in diesem dritten vorlesungsvideo werden wir den Zusammenhang zwischen elektrischem Strom und Ladung noch etwas intensiver betrachten und zwar ist uns ja bekannt dass die Stromstärke die zeitliche Änderung der Ladung angibt und wir konnten ja bisher berechnen den Stromverlauf bei gegebenem ladungsverlauf und das möchten wir jetzt no umkehren das heißt uns interessiert wie können wir die transportierte Ladung berechnen wenn der Stromverlauf über der Zeit gegeben ist das heißt wir betrachten also noch etwas ausführlicher den Zusammenhang zwischen Strom und Ladung okay dafür schreibt wir noch mal auf was wir bereits kennen der Stromverlauf ist also die zeitliche
Änderung der Ladung das heißt mathematisch die Ableitung der Ladung nach der Zeit und davon suchen wir jetzt die Umkehrung das heißt wir möchten jetzt den ladungsverlauf berechnen ja wir stellen die Gleichung oben mal um nach der ladungsänderung DQ DQ ist also I von T multipliziert mit der zeitänderung DT ja wie können wir das ganze jetzt interpretieren DQ ist also die Ladungsmenge die in so einem unendlich kleinen also in einem infinitesimal kurzen Zeitintervall DT transportiert wird und wenn wir jetzt die in einem gewissen Zeitraum transportierte Ladung berechnen möchten müssen wir also über diese Zeit integrieren ich
schreib die diese Gleichung jetzt noch einmal auf lassen Sie aber bitte davor jeweils immer ein bisschen Platz also noch einmal DQ ist gleich lassen wir ein kleines bisschen Platz i von T DT und wir integrieren jetzt über eine Zeit schreib das jetzt hier mal rot auf der rechten Seite integrieren wir von einer Anfangszeit t0 bis zu einer Endzeit t so rein mathematisch ist das was hier steht unsauber das heißt die Integrationsgrenzen hier oben das T darf mit der integrationsvariablen T nicht übereinstimmen deswegen führen wir als integrationsvariable formell eine neue Variable t Strich ein und auf
der linken Seite integrieren wir ebenfalls über die transportierte Ladung das heißt zum Anfangszeitpunkt t0 gibt es eine Ladung die bis zum Anfangszeitpunkt t0 transportiert wurde das ist die Ladungsmenge Q von t0 und am Endzeitpunkt t wurde eine Ladungsmenge Q von T transportiert auch hier dürfen die Integrationsgrenzen und integrationsvariablen nicht wieder übereinstimmen deswegen führen wir hier formell eine integrationsvariable Q Strich ein ja und dieses Integral können wir jetzt zumindestens auf der linken Seite ausrechnen hier steht ja auf der linken Seite das Integral über 1 x DQ STR das heißt die Stammfunktion auf der linken Seite wäre
Q STR ich setze die obere Grenze ein ich setze die untere Grenze ein dann steht hier auf der linken Seite also Q von T - Q von t0 ist gleich und das Integral auf der rechten Seite das kann ich jetzt nicht weiter lösen denn dafür müsste der Stromverlauf i von T sein das heißt hier können wir jetzt erstmal nur stehen lassen das ist also das Integral von t0 bis T über den Stromverlauf i von t d t ja jetzt bin ich fast fertig jetzt habe ich hier auf der linken Seite Q von T - Q
von t0 ich kann jetzt also auf beiden Seiten die anfangsladung Q von t0 nach addieren und erhalte damit die bis zum Zeitpunkt t transportierte Ladung Q von T ist also eine anfangsladung die bis zum Zeitpunkt t0 transportiert wurde plus das Integral von t0 bis T über den Zeitverlauf des Stromes so und diesen fundamentalen Zusammenhang den Rahme ich jetzt hier mal rot ein das ist ein sehr sehr wichtiger Zusammenhang den müssen sie kennen den müssen Sie wissen den müssen sie beherrschen und die grafische Interpretation dieses Integrals die habe ich Ihnen auf einer Folie gegeben die schauen
wir uns als Erläuterung dazu noch mal an das heißt auf dieser Folie 17 ist dieser formelausdruck noch einmal gegeben und darunter auch noch mal formuliert was diese einzelnen mathematischen Terme hier bedeuten also Q von T interpretieren wir quasi als die bis zum Zeitpunkt t durch eine Querschnittsfläche a geströmte oder transportierte Ladungsmenge Q von t0 ich habe es jetzt anfangsladung genannt das heißt bis zu irgendeinem Zeitpunkt t0 durch die Fläche a geströmte Ladung und plus steht hier hinten dieses Integral als so das ist also die in der Zeit von t0 bis T transportierte Ladungsmenge und das
ist hier unten genau diese schraffierte Fläche na wir wissen das Integral über eine Funktion liefert mir die Fläche unter der Funktion hier rot dargestellt ist jetzt der Zeitverlauf unserer Stromstärke und das Integral über dieser Stromstärke liefert mir also die transportierte Ladung das heißt das Integral von t0 bis T liefert mir die in der Zeit von t0 bis T transportierte Ladungsmenge und noch mal als Erläuterung dazu hier auf der rechten Seite dem gegenüber gestellt ist also noch mal wieder die Umkehrung das heißt die Stromstärke ist die zeitliche ladungsänderung DQ nach DT also die Ableitung und wir
wissen die Ableitung mathematisch ist also grafisch gedeutet der Anstieg in einem Punkt das heißt wenn wir jetzt hier so ein infinitimal kurzes Zeitintervall dt betrachten dann wird also in diesem kurzen Zeitintervall DT die Ladungsmenge DQ transportiert und der Anstieg des ganzen liefert mir dann die elektrische Stromstärke ja und wie bei der äh Strom Berechnung werden wir auch zur ladungsberechnung ein einfaches Rechenbeispiel uns anschauen also folgendes Beispiel diesmal die Berechnung von Q von T bei gegebenem Stromverlauf i von T Okay gegeben ist also unser Stromverlauf i von T und auch den geben wir wieder in einer
grafischen Darstellung also wir stellen da den Verlauf der elektrischen Stromstärke über der Zeit und wir unterteilen unsere Zeitachse in zwei Abschnitte einmal von 0 bis T1 und dann haben wir noch ein Zeitpunkt T2 unsere Stromstärke nimmt linear zu in der Zeit von 0 bis T1 und sie steigt von i = 0 bis auf einen Wert i0 dann bleibt die Stromstärke konstant in der Zeit von T1 bis T2 und für t größer T2 sei unsere Stromstärke 0 das heißt auch hier können wir wieder die funktionsgleich aufschreiben als abschnittsweis definierte Funktion das heißt i von T setze
sich jetzt wieder zusammen aus drei Teilbereichen unsere Stromstärke i von T ist als eine linear steigende Funktion mit dem Anstieg i0 dur T1 im ersten Abschnitt also i0 dur T1 mal t für 0 kleiner t kleiner g= T1 dann ist unsere stromfunktion konstant i0 im zweiten Zeitabschnitt also für T1 kleiner t kleiner g= T2 und sie ist konstant 0 für T2 kleiner t ja wir sehen es hier oben in der rot eingerahmten Gleichung es muss noch eine zweite Information gegeben sein nur der Stromverlauf genügt uns nicht wir müssen ebenfalls die bis zum Zeitpunkt t0 transportierte
Ladung q0 geben also irgendeine anfangsladung und bei uns seit dieser Zeitpunkt t0 gerade 0 also t = 0 das heißt wir geben die bis zum Zeitpunkt t = 0 transportierte Ladung so und das wäre dann Q von 0 und das sei eine konstante q0 das ist also gegeben und gesucht ist unser ladungsverlauf über der Zeit Q von T das heißt wir suchen nicht die bis zu einem konkreten Zeitpunkt transportierte Ladung sondern die transportierte Ladung bis zu einem allgemeinen Zeitpunkt t okay und ähm diese Berechnung der transportierten Ladung die muss ich jetzt wieder für jeden Zeitabschnitt
separat durchführen das heißt ich zerlege jetzt meine Aufgabe also wieder in drei Intervalle ich betrachte zunächst das Intervall von 0 kleiner t kleiner gleich T1 okay die ausdruck dafür steht hier oben rechts der Ansatz wäre jetzt also folgender meine in diesem Zeitabschnitt transportierte Ladung Q von T ist die anfangsladung Q von 0 plus das Integral von unserem Anfangszeitpunkt der wäre jetzt 0 bis T über unseren Stromverlauf i von t d t ja die anfangsladung Q von 0 die ist laut Aufgabenstellung q0 laut gegebener Größe plus das Integral von 0 bis T und unser Stromverlauf i
von T STR das wäre ja jetzt die Funktion i0 dur T1 mal t STR und wie integrieren über d t und dieses Integral kann ich jetzt lösen das ist also q0 + ich habe jetzt hier eine lineare Funktion das heißt die Stammfunktion dieser linearen Funktion ist eine quadratische Funktion dieses i0 durch T1 das ist eine konstante die kann ich vorziehen und meine Stammfunktion von T STR lautet t quat halbe und die Grenzen sind 0 und T ja ich löse dieses Q von T ist also q0 + ich setze die obere Grenze ein das T dann
steht hier t² die untere Grenze eingesetzt wäre 0 also ist das Ergebnis i0 dur T1 mal t²/ so das ist jetzt also innerhalb dieses ersten Zeitabschnittes von 0 bis T1 der ladungsverlauf in zu einem beliebigen Zeitpunkt t okay wir berechnen nun in einem nächsten Schritt den zum konkreten Zeitpunkt T1 transportierte die bis zum konkreten Zeitpunkt T1 transportierte Ladung denn das brauchen wir dann als Anfangswert für das nächste Zeitintervall ich schreib das auch in woren noch einmal hin also bis T = T1 transportierte Ladung und das ist jetzt also die transportierte Ladung Q von T1 und
ich setze in die hier oben berechnete Funktion für t = T1 ein und erhalte Q von T1 ist also q0 plus ich habe hier im Zähler T1 quadr im Nenner T1 da kürzt sich ein T1 und es bleibt übrig i0/ T1 das ist die bis T = T1 transportierte Ladung machen Sie bitte bei solchen Rechnungen immer auch eine plausibilitätsüberprüfung schauen Sie Sie ob in jedem summanten jetzt auch wirklich eine Ladung schon allein von der Dimension her steht das heißt wir haben auf der linken Seite Ladung ist gleich Ladung Plus und dann haben wir hier Stromstärke
mal Zeit das ist auch wieder eine Ladung das heißt diesbezüglich ist das Ergebnis ummerhin erstmal plausibel gut jetzt können wir das nächste Zeitintervall betrachten nämlich das Zeitintervall wo die Stromstärke konstant ist also das ist jetzt das zeittintervall T1 kleiner t kleiner g= T2 der Ansatz zur Berechnung der Ladung in diesem Zeitintervall wäre jetzt folgender unserer ladungsverlauf Q von T ist gleich die anfangsladung wäre jetzt die bis T1 transportierte Ladung na aufpassen ich befinde mich jetzt in einem neuen Zeitintervall das heißt der Anfangszeitpunkt dieses Intervalls ist ja T1 also die bis T1 transportierte Ladung plus das
Integral von T1 das ist jetzt mein Anfangszeitpunkt bis T über die Stromstärke i von t d t ja das ist gleich unser Q von T1 das steht hier oben das ist q0 + i0 Hal T1 das kann ich einsetzen plus das Integral von T1 bis T ja und unsere Stromstärke ich gehe noch mal hier hoch ist in diesem Zeitintervall konstant i0 für T1 klein t klein g= T2 das heißt ich integriere jetzt hier über die Konstante i0 D tirich okay unser ladungsverlauf Q von T ist damit also q0 + i0 Hal T1 plus ja das
die Stammfunktion dieser konstanten i0 ist äh t strich ich setze die obere Grenze ein ich setze die untere Grenze ein das heißt die Lösung dieses Integrals wäre also i0 mal t- T1 okay und das kann ich noch ein kleines bisschen zusammenfassen denn sie sehen ich habe hier + i0/ T1 und dann noch ein summant - i0 T1 das heißt als Ergebnis halte ich hier q0 - i0 Hal T1 + i0 mal t das ist jetzt also die bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t transportierte Ladung im Intervall von T1 bis T2 und auch am Ende dieses
Intervalls muss ich die bis zum Zeitpunkt T2 transportierte Ladung bestimmen weil das dann wieder der Anfangszeitpunkt oder die anfangsladung äh für die Berechnung der Ladung im nächsten Intervall ist also die bis zum konkreten Zeitpunkt T2 transportierte Ladung Q von T2 ist jetzt q0 - i0/ T1 und jetzt setze ich für t = T2 ein also + i0 T2 okay und jetzt kann ich auch den ladungsverlauf für das dritte Zeitintervall berechnen das heißt für das Intervall von T2 kleiner t so wir schauen noch mal ganz kurz oben in die gegebene Größen das heißt unser Stromverlauf ist
für t größer T20 das heißt wir können auch jetzt schon quasi feststellen wenn die elektrische Stromstärke dann n ull ist dann wird auch keine Ladung mehr transportiert das heißt die transportierte Ladung muss dann irgendwie konstant bleiben wir schauen mal ob das sich mathematisch auch ergibt folgender Ansatz also Q von T ist jetzt die anfangsladung zum Beginn dieses Zeitintervalls das heißt das wäre die bis T2 transportierte Ladung Q von T2 plus das Integral von T2 bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t über den Stromverlauf und der Stromverlauf ist 0 mal DT STR ja das Integral über 0
liefert mir eine ull und es bleibt also Q von T2 übrig D wir können das von hier oben auch noch mal einsetzen das wäre dann also q0- i0 halbe T1 + i0 T2 und sie sehen die Ladung die bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t transportiert wurde ist jetzt also nicht mehr von der Zeit t abhängig sondern das ist konstant die Ladung die bis zum Zeitpunkt T2 transportiert wurde okay sie sehen schon bei ein so bei so einem ja recht übersichtlichen oder einfach Stromverlauf ist die Berechnung der transportierten Ladung doch recht ja aufwendig mathematisch nicht schwierig
aber etwas aufwendig und deswegen wird es dann auch in den folgenden Übungsveranstaltungen noch intensiv geübt werden
