hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a determinar máximos mínimos crecimiento y decrecimiento para esta función f x igual a x 4a menos 2x cuadrada más 3 este ejercicio se los dejé al final del vídeo anterior si no han visto el vídeo anterior los invito a que lo vean y que ustedes intenten resolver este ejercicio antes de ver este vídeo vamos a seguir los mismos pasos que expliqué en el vídeo anterior y el primer paso como dijimos es calcular la derivada de la función o sea calcular f prima de x derivamos y nos queda esto de aquí 4 x al cubo menos 4 x el paso número 2 es calcular los puntos críticos los puntos críticos son aquellos donde la derivada es igual a 0 o bien donde la derivada no existe pero en este caso la derivada existe para cualquier valor de x ya que se trata de un polinomio este problema de que la derivada no exista ocurrirá cuando tengamos por ejemplo divisiones de funciones en este caso no tenemos ninguna división así que no hay ningún problema ahora vamos a igualar entonces la derivada a 0 para obtener los puntos críticos entonces 4 x al cubo menos 4 x nos queda igual a 0 y vamos a resolver esta ecuación es una ecuación de tercer grado pero fíjense que aquí podemos factorizar 4x de esta expresión como factor común factor izamos 4x y nos queda por x cuadrada menos 1 igual a cero ahora cada factor lo igualamos a 0 o sea 4 x igual a 0 y x cuadrada menos 1 igual a 0 y de la primera ecuación si el 4 lo pasamos dividiendo queda 0 entre 4 que es cero o sea que x vale cero esta es la solución para esta parte y para x cuadrada menos 1 igual a 0 podemos factorizar como diferencia de cuadrados y volver a igualar cada factor a 0 o podemos despejar la x en este caso si despejamos la x este 1 que está aquí restando pasa sumando y nos queda x cuadrada igual a 1 ahora el cuadrado lo quitamos pasándolo como raíz cuadrada pero hay que considerar las dos raíces cuadradas y la negativa así que al calcular raíz cuadrada de 1 eso es 1 así que nos queda es igual a más o menos 1 es decir tenemos dos soluciones una x x igual a 1 otra es x igual a menos 1 así que en total son 3 puntos críticos 0 1 y menos 1 el siguiente paso paso número 3 es determinar los intervalos donde la derivada es positiva o mayor que 0 y donde la derivada es negativa o menor que cero y esto lo podemos hacer muy fácilmente con ayuda de la recta de los números reales dibujamos nuestra recta numérica y representamos aquí los puntos críticos que son 0 1 y menos 1 aquí está en menos 1 el 0 y el 1 ahí lo remarcamos con un punto y ya los tenemos ahí representados entonces estos puntos dividen a la recta en cuatro regiones en cuatro intervalos un intervalo va de menos infinito hasta menos uno otro intervalo va de menos uno a cero otro va de cero a uno y finalmente de uno a infinito en cada uno de estos intervalos nosotros vamos a elegir un número el que queramos pero que se encuentre en el intervalo correspondiente por ejemplo para el primer intervalo que va de menos infinito a menos uno podemos elegir el menos 2 3 o el menos 4 cualquier número que queramos yo voy a elegir el menos dos ahora para el intervalo que va de menos 1 a 0 o sea de aquí aquí podemos elegir el menos un medio que es este número que está aquí marcado con una rayita o sea menos 0. 5 también podríamos elegir menos 0. 1 o menos 0.
9 o menos 0. 3 cualquier número que se encuentre en este intervalo voy a elegir entonces menos 0. 5 que es lo mismo que menos un medio si prefieren trabajar con fracciones también pueden hacerlo aunque en este caso no es tan importante porque realmente lo único que vamos a querer al final es saber si el resultado es positivo o negativo y no tanto el resultado en sí así que no nos importa tanto la precisión en el resultado por eso aquí yo estoy utilizando números decimales vamos a elegir ahora un número que se encuentre en el intervalo que va de 0 a 1 o sea de aquí aquí de nuevo podemos elegir 0.
1 o 0. 9 yo voy a elegir de nuevo 0. 5 y finalmente un número que se encuentra en el intervalo que va de 1 a infinito por ejemplo el 2 vamos a sustituir ahora estos valores en la expresión de la derivada para ver si la derivada nos queda positiva o negativa empezamos con el primer valor el menos 2 sustituimos entonces el menos 2 en la derivada que es esta que nos quedo aquí el -2 lo sustituimos en cada equis así que nos quedan 4 x menos 2 al cubo menos 4 x menos 2 aquí lo tenemos y hay que hacer ahora las operaciones al elevar menos 2 al cubo el resultado nos da menos 8 que era negativo porque estamos elevando un número negativo a un exponente impar entonces el resultado aquí queda negativo luego aquí menos por menos es más 4 por 2 nos da 84 por menos 8 nos da menos 32 le sumamos el 8 y nos da menos 24 o sea nos quedó algo negativo algo menor que cero vamos a indicar esto colocando un signo negativo en el primer intervalo ahora vamos a sustituir el menos 0.
5 en la función y hacer las operaciones entonces sustituimos menos 0. 5 que es multiplicar 4 por menos 0. 5 al cubo menos 4 por menos 0.
5 hacemos todas las operaciones las podemos hacer en una calculadora sin ningún problema y el resultado nos da 1. 5 nos quedó algo positivo entonces ponemos por acá un signo positivo bueno ahora sustituimos el 0. 5 en la derivada y entonces va a ser similar que en el caso anterior 4 por 0.
5 al cubo menos 4 por 0. 5 hacemos las operaciones y nos queda algo negativo menos 1.
