CONJUNTOS E FUNÇÕES

[Música] Olá estudantes espero que vocês estejam bem meu nome é Ana eu sou professora de matemática vou começar me apresentando e falando um pouquinho mais sobre a minha formação eu sou graduada em licenciatura em matemática pela Universidade do Estado de Minas Gerais unidade de Divinópolis sou mestra e matemática aplicada pela pelo IMEC Instituto de matemática estatística e computação científica da Unicamp e atualmente sou doutoranda neste mesmo programa de matemática aplicada da Unicamp Nesta aula a gente vai aprender um pouquinho sobre conjuntos operações entre conjuntos funções composições de funções e famílias vou falar um pouquinho com

certeza algum desses assuntos vocês já ouviram em outros momentos mas nessa disciplina de introdução análise real a gente aprofunda um pouquinho mais nestes conteúdos tá bom bom o que são conjuntos os conjuntos são compostos por objetos nesses objetos a gente dá o nome de elementos Ok esses elementos a relação deles com os conjuntos a gente chama de relação de pertinência Então se um elemento ele pertence a um conjunto se ele está nesse conjunto eu falo que ele pertence a este conjunto se ele não está nesse conjunto eu vou falar que ele não pertence a esse

Conjunto O conjunto ele sempre é representado por letras maiúsculas e os elementos eles vão sempre estar dentro de Chaves e separados por vírgula Ok e nós definimos um conjunto através de uma regra que permite decidir se um dado elemento ele está nesse conjunto ou não por exemplo aqui o conjunto A Note que a está em letra maiúscula ok aqui eu falo que a é o conjunto das vogais então ser ou não uma vogal é a regra que define quem está nesse conjunto E quem não está nesse conjunto Então esse conjunto ele é formado por Enem

Chaves e separado por vírgulas eu tenho os elementos a e i o e u certo eh relação de pertinência desse conjunto eu posso afirmar que é está pertence a esse conjunto E eu posso afirmar que b não pertence a esse conjunto por quê E é uma vogal então eu escrevo e pertence ao conjunto A e B é uma consoante B não é uma vogal então eu escrevo b não pertence ao conjunto A Ok Esse é o conjunto dos números pares de 0 a 20 divisíveis por 3 Quem são os elementos de S então 0 6

12 e 18 Esses são todos os números pares de 0 a 20 que também são divisíveis por três essa aqui então é a nossa regra essa aqui então é a nossa regra ok que define quem é o nosso Conjunto S os elementos de S são 0 6 12 18 estão entre Chaves separados por vírgula e s foi escrito aqui com letra maiúscula Ok bom continuando a gente tem alguns tipos especiais de conjuntos são erros o conjunto vazio quem é o conjunto vazio conjunto que não possui elementos Ok então esse é o nosso conjunto vazio conjunto

vazio eu posso denotar ele de duas formas ou eu vou escrever a igual a Chaves vazio tá não vou colocar nada ali dentro ou eu vou escrever a igual a esse símbolo aqui esse símbolo eu chamo de vazio Ok além do conjunto vazio nós temos outro conjunto que a gente chama de conjunto unitário conjunto unitário são os conjuntos que possuem um único elemento Ok conjunto finito conjunto finito é quando eu tenho uma quantidade contável de elementos Ok eu consigo numerar Quantos elementos eu tenho ali dentro daquele conjunto E o conjunto infinito é o contrário é

quando eu não consigo contar não existe uma quantidade contável de elementos dentro de um conjunto por exemplo aqui eu tenho o conjunto A que ele formado pelos elementos a b e c o conjunto B que é formado pelos elementos a a b e c e o conjunto C que é formados pelos elementos c a e b eu afirmo para vocês que a é igual a B que é igual a c ou seja esses três conjuntos eles são iguais Por que que eles são iguais Note que o b tem duas letras as mas quando a gente

tem conjuntos os elementos eles não aparecem repetidos Ok então eu posso escrever o a ou assim ou assim Ok vai ser a mesma coisa E além disso O conjunto ele não necessariamente precisa vir ordenado Ok então aqui o c a e b não está na ordem correta né do alfabeto a b c mas ainda assim mesmo que eles estão fora de ordem isso não importa esse conjunto C continua sendo igual ao meu conjunto A Ok Além disso eu tenho se eu pego a igual a vazio a igual a vazio b igual vazio dentro de Chaves

eu afirmo para vocês que a é diferente de B por A é igual ao vazio a é o conjunto vazio mas B B é um conjunto unitário Ok B é um conjunto unitário é o conjunto do elemento vazio Ok então se você quer denotar o conjunto vazio ou você escreve assim a chave sem nada dentro ou você coloca só o símbolo do vazio não dá para colocar os dois juntos porque essa anotação aqui é o conjunto unitário em que o único elemento dele é o próprio vazio Ok continuando definição de de subconjuntos B é subconjunto

de a se todo elemento que está em B também está em a imagine um balão vermelho e um balão azul se eu coloco o balão vermelho dentro do balão azul eu vou falar que o o balão vermelho está dentro do azul ou seja ele é como se fosse um subconjunto do azul certo aqui a gente tem a mesma coisa todo o ar que está dentro do balão vermelho vocês concordam que ele também está dentro do do Balão Azul certo então quando eu tenho aqui um balão azul que eu vou chamar de a e eu tenho

aqui um balão vermelho que eu vou chamar de B e eu falo que B está dentro de a certo conjunto B está dentro do conjunto A significa que todo x que eu pegar aqui em B esse x também vai estar dentro do meu conjunto A Ok a notação de subconjunto se dá através D esse símbolo aqui que a gente lê contido ok a gente lê B está contido em a ou de forma análoga a gente pode falar que o a contém o b através desse outro símbolo aqui ok no caso em que a com está

contido em b e B está contido em A então um tá dentro do outro e o outro tá dentro do um a gente afirma que o A é igual a B isso só ocorre quando os dois conjuntos são iguais Ok Isso é uma forma que a gente utiliza para provar que dois conjuntos são iguais que que eu faço eu provo que o a está contido em b e o b está contido em a ok O que que significa então estar contido significa que se B tá contido em a todo elemento que eu tomar dentro de

B também vai estar em a Ok por exemplo aqui eu tenho o conjunto A que é a b e c e aqui eu tenho o conjunto B B que é formado só só pelo elemento C eu afirmo para vocês que B tá contido em a por o elemento b o elemento C de B tá aqui dentro do a todo elemento de b está contido em a mas o contrário não é válido por nem todo elemento de A tá aqui dentro do B Ok na número do eu tenho que ir a igual a ABC e B

ig a cab a gente acabou de ver que A e B são iguais nesse caso que a ordem entre conjuntos não importa certo Então nesse caso é o caso em que a está contido em b e B está contido em A então eu posso afirmar o quê eu posso afirmar que a e b são iguais ok uma observação muito importante tá isso pode ser assunto de prova inclusive de marcar verdadeiro ou falso geralmente cai bastante vazio é subconjunto de qualquer conjunto bom outra definição é o conjunto das partes então o conjunto das partes de um

conjunto A eu vou denotar por esse p caligráfico a é o conjunto de todos os subconjuntos de A então a gente sabe que se a é um conjunto eu consigo tirar elementos ali de dentro e montar vários subconjuntos certo então eu consigo pegar um conjunto geral que eu vou chamar de conjunto das partes de a que é a junção de todos os subconjuntos possíveis de A tá bom por exemplo aqui eu tenho a é 1 2 e 3 O conjunto das partes de A será todas as possibilidades de subconjuntos que a pode ter como eu

acabei de falar com vocês vazio é subconjunto de qualquer conjunto certo então vazio vai entrar o número um é um subconjunto unitário o dois e o três também são subconjuntos unitários que eu consigo formar a partir de a agora eu parto para formar o subconjuntos de dois elementos que são eles um com dois o um com três e o três o dois com três Ok então aqui são os conjuntos de dois elementos e ainda o próprio a é subconjunto dele próprio então aqui eu tenho o próprio conjunto a 1 2 e 3 mas Ana Quantos

elementos vai ter o conjunto das partes eu afirmo para vocês que o conjunto das partes sempre vai ter essa regrinha aqui dois elevado a quantidade de elementos que a possui esse hash a aqui é a cardinalidade de a ou seja Quantos elementos o a possui no nosso caso ó o a possui 1 2 três elementos então a cardinalidade do a é três Ok então Quantos elementos o conjunto das partes vai ter o conjunto das partes de a nesse caso vai ter 2 elevado a 3 2 elevado a 3 é 8 vamos contar para ver se

a gente realmente listou todos os oito 1 2 3 4 5 6 7 8 Ok então tá tudo aqui então o conjunto das partes o conjunto de todos os subconjuntos de a bom Passando pro próximo tópico a gente tem operações entre conjuntos Com certeza Em algum momento vocês já ouviram falar sobre união interceção complementar de um conjunto E agora a gente vai tratar isso daqui de forma mais aprofundada ok definição de União o que que é a união entre os conjuntos a e b a união entre os conjuntos A e B é o conjunto formado

por todos os elementos de a adicionado os elementos de B Ok então eu vou pegar os elementos de a vou colocar numa gavetinha vou colocar na mesma gavetinha os elementos de b e aquela gavetinha ali vai ser a união de A e B Ok anotação de União acredito que também não seja novidade mas é dado por esse símbolo aqui a gente lê a união B Ok então o que que significa dizer que tem um X em a união com b B se x está na união entre a e b significa dizer que eu peguei esse

x ou em a ou em B se o x tá em a ok ele também tá na União ou se o x tá em B ele também vai tá na União de a com B Ok então se eu tiro um elemento aleatório qualquer elemento da união entre a e b eu posso afirmar que ele não vai est em C ele pode até estar em C mas eu afirmo que ou ele tá em a ou ele tá em B Ok eu tenho certeza disso simbolicamente Quem que é o conjunto a união com B também a gente

pode escrever X essa Barrinha aqui em pé a gente lê tal que ok então x tal que x pertence a a ou x pertence a b Ok exemplo aqui eu tenho o conjunto A que é o conjunto dos elementos 1 do e TR conjunto B que é o conjunto dos elementos quat e 5 Quem que é o conjunto União conjunto União vai ser vou pegar todos os elementos de a que é o 1 2 e 3 aqui e agora eu vou pegar todos os elementos de b e vou colocar aqui dentro desse mesmos conjuntos quatro

e cinco certo então a união a gente pode Enxergar como uma gavetinha que a gente vai pegar todos os todas os elementos de a todos os elementos de b e jogar tudo dentro dessa gavetinha tá bom eh quem que é o conjunto união de C e D nesse caso aqui desse desenho tá então aqui eu tenho o conjunto C aqui eu tenho o conjunto con junto d a união vai ser essa parte riscadinha aqui ó a gente fala achurada tá então a união vai ser toda essa parte aqui que eu estou pintando tá bom certo

agora intersecção o que que é interseção entre dois conjuntos a interseção entre o conjunto A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a a e a b simultaneamente essa palavrinha aqui significa que tá em a e em B ao mesmo tempo Ok como notação Eu tenho esse aqui então a interseção B certo dizer que qualquer x pertence a a interseção B significa dizer que o X Ele está simultaneamente em a e em B ok ele está em a e em B ao mesmo tempo e simbolicamente a gente escreve o conjunto A interseção

com B da seguinte forma x vai ser o conjunto de todos os X tá tal que o x pertence a a e o x pertence a B ao mesmo tempo tá bom por exemplo aqui eu tenho o elemento a o conjunto A que tem os elementos 1 2 e 3 o b tem os elementos dois e três eu quero saber qual que qual que vai ser a interceção desse conjunto A gavetinha da interceção ela é um pouco mais restrita enquanto a gavetinha da União a gente pega os dois conjuntos e junta tudo a interseção ela

é mais restrita a gente vai pegar e vai colocar na gavetinha Só aqueles elementos que fazem parte dos dois conjuntos ao mesmo tempo então essa daqui ó é a gavetinha da seção entre a e b Quais elementos que vai est nessa gavetinha eu tenho certeza que o dois vai estar por que que o dois tá porque o dois tá no a e no B ao mesmo tempo e o três também tá por qu ele tá no a e no B ao mesmo tempo o um ele não tá ó por quê Porque o um só tá

no a o um não está no B Ok e de forma através de desenhos a gente pode ver que o conjunto interseção de C que é esse conjunto aqui com o d quem que é interseção Essa parte a jurada aqui coloridinha tá bom é só a parte em que dois conjuntos se encontram Ok bom qual que é a diferença então de dois conjuntos a diferença entre os conjuntos A e B é formado pelos elementos que pertencem a a certo os elementos que estão em a e não pertencem a b eles estão unicamente em A tá

bom a notação é a - b Ok e dizer que um X qualquer Ele está na diferença entre a e b significa o quê significa dizer que o x tá em a e o x não está em B esses conectivos i e ou são muito utilizados na introdução análise Real Tá bom então é bom sempre estar se acostumando com eles simbolicamente quem que é o conjunto A - B é todo x tal que x pertence a a e x não pertence a b ok equivalentemente a gente pode definir diferença como complementar então a diferença de

a e b é a mesma coisa de o complementar de B em relação a a Ok e pode ser escrito também ou a - b ou complementar de B em relação a a que tem essa notação aqui tá bom Por exemplo seja a igual Conjunto 1 2 3 B igual ao conjunto 2 e 3 eu quero a - b eu quero os elementos que estão em a e não estão em b ó vamos ver quem vai est nesse conjunto vou riscar primeiro quem não vai est o TR está no b então eu sei que ele

não vai fazer parte do a - b o do também tá no b então eu sei que ele não vai fazer parte do a - b tá então o único elemento que tá em a e não está no B é o elemento um então a - b é igual ao conjunto unitário que só tem o elemento um ok equivalentemente o complementário de B em relação a a é apenas o elemento um tá bom e da mesma forma que a gente fez anteriormente quem que é c - d Ok eu vou pegar o c e vou

excluir ó vou jogar fora tudo isso daqui de D Ok então vai sobrar para mim só essa parte aqui do C ó coloridinho aqui Ok bom passando agora pro Segundo assunto que eu gosto bastante é funções vamos ver então o que que define uma função uma função eu vou escrever anotação da seguinte forma é uma função f que ela vai de A até B Ok é uma regra que relaciona cada elemento do conjunto A então cada elemento do conjunto A Com um único elemento do conjunto B tá então isso daqui é a definição de função

eu vou dar alguns exemplos aqui para vocês e a gente vai discutindo se a função que eu vou criar é uma função ou se não é uma função Tá bom então eu vou fazer o seguinte eu vou pegar alguns elementos aqui do conjunto A vou pegar esses elementos aqui que são esses pontinhos que eu tô criando Vou Chamar esse aqui de X1 X2 X3 e X4 esse conjunto A eu vou dar o nome a esse conjunto ele vai chamar domínio Tá bom então a função ela é uma relação certo que vai pegar para cada elemento

do conjunto A ela vai associar esse elemento vou associar através de uma flechinha tá H um único elemento do conjunto B que eu vou chamar nesse caso aqui de y1 Então vai pegar aqui o X2 vou associar vou associar esse X2 nesse Y 2 aqui vou pegar esse X3 e vou associar nesse y3 e esse X4 aqui vou associar nesse y4 nesse y4 Ok isso então é uma função não necessariamente a função ela vai tá sempre bonitinha sim o único o elemento de a indo unicamente até um elemento de b tá Às vezes eu vou

ter isso aqui ó eu vou ter que esse elemento X4 ele também vai ser ligado ao y3 se isso acontece esse caso F ainda é uma função Vamos ler novamente a definição juntos o conjunto A então Ó a função ela é uma regra que relaciona cada elemento do conjunto A então cada elemento do conjunto a a o um único elemento do conjunto B X1 tá relacionando unicamente a um y1 X2 está relacionando unicamente a um Y2 X3 da mesma forma o X4 tá relacionando unicamente também ó a um único elemento o que que aconteceria se

o X4 não relacionasse unicamente a um elemento de b seria um X4 que tá indo pro y3 e pro y4 ao mesmo tempo nesse nesse caso o X4 não relaciona unicamente com não relaciona com o único elemento de b certo Então nesse caso a gente não teria uma função tá bom Então nesse caso aqui ó não tem problema se isso aqui acontece o problema é quando eu tenho duas flechinhas saindo de um mesmo cara do domínio tá bom nesse caso não seria função certo eu posso ter aqui por exemplo também então ó posso falar que

todos todos os meus elementos do domínio ó pode ir para único cara certo nesse caso eu vou ter uma função constante eh E daqui a pouquinho a gente vai entender melhor sobre isso isso aqui ainda é uma função por quê Porque não contradiz a nossa definição cada elemento de a está sendo ligado a um único elemento de b certo o que não poderia acontecer é isso aqui ó o X4 não estão relacionado a nenhum elemento do conjunto B tá bom eh nesse caso não seria função por cada elemento do conjunto A todos quando eu falo

cada Eu me refiro a todos todos os elementos de ais T que est relacionada a b Ok então esse caso aqui é outro caso que não seria função certo bom eu falei com vocês que a eu vou chamar de domínio então B eu vou chamar de contradomínio E aí Vocês perguntam pergunt Ana eu já vi alguém chamando alguma coisa de imagem se a é o domínio e B é o contradomínio quem que é a imagem a imagem depende da função certo e nesse caso o o X4 aqui eu coloquei ligado com esse y3 nesse caso

quem que é a imagem a imagem da minha função f vai ser y1 y3 por quê Porque y1 e y3 são os únicos caras do contradomínio que recebe uma flechinha lá do a certo então a imagem sempre vai ser eh caras que estão sendo correspondidos por elementos de a certo no caso em que eu tenho isso daqui todo o elemento de b recebe flechinha eu vou falar que a imagem F vai ser propriamente o conjunto B certo então o domínio é igual a imagem Ok Isso não ocorre em todos os casos e quando ocorre a

gente vai ver que isso tem um tratamento especial bom eu gosto de relacionar função com a ideia de uma máquina por exemplo uma máquina de fazer borracha essa borracha aí de atacar papel a gente sabe que gasta látex provavelmente gasta corante se for uma borracha coloridinha se for uma borracha acredito também que deve levar água na composição enfim que que pessoas que produzem a borracha fazem imagina que essa máquina aqui minha então ela produz borracha Ok então o que que vai acontecer vai entrar nessa máquina quem que entra aqui a matériaprima certo aí dentro dessa

máquina essa máquina vai trabalhar e vai sair daqui de dentro o que que vai sair daqui de dentro a borracha Ok então essa daqui assim funciona uma máquina de fazer borracha a função a gente consegue relacionar ela da mesma forma quem que vai entrar na minha função essa função aqui eu vou chamar ela de F tá bom essa máquina eu vou chamar ela de F quem que vai entrar na minha F vai entrar na minha F os elementos do domínio que é os elementos de a certo aqui Quem que tá em a todos os X

certo então eu vou entrar com o x aqui certo essa função ela vai fazer alguma coisa com o X então o x vai entrar vai se transformar e vai sair quem vai sair um X transformado que eu vou chamar ele de F Dex ou então eu posso chamar ele de y esse Y vai tá onde esse Y ó ele vai sair aqui ó no B certo então que que a função faz ela pega elementos de F de A tá bom ela transforma e leva e sai aqui elementos de B Ok cada função ela tem uma

regra de Formação diferente diente esse exemplo aqui por exemplo ó um que que essa função faz eu vou colocar um cara ali dentro que é um X qualquer aí quem que vai sair dessa função de dentro dessa máquina vai sair esse cara que entrou elevado ao quadrado certo então se essa máquina aqui ela for uma máquina FX que ela pega o cara que entrar e eleva ao quadrado Se eu entrar aqui com o número dois quem que vai sair esse do vai entrar vai ser elevado ao quadrado e vai sair o 4 Se eu entrar

agora aqui com o elemento oito vai sair o 64 certo então todo o elemento que passa por dentro dessa máquina vai sair transformado e a transformação que essa máquina especificamente faz é levar esse cara que entrou ao quadrado Ok entretanto eu posso ter outra regra de formação como por exemplo esse exemplo dois aqui ó vai entrar um cara que é o x x esse x tá aqui no domínio no A tá bom e vai sair um cara que vai est em B Mas qual que vai ser a cara desse elemento que vai sair ele vai

ser o inverso do elemento que entrou então por exemplo F Dex vai ser igual a 1 sobre x Ok vai entrar aqui um do por exemplo naquela outra máquina o dois sairia elevado ao quadrado então sairia um quro essa máquina aqui ó ela vai processar esse dois e vai sair o 1 sobre 2 ok se entrar o 4 vai sair aqui o 1 sobre 4 Ok então é isso que é uma função certo a gente pode associar a relação entre função e uma máquina Ok a função ela transforma o elemento que entra assim como uma

máquina transforma a matériaprima no produto final tá bom observação quando é que duas funções são iguais duas funções são iguais apenas e somente nesse caso em que elas possuem o mesmo domínio Quem que é o domínio esse cara aqui o mesmo contradomínio quem que é o contradomínio o b tá bom e a mesma relação quem que é a mesma relação ó relação nesse caso seria essa a gente pode verificar que no caso dessa F aqui ó essa F eu vou tomar ela primeiro como sendo X qu depois 1 sobre X para esse primeiro exemplo o

domínio e o contradomínio são iguais ao domínio e o contradomínio para esse segundo exemplo porque eu tô pegando todos os conjuntos de A e B certo porém a a lei de formação é diferente Enquanto essa aqui eleva o cara ao quadrado A segunda toma o inverso desse cara que entrou na minha máquina Tá bom então por esse motivo essas duas funções são diferentes tá bom para ser igual precisa ter o mesmo domínio o mesmo contradomínio e a mesma relação consequentemente a Gente terá a mesma imagem também tá bom bom o que que é o gráfico

de uma função Provavelmente você já desenhou um gráfico tá e provavelmente você Já desenhou o gráfico de fx = X qu e vocês sabem que não é isso aqui que eu não desenho muito bem mas é uma coisa parecida com isso certo ã o que que é a definição de gráfico de uma função então dado uma função f que ela vai de A até B O gráfico dessa função é denotado por essa notação aqui GDF e é o subconjunto do produto cartesiano a cartesiano B que é formado pelos pares ordenados x FX certo então o

gráfico de F vai ser todos os pares ordenados x FX por exemplo se a gente observar aqui na imagem aqui eu tenho x que pertence a essa reta a aqui o conjunto A tá se eu for ver quanto é que vale FX vai dar esse ponto aqui e aqui a gente tem F Dex que é o b então o gráfico vai ser formado por todos os pontinhos todas as coordenadas certos paros ordenados de a de de x e f Dex Ok então isso que é a definição de um gráfico então juntando todos esses pares ordenados

eu consigo traçar essa linha certo e aí a gente consegue obter o gráfico que é o que a gente conhece o que a gente a gente já fez aí anteriormente vai fazer muito ainda agora paraa frente tá bom bom existem alguns tipos de classificar funções o que que são as funções bijetoras uma função bijetora é uma função que ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo é fácil né bom que que é ser injetora injetora é quando para todo x diferente de Y quando eu tenho x e y diferente a imagem de x e y

também vai ser diferente por exemplo quando eu tinha lá aqueles dois conjuntinhos lá a e b e eu tinha aqui uma função entre eles eu quero a tenho a função f que vai de A até B todo o elemento de a se se esses dois elementos de a aqui Eles são diferentes certo eles vão ligar ser ligados ó em caras diferentes tá então a diferença desses dois elementos aqui implica a diferença da imagem deles Ok então isso sempre vai acontecer graficamente se a gente for fazer esse diagrama aqui a gente pode ter a seguinte relação

uma função é injetora quando eu tenho uma S um indo para um certo nunca vai ter um cara aqui ó ligado a do dois Pontin um um pontinho igual ao do cara anterior certo então sempre vai ter uma coisa bonitinha assim parecida com isso Isso é ser injetora a função fx = X + 1 que é esse exemplo aqui que eu trouxe ela é injetora por quê Porque se eu tomo x = 1 x = 2 por exemplo o 1 é diferente de 2 tá tá então o X é diferente de y um diferente de

do quem que é FX = a 1 é 2 quem que é FX igual a 2 É 2 + 1 que é 3 então a imagem de um é diferente da imagem de 2 Ok Então nesse caso essa função ela é injetora aqui eu mostrei um exemplo para um caso mas quando a gente prova que é injetora a gente tem que provar para todo X em geral tá bom E ainda posso dizer que gx = x qu não é injetora por quê se eu tenho aqui agora o conjunto A e o conjunto B aqui eu

vou ter o elemento dois certo e aqui eu vou ter o elemento -2 Ok eu consigo levar esse elemento 2 qu É iG a 4 só que -2 qu também é igual a 4 tá vendo que eu tenho setinha saindo de caras diferentes levando na mesma imagem então por isso F GX = x não é injetora Ok bom E quando é que uma função ela é sobrejetora a função ela é sobrejetora se para todo B lá do contradomínio tá então aqui eu tenho a e aqui eu tenho o contradomínio b então para todo Bezinho que

eu tenho aqui no contradomínio vai existir algum a no domínio certo tal que f de A é igual a AB então aqui eu peguei o b1 vai ter o A1 se eu pegar o b2 vai ter um A2 aqui vai ter um A2 aqui certo então para todo ponho aqui de B eu vou ter um pontinho aqui em a que vai satisfazer essa relação O que que significa então ser sobrejetora significa que a imagem da minha função vai ser igual ao próprio contradomínio tá ou seja não vai sobrar nenhum elemento aqui em B que não

vai fazer relação com os elementos de a Tá bom então isso que significa ser sobrejetora bom um ex aqui eu tenho uma F que vai do conjunto dos números inteiros até o conjunto dos números inteiros tá bom nesse caso eu tô pegando uma f = x qu e eu vou afirmar para vocês que ela não é sobrejetora por vocês concordam que aqui no contradomínio no conjunto Z tem o elemento do certo ó no contradomínio tem um elemento do ok para sobrejetora eu preciso que aqui no domínio ten algum elemento a tal que quando eu elevo

esse a ao quadrado vai dar para mim quem o meu b = a 2 só que existe algum cara que ao quadrado dá 2 sendo que eu tô trabalhando nos inteiros bom eu tenho que então que a quadrado tem que ser igual a 2 então a tem que ser igual a mais ou menos a raiz de 2 ok porém mais ou menos raiz de2 não tem seu conjunto dos números inteiros eu sei que √2 é um número irracional tá bom não é inteiro Então por esse motivo a minha função f não é sobrejetora OK porque

não existe a em z tal que a quadado é igual a 2 mas o meu outro exemplo fx = X + 1 É sobrejetora tá bom porque Qualquer que seja o elemento que eu tomar lá no meu domínio eu vou conseguir lá no meu contradomínio eu vou conseguir um correspondente a ele no domínio Tá bom então bijetora ela é bijetora se ela é injetora e sobrejetora simultaneamente tá bom por exemplo a gente viu que g de x = x qu não era injetora e ela também não é sobrejetora então obviamente ela não vai ser bijetora

tá bom e a gente viu aqui ainda Que fx = X + 1 e FX igual a x + 1 aqui também a gente viu que ela é Ela é injetora e ela é sobrejetora então se ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo a gente sabe então que ela é bijetora Ok bom aqui então a gente tem uma definição acredito que seja uma coisa nova para vocês que é o que eu chamo de imagem inversa antes de explicar o que que é imagem inversa eu gostaria de explicar para vocês o que que é imagem

de F E a imagem de um subconjunto do domínio Tá bom então aqui primeiramente vamos conversar um pouquinho sobre o que que é a imagem de f a imagem de F A gente já viu que ela tá no contradomínio né então a imagem de F vai ser todo B que pertence ao contradomínio tá bom tal que existe um a lá no domínio sendo que quando eu tomo f de a esse f de a vai ser igual ao b então para cada B que eu tomar lá no Cult domínio eu vou ter um correspondente a lá

no domínio tal que quando eu tomo f de a esse a esse f de a vai ser igual a um B lá do domínio tá bom esse conjunto de BS do contradomínio vai ser o conjunto imagem da minha função f agora eu vou pensar no subconjunto do domínio Tá bom eu vou tomar um X que ele é subconjunto de A tá eu vou aplicar f em todo o elemento desse conjunto x que é é subconjunto de A então eu falo que a imagem de X por F é dada por essa notação aqui f de xão

tá bom xão porque é maiúsculo o conjunto x pertencente contido em a e quem que vai ser a imagem de X por F vai ser o conjunto de todos os BS que estão lá no contradomínio tal que vai existir um x no domínio especificamente dentro desse conjunto x que tá contido em a certo tal que quando eu pegar FX esse FX vai ser levado nesse Bezinho que eu peguei lá no meu conjunto B que é o contradomínio certo então isso é a imagem de X por F eu vou pegar uma parte do conjunto de a

Ok e vou ver aonde é que essa parte do conjunto de a vai estar levando lá no conjunto B porém especificamente na imagem de X por F Ok então se eu pegar a imagem de um subconjunto do domínio a vai ser um subconjunto do contradomínio Tá bom vou tentar desenhar isso aqui para ficar um pouquinho mais claro aqui então eu tenho a aqui eu tenho b e aqui eu tenho a minha função f o que eu tô fazendo aqui é pegar um conjunto x de a Ok vou aplicar F nesse subconjunto e vai levar para

mim nesse outro conjunto aqui ok que esse conjunto aqui eu chamo de F de xão ok que é imagem de X por F Ok bom então a partir disso eu já consigo definir o que que é imagem inversa eu vou apagar isso aqui a partir disso eu já consigo definir o que que é a imagem inversa tá enquanto a imagem de um subconjunto do domínio é um subconjunto e a imagem de X por F é um subconjunto do contradomínio agora porque eu peguei um X subconjunto de a agora eu vou pegar um Y que é

subconjunto de B Ok Ou seja eu vou ter aqui novamente o meu conjunto A meu conjunto B só que em vez de eu pegar um X lá no a eu vou pegar um Y conjunto Y aqui no B Ok a imagem inversa de Y por F é o conjunto formado por todos os X em A então é o conjunto formado por esses x aqui em a certo eu vou denotar de F a-1 de y Zão Ok tal que FX pertence a y certo para todo F Dex pertencente a y que é esse pontinho que eu

fiz aqui será denotado por f-1 de y tá então esse conjunto Rosa aqui que eu fiz dentro do do conjunto A e logo eu posso escrever da seguinte forma f a-1 de y que é esse cara Rosa aqui ele vai ser o conjunto de todos os X que pertence a A então vai ser todos esses x aqui tal que FX pertence a y ó ou seja esses car aqui que estão ligados aqui nesse Y aqui certo então quando eu tomo o f desse x de todos esses x aqui eles vão estar correspondidos dentro desse Y

Zão aqui que eu tomei como subconjunto do meu contradomínio B Ok então isso é o que eu chamo de imagem inversa continuando nós partiremos agora pro próximo tópico que é composição de funções bom aqui eu tenho o conjunto A a conjunto B e conjunto C tenho duas funções eu tenho a f que vai de A até B e depois eu tenho a g que vai de B até C tá imagina para mim que a b e c são três cidades diferentes eu quero ir pra cidade C Eu tenho dois caminhos ou eu vou de A

até f e depois ó perdão ou eu vou de A até B através de quem através desse veículo aqui que eu vou chamar de F E depois eu vou de B até ser de trem o trem eu vou representar por G então eu vou de carro de A até B depois eu vou pegar um um trem e vou de B até C Ok ou então eu posso ir direto de A até c de carro se eu passar por essa estradinha aqui ó Ok essa aqui então vai ser o carro então eu posso ir de A

até C direto Tá bom então o que que significa opa não é f f composta com g Ok então o que que significa uma função composta função composta é quando eu quero partir do Quem que é o domínio da f o domínio da F é o a e quem que é o contradomínio da G é o ponto de chegada da G que é o c então eu vou sair do domínio da F E quero chegar no contradomínio da C certo e aí então eu posso pegar esse atalho aqui que é F composta com g posso

fazer isso ao mesmo tempo tá bom só temos uma regra para poder fazer isso o ponto de passagem das duas tem que ser por B Tá bom por qu o contradomínio da F tem que ser igual ao domínio da G tá ou seja o ponto de chegada da F tem que ser igual ao ponto partida da G Ok então é isso que a gente fala quando o domínio de uma tem que ser igual ao contradomínio da outra matematicamente a gente define o seguinte eh eu tenho F que é uma função que vai de A até

B e g é uma função que vai de B até C certo são funções na qual o domínio de G coincide com contradomínio de f por quê ó contradomínio de F domínio de G certo então elas coincidem Dessa forma podemos definir a função composta que eu posso chamar de G composta com f que vai ser a função que vai de A até C cuja lei de formação consiste em aplicar primeiro f e depois g ou seja g com composta com f é G de F Dex para todo x pertencente a a Ok ã por exemplo

se a gente considerar essa função aqui ó F vai de R em r e g vai de R em R primeira coisa que a gente olha é que o o cont contradomínio da F é igual ao domínio da G então eu posso definir uma função que ela vai pular para cá direto de R até esse outro R aqui essa função então ela vai ser Don notada F composta com g certo e f é dado por essa lei de formação aqui e g é dado por essa outra lei de formação aqui que que eu vou ter

quem que vai ser então F composta com g Dex que eu posso falar que é F de G Dex vai ser F no lugar de G Dex que eu tô denotando tô colocando aqui de Verde no lugar aqui da G Dex eu vou colocar quem é que é a g Dex que é x qu ó x + 2 então coloquei x + 2 ali agora eu vou ver quem que é a f que que a f faz a f pega o x e soma 1 certo ó pega quem tá aqui dentro e soma 1 então

Ó que que a f vai fazer vai pegar Quem tá aqui dentro e somar um nisso daqui que tá aqui dentro certo então vai pegar Quem tá aqui dentro e somou 1 Então como resultado eu tenho x qu + 2 + 1 resultado então X Quad + 3 Ok Além disso além de definir a f de G Dex Eu posso também nesse caso vir daqui para cá que daí eu vou ter a g composta com f Ok então quem que é a g de F Dex eu vou pegar a g e dentro da G eu

vou colocar quem a f Ó mas a f Vale x + 1 então ó no lugar ali da F Dex eu escrevi x + 1 bom que que é G Dex + 1 bom eu sei que G Dex que que o que que o g Dex faz ele pega esse cara que tá aqui dentro eleva ao quadrado e soma dois então é isso que eu vou fazer eu vou pegar esse cara que tá aqui dentro vou elevar ele ao quadrado e vou somar dois Ok e agora ficou fácil porque esse aqui é um produto notável

que ele é escrito como x qu + 2x + 1 qu Tá bom então vai ficar X + 2x + 1 mais esse 2 aqui x qu + 2x + o 3 ok aqui eu só expandi esse produto notável Ok por fim a gente pode falar um pouquinho sobre famílias que que é uma família primeiro eu vou definir um conjunto de índices tá então ó eu vou definir esse Conjunto L vou tomar esse Conjunto L cujos elementos são l esses elementos são chamados de índice Tá bom então quem tá no Conjunto L são os índices

eu vou considerar um conjunto x qualquer tá Vou definir agora o que que é uma família família uma família de elementos de x com índice L é uma função tá então o que que é uma família uma função que vai de L uma função que eu vou chamar de xizinho que vai de l até xão Ok até esse conjunto x que eu tomei o valor de X em L quando eu tenho uma função f eu vou falar que é o valor de f em x que eu vou chamar de F Dex certo mas essa função

aqui ó tô chamando ela de X o valor de X em lambda pertencente a l será denotado por x de Lda que eu escrevo dessa forma aqui ao invés de x lambda Ok por que que eu tô fazendo essa distinção porque quando a gente tem uma função ali a gente costuma escrever FX certo mas nesse caso aqui analogamente a gente escreveria x que é o nome da função de alguma coisa e a gente tá pegando os lambidas ali do conjunto de índice tá então é natural que a gente pense que em escrever dessa forma mas

não a gente não vai utilizar essa anotação aqui não tá bom a gente vai escrever a gente vai escrever dessa forma aqui ok x l a família X é representada por esta anotação aqui ó certo então a família x e eu posso ler isso aqui como x Lda lâm pertencente a l ou quando l não gerar dúvidas o que que isso aqui significa significa que L já foi mencionado quem é ele anteriormente da onde é que tá vindo esses lambidas Tá bom então não precisa escrever essa essa última partezinha aqui eu posso escrever denotar a

família apenas como x Lda Ok por exemplo vou tomar ele aqui um conjunto a gente sabe que esse conjunto é um conjunto de índices Tá bom então quem são os índices 1 2 e TR dado o x Tá bom vamos ver então quem que vai estar nesse conjunto x uma família de elementos de X então x uma família de elementos de x com índice L vai vai ser uma função que ela vai ser definida do Conjunto L Quem que é o conjunto L 1 2 e 3 Então vai ser x que vai ser uma função

definida de L até o meu conjunto xão Ok então quem que são os valores dessas funções nos pontos 1 2 e 3 são os pontos são os elementos X1 X2 e X3 Ok então se L é igual a 1 2 3 e assim sucessivamente até n a família será chamada de nupla de elementos de X ok então uma função uma família né é uma função que eu defino ela da seguinte forma é eh x que leva os índices de L até o nosso conjunto em questão X ok ã União intercessão de famílias se a gente

considera aqui então a lambda com e lambda pertencente ao conjunto de índice L uma família de conjuntos com o índice em L Então esse conjunto aqui isso aqui é a gente chama de família certo então quem que é a união o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um desses lambda desses a lambidas por exemplo notação que eu uso então a união a união desses a lambda Ok vai ser eu posso representar também unicamente sem esse lambda pertencente a l vai ser representado dessa forma aqui e vai ser formado por todos os X tal

que existe um um Lda né o índice lá em L com x pertencente a esses a lambda Ok então ó todo x que pertence a esse a lambda com o índice lambida vai estar na União desses a lambidas Ok a interseção também não Diferentemente das coisas que a gente já conhece vai ser o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a todos os elementos dessa família tá bom então a família ela é representada dessa forma aqui ó nesse parêntese então aqui a gente tem um elemento dessa família quem que é a interseção entre essas Entre esses

elementos dessas dessa família vai ser representado por essa anotação aqui certo e vai ser todos os X tal que o x vai pertencer a esses aidas para todo lambda em L Ok então a interseção a gente quer simultaneamente vai pertencer simultaneamente a todos os elementos da dessa família Ok espero que tenha ficado Claro fiquem atentos ao cronograma e qualquer dúvidas que você vocês venham a entre em contato com o tutor e eu vejo vocês na próxima unidade tá bom muito obrigada e até a próxima aula [Música]