Como modelar situações usando progressões aritméticas e geométricas (exemplo)

RKA - Vamos resolver esse exercício da plataforma da Khan Academy. Murilo decidiu acompanhar o número de folhas da árvore no seu quintal ano a ano. No primeiro ano, havia 500 folhas na árvore.

A cada ano depois disso, o número de folhas foi 40% maior do que o ano anterior. Considere "n" um número inteiro positivo, e f(n) o número de folhas da árvore no quintal de Murilo no enésimo ano desde que ele começou esse acompanhamento. A expressão f(n) define uma progressão.

Que tipo de progressão é f(n)? Perceba que você vai pegando a cada novo ano e as folhas vão aumentando em 40% então, quando você calcula o aumento percentual, você, na verdade, multiplica por um número decimal. Ou seja, no ano seguinte seria 500 × 1,4.

O aumento de 40% significa multiplicar por 1,4. Você sabe muito bem que quando a gente multiplica, quando cada novo termo uma sequência é determinado através de uma multiplicação ou divisão por um mesmo número, nesse caso vai ser 1,4, é uma progressão geométrica. Vamos deixar isso aqui mais palpável fazendo uma tabelinha.

Então, aqui eu vou ter o valor do n e aqui a f(n), certo? Quando n = 1, a f(n), o número de folhas no primeiro ano vai ser 500. Quando n = 2, qual vai ser a f(n)?

F(n) vai ser 500 × 1,4. E 500 × 1,4 vai dar quanto? Vai dar 700.

500 × 1 = 500. 500 × 0,4 = 200. Então, vai dar 700.

No 3º ano, vai aumentar e esses 700 vai multiplicar por 1,4. E 700 × 1,4 quer dizer que vai aumentar 280 (0,4 × 700). Logo, vai dar 980 e você percebe de cara que não é uma progressão aritmética.

Para ser uma progressão aritmética, precisa somar pelo mesmo número. Aqui eu somo 200 e depois somo 280, mudou o número. Mas você percebe que eu multiplico pelo mesmo número 1,4.

Quando eu multiplico é uma progressão geométrica. Agora é o seguinte. Dependendo da sua resposta para a pergunta acima, a definição recursiva da progressão pode ter uma das duas seguintes formas: Aritmética, claro que não é, ou geométrica que é essa aqui que nós vamos considerar, beleza?

Quais são os valores dos parâmetros A e B para essa progressão? Como a gente pode perceber, quando n = 1 o meu A, nesse caso, a função vale 500. Então, vai ser A = 500.

E para o B? O B é o termo pelo qual estão multiplicando a cada novo tempo na sequência e você sabe muito bem, esse termo vai ser quanto? 1,4.

E a gente finalizou essa questão. Vamos fazer mais porque é extremamente interessante fazer esse tipo de questão. Silvia deu uma festa.

Ela tinha 50 lembrancinhas para distribuir, e deu 3 delas para cada convidado conforme eles foram chegando na festa. Considere "n" um número inteiro positivo, e g(n) o número de lembrancinhas que Silvia tinha antes do enésimo convidado chegar. A expressão g(n) define uma progressão.

Que tipo de progressão é g(n)? Fazer uma tabelinha aqui de novo. Aqui eu vou ter o valor do n e aqui o valor de g(n).

Quando n = 1, quantas lembrancinhas ela vai ter? Ela tinha 50 lembrancinhas no total. Então, no começo da festa quando n = 1, g(n) = 50.

Agora quando n = 2, chegou um convidado, ela vai dar 3 lembrancinhas. Esse número vai ser subtraído por 3. Vai ser 47.

No terceiro, no n = 3, vou subtrair 3 de novo e isso vai dar quanto? 47 - 3 = 44. Perceba que eu estou subtraindo sempre pelo mesmo número e quando isso acontece, quando eu somo ou subtraio por um mesmo número em uma sequência, é uma sequência aritmética, tranquilo?

Agora escreva uma fórmula explícita para a progressão. Ele não quer a recursiva, quer a fórmula explícita. Então, a minha g(n) vai ser igual a quanto?

Vai ser igual a 50, o termo inicial. E como a Silvia está dando lembrancinhas, ela está perdendo 3 lembrancinhas a cada novo convidado, então vai ser -3 vezes, e agora eu vou determinar esse que número vai entrar aqui dentro, o valor que vai ter o n. Aqui você percebe que, para o primeiro convidado, eu subtrai o 3 nenhuma vez, 0 vezes.

Com o segundo convidado, eu subtrai 3 uma única vez. Para o terceiro convidado, eu subtrai 3 duas vezes e você percebe que o número de vezes que estou subtraindo o 3 é uma unidade a menos do que o termo da sequência. Então, no enésimo termo eu vou subtrair por n - 1.

A g(n) vai ser igual a 50 - 3 × (n - 1). Assim, a gente definiu explicitamente uma fórmula para essa sequência. Então, recomendo que você faça uma tabela para que fique mais simples, mais fácil de calcular essa definição da função explícita, beleza?

Até o próximo vídeo!