[Música] Lucas Lucas sou eu Jorge abre essa porta vamos Lucas uh Jorge essa hora da madrugada é entre Sens Obrigado O que foi agora uma nova Revelação exatamente mas essa é melhor que todas que já imaginei e o que você descobriu professor que existem infinitos maiores que outros infinitos quê você enlouqueceu de vez calma Lucas eu vou explicar na verdade a ideia é simples e isto me deixa eufórico Jorge e o infinito uma história de amor pois bem conte o que está acontecendo você deve se lembrar que dois conjuntos TM o mesmo número de elementos
Se for possível fazer uma correspondência bijetora entre eles e dizemos então que os conjuntos têm a mesma cardinalidade nesta correspondência um a um não sobra nenhum elemento dos dois conjuntos Sim eu me lembro e o que tem isso então Lucas O que você acha que aconteceria se eu usasse exatamente a mesma definição para conjuntos infinitos não faço a menor ideia Pois então me diga Lucas qual conjunto tem mais elementos os naturais ou os Racionais positivos Mas isso é tão elementar Jorge o conjunto dos naturais está contido nos Racionais positivos portanto existem mais números racionais positivos
do que números naturais aliás muito mais é simples não uhum É simples sim mas é Sutil eu tenho que dizer que você caiu na arma Como assim não vai fazer a minha cabeça dar voltas não se preocupe meu caro escritor o segredo está na simples correspondência bijetora eu vou mostrar a você meu caro amigo a correspondência bijetora entre os naturais e os Racionais positivos veja nós podemos escrever qualquer racional positivo como uma fração a sobre B com a e b nmeros naturais agora preste atenção imagine uma tabela com os numeradores na horizontal e os denominadores
na veral dessa maneira podemos escrever todos os Racionais positivos cada um em um quadradinho da tabela agora podemos enumerar todos os quadradinhos dessa tabela infinita com os números naturais passeando num zigzag ou seja temos uma correspondência bijetora entre o conjunto de números naturais e o conjunto de quadradinhos que contém os números racionais positivos portanto Lucas o conjunto dos números racionais positivos tem a mesma cardinalidade do conjunto dos números naturais ou seja ele pode ser enumerado com os naturais Mas que coisa interessante Jorge o conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio dos números racionais positivos
e mesmo assim os dois têm a mesma cardinalidade Pois então Lucas neste caso a parte não é menor que o todo mas se um conjunto é finito Aí sim a parte sempre é menor que o todo ah mas espera um momento não foi isso que você disse no começo você entrou aqui dizendo que havia infinitos maiores que outros infinitos Então E é aí que está a minha iluminação dessa noite há poucas horas eu descobri que o conjunto de números reais que é infinito é maior que o conjunto de números racionais que também é infinito mas
ao contrário desse último o conjunto dos reais não é numerável Isto é não é possível de maneira nenhuma fazer uma correspondência objet entre os números reais e os naturais não é incrível é incrível sim como é que acontece essa maravilha eu vou mostrar a você que o intervalo 0 do conjunto de números reais já não é enumerável a minha prova usa o método chamado redução ao absurdo inventado dos matemáticos gregos para começar veja que qualquer número entre 0 e 1 pode ser escrito como 0 vírgula A1 A2 A3 A4 e assim por diante onde cada
dígito é um número entre 0 e 9 por exemplo o número 0,345 98 7 4 2 8 etc e continuando infinitamente está entre 0 e 1 e todos os seus dígitos estão entre 0 e [Música] 9 Esta é a chamada representação decimal lembra-se Claro Jorge mas o número entre z0 e 1 pode ser racional e daí a representação decimal é finita como o número 0,35 por exemplo Belo Lucas é verdade mas nesse caso podemos Sempre escrever o número como uma dízima periódica 0,35 é igual a 0,349 9999 Como você sabe a dízima periódica Nunca Termina
Ou seja é infinita É verdade todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica infinita agora vamos vamos supor que o conjunto dos reais temha a mesma cardinalidade do conjunto dos Racionais que nós já sabemos que é enumerável nesse caso o conjunto dos reais também seria enumerável e existiria então a tal correspondência objet com o conjunto dos naturais e é isso que nos leva a um absurdo Avante Jorge mostre para mim Imagine que você possa mesmo fazer uma enumeração de todos os números reais como isso é possível não sei tem algum Golpe de Mestre
aí Tem sim mas o golpe é o método que eu inventei eu chamei de método da Diagonal a inspiração foi aquela tabela dos Racionais Mas em vez da tabela eu pensei numa lista Hum uma lista infinita aposto listar é enumeração Lucas foi o que eu fiz eu enumerei os reais entre 0 e 1 da seguinte maneira o primeiro número com sua representação decimal depois o segundo número com sua representação decimal o terceiro o quarto e assim por diante na nossa lista arbitrária o dígito a i j é o jimo dígito do iimo número real que
está entre 0 e 1 por exemplo o a34 é o quarto dígito do terceiro número na nossa lista exemplo o a34 é dígito 8 você quer dizer que um número qualquer por exemplo 0,06 43 21 etc está em algum lugar desta lista infinita e que 2/3 que é igual a 0,6666 também está em algum lugar da lista exatamente Lucas considere na nossa lista a diagonal com os dígitos A1 1 A2 2 A33 e assim por diante usando esses dígitos Vamos Construir outro número muito especial em entre 0 e 1 que vamos chamar de D é
o seguinte o primeiro dígito D1 deste número D é igual a A1 1 + 1 o segundo dígito D 2 é igual a a22 + 1 D3 iG A33 + 1 e assim por diante mas com um pequenino detalhe Lucas se algum a i i for igual a A9 teremos di = a 9 + 1 = 10 que tem dois dígitos e não serve pois os nossos dígitos estão sempre entre 0 e 9 na representação decimal então neste caso Vamos definir di igual ao dígito 1 mas na verdade poderia ser qualquer outro dígito fixo entre
0 e 9 agora Lucas presta atenção no número especial que eu te prometi D é igual 0 vírgula D1 D2 D3 e assim por diante é claro que este número está entre 0 e 1 não é claro Jorge exatamente como os outros 0 qualquer coisa mas então me diga este número não deveria estar na lista em que eu enumerei todos os reais Claro você supôs que tinha enumerado todos os números reais entre z0 e 1 mas Lucas Olhe bem o número D não pode ser o primeiro da lista porque D1 seu primeiro dígito é diferente
de a11 já que d1 é igual a A1 1 + 1 mas também não pode ser o segundo da lista A2 2 porque D2 é igual a A2 2 + 1 não pode ser o terceiro porque D3 é igual a A33 + 1 e assim por diante ou seja D não pode ser nenhum número da lista dos reais e a lista Lucas tinha todos os números reais entre zero e 1 e eu construí um número que está entre zero e 1 e que não está na lista Isso é um absurdo Puxa é verdade Jorge meu
caro Lucas isto aconteceu Porque supomos inicialmente que os reais podiam ser enumerados e eu mostrei a você que isto leva logicamente ao absurdo de um número estar e ao mesmo tempo não estar numa lista portanto meu amigo os reais não podem ser enumerados o conjunto dos números reais tem um número infinito de elementos mas este infinito é maior que o número também infinito de elementos dos números naturais que é o mesmo que o dos números dos Racionais ou dito em uma frase simples a cardinalidade dos reais é maior que a dos Racionais ponto final e
o que você vai fazer agora não sei ainda publicar minha descoberta eu acho se o croner deixar né os infinitos será que eles são apenas um estranho produto da minha louca [Música] imaginação [Música] [Música] w Y
