FUNÇÕES

[Música] Olá alunos eh sejam bem-vindos à aula né de cálculo um né meu nome é Vanessa e hoje nós iremos ver sobre funções né aqui primeiro momento eh nós vamos relembrar né Um pouquinho aí das funções né que são tão importantes e essenciais para o ensino de cálculo Então vamos lá então Eh então nessa unidade né Ela será feita uma revisão sobre funções do primeiro grau do segundo logarítmo Modular exponencial trigonométrica e composta né aqui algumas a gente vai ver de forma mais rápida né só ver como que ela se conceitua como que ela se

apresenta já outra nós vamos abordar mais detalhes que são mais usuais aí do dia a dia e então o que que é uma função né eu gosto antes da gente ver uma definição eu gosto de falar que uma função ela é uma máquina né sempre falo com meus alunos ela é uma máquina que você coloca E você coloca uma coisa lá dentro né um X e aquela máquina cada máquina ela tem uma transformação ela é uma função diferente em uma máquina ela vai pegar aquele x e Transform formar um determinado Y porque aquela função ela

pode pegar um X e multiplicar por 2 aí a gente pode pegar uma outra máquina e fazer uma outro processo Mas a gente sempre vai ter uma variável que a gente coloca nessa máquina a gente coloca nessa função uma variável que é Independente né a gente chama o x e ela vai me resultar aquela função ela vai transformar vai ter uma fórmula né E ela vai mear em um Y que é uma variável dependente né o y ele depende do meu x né então dados dois conjuntos né relembrar aí de conceitos de conjunto dado dois

conjuntos a e b não vazios né uma função será a relação f de a em B ou seja ela é um elemento de a que vai em B ou seja um X que está em a e vai em B né no Y Associa cada elemento do conjunto a a um único elemento do conjunto B né Então aí é uma definição de função certo vamos visualizar então indicamos a função f de a em B através da notação F que vai de a para B né aqui ó nós conseguimos representar né de forma mais prática eh no

desenho ó Aqui nós temos né o nosso domínio né vou até falar um pouquinho já tô até adiantando já né Aqui nós temos o x né como se fosse uma máquina né E aqui nós temos cada elemento do X Ele vai em Um elemento do Y né um elemento de b um elemento aqui do nosso conjunto B certo então cada pontinho desse é um elemento cada desse aqui é um elemento sendo a onde sai o meu os elementos e B é onde chega os elementos né então o conjunto A é chamado de domínio de F

né e é denotado por domínio de F OU DF né o conjunto B é chamado de contradomínio de F E é anado por CDF né os elementos do conjunto B que são associado aos elementos do conjunto A são chamados de Imagem de F E é denotado por imf gente eh eu vou até mostrar um exemplo depois para vocês ali no quro que que nós temos aqui né Aqui nós temos eh por exemplo vamos supor que aqui nós temos número 1 2 3 4 são quatro elementos de x quatro elementos do meu domínio esses elementos estão

chegando lá no meu conjunto B vocês estão percebem que aqui eu tenho 1 2 3 4 5 elementos em B mas dois não chega seta nele nem o Primeiro nem o último quer Dizer que esses cinco elementos é o meu contradomínio é onde Y está um dos elementos onde o x pode chegar já onde a seta chegou é a minha imagem é o que tá refletindo né a imagem daquele Y dentro da função então a função ela leva um x a um resultado um Y né por isso que o X é uma variável independente ela

não depende de outra já o meu Y eu dependo dele para mim Eh o y depende do X para ter o resultado dele né Nós vamos ver um exemplo eu vou mostrar ali né Eh no Quadro para vocês melhor através de um exemplo aqui tá representada pelos conjuntos né E nesse exemplo nós temos uma função que vai do domínio a pro contradomínio B certo lembrando domínio Então são todos os elementos de onde sai e contradomínio são os elementos onde chegam né Eh o meu X então aqui se eu pedisse vamos lá então eu quero definir

o domínio de F Quem seria então Quais elementos 4 5 6 7 né e o meu contradomínio meu contradomínio são os valores podem chegar né então Aqui nós temos 8 9 10 e 11 certo e onde e a minha imagem a imagem é onde eles chegaram é onde a seta chegou né então a imagem será quais valores o 9 10 então nós temos aí um exemplo né representado pelos e conjuntos né E pelo diagrama nós conseguimos visualizar o o domínio o cont contradomínio e a imagem então lembre a imagem contad domínio pode ser Iguais ou

diferentes dependem né do exemplo aqui no caso nós temos que eles não são iguais porque o contradomínio é todo onde pode chegar o meu x né o y e o a imagem onde chegou né o valor que o x obteve ao eh ser calculado na função E aí gente como que nós podemos ver né Nós vamos ver aqui como a gente pode descobrir o domínio né a gente acabou de ver um pouco melhor no quadro lembrando né que a gente tem formma de apresentar uma função nós podemos apresentar a Função por meio de um por

meio né Eh de um conjunto como nós vimos eh por meio de um gráfico que nós vamos ver ainda de algumas funções e por meio da Fórmula dela né uma função também tem uma fórmula né Eh por exemplo eh quando a gente vai pegar uma função que vai representar o cálculo de um Uber né que aí tem uma taxa e depende ali da da variação é por quilômetro rodado Isso é uma função que vai depender pelo quilômetro rodado que eu tô indo né pelo Quilômetro de distância ali que eu estou deslocando para aquele ponto então

isso é o quê Isso é uma função né função Depende de um outro valor então nós vamos ver agora o domínio de uma de uma função de variáveis reais gente eh a função ela está em todos os lugares né função a gente na vida a gente nós vamos ver exemplos como na exponencial a questão do crescimento de bactérias né e ela é muito usual se a gente for analisar vários itens nosso cotidiano Nós vamos ver que é uma função representa uma função né E aí retomando lá lembrar que é os reais né o conjunto dos

reais é o que o conjunto de todos os números né E aí o que que seria um domínio de uma função de variáveis reais por nessa máquina né nessa função que cada máquina ela determina de uma forma nós podemos ter algumas restrições e nós vamos ver três casos de restrições onde o domínio onde não é todo x que e vai satisfazer ali a minha Função Então vamos ver primeiro caso a variável independente no denominador a variável independente a gente já falou que é o x né a gente viu alguns exemplos ali né gente e escrevi

tanto exemplos como conjunto como exemplos também em fórmulas para vocês então a variável independente está no denominador Olha então eu tenho que achar Qual que é a restrição olha para você ver essa função né olha aqui essa função eu tenho uma situação ali no Denominador a fórmula dela é 1 x - 7 né só que ali eu posso pôr qualquer x ali que a função ela vai estar definida nos reais gente se o x for igual a 7 vai existir aquela função não porque vai ficar 1 sobre 0 e não existe eh fração com denominador

igual a zero não existe dá uma né não existe ela não existe né Nós vamos até ver ali o símbolo de não existe né Na matemática ou seja nós temos que garantir que essa Função exista então nós temos que restringir Então nós vamos escrever esse domínio como que vai ser a cara desse domínio dentro do conjunto dos reais vai ser todos os os X vai pertencer ao conjunto dos reais mas né vai ter uma restrição o X tem que ser diferente de S Então vamos ver aqui no quadro como que nós vamos escrever aqui esse

domínio vamos lá então pra gente escrever desse modo Nós pegamos o denominador e nós temos que Garantir que ele seja diferente de zero né aí resolvendo é da mesma forma como se fosse uma equação né Nós temos que X tem que ser diferente de 7 certo porque se eu ponho 7 aqui ó 7 - 7 0 aqui nesse exemplo seria nem precisaria de eu fazer esses cálculos né Poderia já olhar e ver mas se for mais complexo né a gente joga aqui e nós conseguimos calcular né coloca aqui aquele denominador tem que ser diferente de

zero Então o meu domínio é x perten aos reais tal que x Seja diferente de 7 pronto Esse é o domínio da minha função nesse primeiro caso e agora nós vamos ver o segundo caso né o segundo caso né É quando a variável independente dentro da raiz quadrada no numerador né Ou seja a gente tem um a variável tá no numerador gente dentro de uma raiz quadrada aí nós temos a situação também gente uma raiz quadrada ela não pode ser o quê Ela não pode ser negativa existe raiz qu 16 pensa aí não por quê

Porque se você pega 4 qu é 16 se você pega -4 qu também é 16 ou seja não vai existir uma raiz quadrada eh de um número negativo então eu tenho que garantir também que essa função vai existir Ou seja eu tenho que analisar o domínio quais x que eu posso pôr ali eu posso pôr qualquer um Não nós vamos ter que restringir isso aqui nós vamos ter que garantir que existe se uma coisa tem que ser maior ou igual a 0 porque ra 0 existe É zero eu vou ter que restringir Então como que

eu posso Escrever X - 12 tem que ser o quê maior ou igual a zero e aí nós vamos desenvolver o nosso cálculo certo e aí nós vamos conseguir escrever o nosso domínio dessa função Vamos lá ver então então x - 2 tem que ser maior ou igual a 0 certo então x x né é - 12 maior ou iG que 0 x maior iG que 12 né passando 12 né pro outro lado aí e então nós temos que X tem que ser maior igual que 12 confere Olha se eu ponho aqui 14 14 -

12 dá 2 √2 Ah mas não Tem exata ela não é exata Mas ela tá definida nos reais agora se eu ponho menor vamos pôr 10 10 - 12 da -2 RA qu -2 ela não existe nos números reais ou seja não estará definida né então para garantir que essa função seja definida nós temos que ter o domínio então domínio de f x pertence aos reais tal que X é maior ou igual que 12 pronto essa aqui é o nosso domínio dessa função no segundo caso continuando nós temos o nosso Terceiro caso né Nós vimos

aqui os dois casos vimos exemplo no quadro gente esses esse terceiro caso é a reunião do primeiro e do segundo ele né É a união dos dois olha observa a variável independente dentro da raiz quadrada no denominador nós vamos ter então a variável independente no denominador na raiz quadrada mas no denominador por isso que a união dos dois que que nós vamos ter aí nesse caso nós vamos ter que garantir que quem está dentro da Raiz é o quê pensa um pouquinho aí dá at um uma pausa e pensa nós vamos ter garantir o quê

que ela não seja zero por causa do primeiro caso porque tá num uma fração e ela tem que ser maior que zero Então ela não pode ser zero não pode ser igual Mas ela tem que ser maior Ou seja aqui nós não vamos pôr igual embaixo nós vamos garantir o quê que 2x + 8 seja maior que zero pronto e aí nós vamos estar garantindo que essa função ela vai o domínio dela vai existir com essa Restrição né então vamos ver lá no quadro um pouquinho como nós vamos escrever pensando nos exemplos anteriores e nos

dois casos anteriores então aqui eu que tenho que 2x + 8 tem que ser maior que 0 certo né então nós vamos ter que 2x é maior que -8 né Aí passando 2 dividindo eu tenho que X é maior que -8 di 2 então eu vou ter o quê -8 div 2 vai dar -4 então tenho que X é maior que -4 né Vamos testar se eu ponho aqui E -1 2 x -1 -2 8 - 2 vai dar 6 tranquilo Se eu P então aqui - 5 2 x -5 dá -10 com + 8

- 2 ou seja já vai dar uma raiz negativa né então não vai ser definido ou seja então o X tem que ser maior que -4 então a meu domínio x pertence aos reais né tal que x seja o que maior que Men 4 então esse vai ser o domínio da minha função então nós vimos o conselho de função que era uma máquina né Eu sempre gosto de lembrar disso por uma função eu Falo que e eu gosto at dar exemplo prático né como eu já falei aqui que uma função era uma máquina né que

você põe uma peça e aí aquela função transforma em um outro resultado isso é um conceito de função né e a gente pode ver né na questão do eh do transporte de um a gente dentro de um táxi de um Uber né Tem vários exemplos né E aí nós temos tipos de funções vocês vão lembrar aí um pouquinho nós temos função do primeiro Grau nós temos função do segundo grau vocês vão lembrar quando a gente fala primeiro grau vocês lembram lá da equação do primeiro grau e é isso mesmo a função do primeiro grau né

que é uma muito usual é uma função vamos ver a cara dela né a gente fala cara como que ela é quando a gente bate o ol F assim Ah esse é do primeiro grau Então como que ela é né uma função é denominada função afim né ela recebe esse nome quando todo número X pertencendo aos Reais né ou seja o domínio aí né é associado a um número Ax + B Essa é a cara dela Então como que é a cara dela é um a né um termo aqui é um um um coeficiente vezes

o X mais uma constante aí B sendo A e B pertencente aos reais de outra forma tem uma função que vai do real para o real né gente é o domínio conjuntos reais e vai para o cont domínio reais e a função é o qu Ax + B por exemplo x + 8 é uma função de primeiro grau 5x + 4 é uma função do Primeiro grau e agora uma função do primeiro grau é sempre o quê Qual que é o gráfico dela será hein Com essa essa cara dela Vamos pensar ainda então vamos lá

então na lei de formação fx = X + B ou y = x + b dizemos que o número real representado por a é chamado de coeficiente angular esse nome coeficiente angular que que ele vai nos dizer eles vai nos dizer a amplitude do gráfico e aí Já pensaram qual gráfico vai ser gente qualquer função do Primeiro grau sempre será uma reta sempre vai ser uma reta pode testar aí jogar lá G algebra né Eu já falei em algumas outras aulas de algumas disciplinas coloca no G algebra para vocês verem G gebra é bacana eu

adoro esse programa né ele possibilita muita visualização né e é gratuito e e é muito bacana joga uma função lá do primeiro grau você vai dar uma reta ó o desenho né E aí esse a vai vai me indicar a inclinação dessa reta né então o a é o Coeficiente angular e o número real que representado por B é chamado de coeficiente linear ou termo independente né exemplo 2x - 1 olha aqui para você ver esse essa função essa função nós temos o quê o coeficiente angular é dois né e o coeficiente linear é -1

essa é uma função do primeiro grau certo E aí nós temos tipos dentro da função do primeiro grau nós temos alguns tipos né Nós temos a função linear que é é uma função Aim né mas que possui o Coeficiente linear igual a zero ele não tem um termo independente né terá a lei de formação do tipo FX É iG x ou Y iG x tá então o exemplo FX é igual 3x pronto então a função linear ela não tem o termo independente né ela tem um coeficiente angular e a minha variável certo a função constante

o nome já diz ela não vai ter variável ela já vai não vai ter o ax né ela vai ser uma função constante ela vai ter um valor né então a função afim que possui coeficiente Angular igual a zer né terá a lei de formação do tipo FX = B ou Y = B né exemplo FX = 9 pronto aí quando a gente vê o gráfico ela vai tá só assim ó lá no nove assim uma reta no nove que ela independente do valor de X ela vai dar sempre 9 né porque aqui a gente

não tem o x variando tá e a função identidade é quando o coeficiente angular é igual a 1 né e o coeficiente linear é igual a zero ele é um tipo da função linear só que aqui o A É igual a 1 né a identidade nesse caso teremos a lei do FX iG x ou y = x né Se vocês percebem que a gente sempre escreve fx = X ou y = x a gente Y gente é a mesma coisa de F Dex tá porque aqui ó lembra Y é minha variável dependente FX tá falando

que uma função que depende de X tá aqui ó aqui dentro esse x ele representa o quê nós fizemos lá nos exemplos né alguns exemplos esse X é onde eu vou substituir o valor ali Posso calcular F de2 né vou calcular as imagens né se falar assim calcula a imagem F de2 no lugar do X Eu vou pô do vai dar do né aqui nesse caso então a função identidade é quando F Dex é igual X é uma função identidade tá eh e aí nós vos uma parte muito importante que eu já até Adiantei eu

fico muito empolgada né eu gosto eh de trazer esse conteúdo e aí é muito bacana né gente o gráfico de uma função do primeiro grau ela sempre será uma reta certo os gráficos de uma função Polinomial né do primeiro grau ou afim né podemos também chamar desse tipo eh onde que tem o tipo Ax + B serão representados por retas sempre por retas por exemplo -2x + 2 e gente lá quando a gente volta na definição de geometria uma reta ela é determinada por dois pontos né pode ser determinada por dois pontos né O que

que fala lá que por dois pontos passa uma única reta né ou seja para mim descobrir uma reta para mim des o gráfico né dessa função do primeiro Grau basta dois pontos né E aí nós vamos voltar lá no nosso plano cartesiano né que é o plano que nós temos o quê o eixo X que é o eixo das abscissas e o eixo vertical que é o eixo das ordenadas que é o eixo Y né e a gente associa o valor aqui do X com Y e nós marcamos um ponto então a gente pode escolher

aqui dois valores aleatórios ó -1 e 2 e aí vamos calcular a imagem desses Vales por exemplo Qual que é a imagem -1 vamos substituir -2 x -1 2 x 1 vai dá 2 menos Com menos na multiplicação dá mais então 2 + 2 deu 4 Então esse é um ponto -1 e 4 ó -1 do x ó o x aqui é positivo aqui é negativo o y positivo para cima negativo para baixo então nós temos -1 do X ligando com 4 do Y esse ponto aqui aqui certo Outro ponto vamos lá aqui o dois

num exemplo poderia ser zero ou um tá gente dois quando a gente substitui -2 x 2 nós temos o quê eh -4 né -4 com + 2 vai dar -2 então 2 do X com -2 do Y aqui o ponto ó a gente pontilha marcamos E aí Nós vamos ligar esses dois pontos e aí nós temos a nossa reta né E aí vocês vê também que o coeficiente aqui angular dela né tá -2 né Nós vamos ver até um pouquinho sobre esse esse esse a também esse valor ele vai determinar pra gente também uma outra

coisa muito importante sobre a função então gente para fazermos um gráfico de uma função primeiro grau basta escolhermos dois pontos e determinar né dois valores de x achar os valores de y aí assim ter dois pontos e Ligar esses pontos tá ele é bem prático Tá bom então testem aí faam pegam um papel quadriculado que vai ficar certinho e lembre do plano cartesiano e da escala Sempre tá né gente ó dos pedacinhos sempre tá iguais nos eixos tá bom eh raízes da função que que são raízes de uma função né gente raiz de uma função

eh é quando você quer achar os valores que zera aquela função né podemos também é como se a gente fosse Eh resolver uma equação né podemos também esboçar o gráfico com os pontos que fazem interceção com eixo X e Y né por isso que nós vamos a questão das raízes a interseção com eixo X é chamada de raiz da equação então quando a gente quer achar raiz da equação a gente pega a equação né Eh igualo a zero porque quando eu igualo a zero eu pego aquela função e ponho igual a zero eu estou encontrando

a raiz daquela equação daquela função por quê Se eu tô igualando a zero eu estou eu estou falando o que que o meu Y Vale zer né ou seja então é onde a gente sabe que o ponto quando a gente tem um zero né num ponto vamos supor 2 e z0 quer dizer que o valor vai est cortando o eixo X porque eu vou né o zero o Y não tem nenhum valor só o X então eu vou um pontinho ali no 2 e z0 e para determinar essa raiz devemos fazer FX = 0 então

por exemplo Qual que é a raiz aqui nós vamos escrever -2 + 2 = 0 certo e aí a gente Encontra e aqui nós vamos passar o dois para outro lado né vamos dividir aqui o men2 vai tá negativo multiplica por menos um dos dois lados vai ficar 2x = 2 x = 1 então x = 1 é a nossa raiz vamos ver aqui olha olha aqui então aqui é uma continha da gente de primeiro grau equação de primeiro grau facinha né aqui a gente já tem né como a gente já tá avançado a gente

já tem um macete né de passa do outro lado né então a gente já faz desse jeito aqui vocês consegue Observar ó esse ponto aqui é raiz da minha função é quando eu pego a minha função igualo a zero nós vamos Vera aqui lá na função de segundo grau a mesma coisa se eu quero achar a raiz da função basta igualar igual a zero que eu vou achar as raízes né então aqui também eu quero achar raiz aqui vai ter uma raiz só porque é uma função do primeiro grau né Nós temos só x nós

não temos x qu ou x c né x qu é uma função do segundo grau então peguei a função igual a zero eu Acho a raiz dessa função então Aqui nós temos a interseção dela ó Isso que eu falei ó nós temos então 1 e z0 zer é o Y né de novo ó sempre o primeiro valor é x e sempre o segundo é y então nós temos um e zero aqui aqui é interseção com eixo Y ou seja quando X Vale zero então gente esses dois pontos também pode ser o fácil para você marcar

uma reta né qual que vai ser então o ponto da interseção aqui gente olha que legal né quando você faz x = 0 Sobra só o B 2 Então se você quer interseção com eixo Y ou seja um ponto que seja zero alguma coisa sempre vai ser o quê 0 e B 0 e o b vai ser sempre a interseção com eixo Y Por que que o b zero aqui para mim substitui o x = 0 aí você tá fazendo calculando a imagem quando X iG 0 vai dar ali quanto gente -2 x 0 vai

dar 0 mais 2 vai sar mais 2 pronto a resposta vai ser 2 né então a interseção entre os eixos é o eixo X é quando você acha a raiz da minha função eu pego a função Igual a zero e a interseção com eixo Y é quando eu pego o zer e o b né que é o valor independente Ou seja quando eu o meu x esses dois pontos é a interseção com cada eixo esses dois pontos pode ser o que você quer fazer para achar a reta certo vamos ver um exemplo então determina a

função de primeiro grau sabendo que F de1 iG 4 e f de4 = 3 eu trouxe ess exemplo que no livro A gente tem e aqui nós vamos trabalhar um pouquinho com imagem nós vamos trabalhar Com um pouquinho construir como que é como que é a fórmula né como que a gente faz uma equação ó aqui me dá a imagem quer dizer que a imagem de um é quat a imagem de quatro é TRS mas eu não sei a lei de formação para vocês aprenderem aí fazer junto comigo tá bom então nós queremos o quê

né determinar a função do primeiro grau que tenha esses pontos né Nós vimos que a função do primeiro grau a partir de dois pontos eu consigo né determinar por a função do primeiro grau É uma reta Então a parte de dois pontos eu tenho tenho uma reta né gente então e aqui com esses dois fos a gente pode definir mas para isso a gente tem que ter um coeficiente né o coeficiente angular coeficiente angular dessa reta nada mais é que Y2 - y1 sobre X2 - X1 porque a definição da reta é o seguinte ó

e para mim escrevê-la né eu vou ter Y - 1 Y 0 que poderia ser um valor né m x 1 x - 1 x0 né Essa é minha definição de reta né da da da função do primeiro grau Né para mim escrevê-la então esse M aqui é o meu coeficiente angular da minha reta Então como que ficaria aqui vamos calcular primeiro o coeficiente angular então eu tenho aqui né aqui eu tenho ó o y ó eu posso chamar que y1 e aqui eu tenho o primeiro ponto ó eu tenho que o y o X1

é 1 e o y1 dá quanto 4 que a resposta que deu certo aqui eu tenho 2 é iG 4 né gente porque o x aqui ó dentro da função FX então f de4 e o Y2 É iG 3 Então vamos lá então substituir vai Ficar e 3 - 4 sobre né 4 - 1 Então vai dar aqui -1 certo e vai dar 3 então deu - 1/3 meu coeficiente angular certo então deu menos 1/3 Então vamos escrever aqui nossa função então a função vai dar e y menos eu posso escolher um ponto vamos pegar

o primeiro 1 - 4 é = - 1/3 que multiplica x - como Eu peguei aqui o 4 eu tenho que pegar o X também 1 então aqui vai dar Y - 4 é igual aqui né eu vou distribuir nesse valor que tá antes do parêntese multiplicando Então vai dar - 1/3 x + 1/3 certo esse 4 vou passar pro outro lado então Y é = - 1/3 x + 1/3 - 4 tirando o MMC aqui né gente vai dar 3 eu vou ter menos e - x né nem precisa colocar 1 certo eh posso

pô aqui né x so 3 aqui vai dar 4 x 3 12 né então tirando aqui ó o Mc né porque 3 em 1 vai dar 3 gente tudo então vai dar 1 - 12 sobre 3 Então vai dar minha função x so 3 né negativo aqui - 11 so 3 Então como que vai ficar a minha função né então reescrevendo ela aqui ó a minha função do primeiro grau ficou - x - 11 so 3 né Posso p só um denominador aí em comum PR os dois certo Então essa é a minha função do

primeiro grau que passa por esses dois pontos então vamos lá Então algumas características importantes né olha podemos classificar as funções primeiro grau como crescentes e decrescente é aquilo que eu falei com vocês olha o a ele é muito importante então vamos lá então quando a é positivo quando ela é maior que zero é uma função crescente ela cresce gente é só ver olha o meu x tá aumentando ó a função tá aqui ó não tá ó o gráfico tá aqui quando eu vou aumentando o x ó pego o x aqui ó e pontilha aqui dá

esse valor no Y certo Né gente porque o para mim saber qual o valor correspondente àquele x eu pego vou Pando até encostar no gráfico e vejo onde vai bater lá no y a então Ó dois vai dar aqui ó mais ou menos quando eu pego trê ó dá um número maior Ou seja eu estou aumentando x o meu Y também tá aumentando Isso é uma função crescente então quando a é positivo a função cresce agora quando a é negativo ó a menor que z0 é uma função decrescente né olha para você ver o o

aqui o gráfico tá Descendo ó só de ver o gráfico a gente já sabe ó tá descendo Olha então eu vou aumentando o valor de x ó -1 ó quando eu toco daqui ó dá negativo dá mais ou menos perto de -1 ó vamos ver dá é perto de -1 aqui -1 no Y se eu pego Dois Olha já deu quanto ih quase perto do -4 ou seja o x tá aumentando mas o meu Y tá diminuindo Então isso é uma função decrescente gente isso vale para outras funções você vê que a função o x

tá aumentando e o y tá diminuindo é uma Função decrescente se o x aumenta e o y aumenta elas estão crescendo e pelo gráfico a gente vê ó ó crescendo aqui ó decrescendo Tá bom então gente a função do segundo grau né a função do segundo grau Como o próprio nome diz Relembrando aí equação do segundo grau né ela vai remeter pra gente o quê um X qu né um termo ao quadrado certo então nós vamos ter uma função do segundo grau né Eh uma função do segundo grau ou quadrática né também ela recebe esse

nome é definida Por então ela vai do domínio R para o contradomínio r né Eu sempre vou enfatizar isso para você sempre lembrar dos termos sabe a gente na matemática nós temos que ter muito eh quando nós trabalhamos né nesse campo é é importante esses detalhes né para saber os termos As definições né E para até orientar melhor o estudo de vocês tá então essa função vai do R para o r do domínio por contra do domínio r e a a cara dela é uma cara que vocês conhecem Lá da equação de segundo grau é

um AX qu + um BX + 1 C é um a que acompanha o termo x qu que é o maior termo no maior grau o B que acompanha o X mais o c que é um termo independente né sendo a diferente de zero porque aí não seria uma função de segundo grau Porque se o a for zero ó vai dar função de quê de primeiro grau né que nós acabamos de ver e B e C pertence aos reais né Essa é uma função de segundo grau né gente então raiz de uma função de Segundo

grau gente a raiz função do da da função de segundo grau é a mesma coisa do primeiro grau é só igualar a função a zero que nós vamos achar raízes mas Lembrando que a função de segundo grau do primeiro nós achavamos apenas uma raiz porque é apenas um X as raízes do segundo grau são duas por quê é uma função do segundo grau Então são duas raízes né Vocês vão lembrar aí ó quais são as duas Raízes do segundo grau gente X uma linha e x duas linhas né então ó para determinarmos as raizes de

FX a x qu qu + BX + C devemos considerar FX = 0 logo teremos AX + BX + C = 0 né E aí nós vamos ter nós vamos encontrar né na verdade nós vamos ter o qu uma equação de segundo grau gente achar as raízes né de uma função de segundo grau é calcular Delta e básica Quem lembra aí de Delta I basc achou que nunca mais ia usar né então vamos determinar as raizes da função x Qu x- 2 = 0 vamos lá vamos fazer no quadro então determinar as raízes nada mais

é que igualar a função a zer né Igual ou seja aqui nesse caso como é função de segundo grau nós vamos calcular Delta e máscara né gente então vamos lembrar um pouquinho aí né então aqui eu vou ter Delta né vai ser o qu B aqui é o a b c certo então eu tenho 1 - 4 x 1 né que é o a ve o c que é - 2 né Colocar em parênteses que nós temos Um número com negativo então aqui Delta vai dar 1 4 x 1 4 4 x 2 8 menos

com menos na multiplicação é mais então + 8 Então Delta deu 9 agora nosso máscara x = menos né é - b mais ou menos ra qu Delta sobre 2 x A então B vai dar B é 1 - 1 então mais ou menos ra qu 9 2 x 1 então aqui vai dar - 1 mais ou menos 3 né sobre 2 então agora calcular os 2 x né eu tenho x uma linha x duas linhas x linha eu posso pegar ou mais ou menos vamos Pegar o mais então -1 + 3 di 2 aqui

vai dar -1 -1 né vou pegar o negativo agora -3 2 aqui 3 tirando 1 2 2 di 2 dá 1 e aqui - 4 divido por 2 dá -2 pronto Então essas são as raízes Então as [Música] raízes da função né são -2 e 1 né então basta eu igualar a função a zero que nós encontraremos as raízes dessa função então gente nós Achamos né E aí nós vamos ver agora uma coisinha uma função do segundo grau vamos lembrar a função do primeiro grau sempre dá o quê uma reta e a do segundo grau

a função do segundo grau dá sempre uma parábola sempre uma parábola sempre sempre sempre tá então né vamos analisar sobre isso nós vimos que as raízes né questão do Delta nós calculamos Delta e báscara né E aí tem relação com isso primeira coisa que é importante vocês lembraram do a esse a Aqui ó se o a for positivo ó se Ó Desculpa se o a for positivo é aqui que eu tá o a ó se o a for positivo nós vamos ter concavidade para cima da função Então se o a é positivo nós vamos ter

concavidade para cima se o a for negativo concavidade para baixo tá então se o a for positivo concavidade para cima se o a for eh negativo com cavidade para baixo e a relação entre esse discriminante e as raízes gente se o delta der maior que zero se o delta é Positivo né Nós vamos ter duas raízes reais distintas né Eh isso aí a gente vê até lá no quando a gente vai estudar a equação de segundo grau né quando o delta dá negativo a gente nem tem uma raiz real né então se o delta der

positivo nós vamos ter duas raízes reais mas diferentes olha aqui ó é esse caso aqui ó Ó aqui tá cortando duas vezes o eixo X ó duas raízes reais o quê diferentes aqui ó diferentes é o símbolo aqui nós já temos o quê Concavidade para baixo mais duas raízes cortando o eixo X Então vamos lá se o determinante eh o delta d eh maior que zero vai nós teremos duas raízes reais Diferentes né quando o delta for igual a zero que acontece quando Delta dá zero hein a gente acha duas raízes o quê iguais né

acha iguais x uma linha x duas linhas dá iguais ou seja ela vai cortar o meu eixo X só num ponto porque eles são iguais né então aqui ó vai cortar em um ponto só ou com Gravidade para cima quando o a for positivo ou com com cavidade para baixo quando o a for negativo Então tem um pontinho ali encostando no meu eixo certo e quando o delta for negativo a equação não terá Raizes reais que aí que a gente vê né quando Delta negativo não existe raízes reais aí existe só complexas né que a

gente vê lá no terceiro ano se no médio geralmente tá E aí ela não corta o meu eixo X ó olha ela é suspensa ela não corta nem ó nem se Com cavidade for para cima nem se com cavidade for para baixo então aí nós temos os tipos né gente então se você calcula uma raiz ou se você faz um Delta você consegue ver como que vai ser o comportamento dela e nós vamos ver que para construir o gráfico uma coisa importante é achar eh as raízes né calcular Delta e baixa achar as duas raízes

porque ela vai nos dar o valores pra gente marcar aqui o nosso nosso gráfico Tá vértice da parábola gente a vocês perceberam que a parábola ela pode ser concavidade para cima ou concavidade para baixo quando a parábola tem concavidade para cima né ela vai descendo aqui é infinito né gente a gente só tá com o esboço né aí ela vai descendo descendo descendo Ela atinge o menor valor aqui ela vai atingir um valor mínimo aqui ó e depois sobe de novo quando a concavidade é para baixo ela Vai subindo subindo subindo subindo atinge o maior

valor e depois desce né o vértice é o ponto extremo de uma parábola ele é o ponto máximo ou é o ponto mínimo de uma parábola chamado de v né e não é V de Vanessa não é V de vértice ao considerarmos fx = X + BX + c o valor de a irá definir duas possíveis né duas posições possíveis da concavidade da parábola A positivo concavidade para cima nós vamos ter um vértice um valor que é x do vértice Y do Vértice um valor mínimo se a concavidade for para baixo nós vamos ter o

vértice aqui que é determinado pelo x do vértice e y do vértice que é um ponto de máximo gente uma empresa se ela quer calcular e o menor custo para uma alguma coisa o menor custo eh vocês acham que a função dela vai ter concavidade para cima ou para baixo ela que é o menor o valor mínimo concavidade dela vai para cima O a tem que ser positivo porque ela vai ter um valor mínimo de custo ela vai Conseguir achar se eu quero eh custo que eu tô falando é de de custo né que ela

aí a que é mais lucro agora se for de lucro ela quer o maior lucro possível né que é o menor custo mas ela quer o maior lucro o lucro seria o quê concavidade para baixo porque ela vai ter um máximo de lucro aqui certo Esses são exemplos práticos aí da vida né do cotidiano E aí como que a gente determina o x e o y do vértice nós temos uma fórmula para isso né eh podemos Definir as coordenadas do vértice x do vértice e y do vértice de uma parábola como x o vértice é

- b so 2ae B professora Quem esse a ah gente esse b e o a é da minha função como que é a cara da função do segundo grau AX qu + BX + C então aquele esse a b que tá aparecendo aqui é tudo de lá então como que é o x do vértice - B so 2 A E como que é o y do vértice - Delta o delta você sabe B qu - 4 x a x c sobre 4 a portanto V vértice terá coordenadas Isso então você quer achar esse ponto né

o vértice faça o x e o y do vértice Então como que seria - B so 2aa E aí você vai achar esse ponto esse ponto também é muito importante pra gente achar pra gente desenhar a nossa parábola tá aqui ó máximo e mínimo né que eu já falei né Eu trouxe aqui mas eu já falei ó o vértic uma parábola será o máximo ou o mínimo da função isso dependendo do valor que a assumir né se a for positivo V é um ponto de mínimo ó Atinge mínimo certo aqui ó a imagem é um

Y pertencente a r tal que o y é maior que o y do vértice ó né Qualquer Y é maior que o y do vértice aqui nesse caso maior que o -3 Né o vértice aqui o y é -3 e o X é 2 Se tivermos a negativo a menor que zero V é um ponto de máximo ó maior valor que pode atingir nesse caso o conjunto imagem será dado por a imagem será Y pertencendo aos reais tal que Y é menor ó qualquer Y aqui é menor que o y do vér ou seja menor

que 5 ó 5 é o y ó e X é o 2 certo gente eu nem pus um exemplo do X Y ver nós vamos fazer na H de fazer o gráfico Eu trouxe um exemplo daqui a pouco a nós vamos fazer E aí nós vamos calcular esse x e y do vértice tá para vocês treinarem aí também aí o gráfico o gráfico de uma função de segundo grau como nós já vimos sempre vai dar uma parábola uma parábola e ele tem a forma AX qu + BX + C né o sinal do coeficiente a

que nós temos que ver primeira coisa então a gente tem uma Função nós temos que perguntar o a é positivo ou negativo se o a for positivo concavidade para cima se o a for negativo concavidade para baixo nós temos que ver o sinal do a o valor do Delta indicará a quantidade de raízes se o delta for positivo duas raízes reais vai cortar em dois pontos no eixo X se o a for igual a zero vai dar duas raízes iguais Então vai cortar o eixo X só em um ponto se o a for menor que

zero não vai cortar em nada e vai passar por cima Né ou por baixo né gente eh o vértice antigo pon de máximo ou mínimo Então nós vamos calcular o vértice aí né e quando X a outra coisa aqui também nós podemos achar né as duas raízes se Delta for maior que zero a gente acha as duas raízes para marcar ou se for igual a zero né só se for maior se der negativo que aí a gente não vai ter as raízes então né não vai é precisar calcular esse eh as raízes da função quando

x = 0 temos y = c aquele ponto 0 C né Gente Assim um ponto 0c é o ponto em que a parábola interseta o eixo Y e aí também também um outro ponto então nós temos esse ponto nós temos eh achar o coeficiente de a o valor de Delta e achar as raízes e o vértice tá bom E aí dá pra gente esboçar nosso gráfico certo gente então Eh vamos então com esse exemplo aqui x qu - 2x - 3 vamos fazer o gráfico lá no quadro tá bom primeiro nós temos que o nosso

a né que é o que acompanha o x qu Ele é positivo então nós tem que concavidade será para cima primeiro ponto então segundo nós queremos agora né E vamos achar as raízes dessa função né calcular Delta e bás então vamos lá então eu tenho x qu - 2x - 3 igual vou igualar a z0 essas Raizes vai me possibilitar ver onde ele tá encostando o meu eixo X ou não né então aqui eu tenho Delta iG e -2 qu Men 4 x 1 x -3 aqui eu vou ter 4 4 x 3 12 +

12 então Delta deu 16 certo então eu vou ter x iG báscara agora - 2 mais ou menos ra qu 16 sobre 2 x 1 aqui nós vamos ter x = + 2 né gente porque menos com menos mais mais ou menos ra qu 4 sobre 2 então agora a gente calcula x uma linha x duas linhas x uma linha vai dar o quê X uma linha vai dar V um pouco mais Então vai dar 2 + 4 di 2 6 di 2 3 e aqui nós vamos pegar com o sinal de menos + 2

- 4 di 2 -2 di 2 dá -1 então nós temos que os pontos as raízes são Então as raízes né então raízes nós vamos ter -1 e 3 certo então já temos que -1 e 3 ele vai interceptar ali o eixo X né E aí nós temos o que também nós podemos analisar eh os o nosso vértice o vértice da nossa função né então agora nós vamos analisar o vértice então o vértice né da minha função ele vai ser né o o x do vértice e o y do vértice que é - b so

2aa so 4 a certo então vamos calcular Então nós vamos ter o b é -2 então Men com menos mais 2 x a 2 x 1 2 Delta Delta a gente já achou que é 16 Então vai dar - 166 4 x 1 4 então aqui vai dar 1 16 div por 4 4 então deu 1 - 4 então esse ponto é o nosso ponto de vértice ponto de mínimo no caso porque vai ser lá embaixo certo com cavidade para cima Então olha nós já temos os dois pontos então vamos mais ou menos só eh

visualizá-la antes da gente desenhar Então nós já temos algo do tipo nós já temos aqui o vértice já temos dois pontos vamos ver onde que ela vai interceptar o eixo qu o eixo Y e com isso quando a gente achar o eixo que ela vai interceptar aqui nós podemos o quê ver aqui o que vai ser simétrico né E marcá-lo também e achá-lo então vamos lá então então aqui nós vamos ter eh quando o Y né O que intercepta é quando X iG 0 então quando x = 0 nós vamos ter z0 aqui vai dar

0 - 3 né gente vai dar o quê o -3 então ou seja mais um ponto então nós temos as raízes né aqui eu posso até reescrever as raízes né no ponto eh -1 0 e 3 e 0 nós temos também esse ponto aqui né 1 e - 4 e nós temos também o ponto 0 e -3 certo então 0 - 3 então agora nós podemos desenhar o nosso gráfico né então vamos desenhar então então pessoal aqui nós temos então né Eh o plano cartesiano o eixo X horizontal o eixo Y vertical certo e nós

temos aqui ó anei os dados a é maior que zero então com Cavidade para cima certo aqui são os pontos o quê as raízes da minha função né que nós encontramos calculando Delta máscara Aqui nós temos o quê o vértice da minha função que nós calculamos também e Aqui nós temos o quê o ponto 0 C né então aqui o ponto ó 0 C o C nosso é -3 então 0 - 3 né E nós poderíamos ainda achar um ponto que tá simétrico ao 03 né ao -3 né que seria que o mesmo valor que

dá né seria 2 e -3 que também vai dar um ponto Simétrico aí né então a gente poder marcá-lo também então Outro ponto vocês podem até fazer aí que eles vão dar o mesmo valores tá quando você põe 2 aqui ó 2 qu 4 e 2 x 2 4 negativo vai zerar vai sobrar -3 também tá então V marcar então esses cinco pontos vamos lá primeiro ponto então você comidade para cima hein -1 0 - 1 0 aqui em cima segundo ponto 3 0 ve o x0 do Y agora o nosso vértice 1 e -4

então 1 ó 1 e -4 aqui no meio ó certo aí você vê que aqui vai ser que distante Ó daqui com daqui tem que ser porque é o vértice né é o meio ali e outro ponto 0 e -3 então 0 do x - 3 do Y aqui né n um outro ponto então seria 2 e Men 3 né Agora nós vamos o quê ligar né Se não ficar muito bom não tem problema tá gente vocês testa aí também porque da mão fica diferente que num aplicativo Num programa né então vamos lá Então unir

esses pontos ó pronto essa é a nossa parábola com concavidade para cima então nós definimos os pontos uma dica que eu dou depois que vocês achar a interseção aqui com o eixo Y vocês fazem eh para achar o equ distante dele aqui ó né também na H que vocês subirem aqui também vocês vão interceptar aqui vai dar ok também tá mas só vai ficar mais bonitinho aqui lembra que tem que ser a mesma distância Aqui do lado ó né que você vai achar o outro ponto também tá ou você substitui também -3 = Y né

que você vai conseguir também encontrar ali tá bom gente e aí nós conseguimos então fazer o nosso gráfico E aí gente eh nós acabamos de ver né Eh a função do segundo grau essas duas funções o primeiro e segundo grau elas são mais usuais dentro da matemática né enfim Então ela nós Como que eu posso falar nós damos mais detalhes a elas né as outras Funções também são importantes exponencial logaritmo Mas nós vamos mais passar para vocês conhecerem né no livro mesmo vocês vão ver que ela é mais e e traz esse eh essa noção

para você bateu ol fale assim essa é uma função exponencial ó eu não sabia mas essa é uma função modular então vocês vão conhecer algumas funções vamos lá exponencial tem a ver com expoente né então vamos lá a função exponencial é definida por a f que vai Dos reais do domínio real para o cont domínio q que que significa isso aqui gente ó não pode entrar zero né R diferente de zer o zero não faz parte do conjunto aqui e só Positivo né Por qu vai sempre levar o número positivo diferente de zero como que

a função FX iG 1 a elevado a x né em que a é um número real dado por dado né o Real dado a tem que ser maior que zero e a tem que ser diferente de um ou seja a não pode ser nenhum e Tem que ser diferente de zero por gente se for a = 1 1 elevado a qualquer número dá um só né Tá e vamos ver algumas restrições então né nessa definição há duas restrições em relação à base né Vocês viram a é maior que zero tem que ser positivo e tem

que ser diferente de 1 se a for igual a 1 para todo x a função vai ser o quê Y = 1 elevado x e será constante né gente porque 1 elevado a qualquer número é um certo se a for menor que zero Nem sempre O número elevado a x será o número real né por isso tá que a gente não considera o a menor que zero se a for igual a z0 temos três possibilidades né Se aqui a base né aqui ó a base a for igual a zero aí se x for maior que

zero né vai ser uma função constante porque por exemplo 0 elevado a 2 é 0 0 elevado a 4 0 0 elevado a qualquer número né quando o x for positivo eh vai ser uma constante se x for menor que zero não está definido em Né 0 elevado a-4 aí nós teremos que inverter né gente porque o quando tem expoente negativo a gente inverte o número só que aí não tá definido em R nós vimos isso aqui já é uma primeiro caso lá do meu domínio nós não podemos ter uma fração com o denominador igual

a zero não existe não está definido em R E se x for igual a 0 também não está definido em R né porque vai ficar zer e elevado a z0 certo gente então aqui é Só Curiosidades tá Gente e aí nós temos o gráfico Como que é o nosso gráfico Olha então a gente eh né Nós trouxemos um pouquinho da função vocês conhecerem mesmo né Olha o gráfico dela vocês Batu o ouro agora vocês vão lembrar crescente uma função exponencial cresente né Por exemplo um Y igual a né quando a ele eh por exemplo dois

né quando ele é maior que um né quando o a for maior que um é uma função crescente ó a maior que 1 né aqui ó ela sempre vai cortar o zero E um tá gente sempre sempre vai cortar o zer e 1 tá bom É porque quando o x valer Zero qualquer número elevado a zero dá quanto dá um isso vem lá de expoente potência né então sempre vai cortar Então Sempre quando você vê um gráfico aqui ó desse jeito é uma função exponencial Essa é crescente e aqui vocês vê gente sempre por isso

que eu falo que crescente é crescente vocês bate o hoje a gente vê essa decao ó né ou seja aqui é uma função decrescente Quando a minha base né aqui é base que é expoente né gente quando a minha base está entre 0 e 1 a minha função ela é decrescente a o exponencial E vocês estão vendo que o gráfico só tá na parte o quê superior porque tem que ser só positivo ó o y é positivo aqui para cima ó então ele sempre sempre estará superior ao meu gráfico Tá bom então esse aqui é

exemplo de funções exponenciais certo nós temos a função logarítmica né A função logarítmica ela é vista como inversa da exponencial né porque a definição de log é isso né gente e a função logaritmo é definida por aqui olha para você ver ó o olha PR você como que é inversa lá o meu contradomínio era desse jeito o domínio era R e ia para um R estrela positivo ou seja não entra zero e é positivo aqui ó o r é estrela positivo o domínio né e vai para o r né todo R onde a função é

um log de X na base A né em que a é um Número né real dado a é maior que zero e a é diferente de 1 mesma coisa do lá né Nós tínhamos também eh nessa definição há duas restrições né como nós vimos se a for igual a 1 para do X teremos uma imagem a reta x = 1 né por isso que a não é igual a 1 se a for menor que zero a função não estará definida né gente aqui a aqui ó nós teríamos que aqui eh a base seria é um

né seria zero então não tá definida se for menor que zero né negativo e se a for igual a z0 obtendo Segmento de reta paralelo ao eixo X né então se aqui for zero ó teríamos e paralelo ali com eixo X se for negativo não tá definir tá porque Só Curiosidades E como que é o gráfico dela Olha que legal né aí que que a gente percebe né E olha para você ver que legal por isso que eu falo que era uma função contrária a outra né A a crescente é quando a é maior que

zero maior que 1 igual da exponencial e ela é decrescente quando ela está entre zero e 1 e aqui lá vamos Voltar para vocês verem aqui a gente cortava aqui ó o zer e 1 zer e 1 e sempre superior no eixo Y por quê Porque aqui ó o meu o domínio é sempre positivo né Ó vou voltar lá aqui o contradomínio que era positivo ou seja o meu Y sempre daria Positivo já na função logarítmica Olha é inverso a o meu gráfico vai est sempre no x positivo Olha o x aqui é positivo ó

sempre tá positivo e corta o um zero sempre certo aqui é crescente e aqui é decrescente né Muito legal isso Também im porque a definição o que que é um log né vamos supor log de 2 na base e que que é um log de X na base 2 é um 2 elevado a alguma coisa que vai vai dar x né ou seja volta numa no expoente por isso que elas são né inversas como se ditas inversas né olha que legal o gráfico delas né Muito interessante agora já sabe se você tem uma uma curva

né só no para cima do X né para cima no Y né Desculpa só no na parte positiva do Y e que corta o o ponto 0 e 1 é Exponencial agora se ela só tá no Positivo do X e corta um e zero era uma função logarítmica certo então você já sabe identificar uma função logaritmo uma função exponencial e a função modular essa não ela é menos falada né gente a função exponencial ela é muito usada com progressão de de bactéria né proliferação vírus porque ela é muito rápida né ela sobe muito rápido porque

é Um número expoente né então vai subir muito rápido então ela sempre define muitos eh né muitas pesquisas nesse Campo a função mulá tem a ver com módulo né aquele módulo assim ó aquele risco ISS é antigo lá na na na no conteúdo de matemática modo valor absoluto né sabemos que o módulo de X o módulo né de de X existe para qualquer x Real certo também temos que para qualquer número real possui um único com módulo de X né Essas condições permitem definir uma função f de R em R chamada função modular né a

função f que de vai vai de R para R ó lá o domínio quando o domínio é real não tem restrição nenhuma definida por módulo de X denominada função modular E como que é o módulo gente o módulo que ele diz que é o valor real né o valor absoluto ali do do número né a gente até brinca só positivo não é o valor do número né o módulo Então vai ser x se x for positivo porque Se for o número 4 Qual que é o módulo de 4 4 mesmo né Se for maior ou

igual a z0 e vai ser - x se x for menor que 0 por exemplo Qual que é o módulo de -5 é 5 né tá essa que é a definição de módulo né E aí como que é o gráfico dela né então aqui eu já trouxe o gráfico ó x foi maior que z0 então módulo X é x ó aqui nós pegamos F Dex igual a módulo de X tá gente então nós vamos analisar dos dois lados quando X é positivo quando X é negativo quando X é positivo ó ou igual a zero o

módulo vai ser o próprio número ó ó como que dá aí você liga os pontos ó como se fosse uma reta de um lado e do outro lado que é quando a gente pega os valores negativos ela vai ter também uma reta do outro lado e assim vai formar né como se fosse duas retas ligando o v né Isso aqui é uma função do lá tá porque ela é composta analisando de um lado e analisando do outro tá bom gente porque ó quando eu analiso positivo Qual que é O módulo de um é o próprio

um de dois dois né que é o valor absoluto é como o módulo É como se eu tivesse calculando distância não existe distância negativa então se eu falo qual que é a distância daqui ali Ah é tantos quilômetros pronto é o módulo né a distância aqui qual que é o módulo de -1 é um que é o oposto né módulo de -2 2 então eu vou ligar o ponto -1 e 1 -2 2 -3 3 e aí a gente consegue fazer o nosso gráfico certo gente vamos ver agora função Trigonométrica né Eu amo trigonometria né

trigonometria lá no triângulo retângulo depois nós vamos pro ciclo né trigonométrico seno cosseno tangente eh né vamos lembrar aí seno que que é cateto Num triângulo retângulo né o seno eh cateto oposto sobre hipotenusa né cosseno cateto adjacente sobre hipotenusa eh tangente cateto opô sobre cateto adjacente ou seno sobre cosseno né E aí Isso aqui ela é uma função gente seno cosseno tangente poderia analisar Outra secante cons secante são tudo o quê todas são funções e elas possuem gráfico né a função seno né Eh definimos a função seno a função que vai de R para

R né e que cada número real x associa ao seno né o seno de um arco de X radianos né o grau ou seja para cada x s um seno de x né característica então o domínio de seno é o conjunto dos números reais né gente a imagem mesmo que o cont domínio é real a imagem ela tem uma limitação lá quando a gente vai no ciclo Né aqui que nós não vamos abordar tanto mas eu adoro trigonometria no ciclo a gente vê muito bem o seno o menor valor que ele pode sumir é men1

fechado né e o maior é 1 então a imagem ela vai de men1 a 1 né Aqui nós percebemos né Eu já vou até vi aqui pro gráfico gente é um gráfico de seno se der duas curva assim e vocês der tiverem dúvida se é seno ou cosseno para identificar basta olhar uma coisa ó o seno ele vai passar aqui ó no zero zer Por que ele passa no Zero zero aqui ó ele vai passar aqui ó no no na origem ó por que que ele passa aqui ó por quê Porque o seno de zero

é zero Então quer dizer que quando o X é zer o seno dele é zero por isso né você pega aqui ó aí vocês verem que o nosso eixo X Ele está em pi né pi radianos ó pi sobre 2 radianos pi pi sobre 2 radianos é o quê 990° aí ó quando você põe aqui 90 ó dá quanto 1 porque o seno de seno de 9 é 1 aqui olha pi pi dá 0 né 3 pi so 2 radianos que é 270 dá -1 2 pi Radiantes que é 360 dá 0 E aí vai

né então a gente vê o qu que a maior valor é 1 que ele assume ó ó maior valor no y e o menor é -1 certo e a função f é periódica com período igual a 2 pi né R Ou seja que seus valores repete a cada intervalo Dois pi radiando por isso que lá na trigonometria né a quando a gente vai estudar a gente vai vendo eh nós vamos vendo né a a Arcos né ângulos conros porque você pode ter quantas voltas ali no arco né você vai Encontrar um valor que vai ser

congruo a um que é entre né ali 0 até 360 por quê Porque o o seno ele vai ele é periódico né aqui ó Aqui nós temos até 2 pi radiano se eu pego daqui até aqui ó a mesma curva ó repetiu certo Por isso que a gente fala que é periódico tá a curva do gráfico da função f chama-se senoide né ou se ou usamos domínio de F ou essa simbologia com F inferiorizado né Eh US ou usamos o imagem F ou é simbologia com F inferiorizado né gente então nós temos Domínio e imagem

aí certo Então essa é a função seno tá depois vocês dão uma pesquisada gente porque aqui igual eu né trouxe né como os autores também eh um pouquinho dessas funções vocês podem pensar assim nossa mas é muita coisa né vai até a função de segundo grau dá uma pausa faça atividades referentes e depois né vai e pega as outras para ver né para tirar para ver assim de uma forma geral tá bom que é muito interessante Então gente nós vamos Ver agora a função seno né a função cosseno vocês vão ver que o gráfico vai

ter uma coisinha diferente vai observando aí dá uma pausa tá eh definimos a função cosseno a função que vai dos reais para os reais e que cada número real x associa o cosseno de um arco e de X radianos ou grau ou seja para casada x associa a um cosseno x características né o domínio da função f cosseno de x é o conjunto dos números reais né isso igual o seno a imagem de F Corresponde ao intervalo -1 1 ó imagem aqui né de F de -1 e 1 gente vamos observar Olha o cosseno o

seno passava aqui ó no zer zer o cosseno não passa no 1 por quê cosseno de 0 é 1 né Agora você vê no pi so 2 radiano que vale 90 dá zero porque cosseno de 90 é z0 990° aqui no 180 ó pi radi nos dá -1 porque cosseno de 180 É -1 e aqui no 270 ó 3 pi R so 2 dá 0 já no 360 dá Quanto dá 1 né Então esse é o cosseno Então você viu que é uma ah aparece Tantas duas Mas passou lá no um é o cosseno tá

E e aí só que aí Aí tem umas coisas são iguais né o domínio contra domínio a imagem também ela vai de menos um a um ó o menor valor aqui ó ó da curva é menos um e o maior é um tá bom eh ela também o é periódica tá gente e também o período é a cada 2 pi de an a cada 360 Ó você pode vir ó aqui ó ó até aqui é um comportamento ol aí Aqui começa de novo no alto ó de novo Viu Então a cada dois pi radianos aqui

ó o período ela vai ser repetindo igual tá por isso também a gente consegue arcos arcos conros né e a curva do gra da função chama-se cossenoide tá eh e a outra função que nós temos é tangente né a função tangente ela também pode ser escrita como seno sobre cosseno né Nós vamos ver um pouquinho do gráfico dela o gráfico dela já diferencia né Eh definimos a função tangente a função f que a cada número real x diferente de pi Sobre 2 mais k ou seja gente ela não está definida tá vocês lembram que lá

naqueles três casos do domínio a Tang gente tem um probleminha também no domínio ela não pode ser nenhum valor 90 mais e os ács culos ali de 90 né a cada volta não pode por quê Porque não existe se se tangente é seno sobre cosseno o que que acontece é uma fração cosseno não pode ser igual a quanto a zero onde que cosseno dá zero porque aí não vai tá definido no real né uma fração com Denominador igual a zero não existe onde que cosseno dá o problema nos 90 e 270 E aí vai todos

que dá sempre naqueles culos ali né E então associa a tangente de de um arco de X radianos ou grau ou seja para cada x associa-se a um né associa um tangente né de x e característica o domínio então é o conjunto dos números reais então ó como nós escrevemos lá como o primeiro caso é o x pertence aos reais tal que X tem que ser diferente quem de pi sobre 2 mais KP Esse KP que que fala o quê que pode dar as voltas aqui ó porque o o período da tangente nós vamos ver

não é 2 pi é pi então por isso que esse k pi tá falando o que esse k aqui ó quer dizer que pode dar quantas voltas o período que se parar no ângulo aqui pi sobre do não está definido tá pi radiando sobre do né gente aqui nós estamos trabalhando com 90º a imagem F é o conjunto dos números reais então não tem definido não tem limitação igual seno cosseno e a função F é periódica um período igual a pi né 180 Observe que seus valores se repent a cada intervalo olha aqui esse intervalo

aqui ó se repetem né Vocês podem perceber ó sempre vai repetindo né gente e olha que legal sempre aqui no pi sobre do rano eles ele se a gente for pontilhar aqui ó é a a tangente ela é como se quase encostasse mas não encosta né Nós vamos ver lá na unidade três nós vamos trabalhar um pouquinho com o limite né e nós vamos ver eh tipo de Assíntotas que encosta mas não Não encosta porque ali tem um probleminha então ela não vai encostar né E ela vai como né como se fosse pro infinito então

gente lá no no limite nós vamos entender isso melhor mas aqui nós temos o gráfico da tangente então vocês vê que ela é um pouquinho diferente né alguns itens tá E aí nós fechamos então o tipos de funções né Agora nós vamos ver uma um uma outra operação né dentro das funções chamada função composta é como eu posso compor Uma função com a outra né Eh de forma geral ao tomarmos as funções genéricas uma função que vai de a para B definida por F Dex = 3x já dou um exemplo aqui tá E E G

que vai de b a c vocês estão vendo que a g que é uma outra função gente função pode ter outros nomes tá pode ser só f não pode ser g h qualquer outra lá na física nós temos funções né representando eh o movimento de uma parti ía o qu ali a gente define pro outro às vezes é s de T né que depende do tempo aquilo al é uma função também tá então a gente tem que por isso que a gente eu gosto de falar muito que é uma máquina porque ela vai ter cada

uma vai ter uma cara diferente tá E e definida por G Dex = 4x podemos notar que o contradomínio da função f é o domínio da função G né ó aqui é igual o domínio da G dessa forma surge uma outra função H que relacionea o domínio da função f com contradomínio de G que que seria uma função composta o Nome já diz composta vai compor Olha eu tenho a b c que que a função composta vai fazer ela vai pegar um x a f vai levar no Y depois nó vamos pegar o y e

levar no z então a função composta ela sai daqui do a e vai para o c como a gente pode escrever por exemplo se eu quero a função f de G Dex a gente escreve desse jeito né outra tamb a gente pode pô uma bolinha aqui chama fog né é uma função composta tá vamos ver um exemplo dá das funções F que vai de a Para B definida por F Dex 4x + 3 e g que vai de B até C estão vendo aqui ó o cont contradomínio aqui coincide com o domínio daqui definida por

GX = x + 2 determino o que que qu que Eu determino f de G Dex a cara gente quando eu ponho f g x que que ele quer dizer me fala qual que vai ser a cara a fórmula dessa função composta e quanto que vai dar g de F3 ou seja me dá quanto que vai dar a imagem dessa função composta Ó daqui é diferente a g tá por fora aqui é a f vai Ser coisas diferentes né quando eu tô no ponto três né então vamos fazer lá no quadro vamos lá primeiro Vamos

definir então né a nossa F deg Dex gente aqui nós podemos esse G nós podemos né Fazer o qual como né O que que nós podemos fazer ou nós podemos substituir esse G né pela minha definição de função que é x qu + 2 né ou eu posso eh ver o f o o o x ali do F F Dex como esse g e no lugar do X eu pô G mas depois vou ter que substituir a g então né dá a mesma coisa Então vamos lá então eu vou pegar minha G aqui ó porque

uma função Não é função de uma coisa de um de um domínio então aqui a minha G quem é G é isso aqui então eu vou escrever nesse lugar então eu vou ter f de x qu + 2 então tô fazendo essa aqui tá gente Ok pronto eh então fgx = FX + 2 então aqui o que tá aqui dentro é isso tudo então isso tudo aqui eu tenho que substituir onde f de X o que que ela Faz ela pega o meu x multiplica por 4 depois soma com 3 então o que que eu

tenho que fazer pegar isso tudo e multiplicar por 4 e depois somar com TR então aqui vai ficar igual ó qu que multiplica x + 2 + 3 É só vocês compreender o que tá aqui dentro do parenteses tem que multiplicar por quat essa é a minha definição de f e depois somar com três então Peg peguei isso tudo multipliquei por 4 e somei com 3 Certo então vamos calcular então aqui vai dar ó 4x 4 x 2 8 + 3 Então vai dar 4x + 11 Essa é minha função né A minha f deg

de x então eu posso escrever que f de G Dex é igual 4x qu + 11 Pronto né Agora vamos calcular quem vamos calcular agora a minha g de F de3 certo então vamos lá então poss ter fazer aqui do lado ó g de F de3 vamos lá aqui vamos calcular F de3 primeiro certo aqui ó vamos substituir dentro F3 quantos que F3 dá vamos calcular ali ó f de3 f de3 d Alia quanto gente 4 x 3 + 3 4 x 3 12 12 + 3 15 não é isso então 15 então ficou g

de 15 olha para você ver daqui é mais fácil quando tem um valor né então calcular g de 15 agora vamos substituir aqui com 15 então vai ficar 15 + 2 né Quantos que é 15 x 15 15 X 15 é 225 + 2 Então nós vamos ter 225 + 2 227 Então quer dizer que aqui ó g de F de3 dá 227 esse valor aqui ó né como nós acabamos de calcular Tá bom então gente né nós já fizemos já vimos aqui o conteúdo é bem extenso vocês viram né não deixa de estudar de

ver né de pesquisar nós vamos agora né fazer algumas atividades Vamos lá eh do livro mesmo tá em uma empresa o custo R 100 Para produzir n peça pode ser calculado por C né olha que legal eu acabei de falar essa função ela não tá como f nem com g nem com H ela tá como C de custo que depende da n n peças né Qual que é a cara dela 0,04n - 2n + 110 e serve é custo o at tá o quê o A tá positivo que é o 0,04 por quê Porque eu

quero menor custo então qu a novidade para cima para m ter um menor custo lá embaixo para qual quantidade de peças o custo de produção é mínimo quer Saber quantas peças eu vou ter que produzir para que seja mínimo que que ele quer que eu acho gente pensa um pouquinho que quer achar a quantidade de peça para que eu eh seja um valor mínimo que que eu encontro o vértice né o x do vértice porque porque o x vai me dar o X é o n ó n não é as peça né no caso lá

do X que eu tô falando X no vér quer saber o n para que esse valor dê um mínimo ou seja nós vamos ter que achar o x do vértice vamos calcular Então vamos lá no Quadro aqui nós vamos ter que tentar o nosso vértice né o vértice da função que é o qu x do vértice e y do vértice mas aqui tá querendo o quê só o nosso x que no caso seria o n né então aqui eu vou ter que calcular o quê apenas né o nosso x do vértice que seria - B

sobre 2ao que daria então o b é - 2 né então tem Men - 2 é 2 x 0,04 então aqui vai dar e 4 né gente D do né positivo e aqui 2 X 0,04 vai dar 0,0 8 certo então nós temos o quê 2 dividido né por 0,08 2 números aqui dois números aqui certo 20 dividido por 8 né Nós temos 2 né aqui 4 0 40 nós temos 5 ou seja 25 então nós temos o quê que para pro curso ser mínimo tem que produzir né 25 peça como nós fizemos a resposta

deu o quê 25 agora vamos fazer uma outra aqui Também do nosso livro considere as funções FG de modo que FX = 6x - 1 e f de G Dex = 2x + 3 assim o valor de G de3 é olha que legal essa tá um pouquinho mais diferente né Essa me deu f e me deu a composta a cara da composta que que que eu acho g de 3 Então nós vamos ter que armar usando esse isso aqui nós V podemos substituir aqui por três E aí usar a minha f e conseguir achar Vamos

lá fazer então essa nós vamos calcular pela aquela outro método que eu falei Nós não vamos nós não temos a cara da G então não tem como eu substituir aqui então nós vamos calcular F deg no lugar do X nós vamos pôr a g presta atenção ó se o que tá aqui dentro tá multiplicando por seis depois a gente subtrai um Então quem que tá aqui dentro isso aqui então vamos lá então então daqui nós vamos ter ó e a f de G vai dar o qu 6 vezes a minha G - 1 isso tá

dando quanto 2 + 3x né Nós Queremos achar a cara da G né para mim calcular g de 3 então aqui que que eu vou fazer então e aqui né Eu vou tem 6gx aqui aqui quem é né poderia até pôr três já e achar também o três né de uma vez mas vamos calcular aqui primeiro achar g e depois a gente substitui por três - 1 = 2 + 3x vou passar esse um para lá então 6gx = 2 + 3x + 1 né então 6G Dex = 3X mais e 3 né certo então

a minha g de X vai dar né 3x né e mais 3 so 6 sobre 6 Então essa é minha função né a g agora eu quero achar o quê G de3 então G de3 vai ser vai ser o qu eu vou substituir no lugar aqui ó vocês viram gente que aqui o que eu queria isola era G Então eu queria que ficasse x do outro lado para me ver a cara dela né que que vai ficar aqui então aqui eu poderia até simplificar né gente aqui ficaria é x + 1 né sobre 2 tá

para facilitar então ficaria o quê aqui no lugar do X eu vou Escrever 3 né então ficaria 3 + 1 sobre 2 3 + 1 4 4 di 2 dá 2 pronto então a minha resposta G de3 ig a 2 certo Então como nós fizemos nós achamos que g de TR deu do né Vocês viam que não é difícil certo então gente n aqui referencias e até a próxima aula [Música]