Matemática Básica - Razão e Proporção (LIBRAS)

[Música] Olá pessoal estamos de volta trabalhando agora com dois conceitos que são fundamentais na matemática fundamentais ao longo de toda a sua trajetória Con certeza você vai usar isso em diferentes momentos Qualquer que seja o curso que vocês escolheu então espero que não sejam conceitos novos na verdade vocês vão falar ah eu já fazia isso só não sabia que nome isso tinha né mas fiquem atentos de repente algum pequeno detalhe alguma coisa que você nunca percebeu que pode aí né te adicionar ao seu repertório de conhecimento sobre razão e proporção vamos começar lembrando o que

que é rão esses dois conceitos el eles muitas vezes se misturam tá então como eu disse na verdade a gente usa sem saber os nomes então não tem muito problema mas aqui obviamente a gente vai diferenciar e destacar algumas coisas de cada um deles então razão sendo dois números A e B esses números sendo números reais e não me convém usar o b ig a 0 porque eu vou falar de uma fração e o denominador não pode ser zero por isso então eu vou considerar que o b é diferente de zero e eu vou chamar

de razão entre a e b ou razão de a para B quando eu tenho como eu disse uma fração Um quociente que é a sobre B ou eu posso representar de outra forma né a dividido por B O que é então Rubi é uma razão razão é uma comparação entre duas grandezas comparação da primeira com a segunda por isso que eu falo a razão de a para B algumas razões estão presentes no nosso cotidiano E como eu disse você talvez nunca nem tenha percebido eh que você tá usando né então por exemplo uma escala a

gente vê eh escalas hoje a gente usa menos assim né um mapa no nosso deslocamento a gente tem aplicativos e recursos e tal mas a gente muitas vezes quer olhar por exemplo um mapa e ter uma noção de quanto eu vou andar Qual é o percurso que eu vou né o percurso que eu vou percorrer Tá certo fica meio repetitivo mas tá certo Vamos lá a escala nada mais é então do que o comprimento do desenho que eu tenho sobre o comprimento real então Claro se no meu mapa eu tenho ali 1 cm 2 C

de distância que eu vou deslocar Quanto isso representa né no no meu gráfico ali que eu estou no meu mapa no caso que eu estou comparando né então vai ser essa escala que a gente avisa né nesse essa seta aí para indicar muitas vezes já vem dito Qual que é a escala portanto você consegue ali ter uma noção do quanto tá no caso aqui reduzido a representação da distância que eu vou percorrer né outra comum é a velocidade média então todo mundo que dirige né todo mundo que tem esse às vezes até o o passageiro

também né tá acostumado vai falar fica atento você Tá passeando da velocidade quando a gente fala dessa velocidade É de fato a velocidade média que a gente tá fazendo então uma distância percorrida em um determinado tempo que eu gasto para fazer percorrer essa distância Ok então essa também é uma razão que a gente costuma ver no nosso dia a dia ah esse gráfico esse esse desenho aqui ele é justamente para representar no o caso em que a gente tem radares por exemplo é isso que ele faz né num curto trecho ele consegue fazer essa comparação

aí da da distância percorrida e o tempo que você gastou para para esse percurso né para essa distância outra razão que a gente vê cotidianamente é uma densidade demográfica então o número de habitantes numa determinada área né numa determinada região que eu tenho ali Qual que é a área que essas pessoas estão ocupando né E essa densidade demográfica de algum lugar que eu também posso estar querendo analisar vamos ver então alguns exemplos né alguns exercícios que eu posso fazer a partir desse conceito então sabendo que um terreno possui 50 m de comprimento e sua representação

em um desenho é de 20 cm apenas né encontre a escala deste desenho Então você vai ver por exemplo uma planta algo assim né para poder fazer uma análise e aí você vê que eu preciso fazer uma uma comparação entre o que de fato é a medida do terreno com aquela representação na escala muita atenção aqui caso você não tenha feito essa observação anteriormente eu vou destacar agora eu sempre tenho que ter a mesma unidade de medida então se eu tenho 50 m eu não posso comparar com 20 cm porque eu não estou na mesma

unidade de medida a primeira coisa que eu tenho que fazer é transformar uma delas ou os 20 cm em metros ou os 50 m em cm transformar os 50 m em cm é mais familiar para não ter que trabalhar com tantas casas decimais né então 50 m equivale a 5000 cm certo Lembrando que cada metro são 100 cm a escala vai ficar então de 20 cm para cada 5.000 cm do terreno certo então eu posso simplificar dividir por 10 aí depois dividir por 2 ficou um para 250 ou seja para cada 1 cm que eu

tenho na representação né do desenho ali eu tenho 20 50 cm 2,5 m na minha situação real certo vamos ver mais um exemplo em uma cidade de 220 km qu ela possui uma população de 20.100 habitantes a pergunta é Qual é a densidade populacional desta pequena cidade né a gente tem pouco os moradores é uma cidade interior provavelmente a densidade populacional a gente sabe ali que ela é calculada pela razão entre o número de habitantes e a área da Cidade Então nesse caso 20.100 por 220 o que equivale aí a mais ou menos 91 habitantes

para cada quilômetro Quad da cidade bom isso que a gente viu era então razão agora a gente vai falar de proporção que que é proporção proporção nada mais é do que a igualdade entre duas razões Então eu tenho nesse caso se eu tô comparando duas razões né que a gente viu que elas são representadas por frações então eu vou ter que uma fração vai ser igual a outra fração desse modo eu vou ter quatro informações né numerador denominador numerador denominador um desses quatro valores eu desconheço e é ele que eu estou em busca ele que

eu quero procurar ele que eu quero saber quanto é Então olha lá quatro números reais a b c e d diferentes tomados nesta ordem formam a seguinte proporção representadas Então como a gente viu por a so b = c so d ou a divido por b = c divo por D Note que aí na verdade como eu estou falando de números reais não vou entrar em toda essa discussão aqui tá mas a gente já viu lá nos conjuntos só lembrando que quando eu tô falando dessa comparação eu posso trabalhar com números reais Porque de fato

essas razões não representam então necessariamente números racionais tá só um link lá com a nossa primeira e segunda semanas que a gente fez essa discussão então a gente lê aqui ó a está para B assim como C está para D essa igualdade né a gente fala assim como né claro que posso usar a palavra igual mas usualmente a gente falar Ah está para B assim como você está para D então vejam que a o b e o c e o e o d a gente tem como esses termos da nossa proporção a gente costuma dizer

que o a e o d são Então os nossos extremos dessa comparação e o a o b e o c a gente costuma falar que são os meios é precisa guardar esses nomes Rubi Não não precisa guardar é só porque a gente costuma usualmente informalmente inclusive falar ah quando como é que eu faço essa conta ah eu multiplico os extremos né e faço uma igualdade com a multiplicação dos meios Então é só para caso você tenha ouvido ou caso você prec goste né passe a falar dessa maneira então Eh para saber quem são esses extremos

e quem são esses meios né Então o a e o d são extremos B e C os meios e aí nós temos algumas propriedades que elas são fundamentais quando eu falo das proporções de novo talvez você você até já utilize no seu dia a dia sem nem saber que isso são consideradas então proporções eh propriedades não tem problema de novo aqui nessa disciplina a gente formaliza trata de algumas coisas que talvez você não se lembre ou nunca parou para olhar sobre essa perspectiva mais conceitual né então o produto dos extremos é igual ao produto dos

meios e vice--versa lembrando que essa é uma escrita informal Ok então então a x d vai ser igual a b x c Como eu disse você provavelmente já faz isso só não tinha parado para escrever né para ler isso de modo mais formalizado ali numa representação que explique essas coisas né você faz porque já é natural para você tranquilo temos aqui dois exemplos 6 está para 11 assim como 12 está para 22 então Note que nesse caso aí eu eu nem coloquei ainda o número que eu tô procurando Porque eu só tô querendo ilustrar para

vocês que essa propriedade é válida então eu vou multiplicar os extremos 6 x 22 e vou dizer que isso é igual à multiplicação dos meios Então isso é igual a 11 x 12 se eu faço essa multiplicação né na minha ã igualdade aí eu vou ver que realmente 132 é igual a 132 portanto essas duas multiplicações de fato se igualam Então essa propriedade fica aqui ilustrada Como eu disse bom 6 so 24 iG 5 so x bom agora eu não te dei as quatro informações eu te dei três e você tem que procurar essa quarta

informação que como sempre a gente costuma representar por x Então agora eu vou multiplicar os extremos 6 x x 6x igual a multiplicação dos meios 24 x 5 então 6x vai ser 120 né 24 x 5 e o X então vai ser o 120 por 6 e eu vou encontrar que X é 20 muito bem vamos ver agora um caso em que eu tenha essa razão não necessariamente com como um único lugar em que eu não sei a informação então eu vou comparar uma razão com a outra só que eu em vez de eu te

dar um número qualquer e um X eu vou fazer ali já uma comparação com relação ao meu x que que isso quer dizer eu tinha um valor e acrescentei do e eu tinha um valor no denominador ali né dessa fração representada aí por x - 2 ou seja um valor que eu tirei dois tá então vai ficar extremos x + 1 x 2 meios x - 2 x 1 x 1 é ele mesmo né gente então já deixei o x - 2 agora não esqueçam que esse 2 multiplica todo o x + 1 então eu

vou ficar com 2x + 2 e isso é igual a x - 2 agora eu vou deixar né o x de um lado quem não tem x do outro como a gente costuma dizer e encontro que o valor do meu X é então -4 a altura da maquete de um edifício é 80 cm Então agora eu tenho uma maquete certo nessa maquete eu fiz um edifício né que representa obviamente um edifício real aqui de novo nós estamos fazendo aí trabalhando com a ideia de entação de algo menor relativo a algo maior Qual é a altura

do prédio então que essa maquete está representando sabendo que a sua escala é de 1 para 40 ou seja para cada um cm ali da minha maquete eu faço essa proporção lá na minha altura real do edifício Então olha só se eu tenho 1 para 40 Essa é a minha escala eu vou ter 80 cm para quanto essa é a pergunta então de novo multiplico os extremos então esses extremos nesse caso aqui 1 x x que é o próprio x que eu tô procurando o valor que eu tô tentando encontrar Isso vai ser igual a

40 x 80 que já vai me dar o resultado final Então nesse caso 3200 cm como a gente não costuma dizer né 3200 cm é altura de um prédio né de um edifício a gente transforma isso em metro que nos parece mais familiar e eu consigo ter uma noção melhor quando eu digo que esse prédio esse Edifício tem uma altura de 32 M Ok algumas outras propriedades que você pode enxergar aí eh eu penso que talvez você também já use né n fica aqui registrado para você ir olhando com cuidado caso você queira rever né

vejam que eu posso somar então no de cima nesse primeiro exemplo eu fiz uma soma então vejam aqui eu tinha a so b = c so D Então agora eu somei ó a so B so a ou eu posso fazer também a sobre B sobre o b se o que eu fiz desse lado né da minha igualdade eu vou fazer do outro então se eu somei a com B do outro lado eu vou somar c com D do mesmo jeito que ficou aqui sobre a aqui também vai ficar sobre C então eu posso fazer isso

somando né com o B eu posso fazer isso subtraindo vejam que aí embaixo eu fiz a mesma ideia só que agora eu fiz somando o a com o c e o b com o d certo a assim como eu comparei com AB eu posso comparar com CD já que eles são iguais que eu fiz na adição posso fazer também na subtração eu tenho aqui um exercício pra gente ver rapidinho Olha só para pintar uma parede o Fábio deve misturar uma tinta branca com uma tinta azul na razão de 5 para TR sabendo que ele vai

utilizar 24 l d essa mistura quantos litros de cada cor são necessários Então veja que se são 24 L eu chamei ali de a o Azul B A Branca né já escolhi aí para fazer sentido rápido a associação de vocês então o azul com o branco vai ser 24 e a razão é b so a e vai ser 5 so 3 eu vou usar mais branco do que o azul né então 5 so 3 vejam que eu posso encontrar então como eu parti de uma representação de um B com o a Não adianta eu querer

fazer direto que eu não tenho a sua informação direta por isso que você vai falar mas por que que você me passou esse monte de frações aí é porque às vezes eu tenho essa situação ó a + b que é 24 então a + B 24 aí eu comparei com o B que é 5 e aí eu consigo encontrar o valor do meu B que é 15 então se eu tenho 15 L da da cor branca e eu sei que eu vou ter 24 no no total eu consigo encontrar que a cor azul São ã

9 L certinho Muito bem então fechamos essa aula Lembrando que aqui a gente explorou razão e proporção que são conceitos aí do seu cotidiano e de repente você nem sabia que tinha esse nome e fiquem atentos aí a esses detalhes que a gente foi eh identificando chamando atenção né destacando Ao decorrer dos exercícios tá bom nos V na próxima [Música] aula [Música] a