11 MEF1 AULA 5 ETAPA 2

então Eh nós falamos brevemente né até foi um brevemente um pouco detalhado da teoria de viga né porque é muito importante porque nós estamos aqui formulando os elementos finitos que nós dispomos no software para poder fazer bons modelos né e para você formular o elemento de mola nós já falamos precisava da teoria da mola para formular o elemento de trel a gente precisou da teoria da treliça né que era muito simples já o elemento de viga que vai dar né o comportamento de uma viga pra gente fazer modelo num prédio inteiro de vigas depois nós

vamos falar as limitações disso né todos os modelos têm limitações importante que a gente saiba muito bem o que nós podemos tirar de resultado de cada um a gente fez uma breve revisão na teoria de viga porque o elemento de viga ele usa a teoria de viga para calcular a deformação que ocorre dentro dela e nós vimos que a deformação está associada no caso da flexão a curvatura nós vamos fazer inclusive daqui a pouquinho um exercício usando software Olha só nós vamos usar bastante o software a partir e dos próximos né conversas até o final

da nossa do nosso curso aqui Não no sentido de aprender a usar software mas verificar os resultados que nós estamos prevendo na teoria e uma lógica de trabalhar com software de elementos finitos porque todos eu vou fazer até uma brincadeira o seguinte software de elementos finitos é que mãe só muda de endereço porque as perguntas são sempre a mesma né ou meu filho você tá se cuidando ou meu filho você tá se alimentando Oh meu filho não se o software todos eles te fazem a mesma pergunta o problema é que tem cara que não sabe

qual é a pergunta que o software faz né então nós vamos usar para verificar que a teoria funciona então agora que nós falamos sobre a teoria de viga nós vamos formular o elemento de viga Então vamos voltar nas nossas raízes né quando a gente começou o estudo né dos dos elementos Nós demos uma primeira né uma primeira parada aqui nós começamos com a mola e nós vimos de forma geral o conceito de rigidez né O que que é a matriz de rigidez de um elemento lembram dis disso aí nós falamos porque pegamos uma chapa já

né no caso mais geral uma chapa consideramos essa Chapa Aqui os 24 gra de liberdade que nós vamos falar sobre ela adiante e aí nós vimos o conceito do k e j o que que é o k e j na matriz de rigidez de um elemento bom primeiro quando você pega um elemento finito de um lado você coloca as forças que atuam no elemento que justificam o equilíbrio dele isso tá dentro de uma matriz que é uma matriz de força do outro lado você coloca os componentes de deslocamento os graus de liberdade a relação entre

esses dois força deslocamento contabilizados e armazenados dentro de uma matriz é uma matriz que tá entre eles que é a matriz de rigidez do elemento a matriz de rigidez como toda a matriz tem linha e tem coluna o que que é o k J primeiro ele tá na linha i na coluna J é a força que age no grau de liberdade I devido ao deslocamento unitário no grau de liberdade j e os outros estão bloqueados então nós particular por exemplo o que que é o k 181 é a força que atua no grau de liberdade

18 quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade um e os outros estão bloqueados Tá certo ou não Além disso ele tá na linha 18 e na coluna 1 com isso nós Montamos um sistema de equação algébrica que representa o equilíbrio de um elemento Olha só como é que a gente interpretou isso você tem uma estrutura né Olha só você tem uma estrutura essa estrutura é composta de elementos os elementos estão conectados nos nós a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura o determinante é zero você aplica a

restrição se aplica as forças a estrutura se de forma você calcula o deslocamento nodal depois você calcula a reação de apoio nós já estamos fazendo uma revisão do Futuro e a partir do deslocamento nodal o objetivo é calcular o deslocamento dentro do elemento é isso nós fizemos isso para dois tipos de elementos nós fizemos pra mola e nós fizemos pra treliça né Qual foi o subproduto disso tudo o subproduto disso tudo foi que no caso da mola você gerou uma matriz de rigidez que era dado por k k - k e - k Essa é

a matriz de rigidez do elemento de mola que nós já falamos do significado físico né em seguida nós passamos para elemento de barra de treliça o que que é isso é uma barra que trabalha apenas sob ação de carga axial não que ela não tenha rigidez a flexão mas somente a rigidez axial se manifesta que é o EA so L que é o EA so L - EA so l e Men EA L aí é que entra uma coisa que nós vamos trabalhar sempre no elementos finitos isso daqui é uma caracterização do material é o

módulo de elasticidade é o material material que tem lá no software de elementos finitos que nós vamos abrir daqui a pouco e isso daqui é a tal da property isso aqui define a geometria da Sessão da barra com isso você monta a rigidez agora isso aqui foi feito pro elemento de mola Essa é a matriz de rigidez do elemento de mola se você tiver uma estrutura só composta de molas a partir da rigidez de cada uma você monta a rigidez do conjunto isso daqui é a matriz de rigidez de um elemento de treliça se você

tiver uma estrutura treliçada a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez do conjunto é claro que num is as barras são inclinadas não tá todo mundo alinhado então você usa a transformação de coordenadas é por isso que elemento finito tem eixo local e eixo Global agora nós temos um passo fundamental Qual é o nosso grande objetivo é montar a matriz de rigidez do elemento de viga mas a gente já conhece a teoria de viga nós prisos Uma Breve lembrança da te de vi então para isso nós vamos agora buscar a lógica de

construir essa Matriz ou seja nós queremos determinar os k e j da Matriz de rigidez de um elemento de viga Mas nós vamos fazer isso daqui só pra viga flexão Olha só porque o axial já foi resolvido depois a gente armazena tudo numa matriz só aquela viga que tem 12 graus de liberdade ela só tem tamanho né porque você tem quatro problemas convivendo juntos um que é a carga que Seal outra que é a flexão no plano e a outra flexão no plano e a outra torção nós estamos falando da flexão e a teoria da

flexão aqui e a teoria da ficção aqui é a mesma só mudou o momento de inércia Então nós vamos seguir rigorosamente isso que tá escrito aqui ó ó Isso aqui é a linha um coluna um é a força em um devido ao deslocamento unitário em um isso aqui é o k11 isso aqui é o k 2 1 é a força em dois devido ao deslocamento unitário em um esse conceito vai se manifestar aqui também então para isso eu vou mostrar um caso real né Vamos pegar um caso real vou pegar uma vigu inha aqui ó

e e nós estamos falando só da flexão porque o problema axial a flexão no outro plano e a torção são tratados separadamente depois a gente junta Isso numa viga só né num elemento só e como que a gente superpõe os efeitos nós vamos ver daqui a pouco também Vamos por partes como diria Jack né Vamos lá olha eu vou te fazer uma pergunta que é o seguinte essa viga aqui isso aqui é um nó isso aqui é um nó deixa fazer uma pergunta isso aqui ó Isso aqui é um eixo isso aqui é um eixo

esse ângulo Aqui é zero né isto isto aqui é a mesma coisa que isto aqui é a mesma coisa que isto aqui e é a mesma coisa que isto aqui não é né que eu quero dizer o seguinte quando eu dou um deslocamento aqui vamos supor que eu vou pegar um deslocamento aqui de 30 mm esse deslocamento de 30 mm ele pode pode ter um ângulo aqui ele pode ter um ângulo aqui eu Poo ter um ângulo aqui eu posso ter um ângulo aqui eu tenho diferentes situações que configuram diferentes condições de deformação da minha

viga em função do Contorno Ou seja eu tenho dois valores para determinar como é que a viga se comporta aqui eu tenho um deslocamento e eu tenho um ângulo Eu tenho um deslocamento isto aqui é diferente de isto aqui é diferente disto aqui o que eu quero dizer com isso é que se eu desenhar uma viga aqui olha só desenhar uma viga aqui isso aqui é um nó isso aqui é um nó simbolicamente nós temos a possibilidade de movimentar a viga translacional Isso aqui é uma transla e isso é uma rotação eu tenho infinitas possibilidades

o que eu quero dizer é que neste nó esse aqui é o famoso nó um e o nó do Lembra eu tenho um deslocamento e eu tenho um ângulo nós temos um deslocamento e nós temos um ângulo o que eu quero dizer é que uma viga única e exclusivamente sob ação de flexão num plano ela tem tem um grau de liberdade de translação e outro de rotação um de translação e outro de rotação 1 2 esse aqui é o 3 e esse aqui é o 4 nós temos 4 graus de liberdade de uma viga sob

ação única e exclusivamente de flexão translação rotação translação rotação fisicamente eu tô falando disso aqui ó se eu vou bloquear esse cara aqui eu vou fazer o seguinte eu posso movimentar esse cara mas o conceito do k J Qual é é a força no grau de liberdade I devido ao deslocamento unitário no j e os outros estão o quê bloqueados então eu vou fazer o seguinte eu vou pegar este cara aqui que o ângulo é zero e vou deslocar para cá agora isto é diferente disto eu quero manter esse ângulo zero eu vou fazer isso

aqui como é que eu mantenho o ângulo zero porque eu tenho um momento que atua aqui esse cara aqui ó ele tem ângulo zero ou seja o que que eu tô dizendo com isso você tá dando um deslocamento unitário num grau de liberdade e todos os outros estão bloqueados Tá certo vamos desenhar isso aqui eu vou pegar essa viga e vou desenhar uma viginha nessa situação olha só a viginha antes estava aqui agora o que nós vamos fazer com ela nós vamos pegar essa vigga e vou fazer isso aqui com ela olha só está gerando

na deflexão para ter uma visibilidade né do olha só o que nós estamos fazendo que que nós fizemos nós estamos dando um deslocamento unitário no grau de liberdade um e os outros graus de liberdade eles estão bloqueados Ou seja eu não tenho rotação aqui porque esse ângulo é zero ele continua sendo zero o ângulo é zero aqui continua sendo zero ele se movimentou esse a car não movimenta e nem gira ou seja nós demos um deslocamento unitário no grau de liberdade um quando a gente faz isso aqui vão surgir forças associadas a esse deslocamento unitário

que são os k e j da matriz em resumo o que que nós estamos querendo dizer para eu fazer isto aqui ó temos que aplicar uma força aqui Que Força é Essa essa daqui é a força que surge no grau de liberdade um associado ao deslocamento unitário no próprio grau de liberdade 1 Como é o nome desse cara aqui é o k11 é a força que surge em um devido ao deslocamento unitário no próprio grau de liberdade um só que para conseguir fazer isso de novo isso aqui é a mesma coisa que isso não para

eu conseguir manter esse ângulo zero eu tenho que aplicar o momento aqui ó Então vou representar esse momento aqui olha aqui o cara o que que é isso daqui isso aqui é a força que no grau de liberdade do quando você dá um deslocamento unitário no grau de liberdade 1 quer dizer nós já falamos né indistintamente força e momento nós estamos chamando de força que são Element forces o que que é isso daqui é então isso daqui é a força que surge no grau de liberdade TR devido ao deslocamento unitário em um aí você fala

ah mas se eu apliquei uma força para cá essa tem que ser para cá sim é o sinal que vai dar essa informação né E aqui que que é esse cara aqui é o k41 é a força que surge no grau de liberdade 4 devido ao deslocamento unitário no grau de liberdade um olha só que interessante isso daqui o primeiro índice é o efeito que que é isso daqui é a força e esse primeiro o índice é sempre igual que é o um ó ó aqui esse cara aqui é a causa que que é o

k1 é a força que surge em um causado pelo deslocamento unitário em um e os outros estão bloqueados o que que é o k21 é a força que surge em dois causado pelo deslocamento unitário em um e os outros estão bloqueados o que que é o k31 é a força que surge em três causado pelo deslocamento unitário 1 e o que que é o k41 é a força surgem 4 causado pelo deslocamento unitário um esse é o puro conceito do k e j é a força no grau de liberdade I devido ao deslocamento unitário no

grau de liberdade J se você montar isso dentro da Matriz eu vou colocar aqui olha só esse cara aqui é o k11 esse cara aqui é o k21 esse cara aqui é o k31 e esse cara aqui é o k41 quando você dá um deslocamento unitário e bloqueia todo o resto as forças que surgem elas estão dentro de uma coluna da Matriz de rigidez você matou uma coluna da Matriz de rigidez do elemento e o significado físico é o que a gente acabou de ver agora Resumindo nós podemos repetir essa história e fazer de novo

aqui só que agora nós vamos dar um deslocamento unitário no grau de liberdade dois e calcular as forças que surgem nos outros graus de liberdade e assim nós vamos montando a matriz de do elemento Divino e depois descobrir quem são esses caras que estão dentro da Matriz onde entra o mattio onde entra a propert aí nós temos configurado a rigidez do elemento em resumo nós sabemos Qual é a rigidez desse elemento aqui em termos de flexão tanto vale para esse plano quanto pro outro plano que vai mudar o momento de inércia é claro que se

for uma viga circular a rigidez de um plano e no outro plano são iguais porque a pró é a mesma a da sessão circular é a mesma tá certo vamos fazer isso agora então muito bem vamos fazer agora pro outro grau de liberdade estão percebendo o conceito né o conceito puro do k e j é a força no grau de liberdade I quando nós damos um deslocamento unitário no grau de liberdade j e os outros estão bloqueados isso daqui tem uma consequência operacional quando você faz isso você mata uma coluna da Matriz de rigidez Então

nós vamos fazer a mesma coisa agora nós vamos pegar essa viga aqui ó os graus de liberdade aqui 1 2 3 e 4 a gente movimentou o grau de liberdade um agora nós não vamos mexer no um nós vamos mexer no dois Olha só se você pegar esse cara aqui você pode dar um uma rotação aqui ó você pode dar uma rotação e os deslocamentos outros estão todos bloqueados vamos desenhar isso fisicamente que que quero dizer com isso nós vamos pegar aqui essa viga exagerando que que seria essa situação física Seria algo assim né olha

só a viga aqui essa viga ela tá bloqueada aqui né Nós tínhamos esta situação aqui agora olha só e nós fizemos isso aqui o que que nós fizemos Nós demos um unitrio no grau de liberdade dois e os outros estão bloqueados foi isso que nós fizemos repito em elementos finitos quando a gente fala em força nós estamos falando genericamente nos Element forces que podem ser forças ou momentos quando a gente fala em deslocamentos genericamente nós estamos falando em graus de liberdade que pode ser deslocamentos lineares ou angulares essa é a linguagem que se usa no

dia a dia dos elementos finitos e que o software adota operacionalmente então nessa forma nós podemos dizer vai ter uma força aqui Que Força é Essa essa é a força que surge no grau de liberdade um cionada causada pelo deslocamento unitário no grau de liberdade 2 esse é o k12 e quem é esse cidadão aqui esse aqui é o k22 que que é o k22 é a força que surge no grau de liberdade do quando você deu o deslocamento unitário no próprio 2 e quem é esse cara aqui esse cara aqui é o k32 e

esse aqui vai ser o k42 onde que isso aqui tá posicionado na matriz tá aqui ó esse cara aqui é o k1 2 Esse cara é o k22 esse aqui é o k32 e esse aqui é o k42 você matou mais uma coluna da Matriz de rigidez como é que a gente deveria fazer as outras e acho que está claro o conceito eu Deia o seguinte se essa lousa fosse de acrílico transparente eu viraria ela ao contrário e não precisaria fazer mais nada porque e o que você fez aqui vai repetir do outro lado Matriz

de rigidez É simétrica né me ajuda aí pô Olha só que isso isso já é conhecido na teoria de viga qualquer livro vou falar do Timon schenko parece até tô ganhando o royalty do Timon shenko não dá não tô ganhando porque ele tá no céu né pô por tudo que ele fez só pode est no céu né mas se você for lá no livro do timochenko por exemplo esse problema é um é um problema já resolvido na teoria de viga quando você dá um deslocamento aqui os esforços que aparecem numa viga quando você conhece o

material da Viga e conhece a geometria da sessão já são conhecidos Vamos ver isso vamos mostrar aqui então Vamos mostrar como é que isso daqui se manifesta né olha aqui ó o que nós fizemos foi isso né Nós estamos fazendo isso aqui não mudou nada e e qual é a lógica disso é a relação entre força e deslocamento que hage no elemento que é a matriz de rigidez dele e como é que são obtido esses k J dando deslocamento unitário e medindo força Por enquanto né Depois nós vamos falar uns negócios meio diferente aí mas

vamos ver então ó é isso que eu tô falando lá você vai lá no livro do timochenko os livros de resistências materiais Esse é um problema que já é conhecido isso tem solução analítica tem solução exata tá por isso que o elemento de viga é um elemento exato diferente desse aqui isso nós vamos falar depois eu só tô só tô soldando o macaquinho depois nós vamos correr atrás dele mas olha só que interessante isso aqui é conhecido da teoria de viga quer dizer o seguinte essa força que você tem que aplicar aqui associado a um

deslocamento Delta vamos voltar um pouquinho para ver Olha só olha aqui ó isso já conhecido se você conhece o deslocamento Delta essa força aqui é 12e so l c x Delta quanto é que vale esse momento é 6e so L qu vezes o delta a mesma coisa quando você aplica um ângulo unitário esses valores também são conhecidos em função do teta A única diferença no nosso caso é que o delta é igual a 1 e o teta É iG a 1 se eu substituir Delta = a 1 e teta ig a 1 aí vai aparecer

aqui olha só essa é a matriz de rigidez do elemento de viga só a parte da flexão olha só que eu quero dizer é que o k1 é 12i so l c isso daqui é o mattiel você vai calcular qualquer estrutura você tem que dizer o material do que a estrutura é feita e o o que que isso daqui é a propriedade de sessão olha só a rigidez aqui e aqui são diferentes porque o momento de inércia é diferente olha só o que que tá dizendo isso daqui o que que é o k1 é 12

a so L cuo me responda uma coisa se você pegar uma viga e der um deslocamento unitário nessa viga e essa viga for de aço ou for de plástico a força que você precisa para dar o mesmo deslocamento unitário é a mesma pensa Vou repetir eu tenho uma viga de plástico eu dou um deslocamento unitário eu aplico uma força agora eu pego uma viga de geometria Idêntica e dou o mesmo deslocamento unitário na viga de Aço a força é a mesma ó no plástico aqui ó ó no ao é claro que não por quê porque

depende do mattio para o mesmo deslocamento unitário que eu dou depende do material e depende também da propriedade Olha aqui eu vou pegar a viga do mesmo material e vou fazer isso aqui eu vou dar um deslocamento unitário agora eu vou pegar aqui com hmoo iners vou dar deslocamento unitário pô é diferente o que eu quero dizer é que a rigidez depende do uma Tira e da property por isso que eu fico assustado eu fico assustado com várias coisas né uma é com aquela que o cara fala assim esse software faz relatório eu fico apavorado

não é assustado porque tu vai no médico e fala você pode me dar um diagnóstico ah a máquina vai dizer o diagnóstico para você fica tranquilo eu não entendo muito disso mas aquela máquina ela já dá o relatório completo Meu Deus segundo é o cara dizer que ele usa um software e só muda de endereço hein tem um monte de gente que faz isso ele fala assim ah o meu software é mais amigo porque ele ele não me pergunta o mattio não eu entro com os dados ele já calcula Ah é Então aonde é que

tá esse e aqui lá na matriz de rigidez ele tá usando um Def né e o cara tá usando Def e ele não sabe então Ó a rigidez depende do matira e da PR daqui a pouco nós vamos usar o software a primeira coisa que o cara vai fazer ao montar um modelo em elementos finitos antes de qualquer coisa É definir uma Tira e a própia ter da estrutura que ele vai simular não faz sentido ele não ter essa informação Ah mas o meu software não me pergunta então tá errado ou então ele tá usando

uma informação que tá armazenada lá dentro e o cara não sabe tá certo Então essa é a matriz de rigidez do elemento de viga somente considerando a rigidez a flexão olha só o que nós estamos dizendo nós temos 4 gra de liberdade Se você pegar a matriz de rigidez desse outro cara aqui que é a a flexão no outro plano tem mais 4 gra de liberdade só mudou o momento de inércia já são oito quando você pega e estuda a rigidez axial são mais dois são 10 agora nós vamos estudar em seguida a torção você

aplica o momento você tem um ângulo aplica o momento você tem ângulo você tem mais dois são 12 tá montada a matriz de rigidez do elemento de viga no espaço com 12 gra de liberdade quatro da flexão nesse plano quatro da flexão no outro plano dois do axial e dois da torção Ou seja você tem quatro problemas convivendo juntos isso nós vamos fazendo o exercício nós vamos fazer uma aplicação em seguida no software para mostrar isso mas antes disso eu queria fazer uma observação com vocês o que que acontece na prática na prática acontece a

mesma coisa se você tivesse resolvendo à mão um problema de viga não muda nada daquilo que o software faz nós vamos até fazer isso para mostrar Nós vamos pegar um exemplo pequeno que tem solução analítica à mão e vamos fazer com o software e nós vamos ver que o resultado cravam em cima Ah então para que que eu uso o software que quando você monta uma estrutura imensa né um galpão um prédio todo de estrutura de vigamento que você vê um monte por aí você vai no Parque Anhembi Você vai no no pavilhão da Festa

da Uva Você vai em posto de gasolina você vê um monte de estrutura de vigas se você for fazer isso à mão como diz um amigo meu é muito complicado né porque você tem que montar a rigidez da estrutura a partir de cada elemento o que tá acontecendo no âmbito do elemento a teoria de viga preconiza o problema é montar a rigidez do conjunto porque tem todas as direções então o software te ajuda nesse sentido mas se você tivesse resolvendo um probleminha à mão aliás eu vou eu vou usar aqui a a linguagem né nós

vamos falar muito sobre isso em seguida né eu ten uma estrutura de vigamento aqui né e engraçado quando você vai lá no manual da Protec você vê isso né de novo aquela história como a minha mãe vê como a minha namorada vê como realmente é como o software V Pô a gente tem que saber enxergar tudo né o cara trabalho com elementos e quando você vai no manual da Protec no livro do Timon che você vê isso né É mas você vê você não vê uma linha lá né você fala assim ah eu fui lá

no prédio eu não vi um monte de linha e aí lá no que isso aqui é a linha do centroide né quando você faz isso aqui ó você representa o modelo nós vamos falar muito sobre isso ainda né vamos aguardar pacientemente o momento adequado de fazer isso isso aqui é o real e isso aqui é o modelo né Olha só e vamos supor que nós nós temos um Pórtico né Ó esse Pórtico tá sob ação de uma carga aqui beleza esse Pórtico sob ação do carregamento o que que vai acontecer na primeira viga nessa viga

aqui sob ação da carga ela vai fazer isso né ó ela tem ação de flexão então ela vai ter uma curvatura então então Aqui nós temos um diagrama de momentos ó o diagrama de momentos aqui né Isso aqui é aquele famoso conhecido da resistência dos materiais momento cresce linearmente que é força vezes braço tá certo aí o que que acontece na hora que você vai analisar o comportamento dessa viga aqui agora vamos pegar a coluna na hora que você pega a coluna nós temos a de uma carga não é verdade e nós temos a ação

de um momento que vai fazer essa coluna trabalhar né você tem um carregamento e tem um momento e esse problema eu não precisaria de ter um software de elementos finitos para resolver esse dá para resolver à mão o que que a acontece esta força que atua axialmente na barra ela vai gerar uma tensão força por área que é aquela tensão constante devido a força axial e o que que acontece com o momento o momento vai fazer isso aqui né ó eu pego esse cara aqui sobre a ação do momento aqui eu tenho tração aqui eu

tenho compressão ó é isso aqui tração compressão é o que tá mostrado aqui tração compressão como nós faríamos a mão Eu tenho uma tensão aqui vamos supor que essa tensão aqui ó esta daqui esta daqui os dois efeitos superpostos essa daqui dá uma tensão de compressão menos -5 k por MM qu essa daqui dá mais 10 e aqui dá -1 a São for simétrica 10 e Men 5 aqui vai dar 5 e aqui 10 aqui 5 - 5 10 aqui vai dar -1 essa vai ser a distribuição de tensão que eu tenho fazendo a soma

ponto a ponto a soma algébrica aqui é mais 10 aqui é -5 dá 5 Aqui é -1 aqui é5 né da compressão vai dar -1 é isso que eu faria a mão é isso que o software faz nós vamos ver ou seja não tem nenhuma dificuldade nisso aqui tá certo e esse conceito a gente poderia passar pro caso espacial né esse aqui é o caso da torção que nós vamos voltar daqui a pouco né mas o caso espacial é que permitiria avaliar o que acontece no caso mais geral que nós vamos fazer em seguida e

vamos fechar a torção depois e depois com elemento de viga completo nós vamos partir fazer duas aplicações no software o nosso objetivo de fazer aplicação no software não é ficar entendendo como é que se usa e comando de software nós temos um curso voltado para isso nós vamos ter o módulo que é como a aplicação do software pode ser feita passo a passo da mesma maneira que nós temos mf1 mf2 mf3 mf4 nós vamos ter um MEF só para o uso do software mas isso só pode ser feito para quem sabe a teoria senão não

faz sentido algum né então Eh nós vamos em seguida fechar esse conceito e nós vamos tentar o vamos usar o software mas no sentido de entender Aonde que a teoria se manifesta não o comando específico porque de software para software você muda Até o nome do comando mas o conceito é sempre o mesmo a pergunta que ele te faz é sempre a mesma Tá certo então vamos fechar agora o caso geral a torção E aí nós vamos partir para uma aplicação no software de análise para entender como a teoria se manifesta no uso do software

isso que é importante isso não depende do software eu vou usar um deles aqui aliás vou usar dois para mostrar duas coisas importantíssimas ok é isso que nós vamos fazer agora beleza muito bem então nós nós vimos aquela ideia da superposição né quer dizer o o elemento de viga ele ele tem quatro comportamentos Independentes né Você tem o comportamento axial cuja rigidez é da pelo parâmetro e a so l a rigidez a flexão né que nós vimos que tem o e so L cubo né lá na matriz de rigidez e e nós temos a torção

que nós vamos mencionar Mas falando um pouquinho mais da do comportamento de uma viga o que que representa essa figura essa figura representa por exemplo uma viga de uma estrutura gigantesca Você pode ter um prédio de 10 andares um galpão que foi modelado por elemento de viga Tá certo E aí vale aquela história que a gente falou você tem um conjunto de vigas que são conectadas nos nós a partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura montou a rigidez da estrutura o determinante é zero se aplica a restrição aplica os carregamentos

a estrutura se deforma como é que eu tenho numa primeira instância a deformação da estrutura é por intermédio do deslocamento dos nós a partir do deslocamento do nó você tem a deformação ou deslocamento dentro do elemento existe aqui a relação o momento fletor é i segunda a derivada do deslocamento e depois você tem a força cortante com o momento fletor você chega na tensão normal com a força cortante você chega na tensão desse Z salamento E aí nós mostramos né nesse exemplo simples como é que esses problemas são são tratados se você tivesse resolvendo a

mão você trataria independentemente essa força aqui promove a flexão dessa primeira viga tração compressão aí eu passo com uma força que gera uma tensão de compressão e mais um momento fletor eu calcularia separadamente e depois eu veria o resultado ponto a ponto na sessão com resultado da tensão é exatamente assim que o software faz e nós vamos fazer daqui a pouco no software desde que o comportamento seja linear nós estamos admitindo que as deflexões são pequenas depois nós vamos voltar a falar sobre isso novamente né agora quando você pega um problema no espaço como a

gente falou depois de resolver o problema todo nós estamos fazendo um diagrama de Corpo Livre de um elemento de viga uma viga daquela estrutura imensa Então você tem componente de força axial componente de força cortante componente de força cortante e os respectivos momentos como é que o software trata essa questão da mesma maneira que nós tratar us a mão olha a força axial dividido pela área dá uma tensão constante na área inteira Nós estamos falando disso força dividido por área da mesma maneira a flexão se você tiver a flexão nesse plano você tem tração e

compressão é o que está ocorrendo aqui e no outro plano a mesma coisa o que eu quero dizer é que quando você faz o diagrama de Corpo Livre e aqui chega uma força essa força é decomposta numa axial numa cortante e no outra cortante e a mesma coisa acontece com os momentos e que permite a gente fazer o cálculo né manualmente seria feito dessa forma e é dessa forma que o software faz a diferença num problema do software é que para montar a rigidez de um prédio inteiro você realmente vai ter dificuldades né aí o

o método computacional né a rigidez da estrutura a partir de cada elemento usando procedimento de montagem é para isso e depois você volta no âmbito do elemento e resolve o problema local Então olha só que interessante nesse ponto a você tem um valor de tensão que é devido à força axial nesse mesmo Ponto a você tem um valor de tensão algébrico positivo ou negativo se for tração ou compressão devido a flexão nesse plano e nesse mesmo Ponto a você tem uma flexão no plano horizontal vamos dizer assim como tá mostrado na figura qual é a

tensão que atua aqui é a soma uma das três a soma algébrica é a soma deste cara mais este cara e mais este cara é assim que você faria a mão é assim que o software linear faz nós vamos ver daqui a pouco numa aplicação tá claro a única coisa que tá faltando pra gente montar eh o problema do elemento de viga completo é o efeito da torsão né Vamos relembrar como é que funciona isso para isso nós vamos fazer um paralelo né Vamos fazer um paralelo aqui eu vou pegar uma viginha né ó uma

viga e essa viga tá sob ação de uma carga axial nós já tratamos isso Ó a força axial ela promove um deslocamento axial Qual é a relação que estabelece AES entre força e deslocamento eu preciso conhecer o comprimento da Barra e a relação é do tipo f = a 1 k vees o delta onde o f é igual a Ea so L ve Delta isso aqui é a PR Isso aqui é uma matí nós vamos ver daqui a pouco ISO no software Isso aqui é uma mola uma barra sobre ação de carga axial é uma

mola cuja constante elástica Vale EA so l e a sua matriz de rigidez como nós já conhecemos mais uma vez e a so L EA so l ou ae so L - EA so l e menos e a so l k k - k e - k a questão da torção ela é muito semelhante até no no texto né no nosso texto aqui de elementos finitos né que é o livro base que nós estamos seguindo rigorosamente como como nós fazemos no curso presencial nós estamos seguindo passo a passo que tá acontecendo aqui e existe uma

demonstração que a gente detalha um pouco mais né mas isso vem da teoria de viga né Nós estamos eh formulando elemento de viga a partir do conhecimento da teoria de viga já falamos isso também para formular o elemento de mola Eu preciso da teoria de mola só que a teoria de mola serviu para montar o problema global para formular o elemento de treliça eu preciso conhecer a teoria da treliça a teoria da treliça é a mesma da bola né lembra F = k Delta só que é EA so l x Delta uma barra ela tem

do comportamento axial isso aqui isso aqui pode ser uma barra do Mat trista ou pode ser o comportamento axial de uma viga agora o que tá acontecendo aqui é que nós vamos pegar uma barra e submeter essa barra a um momento de torção que que eu quero dizer com isso tô fazendo o seguinte eu tô pegando essa barra e aplicando uma torção Olha só ó o que nós estamos fazendo nós não estamos aplicando uma força que Seal nós estamos aplicando o momento de torção a consequência da aplicação de um momento torsor é gerar um ângulo

teta isso a Rigor é conhecido né como uma barra de torção né Tem muita aplicação isso aqui veicular inclusive ó eu pego uma barra e ela é feita para torcer ela transmite o momento torsor existe uma relação muito semelhante entre o momento torsor e o teta ou seja assim como eu tenho uma relação entre força e ento axial nós temos na torção uma relação entre o momento e o correspondente ângulo isso aqui é o parâmetro de rigidez axial e aqui entre o parâmetro de rigidez torsional que é o famoso o famoso e conhecido g j

sobre l isso é uma mola torcional o que que é o g o g é o conhecido da resistência dos materiais o módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade em cisalhamento lá na teoria da elasticidade do timchenko no primeiro capítulo do livro ele apresenta o o modo de elasticidade em saramento que depende do módulo de elasticidade né existe uma relação pro material isotrópico o que que é esse ni esse ni é o famoso coeficiente de Poção que nós vamos falar muito nele quando chegar nos elementos bitr dimensionais basicamente fisicamente é o seguinte se você

pegar uma barra e submeter a barra atração essa barra aqui ela vai ter uma contração lateral essa contração lateral é dada pelo coeficiente de po aon que no caso do aço é 03 né no caso da Borracha é meio O que quer dizer isso quando você pega uma barra essa tira de aço e estica ela contrai lateralmente 30% de quanto você deformou axialmente né então isso daqui é o famoso módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade de cisalhamento o que que é J esse aqui é o famoso momento de inércia à torção Ou seja

quando você pega uma barra ela tem uma característica torsional que é rigidez da torção agora olha só que interessante isso daqui representa a mola torsional eu vou pegar essa barra que tem um comprimento e torcer Observe o ângulo de torção agora eu vou pegar essa barra e diminuir o l que é o olha só ela ficou muito mais rígida a torção a medida que o comprimento aumenta ela fica mais flexível do ponto de vista torsional a rigidez da torção diminui ou seja quanto maior o l menor vai ser essa constante ou seja Se a gente

fosse pegar aqui e montar a matriz de rigidez de uma viga considerando apenas o efeito torsional como é que apareceria aqui apareceria o GJ so L aqui o GJ so L aqui o - GJ so l e aqui o - GJ so L essa é uma barra né ou seja do ponto de vista mais geral se você pegar uma barra sob ação axial ele tem dois componentes de força e dois componentes de deslocamento numa barra como rigidez torsional Você tem dois componentes de momento de torção e dois ângulos correspondentes Resumindo aquele elemento de viga que

tem 12 gra de liberdade que a gente estudou lá no primeiro dia olha só aqui ó no começo da nossa discussão ele tem quatro comportamentos que convivem juntos e são totalmente Independentes entre si já falamos nisso né tanta gente que convive junto e não tem nada a ver com o outro porque que uma viginha não pode ou seja existe um comportamento axial que gera uma tensão axial existe uma comportamento AF flexão nesse plano que gera uma tensão nesse plano existe uma flexão que gera uma tensão normal nesse plano nesse ponto e existe o componente torsional

O componente torsional gera o cisalhamento de uma sessão em relação a outra tá certo se a gente fosse montar a matriz de rigidez de um elemento de viga aquela Matriz 12x 12 olha só que interessante esse grau de liberdade aqui é o axial 1 2 3 4 5 6 Aqui tá o sete nós temos um parâmetro que é o parâmetro de rigidez axial que é esse carinha aqui que é o a o que que é o a eu vou desenhá-lo aqui o a é o e a so L Por que que aqui tá zer o

que que quer dizer que o A2 ó linha 2 1 a iG porque 2 é esse grau de liberdade aqui que correspond ao quando você aplica uma fora aal você não gera força cante então zer na de rigide que fando esseo parmetro esse parâmetro B é o famoso parâmetro e I so l c que a gente viu lá na matriz o 12 é I so l c que que é isso isso aqui é o módulo de elasticidade isso aqui é o momento de inércia que tá associado à rigidez da flexão isso daqui é o l

Tá certo então esse parâmetro B O que quer dizer o Bz o Bz quer dizer que você tem ó o eixo aqui x y e z esse aqui são os eixos locais Você tem uma rigidez a flexão que e so l c e você tem outra rigidez da flexão que é e so l c em função do momento de inércia e o que que é esse tezinho aqui esse tezinho é o parâmetro de rigidez torsional que é o g j so L que a gente acabou de ver agora que é esse cara aqui então a

matriz de rigidez do elemento de viga ele tem o quê 12 linhas e 12 colunas E você tem a correspondência nem alguns terços da Matriz de rgz são são zero Exatamente porque por exemplo a força axial não gera a força cortante se você der um deslocamento unitário na na direção um você não gera componente de força na direção do então isso aqui aparece zero Então aquela Matriz 12 por 12 ela só tem tamanho é uma matriz né que que permite você eh ver como é que ocorrem as deformações dentro do elemento de viga separando os

efeitos na forma de força axial força cortante nas duas direções e os momentos bidirecionais o momento que atua nesse plano e o momento que atua no outro plano basicamente é isso Tá certo então quando você monta tudo isso que nós estamos falando tá inserido dentro daquele conceito geral se a gente aplicou para qualquer modelo de elementos finitos né isso que nós estamos falando do elemento de viga tá valendo por isso aqui você monta uma estrutura de viga você vai montar a rigidez de cada elemento vai montar a rigidez da estrutura o determinante zero aplica a

restrição aplica o carregamento e você calcula o deslocamento dos nós a partir do deslocamento dos Nós você tem a deformada dentro do elemento Você tem o diagrama de momento diagrama de força cortante aí você calcula a tensão normal e calcula a tensão de cisalhamento como que a partir do deslocamento nodal você chega no deslocamento dentro do elemento nós vamos passar metade da nossa discussão só falando nisso então eu reitero com vocês o seguinte tem duas questões fundamentais que são questões de Sobrevivência para quem quer trabalhar com elementos cidos e precisa ficar absolutamente Claro A primeira

é montar a rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos que que eu quero com isso calcul Deso do nó que que eu faço com deslocamento do nó a partir do deslocamento do nó nós vamos calcular o deslocamento dentro do elemento a deformação e a tensão nós estamos usando elemento de viga para dois propósitos primeiro é porque o elemento de viga é um elemento importante como vocês conhecem da teoria de viga e segundo é para despertar essa ideia de a partir do que acontece no nó você o que acontece dentro

do elemento Isso vai nos conduzir ao processo de interpolação que vai valer para todos os elementos finitos antes de fazer isso nós vamos fazer uma aplicação prática usando o software de análise já descobrindo algumas coisas e entender a lógica de trabalhar com software qual software qualquer um qualquer um você tem que saber a teoria que é o que nós estamos fazendo aqui então então agora nós vamos usar muito os softwares não para aprender comando de software é porque nós vamos entrar agora no a partir de do que nós estamos discutindo numa sequência de formular elementos

finitos agora o nosso objeto é entender o que acontece entre os nós é formular os diversos elementos saber como ele se deforma e nós vamos checar no software se o que a gente viu na teoria o software tá fazendo igual se não fizer é porque tá errado o software ok