Dinâmica Hamiltoniana - Aula 1

[Música] vamos comear dando uma ideia geral ou Relembrando né em linhas Gerais a estrutura básica da formulação lagrangeana da mecânica que consiste no seguinte a formulação lagrangeana é baseada na utilização para um sistema com n minúsculo graus de liberdade na utilização de n coordenadas generalizadas na construção de uma função que depende dessas n coordenadas generalizadas das velocidades correspondentes e possivelmente do tempo e num conjunto de 2n equações diferenciais Ordinárias de segunda ordem no tempo que são as equações de Lagrange asações forma um conjunto de n equações diferenciais Ordinárias de segunda ordem H um total de

n equações nesse conjunto E são equações que envolvem as derivadas segundas das coordenadas generalizadas portanto são equações diferenciais de segunda ordem a forms foi desenvolvida no século XIX por Hamilton é baseada na substituição desse conjunto de n equações diferenciais de segunda ordem por um conjunto duplicado de equações 2n equações diferenciais ordinárias porém de primeira ordem no tempo então reduz-se a ordem temporal das equações de segunda ordem para primeira ordem pagando-se o preço de duplicação do número de variáveis então na formulação miltoniana sem ainda entrar nos detalhes além dessas n coordenadas generalizadas são introduzidas outras n

que são denotadas por P1 PN é construída uma certa função já veremos como h de Q1 q P1 pnt e as equações de movimento são agora 2 n equações diferenciais Ordinárias de primeira ordem eu não vou escrever aqui explicitamente as equações vou apenas dar o nome delas são as equações de Hamilton a forma específica veremos já já então a formulação miltoniana tem essa característica de duplicar o número de variáveis introduzindo n variáveis adicionais E com isso é possível reduzir as equações de movimento a equações de primeira ordem Mas em compensação ao dobro de equações tá

bom como isso é feito vamos ver daqui a pouquinho antes de fazer uma observação de que qualquer sistema de equações diferenciais de segunda ordem sempre pode ser reduzido a um sistema de primeira ordem introduzindo mais variáveis por exemplo vamos olhar para as equações de Lagrange aqui existe uma maneira trivial de transformar esse sistema de n equações diferenciais de segunda ordem num sistema de 2n equações de primeira ordem Basta fazer o seguinte ó então redução da ordem basta nós introduzirmos novas variáveis que eu vou chamar aqui por exemplo de si e escrever isso aqui ó si

= q I ponto agora a lagrangiana passa a ser uma função de QS e as equações de Lagrange ficam DDT de dond lond s i menos der ronde L der ronde q iG 0 Aqui nós temos n equações e outras n equações uma para cada índice I Então esse sistema de equações com a introdução dessas variáveis adicionais s e simplesmente introduzindo esse conjunto de equações diferenciais si = q ponto escrevendo as equações de Lagrange trocando q ponto por s i estas equações aqui são de primeira ordem tá porque a função l não contém q ponto

nem S ponto então isso aqui é uma função de S e q quando derivamos em relação ao tempo introduzimos derivadas primeiras de q e s se agora em todo lugar onde aparece S nós substituí q ponto aí obtemos as equações de Lagrange na forma usual então sempre por se as equações fossem de terceira ordem introduzindo mais outras n variáveis definindo R como o dois pontos nós reduziríamos o sistema a um sistema de equações de primeira ordem então um sistema de equações diferenciais Ordinárias de ordem n sempre pode ser reduzido a um sistema de equações de

primeira ordem introduzindo o número de variáveis adicionais necessárias só que essas equações aqui tratam as coordenadas s e q de uma forma extremamente assimétrica e não são equações de interesse nós vamos ver que a formulação Miliana numa escolha bastante especial dessas coordenadas e com isso é possível obter equações de movimento que tratam esse esses conjuntos de variáveis os q e os PIS de uma maneira bastante simétrica e a a razão de se estudar as equações de Hamilton e toda a dinâmica baseada nessas equações na dinâmica amiana há três razões fundamentais que justificam o estudo da

dinâmica amiana primeiro do ponto de vista estritamente da mecânica clássica a formulação honi é a formula mais poderosa da mecânica Eite os aspectos mais básicos mais fundamentais da estrutura da mecânica clássica Esse é o método mais poderoso para investigar questões básicas essenciais de estrutura da mecânica clássica como se isso fosse pouco a mecânica quântica é baseada na formulação honi da mecânica clássica e a dinâmica miltoniana também é a base da mecânica estatística então a importância da formulação hamiltoniana da mecânica é enorme e mais do que justifica o tempo que nós vamos gastar com o seu

estudo tá bom [Música]