O que são processos estocásticos?

E aí [Música] hoje nessa aula vamos introduzir o conceito de processo estocástico todas vamos ver alguns exemplos desse tipo de processos vamos caracterizar o que define o processo estocástico e também vamos ver como realizar uma simulação e simples em Python antes de falarmos sobre processos estocásticos é importante definir o que que é determinístico e o que que é estocásticos estocástico na verdade é um sinônimo de probabilístico nesse primeiro gráfico Aqui nós temos a evolução da posição de objeto que sofre uma certa força então se nós quisermos saber a posição de objeto depois de um certo

tempo t ou seja se quiser saber quanto vale o s de ter Basta Que eu saiba a posição inicial do objeto é sincero que eu saiba a velocidade inicial do objeto o peso o tempo de mais o meio eu tenho que saber a aceleração e o tempo a quadrado ou seja dado o valor de ter se eu souber quem é sincero v0e a eu consigo calcular então o s com certeza e qualquer e qualquer intervalo de tempo então dado um tempo eu consigo terminar exatamente a posição do objeto o Lucas do experimento probabilístico ou estocástico

mas não vamos determinar exatamente o estado do sistema após um certo tempo Então nesse caso aqui eu tô lançando um dado e notem que quando eu lanço um dado na primeira vez saiu do meu três depois saiu dobro 2 depois eu dobro um de por cento do iOS 6 e assim sucessivamente Então na verdade eu não consigo encontrar na verdade um padrão de saída dos valores da Face então eu não consigo para dizer se Qual o valor vai sair dado que agora saiu pra vocês porque se eu executar essa esse experimento várias vezes cada vez

que eu executar eu vou obter uma sequência diferente de saídas no entanto seu calcular a distribuição de probabilidade a chance de saída de cada um desses valores de 1 até 6 é o que eu consigo calcular EA probabilidade de ocorrência de cada uma dessas saídas e essa probabilidade vai ser igual a um sexto então não experimento estocástico ou probabilístico eu não sei qual é o valor da próxima saída mas eu consigo calcular qual é a probabilidade da próxima saída experimento deterministicas eles são bastante relacionados com experimentos de física então no caso de um pêndulo ou

mesmo interações entre planetas ou interações eletromagnéticas notificação se gosta de Março e todos esses casos nós temos uma equação que vai escrever o estado do sistema exato a cada intervalo de tempo o caso aleatório não o que que nós temos Nós não sabemos Qual é a próxima saída mais é o que podemos calcular a chance de ocorrência de cada evento Então no lançamento de um dado posso calcular Qual é a chance cerca da face o lançamento de uma moeda com a chance de sair cara em uma fábrica com a chance de ocorrer o erro numa

máquina e o experimento de fármacos e posso calcular chance de que o certo medicamento vai ser ficar com relação a certa doença ou seja experimentos aleatórios são os mais comuns que nós observamos natureza e esses experimentos eles estão relacionados com certeza e é importante nós quantificarmos essa incerteza para sabemos Qual é a chance de ocorrer algum erro ou mesmo sucesso em um dado experimentos então Vamos definir o que que o processo estocástico um processo aleatório um processo estocástico é uma coleção de variáveis aleatórias indexadas pelo tempo é verdade nós falamos sobre o tempo mas não

precisa ser tempo pode ser comprimento pode ser área pode ser qualquer unidade de medida no caso do tempo eu posso ter um tempo que é chamado discreto Ou seja é um tempo que eu consigo contar e tal vejo que se xn ele vai ser 012 até o infinito e ele é um conjunto contável tem que pode um exemplo é o valor j2j seria qualquer unidade que consiga medir no caso continuo o tempo pertence aos reais se for tempo ele vai ser sempre positivo mas ele pode ser também posição ou pode ser temperatura ele se caso

fosse negativa então Aqui nós temos uma saída de um lançamento de um dado e todo o lançamento de um dado Nós consideramos o tempo discreto porque eu fiz ele vai representar qual é o valor da face na do lançamento ele ou seja no primeiro lançamento no segundo e sucessivamente nesse caso Aqui nós temos uma fila do sistema de fila e nós estamos medindo clientes que chegam numa certa loja ou no banco todos que estão chegando e fica na fila E à medida que o tempo passa eles vão sendo atendidos e não tem que nesse caso

o tempo não tem como eu falar que o tempo está sendo medido acordo com o tipo de um relógio Ou seja a cada passo a gente pode ser atendido a qualquer momento e por isso nós falamos que o tempo é contido e que o basicamente e processo e nós temos o tempo discreto e temos o tempo continua no tempo para termos um pouco mais de intuição sobre esses processos estocásticos Aqui nós temos um programa em Python uma rotina e paz o que calcula o lançamento de um dado então aqui tá tem uns valores das faces

do dado ou seja um dois três quatro cinco seis eu posso variar Na verdade eu posso ter colocar termo dado D8 Faces ele vai ser o número de lançamentos Faces vai armazenar a Face que eu estou obtendo então como eu vou fazer isso eu tenho com simular de 0 até 20 vou selecionar o valor desse dessa lista então Simplesmente faça orando um ponto Choice pega o valor dessa lista armazeno esse valor nessa lista Face e aí Simplesmente faça o que simplesmente mostro aqui o lançamento e não tem que ser o executar três vezes e obtenho

3 saídas diferentes então no processo estocástico eu não consigo predizer Qual é a próxima saída mas eu consigo para dizer quais são as probabilidades nesse outro exemplo nós temos nós o processo de tempo discreto e aqui que nós temos fazendo é simular o passeio aleatório duas dimensões Então eu tenho que uma partícula e ela vai selecionar a posição ao longo do tempo de acordo com essa regra Então faça o que eu defino que ela começa na posição 100 vou fazer sim sem simulações e a cada passo de dentro eu faço o que eu defino o

que a posição a posição da partícula no próximo passo ela é a posição inicial mais o valor que o senhor tirei entre -1 para x e o valor entre -1 e não para Y Guarda esses valores e atualizo a minha lista então fazendo isso a gente obtém aqui então o passeio aleatório e duas dimensões sendo que o estado do sistema é dado pela posição que partículas está no certo o tempo aqui nós temos um caso um pouco mais realista nós temos a evolução do índice Ibovespa ao longo do tempo o índice Ibovespa o que que

acontece e tem um componente determinístico que provavelmente determina que as ações simples estão subindo Mas ele tem um componente muito forte estocásticos e por isso o caso ele é muito mais forte e ele define essas variações ao longo do tempo e o que define esse esse componente do casco são as notícias de jornais os índices econômicos algumas decisões que o presidente toma no caso nós tivemos aqui a pandemia o impacto da academia na economia então vários e vários e vários fatores externos acabam influenciando o índice da bolsa de valores e isso é definido principalmente por

um componente estocástico Outro exemplo é o livro de importação e exportação da economia brasileira então Aqui nós temos os dois gráficos para os dois casos e o índice de exportação e importação e também está intimamente relacionado com o endereço dos países que precisam de produtos nacionais produtos do Brasil e também o valor do dólar que também auxilia muito é uma moeda que influenciada por diversos fatores externos e Aqui nós temos mais um exemplo simples e que nós temos a evolução de uma certa aplicação então nós temos aqui uma aplicação ou sermos fizeram reais e a

gente vai aplicar e essa aplicação da vai render R por cento ao ano então depois de ele anos a gente vai ter o que a gente vai ter x 0 vezes o mais R elevado a n trouxe rede isso porque esse R ele é uniformemente distribuído entre 004 005 604 cinco por cento e nós fizemos aqui a simulação nos verificamos que a evolução também não é determinística você já tem também o componente que varia ao longo do tempo então o próximo passo depende na verdade de quanto que eu coloquei e depende do Passo anterior outro

exemplo de processo do plástico são feliz de markov na cadeia de markov a gente tem um grafo que define as conexões entre os Estados estados são definidos pelos vértices pelos nós ó e Aqui nós temos por exemplo uma rede social então se nós imaginarmos que essa rede social é são as pessoas enviando mensagens por WhatsApp então nós podemos imaginar que o nosso seis ele mas ele envia uma mensagem por um ou seja essa mensagem passou pela pessoa indicada pelo de vocês foi para a pessoa indicada pelo dobro 1182 12 ele pode voltar para vocês dos

seis ele pode para o set e docete ele para porque não tem como sair tomar uma pessoa que não se comunica com ninguém por exemplo Então nesse caso nós temos um grafo EA estrutura do gráfico vai definir como essa sequência se comporta ou seja essa sequência Ela depende de como os estados estão conectados então Acabei de uma cobra extremamente importante porque ela aparece desde modelagem de sequências genéticas até mesmo o Google pagerank que usado pelo Google para fazer as buscas na web e trocar de uma cópia parece-nos mais diversas aplicações e até a estrutura da

cadeia ele é fundamental para definir essa sequência que seria um processo estocástico Então a gente vai aprender sobre a cadeia de uma conta logo esse curso e nós vamos aprender por exemplo para calcular Qual é a chance que dado que eu comecei em um estado ou seja essa pessoa começou a divulgar uma mensagem a chance de que essa mensagem vai ser divulgada até uma certa outra pessoa apresenta o indivíduo número 4 outro exemplo de processo do caso que o processo de furação nesse caso é um processo em que o tempo é continuar e nós temos

e não que nós medimos esse processo por exemplo é o número de chegadas então nós podemos medir o número de ligações que ocorrem e uma certa Central Telefônica quantas ligações ocorrem por exemplo cada meia hora o número de três que estão chegando numa estação por dia ou mesmo nome de ataques de tubarão que ocorrem no verão então todos os processos podem ser modelados podem ser modelados com processo de com som e esse processo poção é processo muito geral que a gente também vai ver nesse curso outro exemplo são as filas no caso das finas o

que nós temos um processos de pro assuntos que estão interligados Então nós vamos ter um processo de chegada ou seja As pessoas chegam com uma certa taxa nós vamos ter uma fila uma das pessoas ficam esperando e essa fita tem um tempo máximo por exemplo te espera nós temos um tempo de atendimento que é chamado o tempo de serviço E aí com isso as pessoas acabam saindo com uma certa taxa Então esse sistema embora seja bastante simples ele é muito utilizado e também pode ser usado tanto para modelar chegada de pessoas no certo um banco

do banco ou seja Quantas caixas você precisa colocar para que esse tempo de espera seja o mínimo possível ou mesmo Qual o tamanho do buffer no meu roteador com o tamanho que preciso ter para que eu não perca pacotes e da Verdade teoria das filas é muito utilizado nos mais diversas aplicações e é outro tópico que nós vamos também abordar nesse curso Outro exemplo é a propagação de epidemias ou seja seus selecione uma pessoa qualquer a chance de que essa pessoa vai estar infectada no próximo passo de tempo ele é uma função do que do

fato dessa pessoa está infectada ou não no tempo anterior e é uma função das conexões dessa pessoa com outras pessoas que chama Dr em sua matriz de conexões e depende também da probabilidade com que essa doença é passada para ela chamar de Beta e também depende da chance dessa pessoa se recuperar Então na verdade nós podemos construir um processo dessa forma ou seja construir o conjunto de equações que vai descrever a evolução do sistema e se for o modelo por exemplo suscetível infectado recuperado Ou seja a pessoa suscetível ela pega doença e ela se recupera

e nunca mais pela doença então tipicamente essa curva vai evoluir dessa forma ou seja que seria a fração o número de infectados Bom dia que seria o tempo então ele aumenta ao longo do tempo depois começa a diminuir quando as pessoas ficam recuperadas Então esse é mais um exemplo de um processo que nós podemos modelar como um processo estocástico e com que nós iremos desse curso nós vamos ser capazes de entender essa modelagem de propagação de epidemias que uma coisa está muito na moda essa modelagem do coronavírus Então nós vamos poder entender os modelos que

estão divulgados nas revistas científicas ou nos blogs ou mesmos os jornais Então essa foi só uma aula Inicial que quiser se aprofundar um pouco mais e sugiro o livro do Sheldon Ross e o livro do cheiro like esse livro está disponível na web e também tem vários capítulos principalmente os capítulos finais que são sobre processos estocásticos e nas próximas aulas nós vamos então aprender sobre o processo de markov e o processo de porção principalmente Então nós vamos iniciar com um processo de markov hoje nós vamos aprender a modelar o processo estocástico de tempo discreto bom

e depois nós passaremos os processos estocásticos e tempo continuando que inclui o processo equação processo de nascimento e morte e filas e também veremos como fazer a simulação desses processos usando o Python então nos próximas aulas continuaremos com diversos tipos de processos estocásticos e [Música]