Estatística e probabilidade - Alguns conceitos matemáticos

[Música] Olá pessoal bem-vindos novamente a nossa disciplina na aula de hoje a gente vai falar sobre alguns conceitos matemáticos é uma pequena aula de revisão daqueles conceitos matemáticos básicos que a gente acha importante para fazer contas em estatística Então essa é uma aula de revisão não é uma aula de conteúdo da prova da disciplina mas eu gostaria muito que vocês tivessem familiaridade com esses assuntos eles são simples mas eles são importantes Tá bom então alguns conceitos matemáticos primeiro a gente tem que saber que estatística lida com dados numéricos então a gente precisa saber tratar bem

esses dados numéricos tratados com atenção né uma das principais um dos principais itens de atenção quando a gente lida com informações numéricas o número de dígito significativos que eu quero dizer por isso número de dígito significativos você não consegue se você faz uma medição com uma régua em que a menor escala é centímetro você não pode usar aquele dado com 3,6 cm de onde que saiu esse vírgula seis ah este meio no olho isso não é aceitável Então se um dado estatístico tá dito 3 é porque ele vale três pode valer talvez de dois e

meio até três e meio a gente tem essa incerteza mas significativamente a mais o melhor que eu posso dizer é dizer que ele vale três Então esse é o conceito digito significativo e uma outra coisa que a gente tem que saber fazer também é arredondar os dados tá bom arredondar valores então eu quero fazer um monte de conta essas contas envolvem números grandezas com dígito significativos diferentes no final eu tenho que reportar o resultado desse cálculo com o menor número de significativos Então eu tenho eu vou ter um número com cinco casos decimais mas eu

quero que ele tenha só duas casas decimais como é que eu chego lá eu tenho que fazer uma arredondamento Então a gente tem que saber arredondar também Então vamos lá disto significativo medidas físicas são imperfeitas elas têm a precisão do instrumento Então você merece uma área um volume uma temperatura uma altura uma velocidade do vento uma quantidade de precipitação tudo isso aí tá sujeito a imprecisão do instrumento que eu tô medindo a gente chama de fundo de escala de escala né você escala vai de meio e meio eu não tenho precisão de 0,25 eu tenho

precisão de meia e meio dessas medidas em precisas são registradas né então a gente fala que o número tem tantos dígitos significativos para dizer que até aquele tanto de dígito significativos a medida é precisa qualquer coisa além daquilo é não é confiável é devido a incertezas e eu não posso usar aquilo para tomar decisão eu posso estar tomando a decisão com base em um número que tem uma pessoa que tem um significado nulo ah é 2,49 mas não é não poderia ter sido dito assim poderia ter era só dois porque o 049 veio sei lá

da onde veio de uma conta de uma etapa intermediária da análise de dados ficou lá não foi tratada adequadamente isso aí vai implicar depois impossíveis erros de maior monta né ou com implicações mais importantes então tratar digito significativos é muito importante em estatística tá o número de dígito significativos indica o erro máximo associado ao valor declarado então no máximo eu cometo um erro igual ao último dígito significativo então isso também tem a ver com o nível de precisão do número tá dito aí tá bom quando eu pego números com quantidades diferentes de dígito significativos um

número é dado com três dias de significativos 3,45 vezes um outro número que é dado um dígito significativo quatro 3,45 x 4 eu vou lá faço a conta mas quando eu for dar o resultado eu não vou poder dar esse resultado como 13,80 porque eu não tenho essas duas precisões o quatro lá limitou minha precisão ele era quatro ou ele era 3,5 ele era quatro ele era 4,5 Não sei então quando eu for reportar o resultado dessa conta eu vou usar o número de dígito significativos do dado que tem a menor precisão tá bom como

que a gente faz isso exemplo se a medida de um comprimento é dada como x = 7 cm esse número tem um dígito significativo Qual o 7 eu não posso dizer que é 7,0 Ah mais sete sete é um número inteiro eu não posso falar que é 7,0 não 7 é Diferente de 7,0 quando eu digo que é o comprimento é 7,0 cm eu digo que a minha incerteza e indecisão o que eu não sei sobre aquele número é algo sobre o seu segundo dígito então eu sei que o 7 Com certeza e o zero

tem uma incerteza associada a ele poderia ser 05 poder ser 95 aquele esses 7,0 tem dois dígitos significativos o primeiro eu sei com certeza o segundo eu não sei com certeza ele poderia ser um pouco maior um pouco menor porque o instrumento que determinou aquele número ele não conseguia ler esse intervalinho ao redor do zero podia ser zero três podia ser 98 quando eu li deu zero No primeiro caso é sete não é 8 não é seis é sete mas esse 7 está sujeito é uma incerteza de metade da escala né pode 6:30 qualquer medida

que eu fizer Entre seis e meio e sete e meio eu vou reportar como sete qualquer medida que eu fizer entre 6 e 95 E 7,95 você só tem dois dígitos significativos à disposição eu vou reportá-los como 7,0 tá bom esse é o conceito digito significativo um outro exemplo aqui os valores por exemplo 0,001 Quantos dígitos significativos ele tem três não só tem um eu sei que Aquele um lá é dado Com certeza ah mas esse monte de zero esse monte de 0 é simplesmente uma mudança de escala não escala de medição escala de representar

eu posso representar isso como um vezes 10 a menos 3 o 10 a menos 3 é simplesmente uma potência eu tô dizendo o grau de ampliação olhando para esse número mas quando eu vou medir ele é um então ele tem um dígito significativo 01 também tem só um justificativa já o número zero vírgula 100 tem três dígito significativos por quê Porque o último lá poderia esse número poderia ser 100 0,1005 podia ser 0,997 então a minha incerteza tá no último dígito então esses três números 0,1 é diferente de 0,100 é muito mais preciso do que

0,1 tem um dígito significativo 0,100 tem três dígito significativos isso aí indica a vantagem de usar anotação científica porque aquele 0,001 Teria sido melhor dizer que ele é um vezes 10 a menos três tá bom pessoal a potência não interessa e o digito significativo é 1 tá legal vocês tem que entender isso aí exemplo se uma parede tem na altura 2,65 de largura 3,2 metros se eu quero calcular a área dessa parede vou fazer largura vezes altura vai dar 8,5 a professor Mas isso não é verdade porque 3,2 x 2,65 dá 8,48 só que eu

não sei se a altura da parede perdão a altura não largura eu não sei se a largura da parede é 3,2 ou se é 3,17 ou se é 3,23 se eu colocar 3,17 vai dar um número diferente de 3 de 8:48 Se eu colocar 3,23 vai dar um número diferente de 8,48 Então esse 8,48 tem muito significativo não posso eu tenho que pegar esse número e arredondar para um número que tem a mesma quantidade de dígito significativos da medida que tem a menor quantidade porque aquele número eu sei com certeza o 3,2 é 3,2 e

pode variar ali no final o 265 é 2,65 pode variar o final quando eu multiplico um pelo outro eu tenho que dizer o número que se um desses dois fatores variar um pouquinho aquele número lá continua o mesmo esse número é 8 e meio então né 8:48 então o que que eu faço eu quando uso vários de vários números com dígitos significativos diferentes uma conta eu faço a conta e no final eu arredondo o valor que eu obtive para que o valor arredondado tenha o mesmo número de dígitos significativos do menor do número menos preciso

que entrou nessa conta número menos precisa é o que tem menos dígito significativos o que nos leva ao nosso assunto bom preciso arredondar E agora como é que eu faço arredondamento as regras de arredondamento são simples Tá bom a gente precisa saber mas a gente meio que faz intuitivamente né pessoal arredonda vamos dar uma olhada aqui para quem não fique sem definir tá bom o arredondamento deve ser feito antes do final do cálculo isso na verdade deve ser feito ao final do cálculo Então você faz a conta ao contrário do que está dito aqui você

faz a conta usando todos os números lá a medida da área eu pego 2,65 ah não vou arredondar 265 para 2,7 ele foi dado como 265 eu vou usar a largura da parede é 3,2 eu vou usar vai dar um número lá 8:48 eu falo ah mas esse 8 48 não faz sentido porque uma das medidas que entrou só tinha dois dígitos significativos Então vou pegar 8:48 e reduzir ele é um número que tem dois dígitos significativos ao final Eu faço isso tá legal se o dígido Quais são as regras então que regras a gente

vai usar se o dígito imediatamente seguinte ao dígito para o qual vamos arredondar vale zero então por exemplo 0 1 2 3 ou 4 então por exemplo 3,14 3,13 3,11 3,10 e eu quero arredondar eu quero reduzir de três dedos para dois que que eu faço eu tronco então 3,14 eu troco ali eu falo três um quatro ah de quatro então eu tronco ou seja tá arredondando para baixo né então se eu tô mais próximo vamos olhar para esse 3,14 como 3 + 14 0,14 o número que tem um dígito só mais próximo de 14

é o 10 não é o 20 então eu troco ele no quatro e fico com 3,1 só que a gente sabe fazer intuitivamente né pessoal se o digito imediatamente seguinte ao dígito para o qual vamos arredondar vale 6789 a gente arredonda o último dígito significativo para cima então 16 16 tá mais perto do 20 do que do 10 então se eu tenho por exemplo 18 aqui eu tenho 2,718 eu quero eu tenho quatro dígitos Mas eu quero só três esse 18 aqui tá mais perto do 20 do que do 10 Então esse 18 vai ganhar

dois né esse um vai para dois tá bom que é o que tá dentro o último dígito significativo é redondo para cima tá bom então dois sete um oito vai ficar sete dois e não interessa o resto do jeito que tá aqui e o 5 por 5 tá no meio né o 5 ele por exemplo se fosse 2,0 como tá aqui 3,14 e 15 o 15 ele tá tão longe do 20 quanto do 10 então eu poderia ficar em dúvida eu arredondo esse número para 3142 ou para três um quatro um nesses casos o critério

de desempate que a gente usa é que a gente vai arredondar o dígito significativo que vai ficar restando lá para o par mais próximo número para então por exemplo três jogadores de 15 Qual o parque é mais próximo bom um não é par ou é ímpar então um tá fora o próximo par seria Zero Só que 15 tá muito mais longe do zero do que do 20 Então vou arredondar para 20 Então esse 1 3 14 1 eu vou parar aqui eu vou parar no na terceira casa decimal e eu tenho cinco Esse cinco vai

me levar esse uma vira a zero ou vai me levar esse uma virada 2 ele tá mais próximo do dois então vai para dois então quando eu tenho cinco eu arredondo para o par mais próximo então por exemplo 5765 quais são os pares que estão próximos os 6 e o 8 né o 4 tá muito longe então 65 eu posso transformar em 80 Ou posso transformar em 60 60 tá mais perto do que 80 então vai ficar 0576 e número negativo mesma coisa 23,5 o que que tá mais próximo o 24 ou 22 que são

os pares mais próximos eu vou arredondar essa casa antes da vírgula vai só vai sobrar casa antes da vírgula porque o primeiro dígito depois da Vila eu tô arredondando que que sobra se eu tenho 15 bom se eu aproximar para 22 é muito longe se aproximar para 24 tá mais perto então vai virar 24 você vê que o negativo tá puxando para baixo né então menos 23 e meio fica menos 24 Então é isso que a gente tem que saber o arredondamento no caso zero um dois três quatro eu arredondamento no caso 6789 é fácil

você só vai até você passa ele para o mais próximo 17 vai para dois 13 vai para um 14 vai para um 18 vai para dois porque você tá chegando né 18 para 20 é mais perto do que 18 para 10 o 5 a gente decora essa regra qual que é o número par mais próximo último dígito vai virar par só eu tenho certeza a regra tá dizendo último dígito vai vir a par Qual que é o par mais próximo é para lá que eu vou tá bom essa regra de desempate ela não tem viés

ela tem uma vantagem ela não tem viés se você tem um monte de número e vai arredondando eles conforme essa regra às vezes ele vai para o par de cima às vezes ele vai para o número par de baixo ele nem se ele nem empurra os números no sentido do zero nem afasta os números para longe do zero e ele às vezes vai para cima às vezes vai para baixo então ele não tem viés é uma boa regra tá bom naturalmente a gente aqui que tá na linha de computação e Informática a gente deve saber

também reparar né que o computador é uma estrutura discreta não pode representar números com precisão infinita Então dentro do computador os números são sempre truncados então no design de software assim como no design do Hardware das máquinas esses critérios de arredondamento são levados muito a sério tá bom esses processadores aritméticos que tem os chips mais modernos todos eles têm lá dentro embutido regras de arredondamento Porque sem isso a gente não consegue fazer conta no computador tá bom finalmente a gente precisa lembrar de algumas coisas matemáticas a gente tem que lembrar o quanto vale a soma

de uma PA né se eu tenho uma progressão aritmética que essa progressão né o enésimo termo é o primeiro mais um múltiplo da razão né a n = 0 + n XR Então eu tenho lá três com razão 2 então 3 5 7 9 etc eu quero somar os n primeiros números dos herésimo termo até o enésimo termo 0 1 2 3 N vai dar n + 1 termos quanto vale a soma desses n + 1 termos a expressão é essa daí tá bom meio de n + 1 que a quantidade de termos o primeiro

mas o último tem que lembrar Quanto vale uma soma de uma PG Tá certo uma PG é uma progressão em que o próximo número é um múltiplo do anterior não é uma adição é uma multiplicação então o enésimo termo é uma razão elevado a n do primeiro eu tô chamando aqui de 0 o zerese montemo E aí se eu quero somar mais um primeiros termos a gente faz essa conta aqui dá esse resultado essa conta é fácil de fazer é só você somar a PG num sentido depois escreve todos os termos dela ao contrário a

zero mas a um mais a dois todos esses terninhos vão ser iguais vai dar n mais uma vez peça para pa para projeção aritmética vai dar n mais umas vezes aquele termo lá a 0 + an só que isso é igual a duas vezes a soma você passa o 2 dividido PG é a mesma coisa só que em vez de somar Você multiplica tá bom essa PG aqui quando a razão é menor que 1 o valor absoluto das menor que um ela tem um limite você pega qual quanto vale a soma dos infinitos termos de

uma PG de razão menor que um é esse resultado que tá aqui da direita Esse resultado é importante saber porque a gente usa por que que eu tô fazendo essa aula tem a finalidade de relembrar a gente essas coisas básicas porque essas contas são recorrentes a gente vai fazer muitas contas que redundam no final das contas usando variáveis relatórios probabilidades estatística média desvio padrão esse tipo de coisa que a gente vai falar na disciplina muitas dessas contas no final das contas se resume você somar uma PG se resume a você tomar um limite desse tipo

que tá aqui se resume a você somar um certo número de coeficientes binomiais então familiaridade com a soma de binomiais de pa de PG e essas regras de arredondamento são muito importantes em estatística e probabilidade tá bom e último resultado que eu gostaria que você escrevessem são essas somas aqui que são bastante padrão né a soma dos n primeiros números inteiros é meio de n n + 1 a soma dos n primeiros números ao quadrado é um sexto de n n + 1 2 n + 1 e o teorema binomial né esse aqui é o

binome de Newton né p + q elevado a n essa soma aí onde esses n k são os coeficientes binomiais lá o fatorialzinho e se você simplesmente colocar P = 1 e q = 1 se obtém esse resultado que tá do lado direito aí a soma dos n + 1 fatoriais de 0 até n fatoriais não binomiais números dá dois elevado a i esses resultados aqui vocês devem rever para que quando você estiverem de fazer contas nós Quando nós formos fazer uma conta a gente não fique parado tentando descobrir quanto vale a soma de uma

PA como que a Redondo um dado por que que a média é dado com tantos dígitos não ah eu fiz a média e deu 2,473 e o professor falou que dá dois e meio porque tá errado não não tá errado é que o professor arredondou o livro arredondou porque é isso que tinha que ser feito e você não Então na verdade vocês chegaram a mesma resposta só que você tá levando muitas casas desse mais para frente você fez a conta correta você fez o problema corretamente você tem condições de tomar conclusões corretamente mas está se

atrapalhando com dígito significativos o mesmo vale para somas de P.A de PG e para essas outras fórmulas então vocês estudem esse assunto é simples é uma revisão para que a gente possa depois estudar probabilidade estatística de maneira mais facilita mais fluida tá bom pessoal não deixem de estudar um pouco de matemática até a próxima aula [Música] [Música]