colocar as constantes ó m0 q0 sobrou o r e o ômega ô r aqui vai sobrar um cosseno de Ô t tá E ali embaixo vai sobrar 2 pi qu então 2 pi ve a ao quadrado tá agora esse

é o módulo a gente só que a gente pode escrever isso aqui vetorialmente Em que direção vai tá esse campo esse campo esse campo magnético ele vai est aqui na direção da circulação certo então ó ele vai est na eh a gente pode pensar que ele vai tá Justamente na direção da circulação então ele vai tá por exemplo assim ó vai tá circular aqui Acho que ali não vai ficar bom meu desenho deixa eu pegar um outro uma outra parte aqui ó então o campo ele vai tá algo assim ó acho que talvez vou eu

vou na verdade desenhar o círculo assim ó que talvez fique mais fácil então não tentar fazer el 3D olhando de cima né no nosso caso ali olhando de frente então como é que vai ficar isso aí se a gente tivesse olhando de cima o círculo de cima isso aqui seria na direção da circulação então o b estaria aqui ele estaria circulando né o o o negócio ali então ali ele também eu tentei desenhar aqui mas talvez não ficaria tão bom ele tá mais ou menos é que aqui vai poluir né mas ele tá ali circulando

aí essa direção a gente pode tratar justamente como a direção como essa de esse seria um vetor de uma uma componente uma componente polar né então seria um F chapel tá se a gente quisesse colocar ele como vetor que eu acho que é justamente como tá no Gabarito tá então ele tá tratando Por que que aparece isso aqui porque ele tá tangente né ele tá tangente ali a trajetória né então ele não é na direção Radial ele ele é tangente à trajetória ele acompanha um ângulo né então seria messe Fi chapel tá Então essa é

a nossa resposta final Essa é o nosso nosso gabarito tá cuidado que no Gabarito Não fala só que a gente tá fazendo isso aqui né eu vou eu vou colocar essa condição isso aqui é para um R menor do que a né então como o gabarito só deu essa resposta eu já me subentendi que ele tá falando ali na região dentro se eu pegasse uma região fosse maior seria outra coisa né aí por quê Porque o fluxo principalmente o fluxo elétrico já não seria o mesmo tá então a gente vai ficar com isso aqui tá

Então por que que tá dando isso aqui aí eu vou colocar essa condição que é justamente porque ele tá numa distância a é menor do que o que o raio do do capacitor né Então aí a gente tem finalmente a nossa resposta final beleza pessoal então é um exemplo muito bom muito bonito de saber Então como que acontece né que existe realmente um campo ali e esse campo magnético ele ocorre pela variação do campo elétrico tá isso vai gerar a nossa corrente de deslocamento tá então esse é o campo misero que 0 Ô P né

ôa R na verdade cosseno de Ô T na direção fich pel dividido por 2 pi qu tá com pi com R desculpa menar aqui então é isso pessoal eu agradeço aí a paciência exercício muito bonito aí muito mento mesmo né que resolve o problema de como passava a corrente um capacitor no vácuo né Então como que aconteceria isso acontece acontece né através daí da da lei lei da indução de Ampere maxo né Essa correção aí beleza pessoal então é isso muito obrigado até a próxima