[Termodinâmica] Cap.05.11 - Multiplicidade do gás ideal.

[Música] [Música] pausa para respirar porque agora vem agora vem um o tema pouquinho mais delicado do ponto de vista de formal mais importante lembre que eu já mencionei você que ao longo das diversas disciplinas longo desse semestre todos nós vamos focalizar três sistemas físicos modelos em três sistemas físicos que são é que vão nos ajudar a criar a intuição sobre a termodinâmica e sistemas física a gente já mencionou quais são é o pará magneto dos estados falamos sobre ele no ano passado o solo de einstein estamos falando sobre o momento eo lugar ideal esses três

sistemas se não está na nossa mira o semestre inteiro o que eu vou fazer agora é usar o o ferramental que eu acabo de derivar em particular a maneira de calcular multiplicidade de macro estados para abordar o gasto real não é só o tema é o lugar ideal primeiro tentar caracterizar de uma maneira mais simples aqui tenta caracterizar o caso o ideal de um jeito prático para mim o ideal é o qual é a coleção de partículas independentes entre si e não localizadas então eu vou também exigir que essas partículas sejam indistinguíveis o que eu

vou fazer aqui é encontrar uma maneira de calcular a multiplicidade de um macro estado do gás ideal é isso que eu quero fazer vou começar tentando descobrir como calcula multiplicidade para um caso muito simples da intel que só é composto de uma partícula então a pergunta é a seguinte isso foi a que eu tenha uma partícula dentro de um recipiente com um volume determinados de e eu quero saber e com a certa energia determinado eu quero saber quantas maneiras essa partícula pode estar organizada pode está situado a 2 tenho duas coisas com as quais mexer

numa posição da partícula e outra é o seu vetor velocidade eu estou falando a multiplicidade associada a uma determinada determinado valor de energia de volume está ligada às diversas maneiras como eu posso colocar essa partícula portanto as posições nas quais eu posso colocá lo e as diversas formas que eu tenho de orientar o seu vetor velocidade ou se você preferir o vetor momento do ponto de vista da da posição se eu tenho um determinado volume v tem lá uma certa quantidade de posições nas quais eu posso botar essa partícula ou dobrar o volume de dólar

a quantidade de posições também então a quantidade de posições diferentes nas quais eu posso botar particular deve ser proporcional ao volume todo mundo aceita esse argumento e princípios alguém poderia dizer qual é esse novo tempo é infinito porque quantos pontos diferentes têm em qualquer volume infinito quanto às orientações diferentes têm o vetor momento infinitas 111 sem saída mas não é verdade porque em primeiro lugar a outra vez eu to me colocado numa situação na qual meus instrumentos de medida tem uma precisão planeta então não é verdade que duas posições que difiram entre si por uma

distância menor do que a precisão do meu instrumento também tem fácil iguais melhor do que isso ainda lembra que na realidade eu estou falando de uma partícula microscópica eu tô falando de uma partícula que é quântica que obedece a mecânica quântica e mesmo que você nunca tenha visto mecânica quântica na sua vida você certamente já ouviu falar do princípio da incerteza de heisenberg que diz que eu não posso determinar com precisão absoluta ao mesmo tempo a posição ea velocidade de uma partícula em particular se eu pensar que essa posição está estruturada saltar especificada por meio

de um sistema cartesiano xyz e portanto o momento também tem um componente x componente psicofonia z a incerteza associada à posição a componente x da posição multiplicada pela incerteza associada à componente do momento não pode ser menor do que um determinado limite que a natureza nos impõe por um constante física chamada constante de planck igual a constante de planck preciso que eu consigo h na verdade é como se eu tivesse as posições nas quais essas partiu essa partícula pode estar não são um contínuo sobre esse chukchis porque o produto da distância entre duas posições diferentes

e à incerteza que eu tenho no momento associado a cada uma delas não pode ser arbitrário é como se eu tivesse uma coisa assim eu tenho um conjunto infinito de posições possíveis aqui eu vou chamar isso aqui de um celta xixi ela pode estar aqui ou pode estar aqui pode estar aqui mas não pára no meio então acusa o número de posições diferentes o número de coordenadas x diferente que essa partícula pode ter o tamanho da aresta do recipiente ela está contida isso aqui dl impedindo-o de alta x ou se foi um paralelepípedo lx sobre

delta se é isso é isso é com a quantidade de escolha diferente que eu tenho para a posição xistra coordenada se ora então se eu me lembrar que além disso tem as coordenadas y e z a quantidade de posições diferentes nas quais eu posso colocar essa partícula seu produto lx sobre delta xl sobre delta ylva sobre delta g l x y vezes eles é o volume então eu posso dizer que isso aqui é e aqui apareceu o volume de fato você vê que a quantidade de posições diferentes é proporcional ao volume como eu tinha anunciado

antes tá bom mas e no que se refere ao momento se eu digo que essa partícula tem uma determinada energia chamada de u energia essa partícula tem agora começa uma partícula sozinha solta né energia que ela pode ter energia cinética meio de dois vôos que têm termos do momento quadrado sobre 2m mas o momento de cuadrado e tem componente xyz porto é p x quadrado mais feitos um quadrado mas pensei quadrados então isso aqui é específico qual é o valor da energia que essa partícula tem especificou qual é o valor da soma desses quadrados mas

eu tenho liberdade às diversas escolhas possíveis para peixes se você imaginar um sistema cartesiano abstrato se a soma dos quadrados de peixes com z tem que dar 2 mil que é o que acho que tá aqui ó isso significa que os valores possíveis de peixes pedidos o ipgg são as coordenadas de todos os pontos que pertencem à superfície de uma esfera cujo raio r 2 mil agora fica claro que se eu tiver mais energia os pontos associados a essa energia pertence à superfície uma espera maior portanto vai ter mais possibilidades diferentes claro então que a

multiplicidade vai crescer com a energia nós já sabíamos disso ela paguei quase que estava no caso do solo de astana que a multiplicidade era proporcional à energia e levado a uma certa coisa no debate liberdade sobre dois portanto é crescente com a energia outra vez é crescente com energia que também então de certa maneira eu posso dizer que a multiplicidade associada a uma partícula com o mapa o estado está especificado quando digo qual é o volume e qual é a energia ela tem que ser associada ao volume geométrico o volume associado às diversas possibilidades de

escolha do px y e z que eu vou chamar de ver algo assim um simbolismo simplesmente não leve isso aqui vai o pé da letra e aí eu poderia pensar também que o eixo peixes vai ser dividido da mesma maneira que dividiu esse sim em posições 8 e valores que diferem por delta peixes portanto os diferentes valores da componente x do momento vão ser o momento total é dividido por esse delta peixes então eu posso escrever assim o blog aqui como eu chamei aqui no dl de um lp então eu vou ter na verdade para

cada componentes a componente x vou ter sobre delta x possibilidades na posição lp sobre delta tx de possibilidades para componentes do momento me dá um l vezes um lp / delta x vezes delta peixes então aqui eu sei eu já tinha incluído que a multiplicidade tinha que ser proporcional essas coisas e agora tô gostando você qual é o fator de proporcionalidade isso me leva ao resultado de que o mega um igual eu vou multiplicar termos como esse componente x e y e z não vou ter um sobre h ao cubo que multiplica o volume se

multiplica o volume associado às diferentes possibilidades de orientação do momento o número de escolhas para cada coordenada da escolhida uma posição eu vou escolher uma orientação do momento significa escolher um valor para peixes peritos e pv na verdade eles estão eu não tenho liberdade para escolher os 3 independentemente se eu escolher o peixe copy2 passo de momento na verdade não é exatamente o volume é uma superfície é a superfície da esfera associada ao raio raiz de 2000 muito bem isso aqui é o resultado para uma partícula que para duas em algum momento a gente vai

usar o princípio da indução da isso consegue determinar o resultado 2 pra n a multiplicidade associada uma partícula a primeira escolha a posição de uma partícula eu sei quantas maneiras eu posso fazer isso a posição da outra maneira eu posso fazer isso tem que tomar cuidado com o fato de que essa situação para saque é a mesma que partícula um aqui partícula dois aqui pela são indistinguíveis então na hora que eu faço produtos das diversas maneiras que eu tenho posicionar uma ea outra eu tô contando a mais que dividir pela permutação das duas que em

2002 agora não se refere ao momento não é verdade que eu possa multiplicar as diferentes possibilidades que eu tenho de orientar o momento a partícula 1 pelas diferentes possibilidades que eu tenho de orientar o momento a partícula dois porque agora a restrição não é independente para cada momento eu só sei que a energia total vale o eu não sei quanto vale a energia de uma ou de outra tá certo as diversas maneiras que eu tenho de distribuir a energia entre a partícula uma partícula dois fazem parte da contagem desses diferentes micro estados possíveis então a

minha resposta à minha restrição aqui a energia total do sistema tem que ser um portanto onde eu tinha essa equação de conservação aqui para uma partícula agora eu tenho uma equação que envolve seis fatores porque envolve peixes da partícula um coordenadas o pedal as componentes do momento da partícula 1 mas as componentes do momento da partícula 2 isto aqui é que tem que dar 20 mil tá certo então ao invés de eu ter o produto de dois fatores que contam quantas possibilidades de orientação do momento eu tenho pra cada um das bandas partículas eu tenho

um fator só que me diz de quantas maneiras eu posso distribuir a energia total entre seis parcelas distintos então o espaço onde vive o vetor momento que tinha dimensão 3 agora tem dimensão 6 então na verdade o resultado para este caso vai ser um meio o meio por causa da dupla contagem no caso das posições do volume elevado ao quadrado multiplicado pela superfície de uma mp espera em seis dimensões associado a um raio hays de 2000 então vp em seis dimensões aqui eu tinha de t em três dimensões essa essa é o resultado para duas

partículas se eu sei fazer para duas eu sei fazer pra n na verdade e diga qual é o resultado pra n 1 sobre fatores ao dn patrulha de patrulha da tecnologia x v elevado a eni bp e dimensão três vezes então a área a área melhor dizendo a área da ipr esfera ela é dada pelo seguinte conta onde de a dimensão do espaço então espaço tridimensional de 3 aqui eu tô falando de um espaço que é 3 n dimensional olha só quando a dimensão por três isso aqui vai dar 2 pia três meios não são

três ruins são dois pensam porque vai dar fatorial de um número é fracionário eu não quero discutir aqui mas quando dimensão dois aqui da 1001 da pia levado a 12 pierre elevada 12 pr na fronteira de uma hiper esfera de dimensão 23 e consultar o que é fato real do número fracionário isso aí vai dar e é enquadrado que essa área de uma esfera de dimensão 3 e assim por diante então com essa expressão na mão eu vou escrever a multiplicidade de um gás ideal composto de n partículas com energia total o é simplesmente uma

cópia do que eu já fiz até agora vamos apontar de onde veio cada um dos termos desse disco feito apareceu aqui né um só fator ao dn a gente já viu vem da índia extinguida didá ceni partículas ver elevado a ele veio da não localidade das partidas e agora tem esse termo aqui então tem 12 pe e levado a 3m sobre dois assim ao colocar o cubo que tinha vindo cá dele aliás eu tinha esquecido escrevê lo aqui né aqui já tinha aparecido 1h sexta ao cubo * ao cubo aqui está o h3 da área

da esfera simplesmente substituir de por 3m aqui por que lembre o número normal aqui também não está ideal de partículas de energia a desculpa o importante aqui é o seguinte é que nós conseguimos obter uma expressão para a multiplicidade que depende da energia do sistema do volume e da quantidade de partículas dn eu posso escrever simpaticamente tem uma dependência em ele quer ver elevado a ele tem uma dependência na energia que a energia é raiz de u ^ ^ 3m sobre dois para um pouquinho pra olhar isso energia elevada três vezes sobre 2 quantos graus

de liberdade têm o gás ideal com o tamanho de partículas 3 em 1 hora o resultado de novo energia levada metade dos graus de liberdade tá certo esta é a parte bonitinha o resto é feio osasuna verdade mas é uma função dn complicadas também mas olha só olhando para isso aqui a gente já tem alguns resultados imediatos eu tenho um lugar ideal com energia eo volume vn partículas eu deixo esse o recipiente aumentar de volume para ter um volume 2 ver muito bem nesse bolo me desculpe vou começar eu vou pensar de novo tenho um

volume v ele partículas de energia total o ártico estão distribuídas aqui dentro do volume v alguns algumas configurações podem estar associadas ao mal estado por exemplo de todas as partículas estão de um lado só ocupando o volume vez sobre dois certo qual é a probabilidade de ocorrência para a unidade relativa de ocorrência desse estado aqui basta você comparar a multiplicidade associada às vezes sobre dois com a multiplicidade associada a vez de vida ômega o vez sobre dois n por ômega o vê e tudo igual aqui no seu ver fica vez sobre dois é dividido por

ver sobre n vez sobre ele com as células que é um sobe 2 elevado à m ou seja os feras que estão aqui podem num determinado momento se concentrarem do lado direito da sala para sua metade nós todos morreremos sufocados qual é a chance de isso ocorrer é proporcionar um sobre dois elevado a n1 sobre dois elevada 10 a 23 respiramos aliviados não é impossível mas é muito improvável ea probabilidade relativa é tão pequena que você pode esperar mais ou menos 10 trilhões de idade do universo até que ocorra essa coisa uma vez nós não

vamos estar aqui daqui a 10 bilhões de dólares o universo não morreremos sufocados por causa disso talvez por outros motivos observe que eu obtive aqui a multiplicidade que é o indicativo de qual é o estado mais provável que é aquela coisa que vai nos dar a lei básica que é assim os sistemas físicos procuram o estado de maior multiplicidade obtive a multiplicidade como função de três grandezas o cn nós vamos ver na hora que vem porque a partir da multiplicidade nós vamos definir o conceito básico da termodinâmica o conceito chão conceito mais importantes da termodinâmica

que a entropia na verdade a entropia é simplesmente a multiplicidade só que com a multiplicidade é um número muito grande e é ruim a gente mexer com um número muito grande eu vou definir a entropia como sendo um logaritmo da multiplicidade campo só com um número grande e como eu quero que a entropia tenha uma certa dimensão por motivos históricos eu vou multiplicar esse logaritmo foi uma constante ea constante de bolt mas se a gente tivesse definido hoje no século 21 e sofia não seja constante nenhuma fica muito mais bonita sem dimensão mas por motivos

históricos então entropia nada mais é do que constante de bolsas mais vezes logaritmo que então eu vou obter obtive na verdade só falta os finalmente a entropia do gás ideal como função de 3 quantidades extensivas isso vai servir para caracterizar completamente a configuração do sistema termodinâmica e particular quando eu tive que tomar o lugar íntimo disso você vê que com a quantidade de de partículas ela comparece como expoente aqui né corrente aqui também mesmo aqui dentro dessa função então quando eu tomar o lugar íntimo disso esse expoente vai baixar tá certo que a entropia vai

ser proporcional no número de partículas isso daí a gente vai ver que é de certa maneira uma forma rápida da gente estima e sofia de sistemas muito estranhos por exemplo eu pedi um buraco livro vão conseguir calcular sofia de um buraco negro com uma precisão enfim a menos de um fator de cobrir esse fator foi steven hawking só vamos fazer isso em dois minutos enquanto ele levou alguns anos para obter entropia completa né alguns anos vou botar esse fator mais aí vai a gente a gente consegue dois minutos centers patente [Música] o [Música]