Distribuzione congiunta di variabili aleatorie discrete, marginali esercizio svolto!

Ciao ragazzi buon pomeriggio Benvenuti ad un nuovo video di probabilità Oggi siamo insieme per parlare di leggi congiunte di variabili aleatorie discrete quindi vedremo che cosa è la funzione di distribuzione congiunta di variabili aleatorie quando si deve utilizzare lo vedremo nel caso discreto applicandolo ad un esercizio cominciamo subito Innanzitutto vediamo che le leggi congiunte servono quando siamo interessati a problemi dove non interviene un'unica variabile aleatoria ma più di una quindi quando vogliamo studiare contemporaneamente il comportamento di più variabili aleatorie in particolare ci soffermeremo su due variabili aleatorie X ed Y quando vogliamo studiare quindi contemporaneamente il comportamento di due variabili aleatorie Ecco che intervengono quelle che si chiamano leggi congiunte e parleremo di funzione di distribuzione congiunta e la definiamo come segue chiamiamo F di AB la probabilità che la variabile aleatoria X assuma valori minori uguali di a e contemporaneamente Y valori minori uguali di B dove a deve essere maggiore di - infinito e B deve essere minore di più infinito data la definizione vediamo nel caso discreto in particolare Cosa succede Questo perché sia la x che la Y non assumono valori continui ma assumono certi specifici valori quindi X assume valori X con i con i Mag UG 1 e anche la Y assume valori che chiamo Y con j * j Mag ugu di 1 quindi nel caso discreto si definisce la funzione distribuzione congiunta che si indica con P XY la probabilità che X assuma valore un certo valore X e Y assume un certo valore Y piccolo Quindi quello che stiamo dicendo è che questa distribuzione congiunta nel caso discreto rappresenta tutte le possibili coppie di valori X e Y dove ovviamente la x assume tutti i suoi possibili valori e la Y anche per questo motivo la distribuzione congiunta nel caso di variabili atorie discrete viene scritta sotto forma di tabella dove in riga mettiamo tutti i possibili valori che può assumere la variabile aleatoria X quindi X con 1 X con 2 x con i e in colonna tutti i possibili valori di y quindi y1 y2 Y J e abbiamo quindi proprio una tabella con tutti i possibili valori assunti dalle due variabili aleatorie quindi quando vogliamo calcolare la distribuzione congiunta di variabili aleatorie discrete quello che dobbiamo fare è calcolare le proprietà di tutte le possibili coppie X con i yj quindi in riga dobbiamo mettere tutti i valori possibili che assume la variabile aleatoria X in colonna metteremo tutti i valori possibili assunti dalla variabile aleatoria Y parlare di legge congiunta significa andare a calcolare per ogni riga e per ogni colonna la probabilità che X assuma un certo valore E contemporaneamente anche la Y assume un certo valore ad esempio nella prima riga prima colonna parliamo di probabilità di X con 1 y1 vuol dire che la variabile aleatoria X deve assumere il valore x 1 e anche contemporaneamente la Y deve assumere il valore Y con 1 quando abbiamo completato questo calcolo per ogni riga e per ogni colonna e quindi la tabella sarà completata abbiamo quindi calcolato la distribuzione congiunta veniamo adesso a quelle che si chiamano marginali vediamo la definizione di marginali le marginali sono le singole distribuzioni di X e di Y Quindi nel caso discreto la marginale di X sarà la proprietà che indico P X Ovvero la probabilità che X assume un certo valore X questa è uguale alla probabilità sull'Unione su tutti i j che X sia uguale a X e Y sia uguale a y J vediamo che cosa significa significa che fissiamo un certo valore X della variabile aleatoria x e sommiamo su tutti i possibili valori assunti da Y quando X ha quello specifico valore perché questa cosa poiché stiamo facendo un'unione su tutti eventi mutuamente esclusivi per la somma logica questo sarà la somma su tutti i j della probabilità che X assume un certo valore fissato x e contemporaneamente Y assumo un certo valore Y con J e sommo su tutti i valori Y J possibili assunti dalla variabile Y quindi x è fissata Y varia perciò torniamo alla tabella fatta prima della distribuzione congiunta quello che stiamo facendo è sommare sulle Colonne Perché fisso un certo valore di X e per questo valore fissato sommo su tutti i possibili valori assunti dalla variabile aleatoria Y quindi qui Aggiungo una riga che chiamo PX che è quella che chiamiamo marginale Quindi quando sommiamo in colonna quella sarà la marginale di X la stessa cosa vale per la marginale di Y Ovvero la proprietà di Y cioè è la probabilità che Y sia uguale a un certo valore Y fissato questa volta sarà la probabilità dell'Unione su tutti gli i di X = X con i quindi facciamo variare la x e la Y rimane fissata e quindi questo sarà la sommatoria su tutti gli i della probabilità che X Sia ugale ad X con i e Y sia ugale Y Quindi quello che stiamo facendo adesso è la somma sulle righe quindi aggiungo qui una colonna aggiungo qui la marginale di Y Quindi quando sommiamo sulle righe Quindi qua sarà la sommatoria su tutta questa riga ottengo la marginale di Y Perché Perché Y è fissato in questo caso al valore Y 1 e sto sommando su tutti i possibili valori assunti Dalla x che varia quando la Y è fissata uguale a y con 1 quindi la somma sulle righe è la marginale di y la somma sulle colonne è la marginale di X vediamo di mettere in pratica tutto questo in un esercizio l'esercizio è il seguente ci dice che in una popolazione il 15% delle famiglie non ha figli il 20% delle famiglie ha un solo figlio il 35% ha due figli e il 30% ha tre figli Considerando che in questa popolazione la probabilità di avere un figlio maschio è uguale a quella di avere una figlia femmina che sarà quindi pari a 1/2 vogliamo calcolare la distribuzione congiunta di X e di Y dove X conta il numero di figli maschi e Y conta il numero di figlie femmine e adesso osserviamo che X può assumere tutti i valori che vanno da 0 a 3 questo perché in una famiglia possono esserci Zero maschi un solo maschio due maschi o tre figli maschi la stessa identica cosa succede con la y perché in una famiglia possono esserci Zero femmine una sola femmina due femmine o tre femmine nel caso di popolazioni con tre figli dove tutti e tre siano femmine Ok adesso vogliamo la distribuzione congiunta quindi quello che dobbiamo fare è impostare la tabella dove abbiamo in riga tutti i possibili valori della variabile aleatoria X quindi 0 1 2 e 3 e in colonna tutti i valori possibili assunti dalla variabile aleatoria Y che quindi sono 0 1 2 e 3 fatta la tabella andiamo a calcolare tutte le probabilità congiunte vale a dire la probabilità di tutte le coppie possibili cominciamo prima riga prima colonna Questa è la probabilità 00 cioè che la x assuma valore 0o E contemporaneamente anche la Y assume il valore 0 Questo significa che la famiglia non ha né figli maschi né figli né figlie femmine Perciò questa coincide con la proprietà di non avere figli che pari a 0. 15 che ce lo diceva il testo quindi sostituiamo prima riga prima colonna il valore 015 e adesso lascio fissato il valore X quindi X Vale 0 vuol dire maschi z0 e vado a calcolare le altre probabilità quindi in questo caso andiamo a calcolare la probabilità 01 cioè 0 maschi e una sola figlia femmina ok Questo Ricordiamoci che sono i maschi e queste le femmine Quindi come possiamo calcolare questa proprità intanto la riscriviamo in questo modo proprietà che X sia uguale a 0 e Y sia uguale a 1 intersecato l'evento di avere un figlio perché certamente nel caso di avere x0 e y1 vuol dire che la famiglia ha avuto un solo figlio quindi posso fare questa intersezione che mi permette di riscrivere in questo modo la probabilità usando la proprietà condizionata vale a dire che X sia uguale a 0 e Y sia uguale a 1 sapendo che la famiglia ha avuto un solo figlio per la probabilità di avere un solo figlio in questo modo la probabilità di avere un z0 maschi e una femmina è pari ad 1/2 e la probabilità di avere un figlio dal testo un solo figlio è pari al 20% cioè 02 quindi 1/2 per 0,2 e adesso lo andiamo a scrivere in tabella quindi qui andremo a scrivere 0,2 me2 calcoliamo quest'altra probabilità quindi 02 vale a dire la probabilità che X sia uguale a 0 e la Y sia uguale a 2 Quindi zero figli maschi e due figlie femmine riscriviamo la proprietà sfruttando il principio detto prima quindi vogliamo applicare la proprietà condizionata riscriviamo l'evento come x è UG 0 e la Y è UG 2 intersecando l'evento con l'evento di aver avuto due figli in questo modo la proprietà diventa la probabilità di avere Zero maschi due femmine sapendo di aver avuto due figli che la famiglia ha avuto due figli per la probabilità che la famiglia abbia effettivamente due figli quindi la probabilità di avere Zero maschi e due femmine vuol dire che la La prima è femmina e anche la seconda deve essere femmina quindi 1/2 * 1/2 che fa 1/4 per la proprietà di avere due figli è quello che ci dice il testo La percentuale data dal testo del 35% quindi 0,35 e adesso questo risultato lo andiamo a mettere in tabella quindi 0. 35 qu4 andiamo a calcolare la probabilità 03 quindi la probabilità che X sia uguale a 0 e Y sia uguale a 3 quindi la famiglia ha avuto 0 maschi e tre femmine Questa è la probabilità che X sia uguale a 0 e la Y sia uguale a 3 scriviamo come la probabilità che X sia uguale a 0 Y sia UG a 3 sapendo che la famiglia ha avuto tre figli per la probabilità di avere tre figli Quindi zero maschi e tre femmine vuol dire la prima figlia femmina 1 mezzo la seconda figlia femmina 1/2 la terza figlia femmina 1/2 quindi 1/2 alla terza Quindi 1/8 per la probabilità di avere tre figli che andiamo a guardare il testo ci diceva essere pari al 30% quindi 0,3 andiamo quindi a scrivere questa proprietà in tabella 0,38 continuiamo così calcoliamo Quindi adesso la proprietà 1 la proprietà 1 0 vuol dire che la x vale 1 e la Y è = 0 quindi è la proprietà di avere avuto un maschio e zero femmine Però osservate il fatto che è uguale alla proprietà 01 proprio perché la probabilità di avere un maschio o femmina È uguale Perciò questa probabilità sarà pari a questa qui 1/2 * 0.

2 e l'andiamo a scrivere in tabella calcoliamo LA probità 1 LA probità 1 vuol dire che la x è uguale a 1 e la Y è UG a 1 cioè la probità di avver avuto un maschio e una femmina attenzione perché la famiglia può avver avuto femmina maschio o maschio femmina Questa sarà la probabilità che X sia ugale a 1 e la Y sia uguale a 2 intersecato all'evento di avere due figli la famiglia deve aver avuto due figli per avere uno e un no Quindi questo ci permette di riscrivere la probabilità come segue la probità che X sia uguale 1 e la Y sia uguale a 1 sapendo che la famiglia ha avuto due figli per la probabilità di avere due figli ora la probabilità di avere un maschio e una femmina tutte le coppie possibili maschio o femmina sono quattro è come testa Croce tutte le possibili coppie maschio femmine sono date da o maschio femmina o femmina Maschio o femmina femmina o maschio maschio perché come testa a croce abbiamo quattro possibili eventi dove l'evento maschio femmina sono due casi possibili su quattro Quindi abbiamo 2/4 per la probabilità di avere due figli e la probabilità di avere due figli è 0. 35 quindi semplificando abbiamo 0,35 me2 andiamo a metterlo in tabella adesso calcoliamo la probabilità 12 1 2 vuol dire la probabilità x è UG 1 e la Y è UG 2 quindi è la probabilità che la famiglia abbia avuto un solo maschio e due femmine e questo evento lo intersechi al fatto che la famiglia abbia avuto tre figli quindi riscriviamo la probabilità come l'evento che x = 1 y = 2 sapendo che la famiglia ha avuto tre figli per la probabilità di avere tre figli allora ragioniamo la probabilità 1 du significa un figlio maschio e due femmine Quindi adesso tutte le possibili triplette sono otto abbiamo otto casi possibili e adesso le triplette che hanno un solo maschio e due femmine sono date da tre casi favorevoli sugli otto possibili Quindi abbiamo 38i perché possiamo avere maschio femmina femmina femmina maschio femmina oppure femmina femmina Maschio su tutte ovviamente le otto possibili triplette questo per la probabilità di avere tre figli quindi 0,3 andiamo a mettere il risultato in tabella quindi 3/8 * 0,3 infine la probabilità 13 la probabilità 13 significa un maschio e tre figlie femmine ma ma le famiglie al massimo hanno tre figli Questa corrisponderebbe alla probabilità di avere quattro figli che quindi è pari a Zer andiamo avanti and la proprietà 2 la proprietà 2 è la proprietà di avere due maschi e 0 femmine Ma questa è uguale al calcolo fatto precedentemente cioè uguale la probabilità 02 ovvero di avere Zero maschi e due femmine questo perché la probabilità di avere un maschio e una femmina È la stessa e la proprietà 02 è pari a un 4ar per 0. 35 quindi 035 qu4 e lo andiamo a mettere in tabella adesso andiamo a calcolare la probabilità 2 1 che sarà uguale alla probabilità 1 2 di conseguenza questa probabilità è pari a 3 OT per 0,3 adesso la probabilità 22 significa la probabilità di avere due maschi e due femmine cioè di avere quattro figli ma questo non succede perché nella popolazione le famiglie hanno al massimo tre figli quindi c'è lo 0% di probabilità che le famiglie abbiano quattro figli perciò questa probabilità è pari a zero la probabilità 3 è pari alla probabilità 03 cioè Cè la proprietà di avere tre figli maschi è la stessa di avere tre figlie femmine quindi 0,3 ottavi adesso la proprietà 31 significa sempre quattro figli perché tre maschi e una femmina quindi a probità zero e la proprietà 32 significa tre maschi e due femmine quindi cinque figli quindi la probabilità è zero la probabilità 2 3 è due maschi e tre femmine quindi cinque figli perciò è zero e infine la proprietà 33 tre maschi e tre femmine significa sei figli quindi la proprietà è zero Ecco quindi che abbiamo completato la tabella quindi questa è la legge congiunta delle variabili aleatorie X ed Y che contano contemporaneamente in una popolazione in una famiglia Qual è il numero di maschi e di femmine ok Quindi abbiamo due contatori quindi due variabili aleatorie X ed Y e le abbiamo studiate contemporaneamente andiamo a preoccuparci adesso delle marginali Allora avevamo detto che la marginale di Y è la somma su tutte le possibili righe questo perché lascio fissato il valore di Y in questo caso per la prima riga è 0 e vado a sommare su tutti i valori possibili assunti Dalla x quindi per X = 0 x = 1 x = 2 x = 3 facciamo la somma sulla riga e otteniamo che la somma è pari a 0,375 adesso andiamo a sommare sulla seconda riga Quindi quando la Y è fissata a 1 quindi vuol dire una femmina e la x che invece va da 0 a 3 quindi una femmina e zero maschio una femmina e un maschio una femmina e due maschi una femmina e tre maschi e la som somma di queste probabilità è pari a 0,38 continuiamo procedendo con la somma della riga dove Y è fissata a due quindi due femmine e la x varia quindi due femmine e zero maschi due femmine e un maschio due femmine e due maschi due femmine e tre maschi quindi la somma su questa riga è pari a 0,2 ultima riga l'unica probabilità qui non nulla è l'evento tre femmine e 0 maschi e questa corrisponde a 0,0375 Vi faccio notare che se parliamo di probabilità Quindi se sommiamo tutte le marginali otteniamo come somma 1 Ok fate sempre questa prova adesso andiamo a calcolare le marginali di X quindi vuol dire che stiamo fissando X quindi la somma la stiamo facendo in colonna Questa sarà la proprietà marginale di X vuol dire che la x la lasciamo fissata in questo caso a 0 e andiamo a sommare su tutti i valori assunti dalla Y vuol dire che nella prima colonna abbiamo Zero maschi e zero femmine Zero maschi e una femmina Zero maschi e due femmine Zero maschi e tre femmine la somma di queste probabilità in colonna È 0,375 passiamo alla seconda colonna quindi sommiamo il caso in cui x è fissata a 1 quindi ho un maschio e le femmine possono andare da 0 a 3 ovviamente il caso 1 3 è quello Nullo sommando queste probabilità otteniamo il valore 0 300 3875 sommiamo a questo punto Nella colonna 2 quindi X sarà fissato a 2 e la Y va da 0 a 3 la somma di queste probabilità è pari a 0.