Vorkurs Mathe Vorlesung 4 vom 18.9.2025

Hallo und einen schönen guten Morgen. Schön, dass ihr da seid. Wir haben die Hälfte schon äh geschafft gestern vom Vorkurs. Heute kommt Vorlesung 4 dran und vielleicht sitzt euch die Vorlesung gestern noch ein bisschen in den Knochen. Das war inhaltlich ganz schön viel. Wir versuchen jetzt in den nächsten beiden Vorlesungen nicht mehr ganz so viel da reinzupacken und ihr werdet im Hauptkurs auch merken, da geht's dann wieder ein bisschen entspannter zu. Also der Vorkurs ist gedacht, quasi alle Schulinhalte noch mal zusammenzupacken und zu wiederholen. Und im Hauptkurs kommen dann für viele von euch wirklich neue

Sachen und die gehen wir ganz langsam Schritt für Schritt durch. Das heißt, wir machen es z.B. so, dass wir in den meisten Fällen zwei Wochen für ein Kapitel brauchen, also zwei Termine für ein Kapitel und die haben wir ja an Jedem Tag ein Kapitel gemacht. Heute geht's um Eigenschaften von Funktionen. Was ist eine Eigenschaft? Wir haben sowas schon mal kennengelernt. Z.B. haben wir definiert, was es bedeutet, dass eine Funktion streng monoton steigend ist oder streng monoton wachsend habe ich gesagt bedeutet das gleiche. Auf solche Sachen wollen wir heute ein bisschen mehr gucken. Wir haben ja

gestern definiert, was eine Funktion überhaupt ist und haben ein Paar Beispiele, nein, viele Beispiele für Funktionen gesehen. Jetzt geht es aber zunächst mal darum, wie können wir so eine Funktion plotten? Wir haben ja schon die Grafen von einigenfachen Funktionen gesehen. Ihr erinnert euch vielleicht an die Parabel, an die Wurzelfunktion und wir wollen jetzt untersuchen, wie wir aus solchen einfachen Funktionen, schwierigere Funktionen basteln können. Das soll uns helfen, wenn wir irgendwie einen Grafen Sehen, der jetzt nicht so standardmäßig aussieht, wie wir den quasi zurückführen können in eine Funktion, die wir bereits kennen. Dazu untersuchen wir verschiedene

Modifikationen von der Funktion. Also ihr seht da in der Liste z.B., dass wir von außen auf die Funktion eine Konstante drauf addieren. Diese Konstante heißt hier C und die darf auch negativ sein. Das heißt, wir würden auch erlauben, dass wir eine Konstante Abziehen. Im zweiten Fall seht ihr, dass wir die Konstante nicht von außen drauf addieren, sondern innen drin in der Funktion drauf addieren. Also, das heißt, wir addieren sie auf die Variable. Als nächstes multiplizieren wir die Konstante von außen und im letzten Spiegelstrich könnt ihr euch vorstellen, dass wir die Konstante von innen multiplizieren, also

direkt an das x dran hängen. Aber da gucken wir uns den Spezialfall nur an, dass diese Konstante gleich -1 ist. Den letzten Fall haben wir gestern auch schon ganz kurz gesehen. Ihr werdet euch sicherlich dran erinnern, wenn ihr jetzt das in diesem Beispiel auch seht. Und ich mache das jetzt erstmal nur für Beispiele und zwar für die Wurzelfunktion, weil wir die ganz gut kennen. Ja, ich möchte einmal ganz kurz gucken, wie wir auf diesen Grafen kommen. Dazu rechne ich ein paar Punkte aus. Z.B. die 0. Ja, wenn x = 0 Ist, dann ist die Wurzel

von x auch = 0. Oder wenn x = 1 ist, dann ist die Wurzel gleich 1. Und jetzt gibt es noch einen Punkt, den ich leicht ausrechnen kann in diesem Diagramm. nämlich, wenn x4 ist, dann ist die Wurzel von x2. Das heißt, wir sind auf der y-Achse in der Höhe von 2. So, und wenn wir auch die Punkte ausrechnen würden, die alle dazwischen liegen, dann würden wir auf diese rote Kurve kommen. Jetzt geht es darum, sich zu überlegen, was passiert, wenn wir von Außen eine Konstante addieren, von innen, wenn wir mit einer Konstante multiplizieren und

so weiter. Wir bleiben jetzt immer bei dieser Wurzelfunktion. Also der erste Schritt ist von draußen eine Konstante drauf addieren und in diesem Beispiel heißt die Konstante 2 und -2. Wir fangen an mit + 2. Also wie wie funktioniert das? Wir nehmen uns einen bestehenden Punkt. Hoppla, Z.B. diesen Punkt hier und addieren dann einfach zwei auf den Funktionswert drauf. Das bedeutet, wir gehen die-Achse 2 nach oben, weil wir den Funktionswert eben an der y-Achse auftragen. Das heißt, wir gehen hier von der 0 auf die 2, indem wir zwei einfach addieren. Das heißt, der neue Punkt liegt

dann hier. Und das mache ich jetzt mit den anderen beiden Punkten auch. Und dann können wir uns vorstellen, wie sich der Graf verschiebt. Hier auf die 1 addiere ich 2, dann landen wir bei der 3 und auf die 2 hier addiere ich auch zwei, schreibe ich dazu und dann landen wir hier oben bei der 4. Das heißt, der neue Graf, der sollte dann einfach so aussehen ungefähr. Wir verschieben den bestehenden Grafen also einfach nur nach oben, wenn wir eine positive Konstante auf die Funktion drauf addieren. Also, wenn ihr irgendwann mal eine Wurzelfunktion seht, also den

Graf von der Wurzelfunktion, ich check das irgendwie noch nicht so ganz, dass ich das nicht verschiebt, der eben nicht bei der Null startet, sondern bei der 2, aber ansonsten genauso aussieht wie vorher, dann wisst ihr, da wurde einfach nur eine zwei auf den Funktionswert addiert. Der nächste Schritt ist jetzt, glaube ich, nicht mehr ganz so schwer. Jetzt addieren wir nicht die zwei, sondern wir Subtrahieren die zwei und dann passiert das Ganze einfach andersrum. Wir landen hier bei der -2, dann rechnen wir 1 - 2= -1 und 2 - 2= 0. Und in der anderen Richtung

sieht das dann so aus, dass wir den Grafen einfach nach unten verschieben. Also Addition einer positiven Konstante von außen auf die Funktion führt dazu, dass wir den Grafen nach oben verschieben und Subtraktion führt dazu, dass wir den nach unten verschieben. Also haben wir jetzt hier eine einfache Methode gefunden, wie wenn Grafen einfach entlang der Ya-Achse nach oben oder nach unten verschieben können. Ich habe das noch mal mit dem Computer geplottet, damit das ein bisschen ordentlicher aussieht. Das seht ihr jetzt hier. Das war die erste Operation. Jetzt gehe ich weiter und addiere eine Konstante auf das

X drauf. Also in der Funktion fange ich an was zu verändern. Ihr seht dieses +- 2 oben im Titel. Das Ist jetzt auch unter der Wurzel. Und das ist tatsächlich schon schwieriger. Was müssen wir machen? Ich zeichne noch mal die drei Punkte ein. Also diese drei Punkte haben wir eben schon ausgerechnet. An der Stelle 00, an der Stelle 1 an der Stelle 4 2. Bitteschön. In den Minusbereich von welcher Achse? Okay, also Überraschung. Ja, wir haben eben eine Konstante von außen drauf addiert und das der Graf verschiebt sich Nach oben entlang der y-Achse. Jetzt verändern

sich zwei Sachen. Wir addieren von innen eine positive Konstante, also direkt auf das X drauf. Dann verschiebt es sich nicht in Richtung von Y-Achse, sondern in Richtung von der X-Achse und zwar umgekehrt. Ja, also nicht in den positiven Bereich, sondern in den negativen Bereich. Und jetzt kann man sich fragen, hä, warum ist das denn? Lass uns das einfach mal ausprobieren. Also, ich setze jetzt mal für x die -2 Ein. Okay, ich gucke mir an, was passiert, wenn da x wenn x den Wert -2 hat. Dann zähle ich 2 dazu, dann lande ich bei der 0.

Das heißt, an der Stelle -2 ist der Funktionswert Wurzel von 0 und das ist die 0. Und deswegen verschiebt sich das nach links. Ich trage das mal ein und schreib genau dazu, was das bedeutet. Also an dieser Stelle haben wir Wurzel von -2 + 2. Also das ist dann das y, Also 0. Deswegen kommt dieser Punkt raus. Jetzt gehe ich mal einen Schritt nach rechts. Wenn x = -1 ist, dann können wir mal ausrechnen. Die Wurzel von -1 + 2, dann ergibt sich Wurzel 1 und das ist die 1. Das heißt, wenn das x die

-1 ist, dann ist das y die 1. Das heißt, an der Stelle x = -1 muss ich bei y = 1 Punkt machen. Und jetzt seht ihr eben, dass ich die beiden Punkte einfach Um 2 verschoben haben, aber sozusagen in die falsche Richtung, ja? Also in die Richtung, die man nicht erwartet. Ich addiere + 2, aber dann gehe ich auf der x-Achse -2. Und das können wir jetzt eben auch hier machen im letzten Punkt. Ja, wenn das x 4 ist von der normalen Wurzel, dann ist das y von der normalen Wurzel die 2. Jetzt setze

ich stattdessen für x = 2 ein. Also, ich bin hier, rechne + 2 auf das x dazu, dann habe ich die Wurzel 4, dann muss y also = 2 sein. Dann bin ich in diesem Punkt. Ich schreib das aber noch mal drüber. Also y = die Wurzel von x = 2. Ich addiere 2 drauf, also die Wurzel von 4 und das ist gleich 2. Das bezieht sich jetzt hier auf diesen Punkt. Also auch hier wandern wir einfach zwei Schritte nach links entlang der X-Achse. Und der neue Graf, na ja, mal gucken, ob ich das hinkriege,

sieht dann so aus. Also, wir sehen, dass der Abstand Zwischen den beiden Grafen immer kleiner wird, wenn wir nach rechts gehen. Das heißt, wir haben nicht einfach eine Parallelverschiebung nach oben. Ja, auch wenn die Wurz, wenn der Graf hier so scheinbar nach oben geht, eigentlich geht parallel nach links. Ich muss es andersrum zeigen, ob es für eure Perspektive parallel nach links. Auch das habe ich jetzt mal ein bisschen schöner eingezeichnet. Das seht ihr hier. Also einmal mit x + 2, dann geht's nach links und einmal mit x - 2, dann funktioniert das genau andersrum. Ja,

und dann ist die Logik genau andersrum. Also, wenn ihr x = 2 einsetzt, wenn x = 2 einsetzt, diesen Punkt und dann von dem x2 abzieht, ja, dann ist x = x - 2 dann gleich 0 und der y Wert ist auch 0. Deswegen fängt die Wurzel dann an dieser Stelle an, wenn wir zwei abziehen von dem X. Also, wir merken uns, Addition einer Konstante führt dazu, dass der Graf verschoben wird. Wenn wir die Konstante von außen addieren, verschieben wir den Graf entlang der y-Achse. Wenn wir die Konstante von innen addieren in der Funktion drin,

dann verschieben wir entlang der x-Achse. Bei der y-Achsenverschiebung gehen wir nach oben, wenn wir eine positive Konstante addieren. Bei der X-Achsenverschiebung gehen wir nach Links, wenn wir eine positive Konstante addieren. Wenn ihr euch ungefähr diese Sachen merkt, dann habt ihr die Addition einer Konstante drauf. Aber ich habe gleich auch noch eine Übersichtsfolie, wo das alles noch mal zusammengefasst da steht. Das sollte jetzt nur eine kurze Wiederholung sein. Wir haben jetzt Addition einer Konstante. Als nächstes kommt Multiplikation mit einer Konstante. Also wir wollen von außen etwas dran multiplizieren. Also wir Sehen hier oben soll die neue

Funktion 2√ x heißen. Das bedeutet, wir müssen den y Wert einfach jeweils mal 2 rechnen. Was passiert? Ich mal die drei Punkte wieder ein. Hier haben wir die drei Punkte an den Stellen 0, ups, nicht 5, sondern 4. An der Stelle 0 ist der y Wert 0. Und wenn wir das mit 2 multiplizieren, passiert einfach gar nichts. Ja, 0* 2= 0. Hier ist der Wert, der y Wert 1. Wenn wir den mal 2 rechnen, dann landen wir hier oben in dem Punkt x = 1, den letzten Punkt beim letzten Punkt die y Koordinate mit 2

multiplizieren, dann wird aus 2* 2 die 4, dann landen wir da oben. So. Und jetzt seht ihr, dass die Abstände zwischen den Punkten bei den, wenn wir die jeweiligen Punktpaare uns anschauen, die Abstände werden immer Größer und wir sagen dazu, dass sich der Graf spreizt. Also, wenn ich jetzt diese Punkte verbinde, dann ist das immer noch sieht immer noch so ein bisschen aus wie eine Wurzelfunktion, aber die ist nach oben ausgedehnt oder ja, wir sagen eben gespreizt. Jetzt stellt euch mal ganz kurz vor, wir multiplizieren nicht mit 2, sondern wir teilen durch 2. Dann passiert

genau das Gegenteil. Also, wenn ich jetzt diese y Koordinaten immer durch zwei teile, dann lande ich eben ein bisschen flacher. Also die Null bleibt wieder gleich. Hier würde ich bei ein/b landen und hier würde ich bei 1 landen. Das heißt, geteilt durch 2 würde sozusagen das Gegenteil bewirken. Das sieht immer noch ein bisschen aus wie die Wurzelfunktion, aber sie ist flacher geworden. Da schreibe ich mal dazu geteilt durch 2 geeilt durch 2. Das heißt, eine Multiplikation mit einer Konstante von außen führt dazu, dass der Graf gespreizt wird oder wie heißt denn das Gegenteil davon? Weiß

ich jetzt gar nicht. Gedrückt, zusammengepresst, wenn jemand ein besseres Wort hat. Und das hängt eben davon ab, ob die Konstante größer ist als ein oder kleiner ist als ein ja bzw. habe ich hier gesagt mal bzw. Also geteilt, also geteilt durch 2 ist ja das gleiche wie mal ein/ Okay, so sieht das in schön aus und Jetzt fehlt noch, dass wir eine Konstante in die Funktion reinmultiplizieren, also irgendwas mal x. Und da habe ich gesagt, da benutze ich den Spezialfall mal -1. Das gucken wir uns. Ach so, nein, noch ein anderer Spezialfall. Also von außen

multipliziert eine Konstante, aber hier die -1. Also noch nicht von innen multipliziert, sondern von außen. Also wir haben eben größer als 1, dann Zwischen 0 und 1 betrachtet. Und jetzt ist mal eine negative Zahl von außen dabei -1. Das heißt, wir multiplizieren immer den y Wert mit -1. Bei der Null verändert sich nichts. Dann haben wir hier diese beiden Punkte noch. Und wenn wir die 1 mit -1 multiplizieren, dann landen wir bei der -1 hier unten. Und wenn wir die 2, also hier ist ja der y Wert die 2, wenn wir die mit -1 Multiplizieren,

dann landen wir bei der -2. Das heißt, Multiplikation mit einer negativen Konstante führt dazu, dass die Funktion einfach gekippt wird. Also, ich sollte besser sagen, der Graf wird gekippt. Und zwar wird der gespiegelt an der X-Achse. Also, ich versuche mich da. Der sollte, wenn ich es schön gezeichnet hätte, genauso aussehen wie der andere Graf, bloß spiegelverkehrt einmal an der horizontalen Achse Gekippt. So sieht's dann in echt aus. Das heißt, wir haben jetzt mit relativ einfachen Rechenoperationen die Möglichkeit, den Grafen zu verschieben entlang der Y-Achse, entlang der X-Achse, ihn auseinander zu spreizen, ihn zu pressen und

ihn auch an der X-Achse zu spiegeln. Wenn wir jetzt mit -b multiplizieren würden, dann würden wir auch an der x-Achse spiegeln, aber dann würden wir hier irgendwo in diesem Bereich landen. Und wenn wir mit -2 multiplizieren würden, dann würden wir auch an der x-Achse spiegeln, aber etwas weiter unten landen. Ja, gespreizter weiter unten. So, und jetzt kommt endlich die Multiplikation mit einer Konstante inneren der Funktion. Hier seht ihr, dass ich das x mit -1 multipliziert habe. Was passiert dann? Wir probieren es einfach aus. Also, ich male die drei Punkte ein, die wir Bereits immer haben.

Ich probiere erstmal die Werte aus, die wir schon hier in der Funktion benutzt haben. Also 0* -1 ergibt wieder 0. Das heißt, hier ist nichts passiert. Ja, dieser Punkt bleibt unverändert. Was ist, wenn x = 1 ist? Dann multiplizieren wir x mit -1. und steht also -1 unter der Wurzel. Das heißt, jetzt können wir den Funktionswert an dieser Stelle hier einfach nicht ausrechnen. Die Funktion wäre dann hier Nicht definiert. Also Wurzel von -x wäre hier nicht definiert. Und das gleiche gilt auch für die 4. Wurzel x ist auch an der Stelle -4, nicht definiert. Jetzt

gehen wir aber mal die x-Achse nach links. Ja, ich betrachte mal den Punkt x = -1. Wenn ich den mit -1 multipliziere, dann steht unter der Wurzel die 1. -1* -1= 1 und das können wir ausrechnen. Dann wäre der Funktionswert 1. Das heißt, wir haben hier einen Punkt gefunden Und jetzt gehe ich noch ein paar Schritte weiter bis zur -4. Wenn ich die mit der -1 multipliziere, kommt +4 raus und davon ist die Wurzel 2. Das heißt, auch dieser Punkt liegt auf dem Grafen und ihr seht, dass wir durch die Multiplikation mit der -1 an

das x dran den Grafen spiegeln können, aber diesmal entlang der y-Achse. Also das hier wäre Wurzel von -x. Ja, und wenn die Wurzel von x nicht im negativen Bereich definiert ist, dann Ist die Wurzel von -x eben nicht im positiven Bereich definiert. Also jetzt können wir an der X-Achse spiegeln und wir können sogar auch an der y-Achse spiegeln. Okay, jetzt kommt hier der die Übersichtsfolie für Addition. Also, wir können uns merken, wenn wir auf den Funktionswert drauf addieren, verschieben wir entlang der y-Achse. Wenn wir eine positive Konstante Addieren, geht's nach oben, bei einer negativen Konstante

nach unten. Und wenn wir im Funktionswert was auf die auf das X drauf addieren, dann geht's entlang der X-Achse. Positiv bedeutet, wir gehen nach links. Negativ bedeutet, wir gehen nach rechts. Jetzt die Übersichtsfolie für die Multiplikation. Oben multiplizieren wir an den Funktionswert eine Konstante. Wenn diese Konstante betragsmäßig größer ist als 1, Also entweder größer als 1 oder kleiner als -1, dann wird der Graf gespreizt. Ach, hier steht was anderes. Gestaucht hört sich besser an als äh gepresst. Wenn der die Konstante betragsmäßig kleiner ist als 1, also zwischen -1 und +1, dann wird der Graf gestaucht.

Wenn die Konstante negativ ist, dann wird der Graf an der X-Achse gespiegelt. Und ganz zum Schluss, der letzte Fall, wir multiplizieren eine Konstante direkt an das x dran. Dann wird der Graf auch Gestaucht oder gestreckt, aber diesmal nicht vertikal, sondern horizontal. Und wenn C kleiner als 0 ist, dann wird der Graf an der y-Achse gespiegelt, also in die andere Richtung gespiegelt. Mit diesen Hilfsmitteln werdet ihr in den Übungsaufgaben ähm zum Ziel kommen. In den Übungsaufgaben habt ihr einen Grafen, der euch vielleicht irgendwie bekannt vorkommt, aber der komplett verschoben ist, ja, nicht in der Standardform. Und

ihr müsst dann mit Diesen Hilfsmitteln versuchen, diesen verschobenen Grafen in eine Form zu bringen, die euch wieder bekannt vor ist. und dann könnt ihr sagen, was für eine Funktion dahinter steckt. Jetzt geht es darum, dass wir aus einfachen Funktionen neue Funktionen bauen, indem wir Funktionswerte addieren. Wir haben ja jetzt eben eine Konstante auf eine Funktion addiert. Jetzt wollen wir zwei Funktionswerte addieren oder sie subtrahieren oder die Kootienten bilden, was auch immer, ne? Wir machen das gleiche wie eben plus nicht mehr mit einer Konstante, sondern mit einer neuen Funktion. Also, wir nehmen erstmal uns zwei Funktionen,

die haben jetzt hier den Namen f und G. Und jetzt können wir z.B. die beiden Funktionen addieren und dann definiert das eine neue Funktion, die nennen wir hier h und die ist dann einfach die Summe der beiden Funktionen. Und das geht ganz wunderbar. Da braucht man gar keine zusätzlichen Regeln. Ähm, wir können einfach jeden einzelnen Funktionswert addieren, dann kriegen wir die Summe. Und das gleiche gilt auch für die Differenz. Wir dürfen zwei Funktionswerte voneinander abziehen. Das hört sich jetzt, es gibt so ein Wörtchen, das heißt trivial. Es hört sich jetzt viel zu einfach an. Ihr

fühlt euch vielleicht unterfordert. Ich möchte euch dazu sagen, wofür wir das brauchen. Ja, also es gibt sehr oft ökonomische Funktionen, die sich zusammensetzen als Summe oder als Differenz. Und zwar z.B. die eine Funktion, die wir bereits hatten, nämlich den Gewinn. Ganz egal, in welcher Marktumgebung man sich aufhält, Wettbewerbsmarkt, Monopolmarkt, Oligopolmarkt, der Gewinn ist immer die Differenz aus Erlös und Kosten. Der Erlös ist eine Funktion, die Kosten sind eine Funktion. Das heißt, der Gewinn ist eine Differenz von Funktion. Und die Habe ich hier mal geplottet. Wir sehen drei Kurven. Lass uns da einfach durchgehen durch jede

einzelne Kurve. Das R steht für Revenue ist der Erlös. Und wir sehen hier oben ist einfach das Produkt von Menge mal Preis. Ich glaube, gestern hatte ich das umgedreht da stehen. Das heißt, wenn wir hier auf der horizontalen Achse die Variable Q abtragen, dann ist der Erlös einfach eine lineare Funktion von Q mit der Steigung P. Schreibe ich mal dazu. Also, das hier ist ja P* Q. Q variable. P ist ein Parameter vom Modell, der uns die Steigung davon sagt. Je größer der Marktpreis P ist, desto steiler verläuft die Erlösfunktion und desto mehr Einnahmen haben

wir einfach, wenn wir eine bestimmte Menge verkaufen. Dann gibt es die Kostenfunktion Cost mit C und die besteht aus Q² + einem Term F, der die Fixkosten Darstellen soll. Wir können die Fixkosten hier im Diagramm sehen. Das ist nämlich der Achsenabschnitt. Schreibe ich mal hier dran. Da ist das F. Ja, in diesem Diagramm sind die Fixkosten Kosten relativ klein. Kommt eben von äh hängt von der Anwendung ab, wie groß die Fixkosten sind. Den Rest von der Kostenfunktion kennen wir bereits. Das ist eine Parabel Q quadrat, zumindest die eine Hälfte von der Parabel, wo das Q

positiv ist. Und Wir haben eben gelernt, wenn wir auf eine Funktion von außen eine Konstante drauf addieren, dann verschiebt sich der Graf entlang der ychse nach oben. Also hier haben wir einfach den die Parabel nach oben an den Abschnitt f geschoben. So, was ist jetzt der Gewinn? Der Gewinn ist die Differenz von diesen beiden Funktionen. Und den habe ich mal hier in der unteren Kurve aufgetragen und das ist auch wieder eine Parabel, aber diesmal umgedreht. Warum ist das schon wieder eine Parabel? Also, ich schreibe mal den Gewinn auf. Hier steht er noch als äh Differenzfunktfunktion.

Das ist P* Q - F - Q². Und wenn wir da genau hinschauen, sehen wir, dass das eine quadratische Funktion ist. Ja, wir könnten die jetzt umsortieren, so dass das Quadrat schön vorne steht. Und die Grafen von quadratischen Funktionen sind immer Parabel. Der Koeffizient, der vor dem Qadrat steht oder bzw. das Vorzeichen von diesem Koeffizient sagt uns, ob die Parabel nach unten oder nach oben geöffnet ist. Wenn das Vorzeichen negativ ist und wir sehen hier ein schönes Minus, dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Ja, eigentlich würde die hier noch nach links weitergehen, aber wir

lassen eben keine negativen Mengen zu, deswegen habe ich das hier abgeschnitten. Und wenn wir eine nach unten geöffnete Parabel haben, dann gibt Es auch ein Maximum. Und das habe ich hier eingezeichnet. Qstern. Ja, was für eine Eigenschaft hat dieses Maximum? Das Maximum maximiert die Differenz von Erlös und Kosten. Und diese Differenz kann ich einfach mal eintragen. Also an dieser Stelle z.B. wäre das die Differenz. Und wir sehen, dass dieser grüne Strich eben viel kürzer ist als dieser Abschnitt. Vielleicht markiere ich den auch mal. Ja, wir wollen quasi mit dem Q nach Links und rechts wandern,

so lange, bis dieser Abschnitt hier am größten wird. Und genau diesen Abschnitt, das was hier in grün eingezeichnet ist, das ist die Gewinnfunktion. Ja, das ist sozusagen umgedreht, aufgemalt, wie groß der Gewinn ist. Wenn wir den Abschnitt uns an dieser Stelle hier angucken, den Abstand, dann wäre der gleich 0. Also ist der Gewinn hier gleich 0. Wenn wir von hier aus nach links weitergehen, dann übersteigen die Kosten sogar den Erlöst, dann wird der Gewinn negativ. Und genauso gibt's auch da hinten irgendwo eine Nullstelle, wo sich Kosten und Erlöse schneiden, weil dann ist der Gewinn wieder

null und wenn wir noch mehr produzieren, dann gehen wir wieder in den Verlustbereich. Also überall hier in diesem Bereich ist der Gewinn positiv und wir suchen in diesem Bereich eben den die Stelle, wo der Gewinn am größten ist. Diese dieses Gewinnmaximum liegt wie bei quadratenfunktionen üblich genau auf der Hälfte zwischen den beiden Nullstellen. Das heißt, es gibt viele Wege zum Ziel. Ja, ich bin gestern angesprochen worden. Hey, ich habe bei dem bei der Rechenaufgabe einfach abgeleitet und damit das Gewinnmaximum gerechnet. Wenn ihr schon ableiten könnt, perfekt, ja, dann könnt ihr das natürlich gerne benutzen. Hier

wäre eine Möglichkeit rauszufinden, Wo sind die Nullstellen und dann liegt das Maximum genau in der Mitte. Oder ihr benutzt diese Formel für den Scheitelpunkt von der Parabel, dann findet ihr auch das Gewinnmaximum. Das Wichtige ist hier, das Gewinnmaximum hängt nicht von den Fixkosten ab. Also, wenn ihr die Fixkosten verändert und die Kostenkurve nach oben oder nach unten verschiebt, dann verändert sich Qstern nicht. Also die die Maximumstelle bleibt immer Gleich unabhängig von den Fixkosten. Jetzt kommen wir zum Produkt von zwei Funktionen. Also wieder haben wir zwei Funktionen, die nennen wir wieder f und G. Und wir

können eben für diese zwei Funktionen ein Produkt äh definieren. Heißt hier wieder h, indem wir einfach die Funktionswerte miteinander multiplizieren. Das funktioniert genauso wie ihr das auch von normalen Zahlen her kennt. Und das gleiche gilt für den Quotienten von Funktionen. Wir können auch zwei Funktionen durcheinander teilen, aber aufgepasst nur an den Stellen x, an denen g von x 0 gilt. Ansonsten ist das dieser Kozient einfach nicht definiert. Und auch hierfür möchte ich euch ein Beispiel geben, nämlich die Durchschnittskosten. Also die Durchschnittskosten sagen uns, wie hoch sind die Kosten pro Einheit, die wir produzieren? Und ich

habe hier als Kostenfunktion Jetzt mal ein Polynom dritten Grades genommen. Ihr könnt auch die Kostenfunktion eben von dem Beispiel benutzen oder euch eine eigene Ausdenken mit konkreten Zahlen. Vielleicht ist das ein bisschen anschaulicher. Vielleicht sollte ich nächstes Jahr da konkrete Zahlen einsetzen. Also a* q hoch 3 + b* q² + c* q + d. ein allgemeines Polynom dritten Grades. Das sind die Kosten. Der Term ganz hinten, das D, das sind die Fixkosten. Übrigens, schreibe ich mal Dazu. Das sind die Fixkosten. Die Fixkosten sind dadurch definiert, dass sie anfallen, auch dann, wenn wir Nulleinheiten herstellen. Also

z.B. die Miete für eine Produktionshalle. Na, die Produktionshalle müssen wir mieten, egal ob wir produzieren gerade oder nicht. Und der Rest von der Kostenfunktion, das hier, das wären dann die variablen Kosten Variabel deswegen, weil sie eben von Q auf irgendeine Art und Weise abhängen. So, jetzt teilen wir diese Kostenfunktion durch Q und dann bekommen wir die Durchschnittskosten oder auf Englisch die Average Costs und deswegen werden die hier mit AVC abgekürzt. Also was passiert, wenn wir hier alles durch Q teilen? Dann wird das Q hoch 3 zu Q hoch 2. Das sehen wir hier. Das Q

hoch 2 wird zu Q, das C* Q wird zu C. Und hier hinten kriegen wir so einen Fiesen Ausdruck. Wenn wir D durch Q teilen, dann müssen wir d durch dur hinschreiben. Ja, und dieser Ausdruck, der ist natürlich viel schwerer zu interpretieren als der erste Ausdruck. Den ersten Ausdruck, den nennen wir hier die durchschnittlichen Variablen Kosten. Und der zweite Ausdruck, das sind die durchschnittlichen Fixkosten. Und wir werden gleich diese beiden Ausdrücke erstmal getrennt angucken und Dann zusammenführen. Das hier ist jetzt ein Kozient von Funktionen. Ja, wir nehmen eine Funktion, nämlich die Kostenfunktion und teilen diese

Funktion durch Q. Und Q ist wieder eine Funktion, nämlich diese Identität. Ja, wir können es vorstellen, dass die Funktion G einfach definiert ist als G von Q = Q. Und wir haben eben gelernt, wir dürfen nur durch etwas teilen, wenn es nicht gleich 0 ist. Das heißt, die Durchschnittkosten sind nur Definiert für positive Mengen Q. Wir können die nicht ausrechnen für q = 0. Jetzt gucken wir uns mal an, wie das aussieht. Ich habe drei Diagramme hier. Links oben sehen wir die durchschnittlichen Variablenkosten. Welche Farbe habe ich eben genommen? Ich glaube gelb. Die durchschnittliche Variablenkosten,

die sehen wir hier. Also a* q² + b* q + c. Das ist eine quadratische Funktion. Wenn das A positiv ist, dann ist das eine Parabel, die nach oben geöffnet ist. Und wir haben hier nur den Bereich geplottet, wo Q positiv ist. Und die durchschnittlichen Fixkosten. Ich schreib noch mal da drüber, dass es durchschnittliche Fixkosten sind, sonst geht das durch meine Markierung hier verloren. Durch Schnittliche Fixkosten und die sehen wir eben an der Stelle hier. D Q, das ist eine Hyperbel. Wir haben gestern die Funktion 1 dur x gesehen. Jetzt heißt das X eben Q.

Und wenn wir die 1 noch mit einer Konstanten multiplizieren, mit einem d, dann ist das immer noch eine Hyperbel, die dann eben nach außen gespreizt ist oder nicht, je nachdem, ob D größer ist als Ein oder nicht. Aber hier habe ich einfach nur die qualitative Form von der Hyperbe. Lass uns mal die Eigenschaften von diesen beiden Durchschnittsfunktionen angucken. Die durchschnittlichen Variablen Kosten, die werden immer größer, je größer meine Menge Q ist. Also, wenn Q = 0 ist, dann sind die Durchschnittsvariablenkosten noch am kleinsten. Dann bleibt sozusagen nur das C übrig. Und je größer mein Q

ist, desto größer Werden die durchschnittlichen Variablenkosten. Das heißt, die hat einen steigenden Verlauf bei der, ich schreib das drüber, die sind steigend. Schreibt er jetzt mit? Ja, also wir haben auch gesagt, monoton wachsend soll jetzt das gleiche bedeuten. Und die durchschnittlichen Fixkosten, die sind genau andersrum, die sind fallend. Also je größer meine Menge ist, auf desto mehr Einheiten kann ich die ganzen Fixkosten verteilen. Deswegen werden die Fixkosten pro Einheit immer kleiner, je größer ich, je mehr ich produziere. So. Und wenn ich jetzt mir die durchschnittlichen Gesamtkosten anschaue, dann bin ich im unteren Diagramm. Das hier

sind die Durchschnittskosten, also beides zusammen, die variablen durchschnittlichen Kosten und die fixen durchschnittlichen Kosten. Andersrum Durchschnittliche Fixkosten, dann ist das die Summe von den beiden Funktionen, also die Durchschnittskosten sind die Summe von den durchschnittlichen Variablenkosten und den durchschnittlichen Fixkosten. Das heißt, ich muss hier die Funktionswerte addieren. Ich muss entlang der y-Achse hier das zusammenzählen. Ich habe in dem Diagramm noch gestrichelt die durchschnittlichen Variablenkosten. Das sind diese hier. Ich glaube, ich mache Das mal ein bisschen kleiner, diese hier. Und ich habe die durchschnittlichen Fixkosten. Das sind diese hier. Das heißt, die durchschnittlichen Gesamtkosten übernehmen jetzt jeweils

die Eigenschaften von den durchschnittlichen Variablen und den durchschnittlichen Fixkosten. Für kleine Mengen sind die durchschnittlichen variablen Kosten Klein und die durchschnittlichen Fixkosten groß. Das heißt, für kleine Mengen sind die Durchschnittskosten diese Kurve hier auch groß. Für kleine Mengen sind die durchschnittlichen Variablenkosten also eher unwichtig und die durchschnittlichen Fixkosten fallen viel stärker ins Gewicht. Das heißt, die Summe der beiden Funktionen, die Durchschnittskosten übernimmt hier Die Eigenschaft der durchschnittlichen Fixkosten, die hier fallend sind. Also für kleine Mengen Q sind die Durchschnittskosten groß, aber sie fallen. Und umgekehrt gilt, wenn ich große Mengen mir betrachte, dann sind die

durchschnittlichen Fixkosten eher egal. Ja, die fallen dann nicht mehr so stark ins Gewicht, aber die durchschnittlichen variablen Kosten, die sind wichtig und die haben steigenden Verlauf. Das heißt, Für große Mengen Q, wenn wir hier rechts irgendwo sind, steigen die Durchschnittskosten wieder. Und wenn die Durchschnittskosten am Anfang fallen, am Ende steigen, heißt es, die müssen irgendwo in der Mitte ein Minimum haben. Und das ist meistens interessant für die Unternehmung. Ja, die hat natürlich ein Interesse daran, die Durchschnittskosten klein zu halten. Also diese allgemeine Eigenschaft, am Anfang fallen die Durchschnittskosten, Am Ende steigen die Durchschnittskosten. Das nennt

man auch einen uförmigen Verlauf oder auf englisch inverse, ham shaped, bisschen komplizierter. Ich finde uförmig einfacher. Es gibt irgendwo ein Minimum, das können wir uns merken. Ja, die Durchschnittskosten haben irgendwo in der Mitte Minimum. Und wenn wir das rausgefunden haben, dann haben wir ziemlich viele Informationen über die Technologie der Firma. Dann können wir auch was über die Langfristigen Kosten dieser Firma sagen, aber das führt jetzt ein bisschen weiter. Wir haben jetzt Addition von Funktionen, Multiplikation von Funktionen. Jetzt kommt die Verkettung von Funktionen. Auch das hatten wir gestern schon in einem Spezialbeispiel. Verkettung von Funktionen bedeutet,

dass wir zuerst die eine Funktion ausrechnen und das Ergebnis der einen Funktion dann in die andere Funktion einsetzen. Also hier heißen die beiden Funktionen wieder f und g. Und die Schreibweise ist ein bisschen lustig, finde ich, mit diesem Kringel, denn ja, also ich glaube, man sagt auch einfach kringel, also F kringel G. Diese Schreibweise bedeutet, dass man die Funktion, die rechts steht, zuerst ausrechnet und dann den Wert in die linke Funktion einsetzt. Was war das Beispiel, was wir gestern hatten? Beispiel Von Kapitel 4. Da war es so, dass man für einen gegebenen Preis eine Menge

ausgerechnet hat. Also die innere Funktion, schreibe ich mal dazu. Innere Funktion, das ist dieses G, die war gegeben durch Q von P oder Qst Stern von P hatten wir das genannt. Also für einen gegebenen Preis konnten wir die optimale Menge ausrechnen, die die Firma produzieren sollte. Und diese Optimale Menge haben wir dann in die äußere Funktion eingesetzt. äußere Funktion. Das ist hier in der Definition das F und in unserem Beispiel war das das Pi, der Gewinn. Und somit haben wir quasi zwei Funktionen, die wir nacheinander ausrechnen müssen. Und diese Verkettung, die macht uns beim Ableiten

ein bisschen Probleme. Wenn wir später ans ableiten kommen, dann müssen Wir für verkettete Funktionen ganz besonders gut aufpassen. Da gibt es die sogenannte Kettenregel und die werden wir ganz ausführlich erklären und herleiten. Okay, hier ist noch mal ein Beispiel, ein bisschen komplizierter als gestern, damit ihr ein bisschen das Gefühl bekommt, welche Teile muss man alle zusammenpacken, um so eine Firma zu beschreiben? Ich fange an mit der Produktionsfunktion, die heißt jetzt Hier nicht F, weil wir immer F zu Funktionen sagen, sondern die heißt als Konvention auch oft F. Ja, Produktionsfunktion bezeichnen man oft mit f. Was

stecke ich in die Produktionsfunktion rein? eine Inputmenge im einfachen Fall eine Input im allgemeinen Fall von vielen verschiedenen Inputs, Zeit, Humankapital, richtiges Kapital, Fläche, was auch immer, Energie. Es gibt ganz viele Möglichkeiten, Produktionsfaktoren, Inputs, die man in eine Produktionsfunktion reinstecken kann. Wir haben hier nur ein Input und das bezeichnen wir mit X. Ja, wir stecken die Menge X in die Funktion rein und der Funktionswert sagt uns dann, wie viele Einheiten des Outputs kann ich produzieren? Je nach Anwendungsfall kann das Output ein Fahrrad sein, ein Haus, ein Studienabschluss. Ja, kann man sich auch Vorstellen, dass das

durch eine Produktionsfunktion abgebildet werden kann. Ja, ich produziere Studienabschlüsse. Toll, oder? Ähm, zweiter Punkt, die Kostenfunktion. Für eine gegebene Input entstehen Kosten. Das kann z.B. äh ganz einfach sein. Ich kaufe Stahl am Stahlmarkt und bezahl pro Tonne Stahl einen bestimmten Preis. Dann sind meine Kosten einfach dieser Preis mal die Menge Stahl, die ich kaufe. Die Kostenfunktion kann aber Auch viel komplizierter sein. Wir haben eben ja schon eine quadratische Funktion. So, mit der Produktionsfunktion und der Kostenfunktion alleine kann ich noch keinen Gewinn ausrechnen. Ja, wir erinnern uns, der Gewinn ist erlös minus Kosten und ich muss

erst noch den Erlös ausrechnen und dafür brauche ich einen Marktpreis P und der wird hier durch die Preisabsatzfunktion beschrieben. Hier kommt es drauf an, welcher Marktumgebung man ist. Wenn man in einem Wettbewerbsmarkt unterwegs ist, dann reagiert der Marktpreis gar nicht auf die eigene Menge. Dann wäre diese Funktion P von Q einfach immer eine Konstante, immer 1000 € je nachdem wie hoch der Preis ist für das Produkt, was ich produziere. Wenn ich aber in einem Markt unterwegs bin, wo ich selber eine sehr große Firma repräsentiere, die eine Gewisse Marktmacht hat, dann kann ich durch meine eigene

Ausbringungsmenge den Marktpreis beeinflussen. Und das Gesetz der Nachfrage lautet, je höher die Menge ist, desto geringer ist der Preis am Markt, den ich für dieses Produkt erzielen kann. oder wenn ich mein Angebot verknappe, einfach weniger anbiete, als ich eigentlich könnte, dann kann ich damit eben den Preis nach oben treiben. Und dieser Zusammenhang wird euch durch eine Sogenannte Preisabsatzfunktion dargestellt. Die sagt mir also für eine bestimmte Outputmenge, die heißt hier Q, welchen Preis ich pro Stück am Markt erziele. Und jetzt habe ich alles zusammen, um die Gewinnfunktion zu definieren. Und da seht ihr, dass dann jetzt

ziemlich viel zusammenkommt. Also, ich fange mal an hier vorne mit Pkringel FX. Was soll das heißen? Ich nehme zuerst das X, das ist die Inputmenge, die stecke ich in das F rein, ne? Und das Ergebnis sagt mir, so und so viel Einheiten des Outputs produziere ich. Das ist eine Menge Q. Dann nehme ich das Q und stecke es in die Preisabsatzfunktion rein. Und dann sagt mir die Preisabsatzfunktion: "Ja, für diese Menge Q kannst du folgenden Preis am Markt erzielen." Das heißt, das hier, dieser Teil, das ist der Preis, den ich bekomme. F von X wiederum

ist die Menge des Outputs, dass ich produziere. Das ist also die Menge und insgesamt haben wir hier den Erlös. Und vom Erlös muss ich noch die Kosten abziehen und dann habe ich meinen Gewinn. Also das ist die komplizierte Art und Weise eben den Gewinn darzustellen. Und jetzt haben wir hier das Produkt von Funktionen, wir haben Verkettung Funktion von Funktionen, wir haben eine Differenz von Funktionen, wir haben alles mit dabei und wir haben eben gelernt plus minus mal geteilt und Verkettung darf ich alles machen mit Funktionen, dann kriege ich eine neue Funktion und die heißt hier

hinten einfach Pi. Hier habe ich das noch mal aufgeschrieben. Ich glaube, auf mit dieser Schreibweise kann man es ein bisschen besser erkennen, was passiert bei der Verkettung. Ich stecke das X, Also die Inputmenge zuerst ins F rein. Dann rechne ich F von X aus und das stecke ich dann ins P rein und dann kriege ich einen Marktpreis. Okay, es geht schon wieder weiter. Wir haben eben gesagt, wir können einen Grafen spiegeln, einmal zur Y-Achse und einmal zur X-Achse. Und wir können jetzt damit Symmetrie definieren und zwar einmal Bezug zur in Bezug zur Y-Achse, aber auf

der nächsten Folie sogar auch im Bezug zu einer Parallele von der Y-Achse. Aber wir fangen jetzt erstmal nur mit der Symmetrie zur Y-Achse an. Hier sehen wir, dass wir die Variable, die in der Funktion drin steht, mit -1 multiplizieren. Und was hat was hat das noch mal für eine Auswirkung? Ja, wir spiegeln hier die Funktion zur y-Achse. Ich gehe vielleicht noch mal kurz zu der Folie Zurück, wo wir das gemacht haben. Hier, da haben wir die Wurzelfunktion benutzt und wir haben einfach das x mit -1 multipliziert und das führt dazu, dass wir den Grafen von

der Wurzelfunktion zur y-Achse spiegeln. Und wenn jetzt gilt, dass alle y Werte, die quasi füren zum gleichen x, also zur 4 und zur -4 gehören, wenn dann die y Werte gleich sind, dann können wir sagen, die Funktion ist symmetrisch zur Y-Achse. Okay. Und das genau steht hier. Noch weiter, noch weiter, noch weiter hier. Also, wir können das auch noch mal in diesem Grafen uns anschauen. Wenn ich den Funktionswert an der Stelle x ausrechne, dann lande ich hier. Und wenn ich den Funktionswert an der Stelle -x ausrechne, lande ich auch hier. Und an beiden Stellen sind

wir auf der gleichen Höhe oder am gleichen y Achsenabschnitt. Und das gilt nicht nur für dieses x und - x, sondern bei diesen Grafen erkennt man, dass das überall gilt und deswegen ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse. Was ist die Anwendung dafür? In der Statistik werdet ihr dichte Funktionen kennenlernen und die allerwichtigste Dichte Funktion ist die der Normalverteilung und die ist symmetrisch und dafür braucht ihr diese Definition. Jetzt kann man aber auch Symmetrie zu Einer Geraden haben, die eben parallel zur Y-Achse verläuft. Das ist diese Gerade hier. Die ist an der Stelle A gegeben. Und

das die Idee ist genau die gleiche. Ich gehe von Aus x Schritte nach links, dann lande ich bei a - x oder ich gehe von Aus x Schritte nach rechts, dann lande ich bei a + x. Und wenn dann der Funktionswert gleich ist und das für alle x gilt, dann ist die Funktion symmetrisch nicht nur zur Y-Achse, also In diesem Fall nicht zur Y-Achse, sondern zur geraden A, also zur Geraden am X-Achsenabschnitt A. Die Idee ist die gleiche. Vorher hatten wir einfach für A eine Null eingesetzt. Ja, wir gehen von der Null aus xchritte nach

rechts und xchritte nach links und der Funktionswert ist gleich. Und jetzt gehen starten wir halt bei A und nicht bei der Null. Ja, und auch die Dichte der Normalverteilung kann symmetrisch sein zu einer Konstanten A. Die Konstante A heißt dann in der Statistik einfach. Das ist ein griechischer Buchstabe, ein griechisches M. Wir können auch, ich bin total schnell, habe ich das Gefühl. Hoffentlich kommen noch Beispiele, wo wir ein bisschen rechnen können. Wir können auch Punktsymmetrie äh definieren. Also eben hatten wir Symmetrie zu einer Achse und hier ist jetzt die Symmetrie zum Ursprung gegeben. Also der

Ursprung ist immer der Punkt 00, dieser Punkt hier. Und Symmetrie zum Ursprung bedeutet, dass wir die ähm den Grafen quasi einmal um diesen Punkt drehen können oder in diesen Punkt spiegeln können, sollte ich sagen, so wie ihr es eben hier seht. vorher bei der Symmetrie zur Y-Achse. Da hat dieses Minuszeichen noch gefehlt. Ja, und das ist jetzt dazu gekommen. Das heißt, wir haben jetzt hier einmal ein Minuszeichen in der Funktion drin und einmal außerhalb der Funktion. Und wir Erinnern uns, wenn wir von außen ein Minuszeichen an die Funktion dran zeichnen, also mit -1 von außen

multiplizieren, dann spiegeln wir nicht entlang der y-Achse, sondern entlang der x-Achse. Das heißt, hier gibt's eine Spiegelung für beide Achsen. Hier wird, na, wo ist mein Curser? An der Ya-Achse gespiegelt durch das - X und hier wird an der X-Achse gespiegelt durch das - F von X. So, und jetzt habe ich glaube ich Tatsächlich zwei Aufgaben für euch, damit ihr auch mal wieder dran seid. Und die Frage ist, ob diese beiden Funktionen symmetrisch sind. Hier wird nicht gefragt, sind die punktsymmetrisch, sind die achsenmrisch, sind die symmetrisch zu einer bestimmten Achse? Ja, das soll ein bisschen

schwerer sein. Das sollt nämlich ihr rausfinden. Also, ihr müsst überlegen, sind die Punkt oder achsenmmetrisch? Ich gebe euch dafür wieder ein bisschen Zeit. Probiert euch einfach aus. Sucht euch eine von beiden Funktionen aus und rechnet ein bisschen. Ähm, während ihr rechnet, suche ich noch mal kurz die Definitionen raus und schreib die hier auf die Folie drauf. Okay. Hat jemand von euch sich eine Funktion genauer angeschaut und irgendwo eine Symmetrie entdeckt? Und hier bin ich immer super dankbar, wenn der Lösungsweg erklärt wird und Nicht einfach nur das Ergebnis. Ja, bitteschön. Weiß nicht, ob es ist, aber

ich habe in der ersten Funktion einer 2 ein. Das probieren wir einfach mal aus. Finde ich eine gute Idee. Also, wir haben hier einfach mal an verschiedenen Stellen von x ausprobiert, was passiert. Also, du hast gesagt 2 und -2. Ich nehme eine neue Farbe x = 2, also f von 2. Willst du mir diktieren, was dann rauskommt oder? Also ich hab 4 x 2 32. Genau. 4 x 8 sind 32 und das andere W dann 4 x - 32 das W -32. Ähm, also vielen Dank schon mal für diese Arbeit, die du da gemacht hast.

Also, wir haben jetzt ausgerechnet, f -2= -32. Und jetzt können wir uns überlegen, wie Können wir das ausnutzen, ja? Wie können wir das irgendwie in den oberen Definitionen mit reinpacken? Also, wenn wir uns die Punktsymmetrie zum Ursprung anschauen, ja, die wurde eben äh dann quasi empfohlen, dann könnte das x einfach mal die 2 sein. Dann haben wir hier f von -2 und hier f von 2. Aber vor dem f von 2 steht noch ein Minuszeichen. Also das Minuszeichen ist quasi von innen nach außen gewandert. Und wenn wir uns f von -2 anschauen, kommt -32 raus.

Wenn f von 2 äh 32 ist, dann ist - f von 2 eben auch -3. Das heißt, im Punkt x = 2 und -2 ist diese Bedingung erfüllt. Aber leider müssen wir das für alle Punkte von x überprüfen. Es reicht nicht aus, nur die Stelle 2 und -2 sich anzuschauen. Und jetzt ist das Problem, wie machen wir das? Also, wir können natürlich nacheinander alle Zahlen einsetzen, die Uns so einfallen, aber dann werden wir ja nie fertig. Wie kann man das begründen für alle X, die in Frage kommen? Ja, bitttechön. Das hört sich super an. Stopp.

Du kannst gleich weitermachen. Ich muss jetzt erstmal mitschreiben. Also, man hat versucht einfach diese Definition anzuwenden. Also anstelle von dem F hat der Kollege dann äh das hier Hingeschrieben, was hier steht. Also, ich glaube, du hast äh so umgearbeitet erst - f, ne? Also, minus jetzt sollte ich nicht f schreiben, sondern 4* x hoch 3 gleich. Und dann hast du weiter diktiert. Auf der anderen Seite von der Gleichung steht dann kein - f mehr. Das heißt, ich muss die Funktion abschreiben. Aber das Argument heißt jetzt nicht mehr x, sondern - x. Das heißt, überall, wo

ich hier ein x sehe, muss ich ein -x Reinschreiben. Also 4. Und jetzt kommt nicht x, sondern -x hoch 3. Das ist die Gleichung, die wir prüfen müssen. Na, das ist der Weg. Wir haben das eben gemacht für eine konkrete Zahl für x = 2 bzw. -2. Und jetzt machen wir das für eine allgemeine Variable. Wie geht das jetzt weiter? Also erstmal geteilt durch 4. Super. Ich mache hier mal so ein Äquivalenzzeichen hin. Dann haben wir -x hoch 3 = -x hoch 3. Und ihr seht, das ist ein kleiner, Aber sehr subtiler Unterschied. Hier habe

ich -x hoch 3 ohne Klammern und hier habe ich jetzt dieses -x in Klammern gesetzt. Was soll das bedeuten? Das bedeutet, auf der linken Seite rechnen wir erst x hoch 3 aus und setzen dann an das Ergebnis ein Minuszeichen dran. Und auf der rechten Seite rechnen wir erst -x aus und rechnen das dann hoch 3. Okay, wie geht's weiter? Okay, so kann man es auch machen. Einfach ein Haken dran machen. Ich versuche es ein kleines bisschen ausführlicher zu machen. Ich schreib mal diese Potenz hoch 3 aus. Also, das ist ja -x halt das Minuszeichen vergessen.

-x mal -x* -x. Und jetzt multiplizieren wir eine ungerade Anzahl. das Minuszeichen. Wenn es eine gerade Anzahl wäre, würde das Minuszeichen wegfallen. Bei einer ungeraden Anzahl bleibt das Minus da. Das heißt, das ist - x* x* x und das ist -x hoch 3. Und jetzt können wir ein Haken dran machen. Ja, also dieser diese Gleichung gilt ohne dass wir das x durch eine Zahl ersetzen müssen. Ja, egal welche Zahl wir für x einsetzen, gilt diese Gleichung. Also haben wir das für die 2 und die -2 gezeigt, aber auch gleichzeitig für die 3 und die -3

für alle Zahlen, die es gibt. Und deswegen können wir sagen, Ftsmmetrisch. So, bevor wir jetzt die zweite Funktion uns anschauen, habe ich eben äh versucht, was vorzubereiten und dazu muss ich glaube ich hier auch noch was machen, so, damit es auch im Video zu sehen ist. Vielleicht kennt ihr das Georgebra oder Georgebra, weiß nicht, wie man es genau ausspricht. Ich finde, das ist ein super hilfreiches Tool, womit man Funktionen plotten kann. Und genau das mache ich Jetzt mal. Ich kann da oben eingeben, wie die Funktion heißt. - 4 x hoch 3. Das ist die Funktion.

Kann ich ein bisschen reinzoomen. So sieht das ganze Ding aus. Und da sehen wir, das sieht ziemlich symmetrisch um den Punkt 00 aus. Das ist eine einfache Art und Weise, wie ihr eben zu Hause oder wenn ihr gerade irgendwo im Seminarraumgebäude oder einem anderen Ort seid und Aufgaben Berechnet, überprüfen könnt, ob euer Ergebnis richtig ist. Ja, also mir hilft das immer enorm, wenn ich sehe, was da eigentlich vor sich geht. Okay, jetzt gehen wir wieder zur nächsten Funktion, die ist hier. G von X offensichtlich ein bisschen komplizierter. -3* X hoch 4 + 2* x². Hat

sich mit dieser Funktion jemand beschäftigt? Sollen wir da einfach mal genau das Gleiche ausprobieren? Also, wir setzen mal in die Funktion nicht x ein, sondern -x und gucken dann mal, was passiert. Ja, dann rechnen wir einfach mal aus, was da rauskommt. Möchte das jemand von euch machen? Hat das vielleicht jemand vorbereitet? Okay, dann mache ich das jetzt mal. Also, ich rechne jetzt aus Spaß mal aus, was ist eigentlich g von -x? Das heißt, für jedes x, was ich sehe, schreibe ich -x hin. Den Rest schreibe ich ab. -3* -x in Klammern hoch 4 + 2*

-x in Klammern hoch 2. Und jetzt haben wir die Situation, dass wir einen geraden Exponenten haben. Ja, bitteschön. Oh ja, ich habe eine zwei vergessen. Das wäre mir jetzt gleich zum Verhängnis geworden. Danke schön. + 2. Also, wir haben in den Klammern ein Minuszeichen und außerhalb der Klammern Haben wir einen geraden Exponent. Also, wenn wir uns die letzte Klammer anschauen, dann steht da -x* -x, mal- ist plus. Das Minuszeichen fällt also weg. Und bei hoch 4 ist es nicht anders. Da haben wir halt 4 Minuszeichen und die fallen auch alle weg. Das heißt, das ist

das gleiche wie -3. Das erste Minuszeichen bleibt natürlich da. Mal x hoch 4 + 2* x hoch 2. Und das ist aber genau die Definition von der Funktion g. Also da kann ich dahinter schreiben, das Ist g von x. Und das stimmt jetzt mit dieser Symmetrieeigenschaft überein, wenn wir a einfach gleich 0 setzen. Na, für x = 0 diese Gerade, das ist die y-Achse, gilt f von - x = f von x bzw. g von - x = g von x. Das heißt, diese Funktion ist symmetrisch zur Y-Achse. Das würde ich auch gerne noch mal

kurz grafisch verifizieren. Ähm -3x hoch 4 + 2x hoch 2. Das trage ich mal hier ein. -3x hoch 4 + 2x². Diese Funktion sieht so aus. Vielleicht schalte ich die andere Funktion mal aus, damit die uns nicht verwirrt. Ja, und die ist sieht äh seltsam aus, aber sie ist symmetrisch zur Y-Achse. Also kann man einfach noch mal kurz gegenchecken, stimmt das jetzt eigentlich, was ich hier ausgerechnet Habe oder nicht? Und jetzt muss ich wieder hier drauf drücken und dann können wir in den Folien weitermachen. Okay, jetzt kommen wir zu einem Konzept, das haben wir schon

mal gesehen und zwar im Zusammenhang der E-Funktion und der natürlichen Logarithmusfunktion und das wird oft als schwer empfunden und ich versuche es ganz langsam anzugehen. Zunächst kommt einmal eine Definition. Die Definition ist ein Bisschen aufwendiger. Da kauen wir uns jetzt mal durch und dann zeige ich euch zwei Bilder dazu. Normalerweise schreibe ich immer sei f eine Funktion. Jetzt habe ich aber dazu geschrieben, dass der Definitionsbereich von dieser Funktion wirklich d heißt und der Wertebereich von dieser Funktion R heißt. Das heißt, für eine Umkehrfunktion muss ich ein bisschen aufpassen, was jetzt der Definitionsbereich und was der

Wertebereich ist. Der Wertebereich, lass uns noch mal kurz überlegen, was ist das eigentlich? Das sind diejenigen Zahlen, die die Funktion ausspuckt. Also, ich gebe der Funktion, ich fütter die mit Zahlen aus dem Bereich D und dann gibt die mir Zahlen zurück aus dem Bereich R. Ich glaube, das werde ich direkt mal illustrieren. Also, ich nehme jetzt zwei große Mengen d und R. Das soll D sein und das hier soll R sein. Und dieser Definitionsbereich, ich schreib es vielleicht mal drunter. Hier ist der Definitionsbereich, hier ist der Wertebereich. Der Definitionsbereich, der hat jetzt ganz viele Elemente,

die ich mal durch Punkte kennzeichne. Ja, die sind alle in dieser Menge drin. Und was macht jetzt die Funktion f? Die ordnet jedem dieser Elemente, z.B. diesen hier, ein Element aus R zu. Also das hier ist der Job von der Funktion f. Es kann hier noch einen zweiten Punkt geben in R. Ja, das erledigt die Funktion fich. Die ordnet jeden Punkt aus der Menge D, einen Punkt aus der Menge R zu. Das ist die Aufgabe. Und in dem Punkt R äh in der Menge R kann man halt sagen, für jeden Punkt, den es hier gibt,

also z.B. für diesen Punkt, den es hier gibt, muss es ein Element aus D geben, sodass dieser Punkt Erreicht wird. Ja, wenn ich jetzt mich mir überlege, welcher Punkt gehört zu diesem Punkt, ja, dann wird's irgendwo einen geben, nämlich z.B. diesen hier. Also es es bleibt sozusagen kein Punkt in R übrig, der dann keinen verursachenden Punkt in D hätte. Das darf nicht passieren. Und was noch nicht passieren darf, die Funktion f darf nicht irgendwie aus dem Bereich R abhauen. Ja, die darf nicht plötzlich hier oben hinzeigen, die zeigt Nur in die Punkte von R rein.

So ist die Funktion f definiert. Jetzt gehe ich wieder zurück zur Definition von eins zu ein auf Englisch one to one oder umkehrbar eindeutig. Wir sagen, dass eine Funktion umkehrbar eindeutig ist, wenn ich immer die Möglichkeit habe, eindeutig den Weg wieder zurückzugehen. Also, wenn ich für jedes Element aus R genau ein Element aus D finde. Also ja, genauso habe ich das jetzt hier hineschrieben. Für jedes Y und das Y Heißt hier aus der Menge R gibt es genau ein Element X aus der Menge D, sodass f von x = y ist. Ich zeige euch mal

ein Beispiel, wo das schiefgehen könnte. Ja, dach kann ich meistens besser verstehen, was gemeint ist. Ich habe hier noch ein Element übrig aus D, das hier. Und es könnte ja sein, dass die Funktion f auch von diesem Element auf diesen Punkt hier abbildet. Was ist daran das Problem? Wir haben gesagt, eine Funktion muss die Eigenschaft haben, dass sie zu jedem x genau einen Funktionswert hat. Das ist hier noch erfüllt, das ist nicht verletzt. Aber stellt euch vor, ich fange jetzt hier in diesem Y an, dann weiß ich ja nicht, wurde dieses Y durch X1 oder

durch X2 generiert. Also, wenn ich hier in diesem Y bin, weiß ich nicht mehr genau, wie ich zurückkomme. Ja, es kann sein, dass ich hierhine muss oder es kann sein, dass Ich hierhin geben muss. Also das Element aus D, was Y generiert, ist nicht mehr eindeutig. Ja, ich könnte zurückgehen, aber der Weg zurück ist nicht mehr eindeutig und deswegen ist die Funktion nicht eindeutig umkehrbar. Das schreibe ich mal dazu. F ist nicht eindeutig umkehrbar da. F von x1 = y und f von x2 = y. Wir wollen aber in vielen ökonomischen Situationen diese Umkehrindeutigkeit haben

und ich werde euch gleich zwei Beispiele dafür bringen, wo wir das genau brauchen und deswegen müssen wir diese Eigenschaft genau definieren. Also wir können sagen, wenn eine Funktion umkehrbar eindeutig ist und wir zwei verschiedene XE in D Anschauen, dann müssen da auch zwei verschiedene Y in Rauskommen. Und das war der letzte Punkt auf der vorherigen Folie. Also, wenn wir zwei Xe haben in D und die sind verschieden, ne, die sind ungleich, dann müssen auch die Funktionswerte, also die ys ungleich sein. Das ist auch eine Art und Weise, wie wir Umkehrbarkeit definieren können. Und jetzt kommt

das andere Bild. Wir sehen hier ein Beispiel, wo es klappt und ein Beispiel, Wo es nicht klappt. Im oberen Diagramm können wir jedem Element aus D genau ein Element aus R zuordnen. Das ist die normale Eigenschaft von der Funktion. Aber wir können auch zurückgehen. Jeden Element aus R können wir genau ein Element aus D zuordnen. Also, wenn ich jetzt, ich mach mal einen ganz dünnen Strich. Genau. Wenn ich hier irgendwo in der Mitte anfange, dann gehe ich nach rechts zum Grafen und beim Grafen angekommen finde ich genau Ein Element aus D, was mir quasi sagt,

okay, das hat dieses Y generiert. Also, wenn hier ein y, dann ist hier das entsprechende X dazu. Ich schreib mal y0 und x0. Das geht bei der unteren Funktion nicht. Ja, bei der unteren Funktion habe ich direkt ein Beispiel eingetragen. Also hier habe ich ein y aus dem Wertebereich. Wenn ich jetzt aber rechts zum Grafen wandere, dann sehe ich, ich könnte Entweder hier stehen bleiben und dann zu x1 gehen oder ich könnte hier stehen bleiben und dann zu x2 gehen. Das heißt, den unteren Grafen, den kann ich nicht einfach rückgängig machen. Ja, ich kann die

Funktion nicht umkehren, nicht auf eine eindeutige Art und Weise. Und wir können auch schon direkt sehen, woran das liegt. Ja, bei dem oberen Grafen steigt die Funktion immer an. Wenn ich das x vergrößere, dann wird auch der Funktionswert größer. Das Heißt, die ist streng monoton wachsend. Bei dem unteren Grafen gilt das nicht. Zuerst wächst der Funktionswert und dann fällt er wieder. Ja, und dann können wir also sagen, eine Funktion ist umkehr be eindeutig, falls sie strengmonotonwachsend ist. Das hilft uns schon sehr. Jetzt kommen Beispiele. Oh nein, noch nicht. Jetzt kommt noch was schwierigeres, die inverse

Funktion, aber eigentlich haben wir die inverse Funktion. Die inverse Funktion ist nämlich genau die Funktion, die diese Umkehrfunktion ist. Also f ist die Funktion, die vorwärts geht und f hoch -1 ist dann die Umkehrfunktion, die geht wieder rückwärts. Also f ist einfach so, wie wir es gewohnt sind. Die nimmt ein Element aus D und ordnet dem ein Element aus R zu und f hoch -1. guckt sich jetzt die Funktion f ganz genau an und macht alles, was die fktion vorwärts macht, Wieder rückwärts. Hier heißt die Funktion, er soll die Funktion G diese inverse Funktion sein.

Das heißt, wenn die rückwärts geht, müssen wir bei der Funktion G auch den Definitions und den Wertebereich vertauschen. Also D ist der Definitionsbereich von F, dann ist der Definitions von der Wertebereich von der Umkehrfunktion eben d ist der Wertebereich von der Funktion f, dann ist der Definitionsbereich von Der Funktion g das R. So. Und was macht die Funktion G? Der gibt man jetzt, der füttert man ein y und die Funktion G, die Umkehrfunktion gibt mir dann ein X raus und zwar genau das X, was unter fyzeugt. Ja, also wenn wir sagen unter y sagt g(x),

dann ist das genau das gleiche wie wenn wir sagen f erzeugt aus xy. Ja, die vertauschen sich gegenseitig. Und das Tolle an inversen Funktionen ist oder die tolle Art und Weise, wie man leicht prüfen kann, ob man eine inverse Funktion gefunden hat, man setzt die inverse Funktion einfach mal in die Funktion ein. Das sehen wir hier. Also hier habe ich das G von y einfach mal in f eingesetzt. Und wenn G wirklich alles rückgängig macht von f, dann soll y rauskommen. Wenn G eine Umkehrfunktion von f, dann ist automatisch f auch eine Umkehrfunktion von G.

Das heißt, wir können es auch andersrum machen. Wir können das f in G einsetzen und dann muss x rauskommen. So, und jetzt kommen wir hoffentlich wirklich zu dem Beispiel. Das erste Beispiel lautet inverse Nachfragefunktion. Also, ich habe hier erstmal den Graf von der Nachfragefunktion geplottet in einem Mengenpreisdiagramm und das hatte ich gestern schon Angesprochen. Wir Ökonomen machen das immer falsch rum. Also die Nachfragefunktion, die steht hier, D steht für Demand, die nimmt einen Preis entgegen. Also hier ist der Preis die Variable und normalerweise würden wir die Variable auf der horizontalen Achse abtragen. Aber dummerweise machen

wir es immer falsch rum. Wir tragen den Preis immer auf der vertikalen Achse auf. Das heißt, den Grafen, den wir hier sehen, den können wir nicht so richtig Als Funktion interpretieren, als Nachfragefunktion, weil die Nachfragefunktion andersrum definiert ist. Ja, bei der Nachfragefunktion wäre der Wert dann plötzlich an der X-Achse und die Variable an der y-Achse. Und deswegen hilft es uns oft, wenn wir diese Nachfragefunktion invertieren, umkehren, so dass dann der Wert zum Argument wird, also zur Variable und die Variable zum Wert. Und genau das wollen wir jetzt hier machen. Also hier ist die Funktion gegeben,

die haben wir vorher f von x genannt, die heißt jetzt d von p. Das ist eine lineare Funktion. Achsenabschnitt ist 12. Das heißt, wenn der Preis 0 ist, ist die Menge 12. Dann steht die 12 nicht hier, sondern an der Mengenachse. Hier ist die 12. Und man kann sich jetzt überlegen, wie hoch muss der Preis sein, damit die Nachfrage null ist? Also diesen Achsenabschnitt, den kann man sich überlegen, aber das mache ich nicht. Das müsst ihr machen, denn ihr braucht diesen Achsenabschnitt. um die inverse Nachfragefunktion zu bilden. Ich möchte euch, bevor ich euch damit allein

lasse, aber erst noch eine Hilfe geben. Also, wir haben, ich schreibe das mal hier oben hin. Bei der Nachfragefunktion haben wir Q = 12 - 4/3 P. Bei der Nachfragefunktion ist das P Die Variable und das Q ist der Funktionswert. Bei der inversen Funktion ist es genau andersrum. Da ist das Qariable und das P ist der Funktionswert. Und das seht ihr hier auch an der Schreibweise. Also hier steht P von Q. Das heißt, mathematisch müsst ihr nichts anderes machen, als diese Gleichung nach P aufzulösen. Also, wenn ihr es schafft, die Variablen und die Zahlen und

so weiter und alles So umzustellen stellen, dass P auf der linken Seite und alles andere auf der rechten Seite steht, dann habt ihr die inverse Funktion gefunden. Und das würde ich euch mal bitten, auszuprobieren, ob das klappt. Ich gucke kurz auf die Uhr. Wir haben halb. Wenn ihr da ein paar Minuten dran arbeiten würdet, wäre ich euch dankbar. Hat jemand von euch Erfolg mit dem Umstellen gehabt oder zumindest anfangen können? Oder ich frage mal andersrum, wusste jemand überhaupt gar nicht, was jetzt eigentlich los ist? Das darf auch sein. Es geht mir oft so. Oder hat

jemand einen Ansatz vielleicht und ist noch gar nicht fertig geworden? Was müsste ich als allererstes machen? Hat da jemand ein Tipp für mich? Also, ich hasse es einfach so dran genommen zu werden, obwohl ich mich gar nicht melde. Deswegen mache ich auch sowas nicht. Ich kann mich auch gut Erinnern, wie das war. Aber vielleicht hat ja jemand von euch Bock, einfach mal anzufangen mit irgendwas. Okay, worum geht's? Also, wir haben hier eine lineare Gleichung. Q = 12 - 4/3* P. Ja, das ist eine von diesen Gleichungen, die wir glaube ich in Kapitel 2 oder nee,

Kapitel 3 gesehen haben. Und der Graf von der linearen Gleichung ist immer eine Gerade. Das ist das, was wir hier in dem Diagramm sehen, Diese Gerade. Jetzt kann man aber diese lineare Gleichung umformen, indem man auf beiden Seiten was abzieht, auf beiden Seiten was multipliziert. Die Gerade bleibt aber die gleiche. Die Gerade würde sich dadurch nicht verändern. Und wir wollen jetzt diese Gleichung hier umformen, indem wir Sachen multiplizieren, Sachen abziehen und so weiter und so fort, Sass das P alleine auf der linken Seite steht und alles andere auf der rechten Seite steht. Ja, dann ist

es immer noch eine lineare Gleichung, wenn wir plus mal minus geteilt machen. Der Gerade ist immer noch die gleiche, also dieser Graf hat sich nicht verändert, aber die Gleichung sieht dann anders aus. So, wie gehe ich jetzt vor? Ich muss es irgendwie schaffen, das Q auf die rechte Seite zu bringen und das P auf die linke Seite. Also könnte ich Doch z.B. mal -q rechnen und + 4/3 mal p im ersten Schritt. Das mache ich jetzt mal hier. Dann kriege ich also aus -4/ Dr wird dann + 4/ Drittel auf der linken Seite. 43 mal

P. Die 12 bleibt auf der rechten Seite stehen und aus dem +q auf der linken Seite wird ein Q auf der rechten Seite. Jetzt bin ich schon ziemlich weit. Ich muss nur noch dieses 4 drittel loswerden. Ja, bitteschön. Ja, genau. Also diese die 4/ Drittel, die kriege ich weg, indem ich auf beiden Seiten mit 3/4 multipliziere. Also allgemein kriegen wir eine positive Konstante weg. Wenn wir durch diese positive Konstante wenn sie multipliziert ist, teilen und wir wissen, teilen durch einen Bruch ist das gleiche wie Multiplikation mit dem Kehrwert von dem Bruch. 3/4 ist der Kehrwert

von 4/3. Also kommt dann folgendes raus. 3/4* 4/3 ist 1, dann bleibt nur das P übrig. 12* 3/4 - 3/4 Q. Und jetzt kann ich noch 12 x 3/4 ausrechnen. 12 ist das gleiche wie 3 x 4. Das heißt, der kürzt sich die 4 raus, die 3 bleibt übrig und das ganze noch mal 3 ergibt also 9. Also das Ergebnis ist dann p = 9, das soll besser aussehen. 9 - 3/ q. Das heißt, wir haben hier den Achsenabschnitt gefunden. Da, wo ich vorhin ein Fragezeichen hingeschrieben habe, kann ich jetzt eine neun Hinschreiben. Das ist

die inverse Nachfragefunktion. Die kann ich auch hier immer hinschreiben. 9 - 3/4 mal p. Vielleicht fällt euch das auf. Die Steigung hat sich verändert. Vorher war die Steigung -4/3 und jetzt ist die Steigung -3/4. Und das ist eine allgemeine Eigenschaft von Umkehrfunktionen. Die Umkehrfunktion hat immer die Steigung von der normalen Funktion invertiert. Also invertiert bedeutet eins durch die Steigung gerechnet. Ja, wenn die Steigung vorher 2 war, wird sie nach dem Umkehren ein/H/b sein. Wenn die Steigung vorher -4/3 war, dann ist sie nach dem Umkehren -3/4. Das heißt, da kann man sich ein bisschen Rechenarbeit sparen,

wenn man das weiß. Und wenn man jetzt quasi das Rätsel gelöst hat, für welchen Preis wird die Menge Null nachgefragt, Wenn man diesen Preis ausrechnen kann und auf neun kommt, dann braucht man nur noch die Steigung invertieren, also den Kehrwert der Steigung bilden und dann hat man die Umkehrfunktion auf einem kürzeren Weg gefunden. Ich habe noch genug Zeit, um die Probe zu machen. Die Probe ist super wichtig. Wie funktioniert die Probe bei inversen Funktionen? Ich setze die inverse Funktion in die Funktion rein und schaue, ob das x rauskommt. Also hier Heißt es x p. Also

ich setze jetzt diese inverse Nachfrage Funktion P von Q in das D rein. Ja, und dann gucken wir mal, was rauskommt. Also hier kommt jetzt die Probe. Ich berechne d von P von Q. Also D von und was ist das P von Q? 9 - 3/ mal hier habe ich mal P geschrieben. Da habe ich mich vertan. Das muss ein Q sein. Ja, hier unten steht noch Q. Hier habe ich dann P hingeschrieben. Also schnell wegradieren. Ich schreib es in rot dazu, damit ihr seht, an welcher Stelle ich was weggradiert habe und neu hingeschrieben habe.

-3/ Q, also auch hier -3/ Q. 9 - 3/ Q in D eingesetzt. Bedeutet für jeden Preis P, den wir hier sehen oder hier schreiben wir stattdessen 9- 3/4 mal Q. Also das ist dann gleich 12 - 4/3 und jetzt kommt hier 9 - 3/4 mal q raus. Jetzt müssen wir die 4/ drittel in die Klammer reinmultiplizieren. Das ist dann 12. So, -4/3 x 9 und dann mal minus gibt + 4 mal 3/4* q. Also rechne ich jetzt mal weiter. 12 und was ist 4/3 mal 9? Ich teile erstmal die 9 durch 3. Bleibt 3

übrig. Da muss ich noch 4 x 3 rechnen. Ist also 12. Ich ich schreib es mal so hin. -4 x 3. So, dann haben wir hier diese Brüche. Die vieren kürzen sich weg, die Dreien kürzen sich weg und da bleibt nur das Q übrig. Und wir sehen 12 - 4* 3= 0. Also das ist einfach nur Q. Und damit haben wir die Probe bestanden. Ja, dann soll quasi nur noch das Q übrig bleiben, also die Variable, die wir eben in das P, in die inverse Nachfragefunktion reingesteckt haben. Ihr könnt die Probe auch genau andersrum machen.

Ihr könnt auch die Nachfragefunktion d in die inverse Nachfragefunktion p einsetzen. Es wäre andersrum. sollte genauso gut funktionieren. Ich habe noch ein Beispiel und ich habe nur noch 5 Minuten. Deswegen möchte ich euch zunächst mal erläutern, was hier los ist. Wir sehen hier eine Produktionsfunktion. Also, das ist offensichtlich irgendwie eine Wurzelfunktion. Ja, steht auch dabei. Genau hier die Wurzelfunktion. Und das ist eine gute Funktion, die man für eine Produktionsfunktion einsetzen kann, denn sie hat zwei Eigenschaften. Die erste Eigenschaft ist, je mehr X ich einsetze, also je mehr Inputs ich verbrauche, desto mehr Outputs bekomme ich.

Das ist ja irgendwie plausibel. Und die zweite Eigenschaft, die so eine Produktionsfunktion haben sollte, ist, dass die Steigung der Funktion abnimmt. Also, ihr seht, hier oben ist sie noch Sehr steil und hier hinten ist sie nicht mehr ganz so steil. Und ökonomisch bedeutet das, dass ich, dass die Wirkung von einem zusätzlichen Input immer schwächer wird, je mehr Inputs ich bereits einsetze. Die Wirkung eines Inputs nennen wir Grenzprodukt. Und dass diese Wirkung schwächer wird, nennen wir sinkendes Grenzprodukt und dies eben bei Funktionen erfüllt, die rechts gekrümmt sind. Wir werden dafür später auch noch Einen anderen Begriff

finden. Was sagt mir die Produktionsfunktion genau? die sagt mir, wenn ich eine bestimmte Menge X als Input einsetze, bekomme ich eine bestimmte Menge Output Y. Jetzt ist es aber manchmal so, dass wir diese Funktionsweise gedanklich umdrehen müssen. Stellt euch vor, ihr habt eine Firma mit dieser Produktionsfunktion und ihr bekommt einen Auftrag rein. Der Auftrag lautet: Bitte produziere mir Yiten des Outputs. Da müsst ihr euch überlegen, oh, wie viel Inputs brauche ich denn überhaupt dafür, um diese Yinheiten zu produzieren? Das heißt, ihr müsst genau gedanklich rückwärts gehen. Ja, ihr fangt bei y an, also ihr fangt

an der Achse an, die die den Funktionswert beschreibt und dann hier schreibe ich mal y1 hin. Dann geht ihr zum Grafen, dann geht ihr runter zur Inputachse und dann könnt ihr da x1 ablesen. Also der umgekehrt kehrte Weg wäre von der Outputmenge zurückzugehen zur Inputmenge und dann bekommt ihr das, was wir Faktornachfrage nennen. Die Faktornachfrage sagt mir genau, für welche Menge Y ich wie viele Inputeheiten brauche. Ja, das ist ja auch eine wichtige Information, um einen Betrieb zu führen. Hat jemand direkt eine Idee, welche Funktion hier für die Faktornachfrage gilt? Du hast eine Idee. Doch

nicht. Okay, schade. Also, stellt euch mal vor, x = 4. Die Wurzel von 4 ist 2. Also ich kann mit vier Inputs zwei Outputs produzieren. Das heißt, wenn ihr den Weg zurückgeht, man verlangt von euch zwei Outputs zu produzieren, dann würde die Antwort lauten: Ja, du musst vier Inputs einsetzen. Oder stellt euch vor, x = 16. Ja, dann wäre y = 4. Das heißt, wenn ihr den Auftrag bekommt, 4y zu produzieren, müsst ihr 16 Inputs benutzen. Ja, vielleicht hilft das. Kann das jemand allgemeiner formulieren, als ich das jetzt gemacht habe. Wie kann ich die Wurzel

umkehren? Ja, bitteschön. Genau. Ich muss die Outputmenge einfach quadrieren. Also kann ich hier hin schreiben y² und dann kriege ich die erforderliche Inputmenge. Und wie kann ich überprüfen, ob das stimmt? Die Probe, ich habe noch eine Minute und das schaffe ich. Die Probe wäre dann f von x. Uch, was ist denn hier los? Von y. Das war das Zeichen zur Pause, aber jetzt mache ich trotzdem noch weiter. Ich setze jetzt x von y ein, also f von y². Und jetzt gucke ich mir an, wie ist f definiert? Das ist die Wurzel. Das ist also die

Wurzel von y² und das ist Gleich y. Ja, wenn wir annehmen, dass Y immer positiv ist oder nicht negativ, zumindest wie das für Mengen der Fall ist, dann habe ich damit jetzt gezeigt, dass ich die richtige Umkehrfunktion gefunden hab. Vielen Dank bis hierhin. Jetzt machen wir eine Pause und machen dann um 11 Uhr weiter. Als wir eingeführt haben zu den Umkehrfunktionen gesagt, dass wir sowas schon mal gesehen hatten zuvor bei der Logarithmus bzw. bei der E-Funktion. Das Sehen wir jetzt noch mal als Beispiel auf der nächsten Folie dafür, dass die Umkehrfunktion immer die gespiegelte Funktion

ist, wenn wir als Spiegel die 45° Linie nehmen. Das hatte ich, glaube ich, gestern auch schon angedeutet. Das gilt hier in diesem Fall, aber das gilt genauso bei der Wurzelfunktion und bei der Quadratfunktion. Ja, wenn ihr euch hier eine Parabel gedanklich einzeichnet, dann ist die auch entlang der 45° Linie gespiegelt oder auch bei Der Nachfragefunktion. Ja, die können wir auch entlang der 45° Linie spiegeln und dann kriegen wir die inverse Nachfragefunktion. Ja, wenn ihr möchtet, könnt ihr das einfach mal ausprobieren. Jetzt kommen wir noch mal zu dem Thema Grafen von Gleichungen. Wir hatten das Thema

schon mal, aber da waren die Gleichungen noch lineare Gleichungen. Ja, wir haben gesagt, die Grafen von linearen Gleichungen, das sind einfach Geraden. Und jetzt schauen wir uns mal Nichtlineare Gleichungen an. Also, es gibt irgendeine Gleichung, die einen ökonomischen Zusammenhang beschreibt. Wir werden gleich auch noch Beispiele sehen. In dieser Gleichung kommen dann mehrere Variablen vor, wenn wir in R2 sind, X und Y z.B., die in irgendeinem Zusammenhang stehen. Und alle Werte, die wir für X und Y einsetzen können, die dann diese Gleichung erfüllen, die liegen dann z.B. auf einer Kurve, auf dem Grafen von Dieser Gleichung.

Und wenn wir den Grafen veranschaulichen können, hilft uns das oft dieses Problem besser zu verstehen. Also hier sehen wir mal eine Gleichung, die heißt x* Wurzel y = 2. Hier oben steht auf oben auf der Folie steht Beispiel Indifferenzkurve. Was soll das sein? Wir hatten schon mal ganz kurzen Beispiel mit Baguette und Rotwein. Da habe ich eine Budgetgrade eingezeichnet und wir haben uns überlegt, wie viel Baguette und wie viel Rotwein können wir uns leisten? Ich greif das mal auf. Baguette und Rotwein sind zwei Konsumgüter und ich stell mal vor, ich interessiere mich vor allem für

Baguette und Rotwein. Dann kann ich mir überlegen, welche Güterbündel, also welche Kombinationen von Mengen finde ich besonders gut und welche finde ich besonders schlecht? Eine Indifferenzkurve ist nun eine Veranschaulichung von Güterbündeln, die ich alle gleich gut Finde, also zwischen denen ich indifferent bin, sagen wir dann. Also z.B. Das Güterbündel 14, ein Baguette und vier Flaschen Rotwein. Huiui, finde ich dann in diesem Diagramm genauso gut wie zwei Baguett und eine Flasche Rotwein oder vier Baguett und eine Viertelflasche Rotwein. Ja, diese Punkte, die würden dann mit meinen Präferenzen so insofern übereinstimmen, dass ich die entsprechenden Güterbündel alle

gleich gut finde. In der Regel Finde ich Baguette gut, ich finde Rotwein gut. Das heißt, wenn ich von diesen Punkten aus nach rechts oben gehen würde, würde ich mich verbessern und von diesen Punkten aus nach links unten würde ich mich verschlechtern. Und das Optimierungsproblem, was wir sehr oft lösen werden, ich zeichne das mal ganz kurz ein, lösch danach aber wieder, ist, wenn ich eine gegebene Budgetgrade habe, die könnte dann von mir aus so aussehen, Ja, dann suche ich auf der Budgetgrade die Punkte, die ich am besten finde. Das heißt, ich gehe dann eine Indifferenzkurve höher,

z.B. Die könnte dann so aussehen. Und dann gehe ich noch eine Indifferenzkurve höher, bis ich irgendwann ein Punkt erreicht habe, wo die Schnittmenge noch aus einem einzigen Punkt besteht. Also, wenn ich von hier aus mich noch weiter verbessern wollte, nach rechts oben gehen würde, dann würde ich Güterbündel bekommen, die ich mir nicht mehr leisten kann, die oberhalb meiner Budgetgrade liegen. Und wenn ich von hier ausgehend auf der Budgetgrade abweiche, dann seht ihr, dass ich in den Bereich komme, der unterhalb der Indferenzkurve liegt. Dann würde ich mich verschlechtern. Also muss das das beste Güterbündel sein, also

das, was ich am besten finde gegeben, dass ich es mir leisten kann. So, diese Anwendung soll jetzt mal ganz Schnell wieder weggradiert werden, weil es geht eigentlich nur um die grafische Darstellung von dieser Kurve erstmal. Wieder kann ich einfach Zahlen einsetzen für X und Y und kann mir überlegen, welche Zahlen passen. Ja, und dann kriege ich insgesamt alle Zahlen raus, die ich dann einzeichnen kann. Es gibt aber auch einen anderen Weg, wie ich vorgehen kann. Dieser andere Weg funktioniert manchmal, aber nicht immer. Ich Könnte diese Gleichung hier umformen nach einer der beiden Variablen. Da ich

hier die X-Achse horizontal und die Y-Achse vertikal aufgezeichnet habe, würde es Sinn machen, diese Gleichung umzuformen nach y. Wie mache ich das? Ich teile erstmal auf beiden Seiten durch x, dann kriege ich y = 2 ge x. Das funktioniert natürlich nur, wenn x nicht = 0 ist. Also schreibe ich hier mal geteilt durch x ung 0. Und jetzt kann ich auf beiden Seiten Quadrieren. Also ich quadriere das Y und ich nehme jetzt mal hier an, dass beides X und Y positiv ist und dann kann ich auch ein Äquivalenzzeichen hinzeichnen. Dann wird aus Wurzel y zum

Quadrat einfach nur das y und auf der rechten Seite muss ich auch quadrieren und dann steht da 4 dur x². Das heißt, dieser Graf, der eigentlich durch eine Gleichung entstanden ist, ist gleichzeitig der Graf von der Funktion F(x) = 4 dur x². Okay, wir kommen jetzt zu komplizierteren Grafen. Eine andere Indifferenzkurve könnte ein Kreis sein. Das sind sogenannte Präferenzen mit Sättigungspunkt. Also, stellt euch vor, X und Y bezeichnen zwei Nahrungsmittel, die ihr beide mögt, aber nur so lange, bis ihr Den Sättigungspunkt erreicht habt. Also, der Sättigungspunkt, der wä irgendwo in der Mitte und wir stellen

uns vor, je näher wir in diesen Richtung kommen von dem Sättigungspunkt, desto besser geht es uns. Und je weiter wir davon weggehen, desto mehr entweder Hunger haben wir oder desto übersättigter sind wir. Das heißt, auch dieser Kreis kann eine Darstellung von Präferenzen sein. Und wir wollen uns überlegen, hey, wie kommen wir jetzt Genau auf diese Gleichung? Na, die Kreisgleichung werden wir auch gleich definieren. Das ist offensichtlich eine nichtlineare Gleichung und diese Gleichung können wir nicht mehr so leicht nach y umformen. Es geht immer noch, aber es ist schwerer. Um das umzuformen, müssten wir den Kreis

in zwei Hälften schneiden. Ich mal hier mal so eine Linie rein. Und dann hätten wir eine Funktion für die obere Hälfte und eine Funktion für die untere Hälfte. Warum? Weil wir erinnern uns, eine Funktion hat folgende Eigenschaft für jedes X genau ein Y. Ja, und wenn ich das den ganzen Kreis als eine Gleichung als eine Funktion interpretieren würde, dann hätte ich z.B. für das x6 2 y Werte, nämlich die 1 und die 11. Ja, deswegen muss ich den oberen Bereich erstmal vom unteren Bereich trennen und dann kann ich mir zwei Funktionen definieren. Hier soll es

aber nicht so sehr darum Gehen, jetzt dieses diese Gleichung nach y umzuformen, sondern einfach mal darzustellen, es gibt nichtlineare Gleichungen, wo wir uns für den Grafen interessieren, die eine ökonomische Interpretation haben. Um diese Kreisgleichung zu definieren, brauchen wir den Abstand in der Ebene. Ja, wir haben schon den Abstand definiert für Zahlen auf einem Zahlenstrahl, also für eindimensionale Zahlen. Das war der Betrag. Und jetzt wollen wir den Abstand für zweidimensionale Zahlen, also für Punkte in der Ebene definieren. Und die Formel sieht ein bisschen komplizierter aus. Wir haben zwei Punkte gegeben hier. einmal den Punkt 1 mit

den Koordinaten x1 y1 und einmal den Punkt 2 mit den Koordinaten x2 y2. Wir hatten sowas ähnliches schon mal als wir mit dem Steigungsdreieck die Steigung berechnet haben. Ja, die Steigung von dieser roten Grade. Das könnten wir Jetzt machen mit diesem Koheenten. Darum geht's aber nicht. Wir wollen wissen, wie lang ist diese rote Verbindungslinie? Wie lange ist diese Strecke, die wir mit und die Länge bezeichnen wir mit d für Distance und die Formel dafür und das nennt man den euklidischen Abstand ist hier oben gegeben. Und lass uns da mal genau reingucken. Für jede Koordinate, also

hier für erstmal für die X-Koordinate rechnen wir Die Differenz aus und quadrieren die dann. Also einmal für x und einmal für Y. Und dann zählen wir diese Quadrate zusammen und von der Summe ziehen wir dann die Wurzel. Dann haben wir die Distanz. Wie kann man das motivieren? Das geht durch den Satz des Pythagoras. Vielleicht kennt ihr den noch. Der Satz des Pythagoras, ich glaube, den zeichne ich mal hier ein. Der gilt für rechtwinklige Dreiecke. Na, Dann haben wir hier eine Seite, die hat die Länge A. Hier haben wir eine Seite, die hat die Länge B.

Und hier haben wir eine Seite, die hat die Länge C. soll ein rechter Winkel sein. Und der Satz des Pythagoras sagt, wir können jetzt hier Quadrate dazu malen. Also, wir können b quadrieren, wir können A quadrieren, also da machen wir ein Quadrat raus, ist ein bisschen schief geworden und wir können c quadrieren, passt nicht ganz Auf die Folie. Und dann haben wir drei Flächen. Und dann haben die Flächen sind dann B², A² bzw. C² und der Satz des Pythagoras besagt, dass c² = a² + b² ist. So, wenn wir jetzt auf beiden Seiten von diesem

von dieser Gleichung die Wurzel ziehen, dann sind wir da oben. Also das hier wäre die Länge B, die Y Differenz. Das hier wäre die Länge A und das hier wäre die Länge C. So kann man den euklidischen Abstand motivieren. Es gibt noch einen anderen Aspekt, den ich euch gerne sagen würde. Stellt euch mal vor, diese Strecke, die rot markierte Strecke, die wäre nicht irgendwie schräg, sondern die würde einfach horizontal verlaufen. Und dann würde ich möchte ich euch gerne zeigen, was mit dem Abstand passiert. Das mache ich mir auf der nächsten Seite. Also, ich schreibe erst

noch mal die Abstandsformel auf. D ist gleich die Wurzel von x1 - x2² + y1 - y2 zum und dann die Wurzel zu Ende. Ich weiß gar nicht, ob ich jetzt hier die gleiche Reihenfolge genommen habe, wie auf der Folie davor. Hier habe ich es andersrum hingeschrieben. X2 - X1 und Y2 - Y1. Das Super Gute beim Abstand ist, die Reihenfolge ist diesmal komplett egal. Also ihr könnt hier x2 - x1 hinschreiben und dort y1 - y2. Ihr Könnt wild durchtauschen. Das einzige, worauf ihr achten müsst, ist ihr müsst XE von xen abzielen abziehen und

Y von y. Warum ist die Reihenfolge egal? Weil wegen dem Quadrat Minuszeichen wegfallen würde. Ja, wegen dem Quadrat kommt dann zum Schluss das gleiche raus. So, jetzt gucken wir uns den Spezialfall an. und zwar y = y2. Also die beiden Punkte, die wir vergleichen, haben die gleiche Höhe auf der y-Achse. Das heißt, es geht hier mal um diese Linie. Wenn ich ein Koordinatensystem einzeichne, dann haben wir hier die X-Achse und hier haben wir die Y-Achse. Hier ist dann x1. Hier ist x2 und hier ist y1 = y2. Und wenn ich das jetzt in dieser Abstandsformel

einsetze, dann passiert folgendes. Dann ist der Abstand d gegeben durch die Wurzel von x1 - x2 Zum² + y1 - y2 zum². Aber das hier ist = 0. Die zweite Komponente fällt einfach weg. Das heißt, wir haben die Wurzel von x1 - x2 zum Quadrat. So, ihr seht jetzt die Wurzel und das Quadratzeichen. Wir haben vorhin gesagt, die Quadratfunktion ist die Umkehrfunktion von der Wurzelfunktion, aber nur wenn die Argumente nicht negativ werden können. Und in diesem Fall könnte es, also wir Haben es jetzt ja hier sogar gegeben, dass das x1 kleiner ist als das X2.

Ja, und dann passiert nämlich was äh ein bisschen was doofes. Wenn wir jetzt die Wurzel und das Quadratzeichen einfach wegkürzen würden, dann wäre der Abstand x1 - x2, also was negatives, weil x1 ja kleiner als x2 ist und Abstände können nicht negativ werden. Das heißt, wir müssen hier ein bisschen aufpassen. Wir müssen eine Fallunterscheidung machen. Wir müssen uns einmal den Fall unter Anschauen, wenn x2 größer gleich x1 ist und wenn x1 größer als x2 ist. Moment, ich schreib es andersrum auf, damit es gleichmäßig ist. Also x2 kleiner als x1. Wo ihr das Gleichheitszeichen hinschreibt, ist

in diesem Fall wieder egal. Ich fange mal an mit x2 kleiner als x1. Also x1 - x2 wäre positiv. eine positive Zahl quadriert und davon die Wurzel wieder ist genau diese positive Zahl. Also in diesem Fall kann ich Hinschreiben x1 - x2. Ich mache mal so ein Semikolon davor. So. Im anderen Fall, wenn x1 kleiner gleich x2 ist, dann wäre dieser Abstand x1 - x2 ja negativ oder gleich 0. Das darf nicht passieren. Deswegen müssen wir es einfach umdrehen. Ja, in dem Fall schreiben wir dann x2 - x1. Also für den Spezialfall, dass y1 =

y2 ist, können wir uns einfach die Differenz von x1 und x2 anschauen und davon den Absolutbetrag nehmen. Und Den haben wir auch schon definiert. Das ist tatsächlich einfach x1 - x2 mit diesem Betragstrichen. Das heißt, für den Spezialfall, dass die beiden y Koordinaten gleich sind, fällt diese etwas allgemeinere Formel zurück auf die Abstandsformel, die wir bereits einfach nur für den Zahlenstrahl definiert haben. Trotzdem hat diese allgemeine Formel gegenüber dem Betrag viele Vorteile. Ja, wir können sie leichter ableiten, Weil wir hier keine Knicke haben. Ja, die Wurzelfunktion ist schön rund, die Quadratfunktion ist schön rund und

deswegen fällt uns später das Ableiten leichter und deswegen werden wir eigentlich lieber diese euklidische Norm benutzen als den Betrag. Jetzt kommen wir zur Kreisgleichung. Wie können wir die Gleichung, die wir vorhin gesehen haben, einfach definieren? Wir brauchen dafür drei Komponenten. Wir brauchen die ersten beiden Komponenten beziehen sich auf den Mittelpunkt des Kreises, also eine X und eine Y Koordinate für den Mittelpunkt. Und die heißen hier A und B. A ist die X-Koordinate, B ist die Y-Koordinate von dem Mittelpunkt. Das sehen wir hier. Vielleicht zeichne ich das noch mal kurz mit gestrichelten Linien ein. Also hier

unten an der X-Achse haben wir das A und da an der Y-Achse haben wir das B. Und die dritte Komponente, die wir für die Kreisgleichung brauchen, das ist der Radius R. Und jetzt steht hier im Prinzip nichts anderes als der Satz des Pythagoras. Wir haben hier zwei Punkte gegeben. Ein Punkt ist AB und der andere Punkt ist XY. Der Punkt XY liegt auf dem Kreis und wir können das jetzt vervollständigen zu einem Dreieck mit einem rechten Winkel. So ungefähr Und so. Dann ist hier der rechte Winkel. Na, den Punkt habe ich ein bisschen. So. Und

jetzt müssen wir uns überlegen, wie lang sind die einzelnen Seiten von diesem Dreieck? Die Hypoten diese Seite hier hat die Länge R. R ist der Radius von dem Kreis. Die horizontale Seite. Welche Länge hat die? Das ist x - A. Also, ich habe die X-Komponenten voneinander abgezogen. Und diese Seite hier, die hat die Länge y - b. Wenn dieser Punkt hier nicht rechts oben auf dem Kreis liegen würde, sondern z.B. rechts unten, dann wäre die Länge von dieser Strecke nicht y - b, sondern b - y. Aber beim quadrieren ist das egal. Ja, beim Quadrieren

würde das gleiche rauskommen. So, der Satz des Pythagoras sagt nun, diese Länge zum Quadrat plus diese Länge zum Quadrat ist gleich diese Länge zum Quadrat. Und das ist das, was hier oben in der Kreisgleichung steht. Wir können diese Kreisgleichung aber Noch ein kleines bisschen umformen. Hier haben wir Quadratzahlen. Quadratzahlen können nicht negativ werden. Das heißt, die Summe hier ist auch nicht negativ. Das heißt, wir können die Wurzel davon ziehen. Also, das hier ist das gleiche wie die Wurzel von x - a zum² + y - b zum rechten Seite steht ein r². kann auch nicht

negativ sein. Der Radius R kann auch nicht negativ sein. Ja, wie soll das funktionieren? Ein Kreis mit Negativen Radius. Das heißt, die Wurzel von dem r² wird zu einem R, was positiv ist. Und damit sagt die Kreisgleichung nichts anderes. Betrachte alle Punkte X und Y, die den Abstand R haben zum Mittelpunkt des Kreises. Und genauso ist ja auch ein Kreis definiert. Okay, jetzt seid ihr dran. Ich möchte, dass ihr einmal den Abstand ausrechnet von dieser Geraden. Also, wir haben die, das ist keine Grade, sondern eine Strecke. Ja, eine Gerade geht unendlich Lang in beide Richtungen

weiter. Die Strecke hört immer in den jeweiligen Endpunkten auf und ihr werdet eine Zahl rausbekommen, die so ein bisschen krumm ist und dann dürft ihr runden. Ja, ihr dürft euch überlegen, was könnte das ungefähr gleich sein. Aber jetzt lasse ich euch erstmal ein bisschen in Ruhe. Ich schreibe aber noch, während ihr arbeitet die Abstandsformel oben auf die Folie drauf. Ich muss euch kurz was erzählen. Ich stell ja immer zwischendurch diese Rechenaufgaben. Ich habe äh mich mal fortbilden lassen von einem internen Angebot der Uni und da hat mir die Person gesagt: "Hey, du musst zwischendurch die

Leute aktivieren. Du musst zwischendurch Aufgaben rechnen lassen, damit man irgendwie wieder abgeholt wird, wenn man gedanklich abgeschweift war. Und ich musste mich ein bisschen daran gewöhnen, dass ich dann jetzt einfach mal 2 Minuten hier nichts mache. Ich würde gerne von euch wissen, wie ihr das empfindet. Müsst ihr jetzt, also könnt ihr mir jetzt direkt sagen, aber könnt ihr mir auch auf anderen Wege mitteilen. Findet ihr das eher nervig, dass ihr zwischendurch immer was gefragt wird und das machen müsst oder hilft euch das? Na, wenn ihr mir dazu auf irgendeine Art und Weise ein Feedback gibt,

ich sehe Schon mal einen Daumen hoch, das freut mich, dann äh weiß ich, ob ich das in Zukunft dann auch noch mache oder eher sein lasse. Aber ich sehe jetzt mehrere Daumen hoch, das gut. Schön. Hat jemand schon ein Ansatz, wie man diesen Abstand ausrechnet? Also, wie lang ist die rote Linie, die wir hier im Koordinatensystem sehen? Ja, bitttechön. ein Vorher. Ja, wer also kann man auch 5 plus 4 1- 3. Ich lass hier mal ein bisschen Platz. 1 - 3 und dann die Wurzel zu Ende. Okay, danke schön. Gibt hat jemand das anders gemacht?

Seid ihr einverstanden? Hat jemand eine Anmerkung dazu? Ja, bitteschön. Genau. Ich markiere die eins mal um die es geht. Also hier, das ist die y Koordinate von dem Punkt, der rechts ist und da steht noch eine -1 davor. Ich bin dir super dankbar, dass du hier das genau richtig gemacht hast. Ja, also -4 hast du mir diktiert. Ich hätte ja auch dann irgendwie durcheinander kommen können und einfach 5 - 4 rechnen können. Und das ist so der Der Fehler, der hier quasi als Falle ausgelegt wurde. Die Minuszeichen machen super oft Probleme. Ja, wenn ich eine

negative Zahl abziehe, heißt es, dass ich die positive Zahl addiere. Also hier aus dem Minus minus wird dann ein Plus. Bevor ich jetzt also weiterrechne, rechne ich, also bevor ich irgendwie Quadratzahlen ausrechne, rechne ich jetzt erstmal die Klammern aus, die da stehen. Also die Wurzel schreibe ich noch mal mit. Ich weiß noch nicht genau, Wie lange die wird. Dann habe ich hier 5 und jetzt müssen wir gucken. Minus minus ergibt plus, also 5 + 4 zum Quadrat. Was ist mit der rechten Klammer? Da steht jetzt -1 -3. wird also zu -4. Wenn ich die -4

quadriere, dann ist das mal minus und wird zu einem Plus. Das heißt, ich kann ja einfach +4 schreiben. + 4 zum Quadrat. Halt, die Klammer brauche ich nicht. So, jetzt rechne ich aus 5 + 4 ergibt 9. Das ist also die Wurzel aus 9 zum Quadrat + 4 zum Quadrat. Jetzt kann ich die Quadratzahlen ausrechnen. Also 9 zum Quadrat. Was ist das? Kann das jemand reinrufen? 81. Danke schön. Und 4 zum Quadrat wäre dann die 16. Super. Jetzt kriege ich eine Zahl, die leider keine exakte Quadratzahl ist. Ja. 81 + 16. Ja, bitteschön. Genau. Die

Wurzel aus 97. Und dafür braucht man eigentlich ein Taschenrechner, ne? Aber welche Zahl ist das ungefähr? Ja, bitteschön. Also, das ist nicht ungefähr, das ist ziemlich genau. Ja, genau. Und das ungefähren, das geht so. Ja, so ein geschwungenes Gleichheitszeichen, das ist ungefähr 10. Ja, man sieht es auch 10 zum Quadrat ist die 100. Die 97 ist super nah an der 100 dran. Also diese rote Linie ist 10 Einheiten lang. Das soll es aber noch nicht gewesen sein für heute. Hier habe ich einen Kreis. Jetzt möchte ich einen Schritt weitergehen. Ihr habt das Koordinatensystem gegeben und

ihr sollt aus dem Koordinatensystem und der Position des Kreises daraus schließen, welche Gleichung erfüllt sein muss von allen Punkten, die auf diesem Kreis drauf liegen. Also, das ist schon noch ein bisschen schwerer. Ich schreib die Kreisgleichung noch mal oben auf den Titel äh oben auf die Folie drauf. Und wenn wir das geschafft haben, dann haben wir das Programm für heute erledigt. Also, ich nenne jetzt mal den Mittelpunkt wie vorhin A und B und den Radius halt Radius, der heißt R und dann leitet lautet die Kreisgleichung. x - a zum² + y - b² = r².

Und jetzt würde ich euch bitten, mir diese Gleichung herauszusuchen. Kann man das eigentlich überhaupt erkennen? Geht schon, ne? Hat jemand von euch den Mittelpunkt Schon gefunden von dem Kreis? Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt? Ja, bitttechön. 2 und 3. Ähm, wie mache ich das jetzt? Hier ist die zwei. Genau. Und du hast drei gesagt, ne? Habe ich dich richtig verstanden? 1 2 3 Hast du wirklich drei gesagt? Ja, genau. -3. Danke dir. 1 2 3 - 3. Das hier ist der Mittelpunkt. Also AB ist hier gegeben durch 2 und -3. Jetzt lasse ich euch noch mal

ein bisschen, wenn jemand schon komplett fertig ist, dann einfach mir zeigen und dann können wir weitermachen. Ansonsten könnt ihr gerne noch ein bisschen dran knobeln. Hat jemand schon den Radius rausgefunden? Ja, bitteschön. Du sagst, der Radius ist fünf. Kannst du uns erklären, wie du da drauf gekommen Bist? Genau. Also, du bist einfach jetzt hier nach rechts gegangen, schätze ich mal. 1 2 3 4 5. Perfekt. Ich zeichne mal diesen Punkt mit ein. Und dann sage ich, dass dieser Abstand gleich 5 ist und das ist das R. r = 5. Jetzt haben wir alle Zutaten zusammen.

Jetzt können wir die Kreisgleichung aufschreiben. Möchte die jemand diktieren? Also in dieser Kreisgleichung kommen Ganz schön viele Buchstaben vor. ein X und ein Y kommen vor und A, B und R. A, B und R sind in diesem Fall Parameter. Das sind Zahlen, die feststehen und X und Y sind Variablen. Das sind auch Zahlen, aber die dürfen sich eben verändern, je nachdem auf welcher Position wir vom Kreis sind. Ja, bitttechön. Halt, ich muss mitschreiben. X - 2 hoch 2. Ja. Y -3. Daraus mache ich mal direkt eine + 3, ne? Y + 3 hoch 2. Perfekt.

Also, ich schreib mal 25 hin. 5 hoch 2 ist das gleiche wie 25. Das ist die Kreisgleichung. Jetzt bin ich aber immer noch nicht glücklich. Ich möchte nämlich die Probe machen. Ich möchte wissen, ob das wirklich stimmt. Und dazu suche ich mir mal ein Punkt aus auf dem Kreis. und setz den ein und dann gucke ich, ob die Gleichung erfüllt ist. Und ich suche mir einen Punkt aus, der irgendwie gut passt, z.B. der hier, weil das hier ganze Zahlen sind. Da muss ich mir überlegen, welche Zahlen sind das? Hier ist dann die -6 und hier

ist die -2. Wenn ihr einen anderen guten Punkt habt, dann könnt ihr gerne einen anderen Punkt nehmen. Also, ich mache jetzt die Probe. Ich setze jetzt in dieser Gleichung hier die -2 für x und die -6 für die 5 ein. Dann habe ich also -2 -2 zum Quadrat plus und anstätte von y schreibe ich -6 + 3 zum². Halt, hier habe ich die Klammer vergessen. Ist = 25. Jetzt muss ich noch die Klammern ausrechnen. -2 -2= -4 zum² + 4, also 4 zum². -6 + 3= -3. -3² + 3² = 25. Und jetzt rechne ich

aus. 14²= 16, 13²= 9. Und ja, wir sehen 16 + 9 = 25, also können wir ein Häkchen dran machen. Also, wir können auch noch zwei, drei Punkte mehr ausrechnen, um wirklich ganz sicher zu sein. Aber wenn man jetzt hier schon merkt, hier stimmt was nicht, hier kommt was raus, was nicht klappt, dann muss man noch mal von vorne anfangen und sich die Kreisgleichung genauer anschauen. Ich bedanke mich sehr, dass ihr so aktiv dabei wart. Hier ist noch mal die Zusammenfassung und heute sind wir ein bisschen früher fertig geworden. Morgen Geht's dann mit Kapitel 6

weiter. Bis dahin, tschüss.