[Música] [Música] vamos recordar o que eu dei aula passada na última aula a gente viu é que eu tenho aqui uma função um certo domínio continua em r 2 uma função efe dd em r né e eu quero saber o que eu vou fazer isso é calculado e privadas parciais da função f1 ponto então eu vou pegar um x 0 y 10 no domínio e aí eu quero calcular a derivada parcial df em relação à x que a gente dê nota assim né calculado no ponto x 0 y 06 lembram que é isso isso aqui
é o limite né o que a gente faz quando a gente quer elevar em relação à x a gente muda só x deixe y10 fixado em varia hoje vai calcular efe de um outro ponto x y 0 - fdx 0 então aqui estou fazendo uma diferença nos valores df quando eu mudo o sol x né e dividindo akpo x - 0 é pra ver a taxa e faz o limite quando x a índia x 0 eu queria só observar que se chamar dh essa diferença x - fizeram fazendo isso aqui eu posso escrever esse limite
de outra forma eu posso dizer que seu limite df de x x 0 mais h certo x 0 mais h y é menos f e x 0 e 1 a 0 sobre h e aí quando x tem a x 0 é porque o ágata tendendo a zero tá certo tudo bem então às vezes é mais conveniente escrever assim às vezes muitas vezes mas é melhor fica mais fácil de calcular fazendo desse outro jeito né é a mesma coisa mas sempre fica em algumas situações é a mesma coisa pra derivado em relação à y então do
fdny derivada parcial df em relação à variável o y calculado em x 0 y 10 é o limite agora quando eu como eu quero dele vai em relação à y eu vou mudar a segunda variável muda só o y então eu vou fazer efe the x 0 y - f e x 0 e y josé e devido pela diferença e pelo menos 10 e faço y entender a y10 tudo bem e da mesma forma eu vou escrever aqui que eu fiz eu agarrava x 1 x 0 aqui eu vou trocar y - y10 vou chamar
de cá então vou chamar de cá a diferença em y - e pessoas é isso aqui fica limite df de x 0 e y 10 mais cá - fdx 0 y 0 sobre cá quando catende a 0 tudo bem então só pra gente recordar vamos fazer um exercício é chamado de exemplo como é que deriva eu tenho fdx y igual à que tangente dx sobre y como é que o cálculo as suas derivadas num ponto genérico é como é que faz para fazer como é que faz para calcular do f10 um x em x y
de qualquer dessa função aqui como é que a gente tem que raciocinar aqui eu vou fazer variável x variar né eu vario x e deixa o y fixado então y aqui o óleo como constante e deriva em relação à x que dá essa derivada então agentes a regra da cadeia que tem já aqui né derivada da função é que tanta gente é um sobre isso um sobre um mais o que está aqui ao quadrado vezes agora a derivada eu vou deixar indicada derivado em relação à che da função e y x sobre isso tudo bem
isso daqui é um sobre um mais x quadrado sobre isso ao quadrado enquanto que é a derivada em relação à x de se consciente então aqui o y é uma constante então isso é que é um sobre isso se vocês quiserem simplificar dá para tirar um no último toque e colocar o y quadrado lá em cima não vai ficar y ao quadrado sobre um mais x 1 sobre o y ao quadrado mais x quadrado vezes um sobre y que é y sobre x 2 mais indo tudo bem é bom ea derivado em relação à y
como é que fica a derivada df em relação à y colado e xy é a derivada do arco tem gente que é um sobre um mais che sobre y ao quadrado vezes a derivada em relação à y da expressão e lanches sobre y tudo bem isso aqui vai dar já posso deixar isso aqui significa só que é y ao quadrado sobre isso ao quadrado mais x quadrado vezes agora fim quanto da eu penso em x constante e um y avaliando como é que dá essa derivada quanto da - x sobre y ao quadrado tudo bem
agora o y quadrado cansar e isso aqui dá menos x sobre x quadrado mais y quadrado tudo bem então não tem muito segredo é só tomar cuidado né usar as regras de elevação que a gente já conhece e em deriva normalmente né pensando na variável constante e ideli em relação a outro isso é quando a função é dada por uma expressão só né o problema há os problemas mais difíceis aparecem quando a gente tem aquelas funções quebradas nela vale isto pra alguns x alguns pares x y e vale outra coisa então quando emenda a gente
tem que tomar mais cuidado né então vamos lá é o que a gente também viu na aula passada eu acho importante é recordar foi o exemplo de uma função que tinha as duas derivadas parciais num ponto e não era contínua naquele ponto tá só vou escrever aqui rapidinho vimos né um exemplo claro que existem outros né depois hoje na lista tem alguns outros para vocês fazerem mas eu dei fdx y igual à x e y sobre x 2 mais y2 se x y é diferente de zero 0 nessa aqui só existe xy for diferente de
000 00 a gente inventa foi colocado que ela é zero zero zero e aí o que a gente viu é que esta função desse jeito existe avery wahda da wef dell x 00 também existe a derivada do fdny calculado em 2000 essas contas a gente já fez no ano passado e ela tinha o defeito de não ser contínuo 00 então o fato dela ter derivadas parciais não é suficiente né não é uma condição suficiente para que ela seja contínuo e isso poderia causar um pouco de surpresa né porque em cálculo se a função de uma
função de uma variável têm levado em um ponto é contínuo naquele ponto então há a existência das brigadas parciais não garantem a continuidade então é porque esse conceito aqui é fraco de uma certa forma nessa condição aqui não é suficiente para garantir essa então o que a gente vai vai estudar na aula de hoje é uma outra definição que exige mais da função do que essa existência só das derivadas parciais num ponto ela vai ser um pouco mais exigente mas o que a gente quer é garantir pelo menos o teorema se a efe eu vou
definir o que é uma função diferenciada eu e aí eu vou ter o teorema cief diferenciável então é contínuo tá pra pra gente para as coisas ficarem mais claras né eu vou recordar como é que querem cálculo um e fazer algumas comparações para depois a gente poder generalizar tá então lá em cálculo 1 se eu tenho uma função é uma função que vai fazer assim y igual fdx é derivava eu num ponto x 0 como é que era a mesma definição se aconteceu que se existe né o limite me ajudem eu vou fazer é o
f e x eu vou escrever x 0 mais h daquele outro jeito - fdx 0 sobre h quando a gata 0 concordam comigo tá bom é então isso aqui então quando e se existe é porque é um número a agente de nota por essa linha de x 0 mas eu por enquanto vou deixar um número vou dizer que é um número a real tá bom é não daria progênie o que está escrito aqui né a diferença dos valores df e dois valores df dividido pelo acréscimo que foi dado não é isso e depois faz o
limite quando a gente faz com duas variáveis eu vou dar um acréscimo eu queria eu iria querer alguma coisa do tipo f x 0 mas hmx u10 mais cá - fdx 0 e fez o 1 0 seria isso aqui então o acréscimo que a gente dá é de um par hk ea gente não dividir por paris não dá pra dividida eu tenho que dividir por número isso aqui é um vetor então eu não dá pra generalizar do jeito que está então a gente vai modificar um pouquinho essa definição só para depois poder imitar então vou
escrever isso aqui de outro jeito eu vou escrever assim ó limite quando a gata em dia 01 de fd x 0 mais h - fdx 0 sobre h eu vou escrever - a igual a zero até aí todo mundo concorda porque o limite da constante é constante então eu coloquei a constante pra cá e pra dentro do limite então essa essas duas coisas são equivalentes essas duas igualdades são equivalentes e agora o que eu vou fazer é colocar no mesmo denominador então vai ficar limite quando h tende a zero df de x 0 mais h
- fdx 0 - á h sobre h tudo bem igual a zero em mais uma última e aí eu quero que fique claro essa última que é equivalente uma vez concordam comigo limite quando h tende a zero de fdx eram mais h - f x 0 - h sobre o módulo dh goza é eu coloquei um módulo porque esses dois são equivalentes o que acontece se você tem uma expressão eu vou chamar essa expressão aqui de jogar o idh sobre h dizer que o limite quando a gata em dia zero de uma um paciente de
60 significa que eu consigo é fazer esta esta isto aqui nesse valor aqui a diferença nem eu consigo fazer o módulo da diferença ficar menor do que o maps ou qualquer que seja é tá pra eu descubro intervalo né centrado no zero pro a gafe ao que eu sei que é dh sobre h - 0 a diferença entre esse é meu eu consigo fazer ficar menor do que é absoluto qualquer que seja esse número é tão pequena quanto a gente quiser agora se eu vou trocar esta dá essa expressão por s ó mudou alguma coisa
vocês concordam que isso aqui isso é a mesma coisa tá então se é menor que essa é que é absurdo essa aqui também é menor que epson porque elas são iguais então eu consigo se eu consigo fazer essa expressão a diferença entre essa expressão zero fica menor que a epsilon a diferença entre esta expressão zero também é que é então esse módulo aqui não atrapalhou em nada isso é porque aqui é zero tangente se aqui fosse outro número já não daria certo o limite igual a zero é especial é esse 0 aqui que permite fazer
essa essa alteração tá bom então é isso aqui olha é para funções de uma variável mas isso aqui ficou de um jeito bom que vai inspirar é é pensando nessa expressão que eu vou de definir o que é uma função de duas variáveis diferenciável num ponto tudo bem tá então eu vou olhar para esta expressão ó uma função aqui é em cálculo a palavra é ser derivava véu e ser diferenciável é sinônimo né então eu posso dizer que é eu eu vou escrever assim é derivava eu ou diferenciável em x 0 né se é porque
eu vou em cálculo dois eu vou usar esta palavra em cálculo tanto faz tá então o que normalmente a gente aprende a este e eu dei uma má fumada aqui pra ficar com uma expressão equivalente mas a escrita de outro jeito para que fique boa para adaptar para o caso de duas variáveis bom como é que é uma f é de de uns agora vou pegar um conjunto a em r é o x érea y10 pertencente a esse a a um conjunto aberto um sub-conjunto a aberto de r 2 eu já contei pra vocês o
que é um conjunto aberto do plano eu já cheguei a explicar não não né então vamos lá a gente diz que um conjunto é aberto ta é sim pra cada ponto do conjunto a existir uma bola a uma bola aberta com o centro nesse ponto e raio maior do que zero inteiramente continuar então o conjunto há aqui um parêntesis né ai aberto somente ser pra qualquer ponto eu vou chamar ponto dp por enquanto tá pertencente a existir uma bola aberta com o centro em pé e raio r positivo talk a chegou a chamar essa bola
é de b b está contida em então pra ficar claro que que é isso é melhor mostrar o que não é né se eu pegar só o primeiro quadrante seus eixos um exemplo é um exemplo aqui esse conjunto será que para cada ponto é esse aqui o conjunto dos pares xy tais que x é maior que 0 é o y maior fizer será que esse conjunto é aberto então eu teria que pegar qualquer ponto mesmo que eu pegue bem pertinho do eixo né pega um ponto aqui tem uma bola com o centro nesse ponto inteirinha
dentro do do conjunto então você olha a distância daqui até o alguma extremidade né o tema distância positivo aqui você pode dividir por dois o pega uma bola então mesmo que você chegue bem pertinho sempre vai ter uma distância que você pode diminuir um pouquinho e conseguiu uma bola inteirinha lá dentro agora eu pusesse um igual ali por exemplo é pegar um conjunto um conjunto c igual ao conjunto dos x e y tais quiches é maior ou igual a zero o índice foi maior quiser então aqui eu estaria pegando é desculpa x o xis pode
ser zero e um y não pode ser zero y é continuidade a esse conjunto c aqui é um conjunto aberto do plano então eu teria que pegar qualquer ponto do conjunto e colocar uma bolinha inteira dentro do bonde é que isso não vai dar certo no eixo se eu pegar um bom os pontos do eixo são ponto de ser e aqui não cabe nenhuma bola com nenhum raio inteirinha dentro do conjunto então esse conjunto aqui não é aberto então aí de s porque eu tô falando tudo isso né porque quando eu quero fazer aquele limite
né pra fazer a derivada pra ver se a função diferenciada eu quero fazer limite em todas as direções então o ponto esse ponto aqui onde eu vou ver se f diferenciável no ponto eu preciso calcular o limite pra hk né eu quero deslocar eu vou pegar o x10 x10 depois um outro ponto x y e mas esse xis isso não tem que poder a eu eu preciso fazer limite porém todas as direções por todos os lados então eu preciso que o ponto esteja dentro do do conjunto todo do conjunto a então eu preciso de um
domínio aberto eu tinha um a um conjunto aberto do plano e x 0 1 0 1 ponto lá dentro dentro do a e aí o que que é dizer aí a função efe definida de a r uma função né é o que é q f é diferenciar viveu no ponto x 0 y 0 é preciso dar esclarecer o que é dizer isso tá é é isso é f é diferenciado e x10 x10 se existir se o limite a que eu vou fazer vou imitar eu vou limitar este aqui eu tinha uma variável só né agora
eu vou fazer para duas variáveis mas limitando aquele eu vou falar aqui fdx eram mais hybrid3 0 10 - o h - bk sobre a norma dh aqui eu tô pensando norma de victor quando hk tende a zero zero foi igual a zero mas a inventar umas coisas novas aqui né então aqui um bem aqui que não fazem parte dos meus dados né então efe diferenciável se existirem números a e b pertencentes à r tais que que fazem esse limite ficará igual a zero tá bom eu vou só pra simplificar a notação esse numerador aqui
eu vou chamar de hedge hk lembra alguma coisa né eu vou chamar d e e h k essa diferença de fd x 0 mais h y é mais cá - fdx 0 - h - dbk só pra não ficar escrevendo tudo isso tempo todo né e e vocês lembram do erro lado pelo nome de temer é essa aqui é a expressão para duas variáveis que a gente tem é é um análogo do taylor duas variáveis porque aqui tem tudo isso aqui seria a é o pac está faltando y10 esse pedaço aqui se eu puser um
parêntesis assim esse pedaço aqui a gente vai ver na próxima aula que só que a equação do planeta gente então eu estou fazendo como eu fiz em tauá apolônio de uma variável se tem uma superfície agora né eu tenho uma superfície aqui e um plano tangente e esse idh calculado essa diferença assim num ponto mas isso depois a gente vê com mais detalhe só pra mais ou menos vocês verem que as coisas estão relacionadas né [Música]
