Aula 10 - Projeto de controladores no LGR.

E aí pessoal tudo bem bem-vindos aula 10 do nosso curso de controle de sistemas lineares na aula anterior a gente conversou sobre o lugar geométrico das raízes ou root locus e o que que é o root-locus vocês se lembram é isso vamos escrever aqui é o caminho é o caminho que os pólos de malha fechada fazem no plano é se quando o ganho do controlador varia de 0 a infinito então a gente consegue saber o que acontece Com os polos de malha fechada a partir das informações de polos e zeros de malha aberta quando o

ganho do controlador varia a gente tava vendo que isso pode ser relacionado com o desempenho no domínio do tempo por meio dos parâmetros que se e omega ele fator de amortecimento e frequência natural do sistema respectivamente tá bom e para a gente traçar o r pelo menos um esboço nós vimos que basta utilizar das Regras um até a regra 6 vamos lembrar essas regras a regra um todo o ramo ou seja todo o caminho que um polo de malha fechada faz o plano é se ele começa e um polo de malha aberta e termina 10

de malha aberta ou 100 no infinito e a gente viu que esse zeros a quantidade de zeros do infinito ela é dada por a isso número de polos - número de zeros boa para começar a passar o lgr a gente traça os caminhos do eixo real a gente viu que é muito simples basta a chorar Ao identificar as regiões à esquerda de um número ímpar de polos e zeros ou seja polos mais eros então essas regiões do eixo real que estão à esquerda de número de polos mais eram em número ímpar de povos mais eros

pertencem ao rute lopes a gente viu que o root-locus deixa entre o eixo real um ângulo de mais ou menos 90 graus e que ele é simétrico em relação ao eixo real a e por último para localizar essas assíntotas aqui para onde os caminhos do Lgr vão os ramos vão nosso somos as regras três e quatro essas regras nos dão o lugar das assim todas elas identificam onde estão zeros no infinitos para isso nós conseguimos calcular o ângulo tetra para cada 01 infinito e o ponto de partida dessas assim todas tudo bem usando essas duas

expressões isso que a gente viu na aula anterior e eu acho que o jeito mais simples de fazer essa revisão de lugar geométrico Das raízes é a gente fazia uma sempre nho que o exemplo dessa aula vou pausar o vídeo vocês tentem fazer em casa e eu volto com tudo copiado no papel para a gente dar prosseguimento a resolução desse erro já está tudo copiado aqui para o papel e para traçar o lugar geométrico das raízes eu recomendei para vocês primeiramente identificar aqui no plano complexo os zeros por bolinhas e os polos por coisinhas tão

quantos zeros Essa função de transferência tem de nenhum porque não tem nenhuma raiz do denominador quantos polos essa essa função de transferência tem um dois três e quatro a gente tem um polo 10 a gente tem um polo aí - 1 oi e a gente tem um polo em é uma raiz complexa conjugada menos um e-mail e mais 2,6 então existe um par de polos complexos conjugados aqui tudo bem e agora a gente dá sequência para aplicação das nossas regrinhas certo Então vai pegando no formulário de vocês a gente vai fazendo a juntos essa aplicação

das regras para os bons ar o lugar geométrico das raízes então a regra um vai nos dizer quantos zeros no infinito a gente tem o número de zeros no infinito é dado por o número de polos que é um dois três quatro menos o número de zeros que no nosso caso não tem nenhum então nós temos quatro zeros no infinito tudo bem pessoal é pegue o formulário aí de vocês Que vocês com certeza fizeram acompanhando a aula de lgr tá bom então eu tô aqui com meu formulário do lado e eu vou seguindo aqui com

vocês espero que vocês estejam fazendo mesmo e ele as quem quiser pause o vídeo tenta fazer o exemplo bom regra dois a gente vai identificar as regiões do eixo real que pertencem ao lgr a gente tava pintando de roxo e a regra dos nos diz que número ímpar a esquerda de polos mais zeros essa região pertence ao lugar Geométrico das raízes não essa região pertence sim porque ela tá esquerda de um polo que é impor e essa região pertence não porque ela tá esquerda de 12 polos que é um número par então a gente tem

que ir somente esse trecho entre 0 - 1 pertence a lugar geométrico das raízes ou seja tem polo de malha fechada no eixo real somente nesse trecho os outros polo de malha fechada são complexos conjugados estão fora do eixo real Bom então se nós temos 40 no infinito quem vai nos dar informação de onde esses eros no infinito estão são as regras e três e quatro que nos informam a onde estão os assim todas que vão apontar a onde estão os zeros do infinito é bom gente pode começar calculando o ângulo teta das assíntotas reta

e por exemplo eu não tava usando essa votação de né tava usando só notação de pé então como é que a gente calcula o ângulo das Assíntotas duas vezes e mais um sobre número de polos - número de zeros vezes 180 para igual a zero um até np - nz - um lembra disso do formulário bom então o teto vai ser dois e mais um vezes número de polos - número de 04 x 180 graus para ir igual a zero um dois três porque parou três porque é número de polos - número de zeros -

1 bom então vai ser reta = 2 e mais um x 45 graus para ir igual a zero tá na três então por exemplo reta um que é para Igual a zero a gente vai ter que duas vezes eram da 001 x45 tenta um é 45 graus o j2 para igual a um vai ficar três vezes 45 graus cento ir 35 graus e tenta escrever aqui embaixo testa três para igual a dois vai ficar duas vezes 24 mais 155 x 45 graus da 225 graus e por último a quarta assim que eu tá que vai

indicar onde está o quarto 0 no infinito teto a4 = duas vezes 36 mais 177 x 45 da 315° muito bem bom isso nos Dar a informação dos quatro ângulos das assíntotas que vão indicar onde estão os quatro zeros no infinito mas da onde partem as assíntotas a gente calcula o o ponto de partida que a gente está chamando o de sigma a dá para lembrar de assíntota que é igual a somatória de polos - somatória de zeros sobre número de polos - número de zeros é tão ruim sigmar é somatório de polos quais são

os polos 0 - 1 - 2,6 mais qualquer parte A roupa acho que eu copiei errado é menos 1,5 desculpa deixa eu apagar aqui em preto tá eu vou apagar infinito ó e vou dar sequência aqui tudo bem menos 1,5 agora sim mais 2,6 j ou menos 1,5 que ao colo aqui debaixo -2,6 j parte complexo conjugado a sempre a raiz de um mesmo polinômio que bom isso é a somatória dos polos certo então é somatório de polos - somatório de 0 a gente tem zero não Então assim somatório desses elementos sobre número de polos

- número de zeros que é 4 é bom o mais 2,6 j vai cortar com o -2,6 j então fica menos um e-mail menos um e-mail -3 -1 - 4 sobre - 4 - 1 bom então assim tô atrás de 45 a 135 220 15 estressar de 15 estão partindo aqui do menos um tão aqui a gente vai ter um assim to tumblr ao menos 45 graus oi desculpa 45 graus 145 graus está Sempre com relação ao eixo real os 225° e 315 graus e sempre tenta lembrar pessoal que oi e o regra 5 e

6 da regra 6 o lg é simétrico em relação ao eixo real então se você tem o assinto de 45° positivo você tem que ter um assim tu tá de menos 45 graus negativos - 45 graus né o que é a mesma coisa de que uma cinta de 315 graus tudo bem da mesma forma se você tem um assim tu tá demais 135° que é esse ângulo aqui você também tem que ter Um assim filtra - 135 graus ou 225 porque o lgr é simétrico em relação ao eixo real ou então o que a gente

sabe é que o lr vai deixar o eixo real com mais ou menos 90 graus regra 6 em algum lugar desse ponto e vai convergir para 10 no infinito que tá ou nessa a cinta ou nessa a cinta e da mesma forma ou nessa assíntota ou nessas implica que é sempre espelhado em relação e surreal bom então é mais razoável que ele deixa que o lgr um certo ponto e convirja para O zero no infinito ao longo dessa assim que eu tô aqui tudo bem que tá mais próxima ah tá bom pessoal então é mais

razoável que ele deixa o o eixo real em algum ponto aqui e vai convergir para o zero eo infinito nessa sinto aqui tá mais próxima dele da mesma forma ele vai deixar esse polo de mar aberto e vai convergir para o zero lá no infinito ao longo dessa outra assim tu tá que tá aqui Olá tudo bem e aqui o espelhamento tá sempre o que se você fizer lá em cima você faz aqui em baixo tá bom um espelho quase perfeito tudo bem pessoal a professora mas eu quero saber exatamente qual ponto que ele deixa

que o eixo real que eu preciso fazer tá bom aí você pode aplicar lembra dela a regra 7 a derivada do inverso de servir exigíveis h se você tiver tá isso é um esse a e aí a solução dessa Expressão vai te dar o ponto de partida do eixo real a professor mas eu queria confirmar que de fato o lcr sai da escola de malha aberta e tem já essa sinto aqui bom aí você pode entregar a regra 9 que é todos os pontos do lgr tem que dar somatório de ambos mais ou menos 180

graus se você pega um certo ponto aqui e calcula a fase de todos os pontos de todos os modos né todos os polos nesse ponto p tá bom mas a minha sugestão para Vocês aqui caso você queira fazer um desenho bem detalhado do lgr a sugestão sempre usar o matlab ou a sua ferramenta computacional porque a ferramenta computacional te permite traçar com precisão lgr nós vimos que em particular no matlab a gente pode traçar o root-locus por meio do comando r-box tá e aqui a gente pode ver o r o ruth lopes é o lgr

obtido por meio do matlab e nós podemos ver que é exatamente igual ao desenho que eu fiz tudo bem então nós Conseguimos esboça com perfeição o lgr olá pessoal é lógico que eu tô brincando é o o lcr manual é mais para nós termos uma noção do que acontece com os polos de malha fechada quando ganha do controlador varia de novo que atrás da orelha é risoto exato usa sua ferramenta computacional a gente percebeu juntos né que quando a gente vai inserindo informação lgr quanto mais detalhado eu desenho mais trabalho manual você vai ter tá

bom seguindo aula a gente vai Aprender hoje a projetar controladores de estrutura mais simples usando o lugar geométrico das raízes usando o root-locus qual que é a ideia a ideia é definir o controlador para atingir os requisitos de desempenho que você quer para sua resposta lá no domínio do tempo lembra dos requisitos de desempenho para resposta no domínio do tempo a gente tinha máximo sobre esse na ao tempo de pico o tempo de subir e tempo tempo de subir ele O crescimento qual que é a ideia a ideia é que a gente vai modificar 0c

polos de malha aberto para com que o lgr passe pela região desejada ou seja a gente mexe no meu zero se polo de malha aberta para que o lgr para que o lgr que são os polos de malha fechada passem pela região desejada tudo bem então a gente mexe na malha aberta para adequar a malha fechada depois que os que o root-locus que os ambos passarem pela região desejada professor como assim Região desejada região desejada está associada com o que se omega n que é por sua vez vem do requisito do desempenho do domínio do

tempo bom então depois que o outlook estiver passando pelo lugar pela região que atende meu requisitos de desempenho a gente vai projetar o controlador para que os polos de moda fechado esteja então região aquela região e entenderam então a gente tem requisitos de desempenho no domínio do Tempo daqui a gente vai tirar um que sim almeida n que está associado com esse requisito então a gente mexe nos polos e zeros de malha aberta para que o eric para que o lgr que representa os poros de malha fechada passa aí na região desejada e depois a

gente ajuste o controlador um ganho do controlador para que esses pólos de fato sejam os poros de malha fechada bom então eu defini então um algoritmo para que para facilitar o projeto de Vocês então a primeira coisa é definir os requisitos de desempenho para resposta no domínio do tempo depois é desenhar no plano é se a região desejada que está associada consegui com esses requisitos e por essa região desejada eu quero dizer a região que está associada com que se o mega n que vocês obtiveram por meio dos requisitos de desempenho tá bom bom depois

que você desejou a região desejada para os polos de malha fechada no plano é se você vai lá nesse mesmo na Mesma figura e desenha o lugar geométrico das raízes supondo um controlador inicialmente proporcional bom então aqui você vai supor que seu controlador inicialmente é simplesmente um compensador proporcional é bom se o lugar geométrico das raízes passaram a região desejada então é possível locar os polos dessa região simplesmente ajustando o ganho do controlador então nesse caso você simplesmente ajusta o ganho do Controlador não precisa complicar o seu controlador se não há necessidade e por complicar

eu quero dizer não precisa ficar colocando o polo e 0 no seu controlador tá bom mas caso o seu lugar geométrico das raízes não passa pela região desejada como era o exemplo do cabeçote que a gente viu na aula anterior que os pólos não passavam na região que atende o tempo de estabelecimento então você tem que alterar a estrutura do Controlador isso eu tô querendo me referir a colocar zeros e polos em cedsa colocar a 0 cipó luz não controlador bom e você faz isso de modo que a o lgr passe na na no local

desejado de malha fechada depois com ele já passaram local desejado de malha fechada vai ser possível atender os requisitos de desempenho ajustando simplesmente o ganho do controlador e você faz o ajuste finaliza o projeto tudo bem então pega o requisito acha a região desejada traço Lgr o lgr passa na região desejada se sim ajusto vendo o controlador se não coloca zero e o polo no controlador para que o lgr passe na região desejada e depois ajusta o ganho e finaliza o projeto tudo bem vamos fazer um exemplo inho para treinar a utilização desse algoritmo oi

e a gente vê de fato que tá acontecendo então nós temos aí no slide um exemplo qualquer que é uma planta um sobre sxs mais quatro e nós temos dois Requisitos de desempenho máximo sobressinal = 5 porcento daqui a gente vai tirar o acho que sim eu vou fazer um que se aqui perfeito tá olha lá isso é o que se excelente e nós temos requisitos de tempo de estabelecimento = 2 segundos e daqui nós vamos tirar o omega n eu vou fazer uma mega eniac perfeito tá bom então desses dois dessas duas informações de

que se o mega ele nós vamos definir uma região Desejada no plano complexo vamos traçar o lugar geométrico das raízes e vamos ver e vamos verificar se te falta é possível atender a esses requisitos de desempenho simplesmente ajustando um controlador proporcional tá bom vou pausar o vídeo a gente volta lá no papel para fazer o exemplo juntos eu copiei tudo aqui para o papel e a primeira coisa que nós temos que fazer é dados requisitos de desempenho achar a localização a região desejada para os Polos de malha fechada tá então dado um ms de cinco

porcento eu posso calcular o fator de amortecimento associado para isso nós podemos usar a parte do formulário que a gente definiu lá na aula de sistemas de segunda ordem o que tá aqui então lembra que a gente viu essa regrinha que dado o máximo sobre e sinal nós podemos tirar o que se utilizando essa expressão que é o inverso dessa tá bom então dá do ms nós tiramos o que sim mais especificamente Para um que se de 5 por cento nós vamos tirar um para o máximo sobre o sinal de 5 por cento nós vamos

tirar um fator de amortecimento de 0,69 tá basta substituir aí na expressão que a gente viu para relação máximo sobre e sinal e que sim tá bom nós sabemos que o tempo de estabelecimento = 4 sobre que se omega n é tão tempo de estabelecimento = 4 sobre que se omegaline mas nós já sabemos o que sim isso tem que ser igual a dois Segundos então daqui a gente vai tirar que o mega n = 2,9 radiano por segundo tá bom bom agora nós temos o que se almeida n e nós podemos definir então a

o lugar que os povos desejados os povos dominantes os poros de malha fechada devem estar para isso eu até comprei a forma mas eu vou buscar aqui de volta essa figurinha que a gente definiu na aula 7 que a localização dos polos por caso sub amortecido dado que se eu me hm tá gente viu que no caso superamortecido Os polos são menos que se o mega n mais ou menos omega n e ai g1 - que se o quadrado j então se os polos de malha fechada dominante se estiverem nessa localização nós vamos atender os

requisitos de máximo sobre e sinal e tempo de estabelecimento então nós temos uma localização p de que apolo desejado de malha fechada tá bom então se a gente substituir aqui os valores de que sim omega m nós vamos obter os poros a localização desejada para os polos de Malha fechada que nesse caso é menos dois mais ou menos 2,1 j quer dizer que se o root-locus passar por esse ponto e a gente ajustar um ganha o cara que esses sejam os polos de malha fechada nós vamos atender os requisitos para a resposta no domínio do

tempo tá bom e agora bom segunda aquele algoritmo agora que a gente tem a localização desejada dos povos de malha fechada nós temos que e o lgr e ver se de fato ele passa lá no ponto desejado Bom então eu vou esboçar o lugar geométrico das raízes da função de transferência de malha aberta que é um sobre é se essa mais quatro e pessoal a partir de agora eu vou fazer esses bolsa um pouquinho mais rápido porque a aula de lg foi a aula anterior tá bom então vamos lá e como é que a gente

traço lgr primeira coisa marcar os polos e zeros de malha aberta quais são os polos 0 i de -4 muito bem vou colocar -4 aqui tá Agora eu vou fazer um rascunho aqui ó vou escrever lgr para todo mundo poder acompanhar tá nós podemos calcular o número de zeros no infinito do lg r41 polos a gente tem 2.00 então a gente tem dois zeros no infinito a aplicação da regra 2 regiões à esquerda do eixo real esquerdo à esquerda de número de polos mais velhos pertencem ao lgr aqui pertence não a que pertence quem pertence

entre 0 e -4 a que Pertence não porque não pertence porque é um número par de polos bom então nós temos dois zeros no infinito e nós podemos calcular o ângulo das assíntotas duas vezes e mais 1 sobre 2 porque 2 numero de polos - número de zeros vezes 180 para ir igual a zero e 12 polos dos assim todos a gente tem uma fez exemplo vai ter um assim tu tá em 90 graus e a outra assim tu tá em 270 graus ou menos 90 graus lembrar que o lgr é simétrico qual que é

o ponto de partida dessas Assim todas a somatória de polos mais somatório de zeros que é - 4 - 0 o mesmo somatória de zeros que eu não tenho nenhum nenhum sobre número de polos - número de zeros que é dois menos dois mas nós já tínhamos conversado aqui assim quando é assim vai partir exatamente da metade que é o menos 2 bom então o lgr parte aqui do meio tá lá e faz esse caminho isso quer dizer que quando o ganho vai de 0 até infinito os polos do mar é fechada deixa você Reais

e passam a ser complexo conjugados tá bom agora que eu tenho o lugar geométrico das raízes desenhado e eu tenho polo desejado de malha fechada eu vou marcar aqui nessa região desse lgr o polo desejado de malha fechada então o polo é menos dois mais 2,1 j e -2,1 j tá bom eu pintei o polo de malha fechada tá representada por esse quadradinho vou pintar o quadradinho é um quadradinho pintado ah tá bom e olha que coincidência hein Pessoal o lgr passa exatamente em cima do polo desejado de malha fechada bom como ele passa exatamente

em cima do polo desejado de malha fechada basta ajustar o ganho o carro então basta e aí a ajustar o ganho de cá tá bom então o urso os polos de malha fechada o caminho que os pólos de malha fechada fazem no lugar geométrico das raízes ele é coincidente com o polo Desejado então basta ajustar o ganho cá e como é que a gente vai fazer para ajustar alguém ôca nós vamos usar a nossa querida a regra 8 lá no lugar geométrico das raízes que é k = 1 sobre o módulo de g x h

que nesse exemplo em todos os outros que a gente vai ver a gente vai ter que pagar é um porque nós não estamos considerando a função de transferência do sensor então nós temos que ficar que é igual a 1 sobre o módulo de g para essa igual up k = 1 sobre o Módulo de g para essa igual up lembrando sempre que essa com essa regrinha veio da meio da condição de e a módulo tá bom é eu notei que minha câmera está travada eu vou pausar o vídeo já volto em outra página para destravar

minha câmera deu certo aqui de travar a câmera e nós queremos então calcular o cá se está associado com o lugar geométrico das raízes que é o polo desejado tá bom então basta que fazer com kika e seja igual a 1 sobre o módulo De gds no polo desejado isso é igual a é um sobre o módulo de um sobre sxs mais quatro para s = - 2 mais 2,1 j lembrando sempre que a se esse pobre desejado é complexo conjugado o complexo conjugado no caso - 2 - 2,1 j também poderia ser usado na

expressão como é o valor absoluto tanto faz a gente vai chegar no mesmo valor é bom a gente pode passar então os módulos para o numerador e separar no módulo da multiplicação a gente vai ter Que cai = módulo de menos dois mais 2,1 j vezes módulo de menos dois mais 2,1 j roupa mais 4 tô fazendo essa continha vocês devem obter que ficar é igual a bom 8,4 tô aqui com a simulação de malha fechada né definir aqui a função de transferência usando a o comando tfd transfer function do matlab aqui você passa os

coeficientes da função de transferência ajustem o ganhou o carro para ser igual ao valor que a gente Calculou tá bom a aqui só fazendo uma figura para mostrar o polo desejado de malha fechada que nós sabemos que é a raiz do caso sobre amortecido ó e aqui ó que eu queria mostrar para vocês eu tô calculando a função de transferência de malha fechada e a gente pode fazer isso usando o comando feedback ele te dá a função de transferência de malha fechado e depois tô calculando a resposta de maré fechado usando a função que a

gente conhece que A função step então vou rodar aqui a simulação bom então primeira coisa aqui no root locus ó o lugar geométrico das raízes está aqui traçado tá vendo e nós podemos ver que ele passa exatamente no polo desejado que grande coincidência ó e aqui na resposta ao degrau nós podemos ver que o tempo de o máximo sobre o sinal de cinco porcento foi atingido tá olha lá 1.05 e que por volta de dois segundos a resposta adentrou na Envoltória de dois por cento que é o que a gente tinha calculado tudo bem então

ajustando o lugar dos polos de malha fechada foi possível atender o requisito de desempenho no domínio do tempo a gente tem um exemplo similar me que vocês a diferença é que o sistema de vocês tem três polos de maré aberta então a por consequência vocês vão ter três polos de maia fechado e a ideia é que vocês ajustem o ganhou cá para que os pólos dominantes de malha fechada Sejam menos 0,73 há mais ou menos um j que está associado ao certo que se o mega ele tá bom então e hoje está um ganho cá

para que os polo de malha fechada dominantes sejam nesse região tão embora vocês têm um sistema de terceira ordem vocês vão ajustar o controlador considerando o sistema de segunda ordem ah tá então exemplo bastante similar só muda esse detalhe tá aqui tem um ganho e tem a simulação no matlab vocês vão Receber os dois pois é para o quarto mas é porque eu gostaria de fazer juntos porque esse exemplo ele vai nos motivar a continuar estudando o projeto no lugar geométrico das raízes bom então é mais uma vez exemplo do cabeçote e a gente do

hd né e a gente tem aquela requisitos de desempenho de tempo de estabelecimento menor igual a 0,05 então eu vou é copiar as informações para o papel mas a gente se lembra que nesse exemplo não é possível Atender o requisito de desempenho somente com um ganho proporcional então vou pausar o vídeo eu volto no papel para gente lembrar disso e depois a gente conversa sobre o que fazer eu tô aqui no papel e nós sabemos que para o tempo de estabelecimentos e menor ou igual a zero ponto 05 o que se omega ele tem que

ser maior ou igual a 80 isso quer dizer que os pólos de malha fechada tem que estar aqui a esquerda do menos 80 em qualquer lugar dessa região os Requisitos de desempenho são atendidos tudo bem a a questão é que nós já vimos que o lugar geométrico das raízes dessa função de transferência ela não passa nem perto da esquerda do menos 180 é a mais especificamente a gente já viu juntos que o lugar geométrico das raízes ele sai aqui do eixo real g1 e sobe no menos 10 e tende a cada vez aumenta mais a

parte imaginária do polo tão o lugar geométrico das raízes não Passa no eixo real e se isso acontece quer dizer que não é possível atender o desempenho do a resposta no domínio do tempo com ganha o carro tá bom se a gente voltar lá para o papel a ideia aqui o lugar geométrico das raízes não passa pelo polo desejado e agora como é que a gente vai fazer para atender o requisito da resposta no domínio do tempo se os polos de malha fechada não passa uma região que a gente quer é a ideia que a

gente pode fazer é Inserir polos e zeros no compensador então agora em vez de ter um controlador que simplesmente um ganha o cá nós temos um controlador que vai ter zero e polo um controlador que tem zero e por um controlador que tem uma dinâmica associada então geralmente a gente chama isso controlador de compensador então compensador é um controlador que tem uma dinâmica associada bom e quando a gente for fazer isso a gente sempre tem que lembrar que um Compensador tem que ter número de polos maior ou igual ao número de zeros a gente chama

esse tipo de função de transferência de função de transferência própria mas por que que isso tem que acontecer é o jeito mais fácil de enxergar isso é lembrar que nós podemos interpretar o domínio s como domínio da frequência e todo o sistema físico real que a gente trabalha quando a frequência aumenta o que tem de com energia do sistema a Energia tem já reduzir bom então quando esse aumentar quando é se aumentar o ganho o módulo ds tem que reduzir ou ir para um valor constante então se você tem mais zeros do que polos imagina

por exemplo nessa função de transferência se você tivesse nenhum não esquece que você tem o polo imagina que você tem simplesmente ou zero certo então se você tem simplesmente o zero quando é se aumenta quando eu frequência aumenta o módulo de essa também aumenta Certo então você teria um compensador que quando a frequência do erro aumentasse ele requisitaria ou ele a aplicaria uma energia cada vez maior na entrada da sua planta isso não é fisicamente implementável então nós temos te que pelo menos ter o número de polos igual número de zeros para que quando é

cialmente como você tem zero o mesmo número de polos e zeros não denominador e o numerador eo denominador aumentam Juntos e o módulo a magnitude de ser fique constante só que se a gente lembrar lá do gang of four que ruído de alto ruído tem energia em alta frequência é legal que nós tenhamos número de poros maior do que número de zeros então se isso for possível você tem que você coloque no seu compensador mais polos do que zeros desse modo por exemplo você teria aqui no denominador um s ao quadrado e então quando o

a frequência aumentasse Quando o s subisse o que tem que acontecer com o módulo de s se você tem que o s fica muito grande só que no denominador tem um s ao quadrado então módulo ds quem já ir para zero isso está associado com rejeição de distúrbio de alta freqüência tá bom então a para modificar o lg a gente vai colocar a 0 e polo no compensador e lembrar sempre aqui compensador e tem que ter pelo menos o número de polos igual ao número de zeros Preferencialmente maior agora a questão é como é que

a gente vai saber aonde colocar os polos e zeros vou compensador para que o lugar geométrico das raízes passe na região desejada é bom a gente pode fazer isso usando algumas técnicas a primeira ea mais simples é a técnica de cancelamento de polo e zero então a gente usa um polo 10 do compensador para cancelar para matar um polo ou zero da planta só que quando a gente for fazer isso eu já vou Justificar o porquê desse fato mas lembre-se sempre que nosso só podemos cancelar polos e zeros estáveis isso é que estão no semi-plano

esquerdo com parte real nula nunca jamais em nenhuma circunstância de modo algum nós podemos cancelar a 0 cipó luz no semi-plano direito sistemas instáveis se você cancelar um polo 10 você me plano direito por consequência você vai resultar em um sistema instável e em malha fechada e eu já vou mostrar porque Mas só vou escrever sistema no insta e em maio fechado bom então nós podemos usar 0c polos do compensador para cancelar a 0 cipó luz da planta 04 polos era mata polo 10 matar polo você completou com a a que eu sei bom então

vamos ver esse exemplo no papel então vamos ajustar um compensador cd s para finalmente atender o requisito de desempenho lá do cabeçote do hd estou aqui no papel e a ideia é ajustam Compensador cd s para que para modificar esse ruth lócus de modo a trazer ele para a região desejada que a esquerda do menos 80 tão uma possibilidade que a gente pode adotar é um compensador da forma um ganho cá para ajustar o polo de malha fechada na região que eu quero vezes 10 s mais a sobre um polo é esse mais b lembrando

que compensadores devem ter o número de polos maior é igual ao número de zeros e a gente pode ajustar e o valor de ar de modo a cancelar o Efeito o polo em - 2010 mata polo 10 mais apolo 10 mata polo então se a gente ajusta tá esse zero exatamente em cima do polo da planta e colocar o polo b em algum lugar aqui do plano oeste o que eu vou chamar de bebê ah tá então o que que vai acontecer com ele gr do sistema bom esse polo mato esse zero matou esse polo

então regiões à esquerda do eixo real pertence lgr o lg então vai continuar aqui no eixo real E até adentrar o até atingir esse polo b certo e aí a gente pode ajustar o b de modo que os povos de malha fechada façam um comportamento é desse tipo tá bom então olha lá essa linha aqui é o lugar geométrico das raízes antigo eu vou colocar um assim daqui oi e essa linha aqui é o lugar geométrico das raízes que eu vou chamar de novo que apareceu depois que eu cancelei o zero da planta o polo

da Planta e coloquei um polo no compensador na região b a pergunta é aonde colocar b de modo que isso ocorra ah tá bom então para a gente colocar o b de modo que socorro a gente tem que ter um certo polo desejado e o povo desejado pode ser qualquer polo de malha fechada à esquerda do menos 80 então eu posso por exemplo adotar um polo menos 100 mais ou menos 100 j ah tá bom então vou colocar um polo de malha fechada aqui ó em menos 100 Há mais ou menos 100 j tá bom

porque nesse lugar professor porque eu quis só precisa tá esquerda do menos 80 tá bom que essa linha vermelha que tá aqui tá bom todo mundo se lembra disso é pô e agora como é que eu vou fazer para ajustar o b de modo que e esse polo de seja a polo de malha fechada nós vamos usar a regra 9 e lembrar que a fase a da planta né de carro exige vezes lagar tem que ser igual a mais ou menos 180 graus em Qualquer ponto no lugar geométrico das raízes bom então nesse exemplo minho

eu vou pausar o vídeo fazer ele de forma mais ampliada e a gente volta daqui então o vídeo foi pausado e eu copiei aqui tudo todas as informações para o novo papel então nós temos um porre menos 20 nós cancelamos com o zero do compensador e agora nós queremos ajustar o polo dedo compensador para que lugar geométrico das raízes A posse exatamente aqui no menos 100 certo então aonde tem que estar b para que o lugar geométrico das raízes passe aqui no menos 100 bom para fazer isso nós vamos usar a nossa regra love que

a somatória de fase de caves de ervas agaves a ser barra né que seria um compensador que a gente vai ajustar tem que ser mais ou menos 180 graus em qualquer ponto do lugar geométrico das raízes é pô então a gente precisa calcular a Contribuição de fase desse vou fazer em verde desse polo na origem que sobrou o que eu vou chamar essa contribuição de fio um lembrando sempre que fase de forma negativa que faz a gente mete no sentido anti-horário do eixo real e também a contribuição de fase do polo em b que eu

vou chamar de fi dois professor é contribuição da de fase do polido zero como como polo cancelou 0 a gente pode desconsiderar esses termos da do cálculo de fase Tá bom vamos lá só deixa eu registrar isso aqui para que vocês se lembrem pela regra 9 nós sabemos que a fase do polo menos fiz um que é o polo na origem menos a face do polo fii dois porque negativo professor porque são polos e eles estão lá no denominador então a somatória das fases tem que ser igual a vamos ver lá na regra não hoje

mais ou menos 180 graus como tanto a fase do polo como as duas fases do polo são negativas isso aqui tem que ser igual a Menos 180 graus tá bom porque não tem como dar positivo esse valor e essa somatória você é igual a menos 180 graus vai se repetir em todos os exemplos que a gente fizer porque como eu disse sistema físico tem mais polo do que zero e portanto a somatória tem que ser sempre igual a menos 180 graus embora matematicamente possa ser igual a mas 180 graus por quem é ela mesma coisa

e o fio um nós podemos tirar por trigonometria porque vou fazer em Amarelo aqui ó nós temos um triângulo um retângulo tá certo e qual que é a altura desse triângulo retângulo é sem j porque é dado pelo ponto desejado então nós podemos dizer quis fiz um = 180 que o ângulo completo ou menos esse ângulo aqui ó que eu vou chamar de alpha tá bom oi e o alfa = o arco cuja a tangente é a altura que é o cateto oposto sem sobre o cateto adjacente que também vale sem E qual é o

ar cuja tangente é um que vocês sabem que é olá pessoal to a gente de um 45 graus então o fio vale 135° se eu substituir então o filme aqui ó vai ficar menos 135 - 2 = - 180 graus portanto o fio dois tem que ser igual a a 45 graus muito bem e agora que eu sei o ângulo fih2 eu posso calcular essa distância de aqui ó certo essa distância dei aqui tá ficar dando para chegar no amarelo tá né então Essa distância do bebê até o 100 graus a gente vai fazer isso

olhando para esse triângulo retângulo que eu estou destacando aqui em o amarelo bom olhando por esse ângulo triângulo retângulo nós temos que a tangente do fio dois ela é igual a altura do triângulo cateto oposto que é sem sobre o cateto adjacente que a justamente odeia que eu quero descobrir portanto de = 100 sobre a tua gente free 2 que é tangente de 45 que é um por Tantos de igual a 100 bom então muito cuidado aqui pessoal que o sem é a distância do b até o menos 100 quer o ponto do eixo real

embaixo do polo desejado se o d = 100 portanto o b vale em e então nosso compensador cid esse é um ganho cá que eu ainda vou ajustar vezes essa é mais 20 que eu usei para matar um polo em menos 20 da planta sobre essa mais 200 que a gente ajustou para que o Ele já me passasse na região desejada tá bom então agora basta ajustar o ganho o cá e nós vamos fazer isso usando a regrinha 8 para fazer isso a sua avó chamar essa mais 20 e essa mais 200 que é o

pólio zero do compensador de ser barra de s tá então eu fiz uma figurinha o que tá aqui e nós temos essa situação aqui ó e a nós temos a função de transferência de malha fechada dr para y e agora nós temos um com uns nós temos zero e polos Adicionais que a gente chamou descer a barra de s que é o zé e o polo da planta essa mais 20 s mais 200 e nós vamos ajustar o k de modo que o polo de malha fechada seja menos os polos de malha fechada seja ao

menos 100 mais ou menos 100 j e aí a gente vai fazer isso usando a regrinha 81 sobre o módulo de nesse caso g vezes e barra de s1k é igual a 1 sobre o módulo de gbc barra de s tá bom no calculado no ponto desejado então um Ajuste tu ganha o carro vai ser feito por meio da regra 8 k = 1 sobre o módulo de g.d.s. vezes você barra de s porque a gente tem que levar em consideração ser barra de s porque agora esse polo e zero do compensador multiplicam o pode

usar o da planta então a gente não pode deixar esse pole-zero de fora o que a gente vai ajustar esse ganhou cá para que o sr ball ponto desejado que é menos 100 é mas sem j lembrando sempre que tanto Faz você usar o valor negativo ou positivo do valor imaginário porque estamos trabalhando com o módulo o tom k = 1 sobre o módulo de gps quanto que vale gts5 sobre s vezes é se mais 20 a mesa função de transferência do compensador ou sério polo do compensador s mais 20 sobre s mais 200 tá

bom isso para s = ou menos 100 mais 100 j o bom pessoal a gente corta aqui ó o essa mais 20 no numerador com denominador passa os Operadores ss é mais 20 para cima não esquece dos cinco aqui embaixo e quando vocês fizerem essa continha na casa de vocês vocês vão ver que um cara igual a 4000 faz com que os poros de malha fechada sejam exatamente menos 100 mais 100 j então só para destacar mais uma vez o projeto do compensador a primeira coisa foi identificar que o lcr de malha aberta não passava

no ponto desejado então nós colocamos 10 e um polo no compensador para que agora o caminho dos Polos de malha fechada que a gente tá chamando de lgr o root-locus passasse pelos pontos desejados e a parte final foi ajustar o ganho cá para que de fato os poros desejados por um dos fossem os polos de malha fechada a raiz o denominador da função de transferência de malha fechada eu vou voltar lá para o papel por slide e nós temos aqui então que de fato o k = 4000 e eu vou abrir aqui as simulações no

matlab para mostrar algumas coisinhas Para vocês ah então tá aqui a simulação e olha lá nós temos aqui eu definir o operador é esse usando a função tf vocês podem definir a um numerador 10 ou simplesmente definir um operador s para ser uma variável auxiliar desse jeito fica bem mais intuitivo digitar as funções de transferência definir que a função de transferência g da planta a ser do compensador estou calculando a função de transferência de malha fechada Usando a função feedback e tô calculando aqui a resposta ao degrau e aí olha lá nós podemos verificar aqui

o tempo de estabelecimento olha aqui ó ele foi menor do que o 0.05 que era o requisito de projeto deixa eu tirar minha cabeça da frente e aí tá certo então o requisito de tempo de estabelecimento foi atingido tá que era tem um estabelecimento menor que 50 milissegundos boa coisa que eu quero Mostrar aqui para vocês é o que acontece se os parâmetros da planta eu tô perdido que negócio a variar então imagina que seu polo não tá exatamente em 20 o polo da planta é 30 primeira coisa será que isso é comum na prática

sim é comum como eu disse a um modelo matemático uma representar é uma representação do sistema físico assim como a função de transferência também uma representação então esses parâmetros da do modelo dessa Representação depende dos seus parâmetros físicos o e nunca você vai ter sem por cento de certeza do que é o seu modelo então você sempre vai ter o descasamento entre o modelo real que é o modelo da planta mesmo e o modelo que você usou no projeto porque você não sabe exatamente quais são os parâmetros e as dinâmicas da sua planta então o

que acontece a se agora o polo não fosse 20 fosse 30 ah tá bom bom o que que vai acontecer Aqui o sistema vai continuar sendo estável tá vendo então ele continuou sendo estável só que agora a gente já não está mais conseguindo atender o requisito de desempenho mas pelo menos estável aqui no plano complexo como o polo da planta mudou nós não temos mais o cancelamento exato de poli zero por consequência o lugar geométrico das raízes não passou lá no mais ou menos 100 j que são esses quadradinhos e nós não conseguimos atender o

desempenho de Malha fechada mas pelo menos ficou estável tá bom e nós vamos ver que a existem cenários que quando o cancelamento de polo não acontecer de maneira exata o sistema fica instável olha fechada e esse é um cenário bem ruim oi e a gente vai ver exatamente o exemplo cinco e nós vamos ver aqui se nós cancelarmos um polo é instável na verdade isso aqui é mais dois tá errado no slide se nosso Cancelar um polo instável isso é um polo você me chrome direito a presença desse descasamento entre o que eu acho que

é o polo do sistema e o polo real vai fazer que não haja o cancelamento exato e por consequência vou ter uma instabilidade malha fechada vou copiar esse exemplo para o papel e nós voltamos lá na nossa louça eu tô aqui na lousa pessoal a copiei aqui parte do enunciado então nós temos que o polo desejado de malha fechada é Menos três mais ou menos cinco j os poros no os polos né a função de transferência da planta é um sobre s - 2 s mais 4 e nesse caso quais são os polos do sistema

e os polos são as raízes do denominador nós temos um polo em dois positivo e o polo em quatro positivo o sistema é instável em malha aberta e vou fazer mais rápido as assíntotas para quando nós temos dois polos e nem 10 são mais Ou menos 90 graus né o mais 90 e mais 270 e elas vão partir aqui do centro entre dois e quatro que é três tudo bem então esse aqui seria o esboço do l gr tofoli sendo um pouquinho mais rápido lgr agora porque o lgr foi tema da aula anterior tá então

a medida que aumentar o ganho do controlador eles vão os polos de malha fechada vamos sair de dois e quatro e vão entender a essa região que eu pintei roxo e portanto nunca vão passar para o semi-plano esquerdo que Você me plano estável e nós temos pelo polo pelos polos desejados lembrando que se a gente tem polos no semi-plano direito nós temos poros e instáveis e portanto o sistema é instável ah tá bom e aqui você vê quando esquerdo a região de polos estáveis portanto se todos os povos estiverem no servir pela esquerda o sistema

é estava tá bom então próprio fazer com que o lgr saia dessa região instável e passa pelo Ponto desejado nós vamos adotar um compensador css e mais uma vez vamos adotar um compensador com um apenas 10 e apenas um polo e de maneira errada vamos imaginar aqui nós não sabemos que nós ponto que nós não podemos cancelar nada no semi-plano direito eu vou usar o zero do compensador para cancelar o polo em menos dois a planta tá bom então eu vou fazer com que você diesse seja igual a cá vezes é esse menos 2 sobre

essa é mais bebê então eu cancelei o polo em Dois eu sei que eu não posso fazer isso mas eu fiz para mostrar uma coisa para vocês é bom agora basta escolher o lugar do b tá a gente vai escolher o lugar do polo b do compensador para que os pólos de malha fechada vou desenhar os novos o novo lg roxo e rosa e para que agora o novo lugar geométrico das raízes após a inserção do compensador passe exatamente no ponto desejado toffees ele aqui em rosa E para isso como é que a gente faz

mesmo e nós temos que a a somatória dos ângulos uma fase no ponto desejado tem que ser igual a menos 180 hum será que eu posso usar esse lápis de régua e aí ah sim então nós temos que a somatória dos ângulos e f2 que é igual a fase da planta no polo p no ponto quadradinho é no ponto p desejado tem que ser igual a Menos 180 graus tudo bem pessoal então o ajuste de bebê ele vai ser feito de modo que menos fio porque porquê - porque a gente está falando de um polo

que está no denominador menos o fio dois que é a fase do polo que eu estou adicionando tem que ser igual a menos 180 graus é só que o fio um sai por trigonometria observando esse triângulo retângulo é que eu estou destacando em amarelo é bem esse triângulo retângulo destacado em amarelo então o filme é igual a A 180 - um arco cuja tangente tem o cateto oposto 5 oi e o cateto adjacente quatro mas quatro mais três que é sete é isso né bom então fazendo essa conta se eu achar aqui eu acho que

eu já fiz e aí eu não achei tô fazendo essa conta vocês vão obter que eu fiz um é igual a os 144 vírgula 46° deixa só conferir bom e se o fio vale 144,4 36° como menos fio - x2 tem que ser igual a menos 180 ou fi 2 = 35 1,54 graus e agora que nós sabemos o ângulo fih2 podemos calcular a distância b entre o lugar do polo do compensador e a região do o ponto do excel em baixo do polo desejado essa região vou marcar aqui em laranja vou chamar de d

oi tá tom o esse essa distância de nós vamos calcular observando o triângulo entre b ponto desejado p&d e o ponto do eixo real que é o - 3 e mais especificamente a tangente In the chi2 tem que ser igual ao cateto oposto que é cinco sobre a distância de tô fazendo essa continha nós vamos obter aqui o d = e há de crer 7 como a distância daqui até aqui é sete nós tiramos que eu b vale 10 portanto compensador cd s = um cá que eu ainda eu vou ajustar vezes s - 2

sobre s mais 10 usando esse compensador o a gente faz com que o lugar geométrico das raízes ou que os ramos passem exatamente em cima sobre o Passe sobre o ponto desejado nós vamos ajustar o cá para que esses dois pontos desejados sejam de fato os poros de malha fechada e como é que a gente faz isso o pessoal usando a regrinha oito então a regra 8 a luz disk ôca vezes um sobre o módulo é igual a 1 sobre o módulo do zero cê polos que nós temos no ramo direto no nosso caso nós

temos aqui e o gds o e os e barra de s que é o zero e o Polo do compensador tá bom então o 0c polos da planta 10 de poros que estão aqui entre ry aqui é o nosso ramo direto são os zeros e povos do gps mais 10 cê polos do compensador que eu tô chamando de ser barra de s e a gente tem que considerar agora o zero se polos do compensador não é um sobre o módulo de gps vc barra de s parece igual ao ponto desejado que é menos três mais

cinco j bom gente já fez essa conta algumas vezes só deixa eu Deixar indicado aqui você igual a 1 sobre o módulo de g que é um sobre s - 2 vezes é sim - 4 às vezes você barra de s que é s - 2 sobre s + dez e aí é isso aqui vale tá ficando claro né vamos ver se vai ficar meu trabalho s = ou menos três mais cinco junto eu vou fazendo essa continha vocês vão obter que o cara igual a 74 faz com que os pólos de malha fechada sejam

Exatamente ou estejam exatamente aqui no ponto marcado tá bom portanto compensador final é 74 vezes s - 2 sobre o s mais 10 então a gente cancelou os polos de malha fechada e nós conseguimos obter um compensador que em teoria possa escrever em roxo alok aos polos onde a gente quer vamos verificar o comportamento desse sistema em simulação como mudar que a tela e eu vou abrir lá a simulação para vocês bom então o clicar aqui o clicar aqui Para lá pessoal tô definindo a função de transferência da planta lá na linha 7 para a

ro definiu operador s para como variável auxiliar tô definindo a função de transferência do compensador da linha 9 tô calculando a função de transferência em malha fechada na linha 12 por meio do comando feedback e estou simulando a a resposta em malha fechada primeira coisa olha o lugar geométrico das raízes e olha lá nós temos os dois polos da Planta em -2 -4 nós cancelamos o polo aqui em menos dois olha lá tá vendo que tem um x e uma bolinha indicando que nós cancelamos o polo da planta não semi-plano direito bom e nós temos

que os pólos de malha fechada estão passando exatamente no ponto desejado e depois nós ajustamos o ganho o carro para que as raízes fossem menos três e mais 5 jogos vamos calcular a saída juntos olha lá eu vou calcular as raízes do denominador da função de Transferência de malha fechada que eu chamei de ter tá então roots do denominador e olha lá - 3d - 3 mais ou menos cinco j e perceba o que ele manteve essa raiz em dois mas a gente cancelou que será que o outro lado tá querendo dizer para a gente

é bom a e fechar isso bom e nós temos então que a resposta da planta como os polos de malha fechada Estão no semi-plano direito são eu a resposta da planta é estável ou então a gente cancelou o polo no semi-plano direito e o sistema funcionou porque que eu disse que nunca jamais gente pode fazer isso como eu disse a gente sempre vai ter uma diferença entre o modelo que a gente usou para projetar o compensador e o modelo real da planta eu tô imagina aqui se o polo da planta não fosse exatamente menos dois

ele fosse 1.5 Ah tá bom então o polo que a gente cancelou não é exatamente pelos dois ele é menos 1.5 é só que eu não sei disso eu não consigo agora para aquele cancelamento exato que a gente queria e olha o que aconteceu com a resposta ela o vergil tá vendo 10 a cesta lá e por que que ela divergiu vamos observamos olhar lá vamos olhar lá na no plano complexo então olha lá eu não consigo mais cancelar aquele polo de Malha fechada certo eu não consegui cancelar aquele polo de malha fechada por consequência

ficou um ramo do lgr começando e um polo de malha aberta terminando 10 infinito preso no semi-plano direito tá vendo que ele tá preso aqui no semi-plano direito o juiz seria eu tão tem um polo de malha fechada preso consegue plano direito como a gente tem um polo de malha fechada em estável porque ele tá preso aqui o sistema tem uma resposta estável Tudo bem ah mas esse descasamento de dois para um ponto 5 é muito grande então vamos ver o que aconteceria se nosso polo real não fosse exatamente dois mas fosse um ponto 9999

ou seja a gente tem um descasamento de modelo de 0.0001 no valor do polo a resposta também é instável por quê que ela é estável porque nós ficamos aqui com é um polo preso no semi-plano direito tá bom justamente devido a esse descasamento entre polo quiser ah tá ah Mas esse o polo fosse um pouquinho mais para esquerda é um pouquinho mais para a direita né a resposta também da instável por quê que ela dá estável porque agora nós temos um polo nós também temos um polo preso aqui você me plano direito semi-plano direito eu

falo com parte real positivo que está associado a resposta no domínio do tempo com exponencial de potência positiva que vai divergir quando o tempo passar ah tá bom pessoal então a mensagem é que Nunca jamais a gente pode cancelar nada que tenha parte real positiva quando esse funcionar nós temos que usar outras estratégias para alocar o sério polo do compensador e uma possibilidade é simplesmente usar condição de ângulo que querem que diz que todo o polo de malha fechada ou todo ponto que pertence a rute lopes tem que satisfazer a condição de ângulo somatória das

fases tem que ser igual a mais ou menos 180 graus como nós estamos considerando sistemas Físicos que tem mais polos do que zeros a gente sempre vai trabalhar com o valor negativo a somatória das fases vai ter que ser menos 180 graus então agora a gente vai fazer um exemplo para exercitar o projeto usando a condição de ângulo e é o último exemplo manual da aula de hoje e como nós temos aqui um certo sistema que é quatro sobre ss mais dois e nós queremos que os pólos de malha fechada sejam menos dois mais ou

menos 3,46 j Que estão associados ao que se diz 0.5 eo meio ambiente quatro rodeando por segundo lembrando sempre aqui para obter esses pólos de malha fechada aqui nós pegamos que sim omega n que nós calculamos de acordo com certos requisitos de desempenho para a resposta no domínio do tempo e calculamos os polos para o caso sub amor tecido tá então foi dessa forma que nós calculamos aqui esses pólos de malha fechada é só que o projeto tem que ser feito de 12 requisitos o primeiro é que não se pode cancelar pole-zero justamente para nós

treinarmos o projeto usando a condição de ângulo e o zero do compensador tem que ser local daí menos três isto é um compensador com s mais três no numerador bom eu já copiei esse exemplo aqui no papel ó e vou fazer junto aqui com vocês então nós temos essa função de transferência da planta quatro sobre ss mais dois esses pólos desejados menos dois mais ou Menos 3,46 j oi e o compensador é cá vezes peça sobre s3 sobre essa mais p eu só vou representar isso aqui tá real ds imaginário ds vou marcar aqui os

polos e zeros da planta né da planta eu tô marcando em vermelho zero e menos 2 eu vou marcar aqui o lugar do polo do zero do compensador que é menos três e o polo tá em b eu não sei qual lugar é esse p então só que é menos três isso aqui é menos dois tá Bom então a ideia é ajustar esse b de modo que o lugar geométrico das raízes de ser vezes gds passe no ponto desejado o que é menos 2 há mais ou menos 3,46 j pessoal vou fazer um exercício aqui

juntos esquece o compensador como é que ficaria o lgr da planta o site 0 e vai até ao menos dois certo e o ponto de partida aqui do eixo real é o menos um certo todo mundo aqui tranquilo né E sobe aqui uma medida que eu fosse subindo os ganhos do compensador o lgr os polos de mata fechada e aumentando de parte imaginário a resposta se tornando cada vez mais oscilatória e notem que eu coloquei aqui no compensador um polo e 10 então como eu coloquei um polo e 10 não vai mudar o número de

zeros do infinito não vai mudar o ângulo das assim todas tudo bem então as a situação continuar tendo um ângulo de mais 90 graus e menos 90 graus Só que vocês se lembram que o zero atrai o lugar geométrico das raízes bom então o efeito desse zero aqui vai ser atrair o lugar geométrico das raízes em direção a ele como se fosse um lima lembra que que a gente viu isso em aulas anteriores que o zero atrai o lgr então colocando o zero mais próximo do que o polo do compensador nós vamos fazer com que

o lgr seja atraído um pouquinho em direção ao zero passando pelos pontos desejados a questão é saber em que lugar Alocar esse zero bom a gente vai fazer a locação desse bolo do compensador desculpa polo em b somando as fases da planta aqui no ponto desejado ah tá bom e o desenho ficou um pouco confuso até porque o desenho dois lgr eu vou pausar o vídeo e volta com desenho um pouquinho criado para a gente fazer essa escolha do bebê voltei aqui com desenho e nós queremos que a fase nesse ponto desejado seja menos 180

graus para que de fato Esse polo o que é o -3 -2 mais ou menos 3,46 j pertença ao lgr e a gente sabe que a fase de um número complexo é a soma da somatória das fases dos modos então nós podemos calcular a fase independente de cada polo e 0 no caso aqui eu vou chamar essa fase do polo na origem de zé de fio um a fase do menos dois como tá exatamente embaixo do ponto desejado não vou dar um homem nenhum que eu sei que a 90 graus a fase Do zero eu

vou chamar de teta filho e a fase do polo b que é o polo do compensador que eu tô tentando projetar eu vou chamar de f2 e nós sabemos que o maluco ou menos fio menos 90 graus - x2 negativos porque são fases associados a poros que estão no denominador mais reta que a fase do zero por isso positivo tem que ser menos 180 graus só que a gente consegue calcular tanto o fio quanto o teto usando o trigonometria E no caso particular do fio um nós temos esse triângulo retângulo que eu vou destacar aqui

ó é bem esperando o retângulo que eu destaquei um pouquinho aqui ó em amarelo e mais especificamente o filme é 180 graus menos um arco cuja a tangente tem altura 3,46 oi e o desculpa o cateto adjacente tenha 3,46 e o cateto oposto tem a 3,46 e o cateto adjacente tenha distância dois portanto o fio 1 = O seu momento que vocês me ajudam pessoal a 120 graus muito bem o que aproximadamente e já o reta a gente vai calcular olhando para esse triângulo retângulo que eu vou te tacar aqui em laranja um pouco mais

especificamente o peta é o arco já tangente tem cateto oposto 3,46 e cateto adjacente um reta é igual a a aproximadamente 74 graus é tão usando aí a condição de ângulo o Valor de fio e o valor desse dois nós podemos calcular desculpa e o valor de tenta nós podemos calcular que fi 2 = - 180 - 74 mais 90 mais 120 vezes menos um isso vai dar 44° aproximadamente tá bom agora que eu sei o valor desses dois nós vamos olhar para esse triângulo retângulo que eu tô te tacando aqui em roxo entre b

o polo desejado e o ponto do eixo real embaixo do polo desejado e nós vamos calcular a distância de entre b e até o ponto real embaixo do polo Desejado eu vou chamar de ver certo mais especificamente a tangente de é igual ao cateto adjacente que é 3,46 sobre a distância de roupa perdão que o som o fazer em preto é à tangente do ângulo wi-fi dois me desculpem tá aqui f2 daqui nós vamos tirar aqui de vale a aproximadamente 3,6 não 3,6 tá certo portanto daqui até que tem 3,6 o bebê que a distância

até origem é 5,6 tá bom então o nosso compensador é se ds que é igual a um carro que a gente ainda não Hoje estou vezes essa mais três que foi imposto por requisito por foi escolhido arbitrariamente sobre s mais 5,6 bom então nós vamos calcular o cá levando em consideração 0 e polo do compensador que eu vou chamar de ser barra de s e mais especificamente lembrando da nossa regrinha oito que agora que o lgr passa no ponto desejado e para calcular o cá associado a qualquer um desses pontos desejar os eu Faço aqui

o cá nesse ponto é igual a 1 sobre o módulo de gps vezes você bar ds que agora estão aqui presentes no sistema e foram responsáveis por atrair o lgr para o ponto desejado tudo bem eu sou um cara tem que ser igual a 1 sobre o módulo de gps ver se é barra de s para s igual ao ponto desejado que é menos dois mais 3,46 j e a gente já fez isso algumas vezes na hora de hoje vou só passar o resultado meu tio obter que ficar igual a 4,8 Portanto compensador final que

é o que a gente vai implementar a planta nesse caso é 4,8 xs + 3 sobre s mais 5,6 um ok pode um comentário sobre implementação é em teoria o antigamente esse tipo de compensador ele era implementado utilizando circuitos eletrônicos amplificadores operacionais ah ah mas tipicamente o até onde eu saiba o pessoal dar aeronáutica não vê eletrônica antes do curso de controle de sistemas lineares mas ainda hoje em dia Os compensadores não são geralmente aplicados usando eletrônica esse eles são embarcadas em algum dispositivo digital clp o microcontrolador o computador de bordo então o nosso curso

a gente ir lá no laboratório vai aprender a implementar esse compensador em uma ferramenta computacional mas isso é assunto lá para as aulas práticas tá bom eu vou voltar lá para os slides lá para slide e aqui nós temos o resultado do Compensador e vocês podem simular o comportamento dele em malha fechada a ideia desse exemplo era simplesmente projetar um compensador usando a condição de ângulo e não aconteceu não cancelamento de zero e polo que a gente tinha feito até agora bom vocês tem um exemplo aí para treinar tá então projeto em esse compensador da

maneira que vocês acharem mais adequado surgiram fazer um projeto cancelando em um projeto sem cancelar se vocês quiserem e para Encerrar aula de hoje eu queria fazer um projeto de compensador com vocês mas assim é um projeto diferente porque eu não vou fazer ele na mão eu vou fazer ele usando a ferramenta do matlab que é o siso tour bom então o que que a gente tem aqui a gente tem requisitos de desempenho para o máximo sobre esse canal ser menor do que vinte por cento oi e para que o tempo de estabelecimento seja menor

que 8 segundos Os tons são requisitos para a resposta transitório eu deixei escrever aqui a resposta transitórias e nós temos um requisito para a resposta de erro de regime permanente que ela para entrar da rampa colocar aqui ó e a resposta de regime permanente para aumentar do tipo rampa então é resposta de regime permanente então esse requisito é o requisito para resposta de regime permanente qual que é o requisito mesmo a resposta para uma entrada do Tipo rampa de inclinação unitária tem que ser menor ou igual a 0,1 e vocês viram naquele estudo individual que

vocês fizeram que esse requisito para a resposta de regime permanente nós podemos traduzir em termos de uma constante que a constante a cave muito bem o eu já gente funcionário está associada com a constante kv bom então eu vou fazer o projeto lá no sisu tour vou pausar o vídeo volto lá no Sisu com vocês eu estou aqui com a simulação aberta e bom tô definindo a função de transferência daquela forma que a gente já conversou né definido operador auxiliar s e digitando a função de transferência estou abrindo uma ferramenta aqui que a gente chama

o que é o chamado cisoto tudo bem então se solto é uma ferramenta do matlab para auxiliar o projeto de compensadores para sistemas iso então quando a gente abre o Se soltou ele nos dá aqui afonso a resposta em frequência que é um tema do segundo bimestre eu vou fechar e por enquanto nós vamos trabalhar exclusivamente com o projeto no consigo fechar isso não sei bom e a gente vai trabalhar com projeto exclusivamente aqui no lugar geométrico das raízes bom então assim que a gente abre esse solto ele vai mostrar para a gente os polos

da planta em malha aberta olha lá os três polos da planta é mais aberto Nós temos aqui o lgr traçado pelo meio das linhas azuis a os quadradinhos roxos são o local dos polos de malha fechada e aqui nós temos a resposta ao degrau tão à medida que eu for mexendo no lugar dos polos de malha fechada ele já vai atualizando para mim a a resposta ao degrau então por exemplo se meus poros de malha fechada passarem a ter raiz compartilhar positiva a resposta fica instável e nós podemos clicar e arrastar os polos de maré

fechada de acordo com Algum requisito de desempenho e para facilitar o projeto nós podemos clicar com o botão direito a gente veio aqui ó requisitos de projeto vamos índio e colocar os alguns requisitos por exemplo nesse exemplo e particular que a gente está trabalhando a porcentagem de eu vejo se tem que ser menor ou igual a vinte por cento então a gente já viu que essa porcentagem de overchute está associado com o ângulo com certo que se que está associado ao ângulo teto aqui Com a a origem então nós tem aqui com a região permitida

para os polos em malha fechada tem que ser é a região branca a região proibitivo ele vai pintando em amarelo bom e se nós quisermos também o requisito de certo ele time menor do que 8 segundos a gente já viu que esse requisito tá era era 8 ou 4 deixa eu olhar oito a gente já viu que esse requisito está associado com a uma reta paralela que ao eixo O imaginário então eu coloquei certinho tô com dúvidas é sim tempo de estabelecimento menor do que 8 segundos bom então qualquer lugar que os pólos de balé

fechado a estiverem aqui nessa região branca nós conseguimos atender os requisitos de desempenho tudo bem então em particular eu posso mexer no compensador clicando com o botão direito e vai estar compensador e se nós adotarmos um compensador proporcional = 3 os polos de malha fechada ficam bem no Limiar aqui ó do requisito de overchute e nós conseguimos atender os dois requisitos para a resposta transitória tudo bem só um detalhe aqui no aqui a gente aqui não se soltou nós podemos definir requisitos também de fator de amortecimento que é o que se frequência de natural que

o omega n se você quiser algum requisito de região específica eu quero que os poros semana fechado e sejam um quadrado aqui no plano complexo é só nós podemos colocar esse tipo de Requisito aqui no sisu tu se você quiser colocar a 0 no compensador tem aqui ó adicionar 0 e polo se você quiser deletar o zero e polo também tem um botãozinho e aí vocês vão brincando na casa de vocês tá bom o que eu quero destacar é que os requisitos aqui do item um deixa eu tirar todas essas essas se você quiser tudoe

tem um foram atendidos com um compensador cd s = 3 não sei di s = 3 atende os requisitos do Compensador do item um tá bom mas a pra atender o requisito do item dois quanto que tem que valer o cave vamos fazer isso no papel mas vocês deveriam saber responder isso de cabeça é bom a gente tá falando aqui do exemplo 8 eu vou fazer no papel rapidinho mas essa parte requisito de desempenho para a resposta em regime permanente foi alvo do estudo individual de vocês hoje nós queremos que o erro em regime Estacionário

e diz ter state para uma entrada do tipo rampa seja menor do que 0,1 qual que é a relação de erro de regime estacionário e o kawê para entrada do tipo rampa oi e o cav e eu já tive estacionário = a sobre o pavê muito bem sendo que o cá ver a inclinação da nossa alma como a nossa rampa é igual a um ou é tem inclinação unitária o erro jardim estacionar = 1 sobre a constante de velocidade kv Portanto para o erro de a gente estacionários e menor do que 0,1 ôca ver tem

que ser maior do que 10 e como é que a gente calcula o cá vedado a função de transferência do compensador cd s e da planta gds kv é igual a e o pai falando aí pessoal limite muito bem de esta entendendo a 0 e para essa não pode esquecer do s vezes cd s gds substituindo-os e ds e o gds desse exemplo e nós temos que cave igual a s vezes o Compensador que é um proporcional três vezes o gps que é um é sobre essa e vou puxar um pouquinho para cá para ajudar

a escrever 0,1 s + 1 a ver esses 0,2 s + 1 oi de volta oeste do numerador corta com s fazendo essa igual a zero do denominador fazendo essa igual a zero nós temos que o carro ver por enquanto = 3 tá bom portanto o cá vem que nós temos agora tá menor do que o kv desejado que é 10 porque porque se o carrefour de 10 A gente vai atender o requisito de desempenho mas o casey que nós temos atualmente é três ou seja nós não estamos atendendo o requisito de desempenho a para

resposta em regime permanente é bom para a gente atender esse requisito desempenho para resposta em regime permanente o compensador tem que ser alterado só que isso a gente ao será o compensador nós vamos alterar o lugar dos polos de malha fechada a gente vai Ter que refazer o projeto que a gente fez para atender o item um entendeu será então que não tem jeito da gente fazer um projeto para atender os requisitos para resposta em regime transitório sem alterar a resposta em regime permanente qual o contrário será que tem um jeito da gente projetar um

compensador para mexer na resposta em regime permanente sem alterar a resposta em regime transitório a resposta é sim isso vai ser tema das Próximas aulas tudo bem então aulas de hoje foram projetos realizados de compensadores e controladores proporcionais usando o lugar geométrico das raízes a gente viu que em alguns cenários não vai dar para atender os requisitos de desempenho somente ajustando bem o carro para isso nós temos que a inserir pólis eram no sistema aí a gente pode fazer isso colocando 10 polo no compensador e nós aprendemos a colocar 10 polo no Compensador usando a

técnica de cancelamento lembrar que a gente só pode cancelar a 0 e polo no semi-plano esquerdo e a gente fez o projeto baseado também na condição de ângulo até a próxima aula a gente vai aprender a projetar os compensadores do tipo lit e leg que são os compensadores que justamente te permitem mexer separadamente na resposta em regime transitório e na resposta em regime permanente tá bom pessoal é isso vá